ecuaciones de grado superior
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ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR Mathema
www.xhuertas.blogspot.com Prof.: Christiam Huertas 1
La ecuación de tercer grado. Una ecuación de tercer grado con una incógnita es aquella que se puede poner bajo la forma canónica:
3 2 0ax bx cx d+ + + =
donde a , b , c y d ( 0a ≠ ) son números complejos.
Scipione del Ferro (1465 - 1526), un profesor de mate-máticas de la uni-versidad de Bolo-nia, fue el primero que resolvió alge-braicamente la ecuación cúbica, pero sus descubri-mientos no fueron publicados. Otro matemático Italia-no, Tartaglia (1499 - 1557), encontró un método para resolver cualquier ecuación cúbica de la forma
3 0x px q+ + =
y sus resultados fueron publicados por Cardano (1501 - 1576) en su obra Ars Magna. Así, la fórmula para resolver cualquier ecuación cúbica recibe hoy el nombre de fórmula de Cardano, y se deduce de la siguiente manera. En primer lugar, la ecuación cúbica
3 2 0ax bx cx d+ + + = . . . ‚
se puede llevar a una de la forma
3 0y py q+ + =
mediante la sustitución 3by xa
= + para
eliminar el término cuadrático. En efecto, al
reemplazar 3bx ya
= − en ‚ y desarrollar
se cancela el término que contiene 2x .
Ahora supongamos que la solución sea de la forma y u v= + ( )’ y transformemos nuestro problema en otro con dos incógnitas:
3( ) ( ) 0u v p u v q+ + + + = , esto es,
3 3 (3 )( ) 0u v uv p u v q+ + + + + =
Supongamos que las incógnitas u , v satisfacen además la ecuación 3 0uv p+ = . Nuestro problema se reduce a encontrar u , v tales que
3 3
3u v quv p
⎧ + = −⎪⎨
= −⎪⎩
Conocidos 3 3u v+ y 3 3u v , sabemos que 3u y 3v son las raíces de la ecuación de segundo grado
33 3 2( )( ) 0
27pz u z v z qz− − = + − = .
Resolviendo esta ecuación de grado 2 en la forma usual, se tiene:
2 33
2 4 27q q pu = − + + ,
2 33
2 4 27q q pv = − − +
Notación: 2 3
Discriminante de la ecuación cúbica
4 27q p
Δ = +
de donde
2 33
2 4 27A
q q pu = − + + ,
2 33
2 4 27B
q q pv = − − +
Y reemplazando en ( )’ llegamos a la fórmula de Cardano:
2 3 2 33 3
2 4 27 2 4 27q q p q q py = − + + + − − +
Las otras dos raíces son:
22y wA w B= +
23y w A wB= +
donde 1 32 2
w i= − +
Ejemplo: Resolver la ecuación cúbica
3 3 2 0x x+ − = Solución:
2 3
24 27q p
Δ = + =
33 1 22qA = − + Δ = +
33 1 22qB = − − Δ = −
Luego, las raíces de la ecuación son
3 31 1 2 1 2x A B= + = + + −
3 32 22 . 1 2 . 1 2x wA w B w w= + = + + −
3 32 23 . 1 2 . 1 2x w A wB w w= + = + + −
PROBLEMAS 1. Resolver las siguientes ecuaciones
cúbicas.
a) 3 3 2 0+ + =x x b) 3 3 2 0− − =x x c) 3 6 2 0+ − =x x d) 3 6 4 0+ + =x x
2. Eliminar el término cuadrático y luego
resolver las siguientes ecuaciones cúbicas.
a) 3 23 1 0+ + =x x b) 3 23 2 2 0− + + =x x x c) 3 23 1 0+ + + =x x x d) 3 26 3 0− + =x x
3. Determine la solución real de la
ecuación 3 23( 3 ) 4(3 1)+ = +x x x .
Rpta: 3 31 (4 7 49)3
+ +
4. Pruebe que 0cos20 es una raíz de la
ecuación 38 6 1 0− − =x x . 5. Luego de resolver la ecuación
( 1)( 2)( 3) 1+ + + = −x x x x , indique la suma de sus soluciones.
Rpta: 3−
6. Al resolver 3 22 9 6 3 0− + − =x x x se
obtuvo una raíz de la forma 3
3
11
+−
aa
.
Halle el valor de a .
Rpta: 5 7. Si , ,α β θ son las raíces de
3 3 2 0+ − =x x . Calcule el valor de
( 2 )( 2 )( 2 )α β θ− − − .
Rpta: 4 2 8. Si 1x , 2x , 3x son raíces de la ecuación
3 2 4 4 0− − + =x ax x a . Halle el valor de 3 3 3
1 2 3( 2) ( 2) ( 2)− − −x x x .
Rpta: 0 9. Si 1 2 3, ,x x x son las raíces de la ecuación
3 2 24 4 0+ − + =x mx x m , tal que
1 2 3
1 1 1 4+ + =x x x
. Calcule un valor de m
Rpta: 1 ∨ 1−
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10. Sean , ,a b c las raíces de la ecuación 3 2 5 0− + =x x . Halle el valor de
(1 )(1 )(1 )2
− − − − − −a b a c b cabc
.
