ecuaciones de estado prof. jesús hernández trujillo...
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Ecuaciones de estado
Prof. Jesús Hernández TrujilloFacultad de Química, UNAM
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 1/16
Contenido
• Forma diferencial de la ecuación de estado
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 2/16
Contenido
• Forma diferencial de la ecuación de estado• Gas ideal
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 2/16
Contenido
• Forma diferencial de la ecuación de estado• Gas ideal• Fases condensadas
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 2/16
Forma diferencial de la ecuaci’on de estado
• Ecuación de estado de una substancia pura (1mol):
V = V (p, T )(1)
donde V , p y T son el volumen, la presión y latemperatura, respectivamente.
• Esta ecuación expresa a V como función de p y T
• La diferencial total de (1) es
dV =
(∂V
∂T
)
p
dT +
(∂V
∂p
)
T
dp(2)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 3/16
En términos de coeficientes de respuesta
α =1
V
(∂V
∂T
)
p
(3)
κ = −1
V
(∂V
∂p
)
T
(4)
se obtiene
dV = αV dT − κV dp(5)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 4/16
Otras expresiones:
dp =α
κdT −
1
V κdV(6)
dT =1
V κdT +
κ
αdV(7)
El conocimiento de los coeficientes derespuesta puede llevar a la ecuaciónde estado (1) mediante (5), (6) o (7)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 5/16
Gas ideal
Para gases en condiciones de presiones bajasexperimentalmente se sabe que:
• El volumen es inversamente proporcional a lapresión a temperatura constante (ley de Boyle)
V ∼
1
p⇒ V =
k1
p(T constante)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 6/16
Gas ideal
Para gases en condiciones de presiones bajasexperimentalmente se sabe que:
• El volumen es inversamente proporcional a lapresión a temperatura constante (ley de Boyle)
V ∼
1
p⇒ V =
k1
p(T constante)
• El volumen es directamente proporcional a latemperatura a presión constante (ley de Charles)
V ∼ T ⇒ V = k2T (p constante)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 6/16
Por lo tanto:
κ =k1
V p2=
1
p(8)
α =k2
V=
1
T(9)
All sustituir (8) y (9) en (5):
dV =V
TdT −
V
pdp
dV
V=
1
TdT −
1
pdp
d ln V =1
TdT −
1
pdp(10)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/16
El siguiente paso es integrar la diferencial exacta (10)
Esta ecuación es de la forma:
d ln V = M(T, p) dT + N(T, p) dp
donde
M(T, p) =∂ ln V
∂T=
1
T(11)
N(T, p) =∂ ln V
∂p=
1
p(12)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 8/16
Integración parcial de (11)
ln V =
∫1
TdT = ln T + C1(p)(13)
Al derivar (13) respecto a p
∂ ln V
∂p=
dC1(p)
dp(14)
Al igualar (12) y (14) se obtiene:
dC1(p)
dp= −
1
p
Por lo tanto
C1(p) = − ln p + C2(15)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 9/16
Ahora, sustituir (15) en (13):
ln V =
∫1
TdT = ln T − ln p + C2
V = (eC2)︸ ︷︷ ︸
const
T
p(16)
Para encontrar la constante, se dan valores a p, T, V :
Sea V = V0 cuando T = T0 y p = p0
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 10/16
Por lo tanto:
V0 = eC2T0
p0, eC2 =
p0V0
T0≡ R
constante de los gases
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 11/16
Por lo tanto:
V0 = eC2T0
p0, eC2 =
p0V0
T0≡ R
constante de los gases
Al sustituir R en (16) se obtiene:
V =RT
p(17)
(Para 1 mol de gas)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 11/16
Fases condensadas
Experimentalmente:
Dentro de intervalos amplios de presióny temperatura, los coeficientes α y κ desólidos y líquidos, pueden considerarseconstantes:
α = α0(18)
κ = κ0(19)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 12/16
Fases condensadas
Experimentalmente:
Dentro de intervalos amplios de presióny temperatura, los coeficientes α y κ desólidos y líquidos, pueden considerarseconstantes:
α = α0(18)
κ = κ0(19)
Al sustituir (18) y (19) en (5):
dV = V α0 dT − V κ0 dp
d ln V = α0 dT − κ0 dp(20)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 12/16
Hay que integrar (20). A partir de
∂ ln V
∂T= α0
Se obtiene:
ln V = α0T + D1(p)(21)
Al derivar (21) respecto a p e igualar con
∂ ln V
∂p= −κ0
se llega adD1(p)
dp= −κ0
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 13/16
Al integrar:
D1(p) = −κ0p + ln D2(22)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 14/16
Al integrar:
D1(p) = −κ0p + ln D2(22)
Sustituir (22) en (21):
ln V = α0T − κ0p + ln D2
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 14/16
Al integrar:
D1(p) = −κ0p + ln D2(22)
Sustituir (22) en (21):
ln V = α0T − κ0p + ln D2
Por lo tanto:V = D2e
α0T−κ0p(23)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 14/16
Al integrar:
D1(p) = −κ0p + ln D2(22)
Sustituir (22) en (21):
ln V = α0T − κ0p + ln D2
Por lo tanto:V = D2e
α0T−κ0p(23)
Para conocer D2, se dan valores: V = V0 cuandoT = T0 y p = p0
D2 = V0e−α0T0+κ0p0
Entonces:
V = V0eα(T−T0)−κ(p−p0)(24)
(se eliminó el subíndice 0)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 14/16
Simplificación de (24)
La serie de Taylor de ex alrededor de x = 0 es
ex = 1 + x +1
2x2 +
1
3!x3 + . . .
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 15/16
Simplificación de (24)
La serie de Taylor de ex alrededor de x = 0 es
ex = 1 + x +1
2x2 +
1
3!x3 + . . .
La aproximación a primer orden para (24) es:
V = V0 [1 + α(T − T0) − κ(p − p0)](25)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 15/16
• Otra expresión:
∆V
V0= α∆T − κ∆p
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 16/16
• Otra expresión:
∆V
V0= α∆T − κ∆p
• Además:α y κ ∼ 10−6
− 10−5
atm−1 y K−1, respectivamente
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 16/16
• Otra expresión:
∆V
V0= α∆T − κ∆p
• Además:α y κ ∼ 10−6
− 10−5
atm−1 y K−1, respectivamente
• Caso particular: Fluido incompresible (κ = 0)
∆V
V0= α∆T
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 16/16