Rpta: 1/2
11. Si , ,m n p son las raíces de la ecuación
3 22 0α− + + =x x a x , halle el valor de 2
2 2 2
( )2 1
+ ++ + + −
m n pm n p a
.
Rpta: 4/3
12. Si la ecuación
3 22 210 0− + − =x mx nx tiene como raíces a tres números primos diferentes, halle el valor de −n m .
13. Si , ,a b c son las raíces de la ecuación
3 2 2 5 0− + + =x x x , calcule el valor de ( 1) ( 1) ( 1)+ + + + +a a b b c c .
Rpta: 2−
14. Si dos raíces de la ecuación
3 2 ( 3) 4 0+ + + + =x ax a x suman 5; halle el valor de a si se sabe que todas las raíces son números enteros.
Rpta: 4−
15. Resuelva la ecuación
4 2 2( 2) ( 4) 3( 9) 0− − + + + =a x a x a ; 2≠a si se sabe que el producto de sus
raíces es 36. Indique la mayor solución.
Rpta: 3 16. Resuelva la ecuación
3 2 2 2( ) 0+ + + + =x a b c x abc ; { , , }⊂a b c , si sus raíces son , ,a b c .
Rpta: {0}
17. Si la ecuación 4 12 5 0− − =x x contiene
dos raíces que suman 2; calcule la suma de las inversas de las otras dos raíces.
Rpta: − 2/5
18. Se sabe que 4 3 24 1 0− + + + =x x ax bx
tiene sus raíces positivas; encuentre el valor de +a b .
Rpta: 2 19. Si –1 es una raíz de multiplicidad k
( 2≥k ) del polinomio
5 2( ) 1 0= − − + =P x x ax ax . Determine el valor de a .
Rpta: 5−
20. Indique una raíz de la ecuación
3 0+ + =x ax b ; 0<a , si sus raíces
1 2 3, ,x x x cumplen 2 1 3 2− = −x x x x .
21. Si 3 2 1+ es raíz de la ecuación
3 2 3 0+ + − =x ax bx , { ; }⊂a b , halle el
valor de 2+ +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
a bab
.
Rpta: 1 22. Dada la ecuación
3 211 36 0− + − =x x x a si las inversas de sus raíces están en progresión aritmética; calcule el producto de dos de sus raíces.
Rpta: 12
23. Si las ecuaciones 3 2 18 0+ + =x ax ,
3 12 0+ + =x bx tienen dos raíces comunes, halle el valor de una de ellas.
24. Si 2 3+ es una raíz de la ecuación
3 24 0− + + =x x mx n ; , ∈m n . Calcule el valor de m .
Rpta: 1
25. Si una de las raíces de la ecuación
3 23 18 0+ + + =x mx nx ; , ∈m n es
1 3− . Calcule la suma de cuadrados de todas sus raíces.
26. Si 2 3+ es una raíz de la ecuación
3 2 3 0− + − =x ax bx ; { , }⊂a b . Calcule el valor de 3 −a b .
Rpta: 8
27. Si 2i es raíz de la ecuación
3 2 4 2052 0+ + + =ax bx x . Halle el valor de /b a .
Rpta: 513
28. Si 2 − i es una raíz de la ecuación
3 22 9 0− + + =x x ax b ; { , }⊂a b . Calcule el valor de ab .
Rpta: 70−
29. Si 21 (1 )= −x i ; 1= −i es una raíz de la
ecuación 3 2 0+ + + =x ax bx c ; halle el valor de b sí { , , }⊂a b c .
30. Si dos de las raíces de la ecuación
4 3 22 0+ + + + =x ax bx cx d ;
{ , , , }⊂a b c d son 1 2+ y 3− , calcule el valor de + + +a b c d .
31. Si una raíz de la ecuación de
coeficientes reales 4 3 25 3 0− + + + =x x x ax b es 3− i
calcule el valor de −a b .
Rpta: 26 32. Dada la ecuación
3 2 0+ + + =x mx nx p de coeficientes
racionales, si una raíz es 3
52 1−
calcular
un valor de + +m n p . 33. Señale una raíz entera negativa de la
ecuación 2 2 2( 7 2)( 5 2) 24+ − + − =x x x x x .
Rpta: 2−
34. En la ecuación polinomial
3 22 4 0+ + − =x x bx , el cuadrado de la única raíz positiva es igual a la diferencia de los cuadrados de las otras dos. Señale dicha raíz.
35. Dado el polinomio
3 2( ) 3 3 4= + + +P x ax bx cx d ; 0≠a de coeficientes enteros, si se sabe que 2 es una raíz triple; además su término independiente es no positivo y es el mayor entero posible, calcule el valor de 3−abcd a .
36. Si las raíces , ,a b c de la ecuación
3 22 10 0+ − + =x px px , ∈p están en progresión aritmética. Calcule el valor de ( )+ ca b .
37. Si dos raíces de la ecuación
4 3 23 280 1984 0− + + − =x x ax x tiene producto 32, halle el valor de a .