ecuaciones de estado

1

4. Principios básicos para yacimientos cercanos al punto crítico

Caracterización de los yacimientos con composición variable

Análisis de fluidos PVT composicional

Ecuaciones de Estado (Peng Robinson y Redlik-Kwong-Soave)

2

Se definió una ecuación de estado como una relación matemática entre las variablesTemperatura, Presión y Volumen (más la concentración en el caso de mezclas). Lasecuaciones de estado constituyen una herramienta usual en Termodinámica para elcálculo de propiedades físicas y termodinámicas de fluidos. Si se conoce la relaciónf(T,P,V)=0 para fluidos puros o bien g(T,P;V,X)=0 para mezclas, entonces es posibledeterminar el valor de propiedades tales como densidad, entalpía, entropía o energíainterna.

3

Ecuación de Van der Waals

La ecuación de Van der Waals corrige dos de las aproximaciones mas drásticas del modelo de GasIdeal:

1. El volumen de las moléculas no es despreciable con respecto al volumen del sistema2. Las moléculas se atraen y producen una presión de atracción, que van der Waals modeló

como: 2/ MVa

2

MM V

a

bV

RTp

4


Volumen molar, VM (ft3)

Tc

0,02

2

TcMTcM dV

pd

dV

dp

VMc

Pre

sión,

p (

lb/p

g2abs)

pc

0

V

a2

bV

RT

dV

dp3

M

2

M

c

TM CCC

0

V

a6

bV

RT2

dV

Pd4

M

3

M

c

T

2

M

2

CCC

c

2

c

2

p64

TR27a

c

c

p8

RTb

Los valores de a y b son característicos de un gas en particular:

Esta EOS fue planteada considerando substancias puras; se deben usar reglas de mezclado para elcaso de gases reales.

5


c

2

c

2

p64

TR27a

c

c

p8

RTb

Calcular las constantes de van der Waals para el 3-metil-hexano.

Solución.Para el 3-metil-hexano la Tc y pc se obtienen de la Tabla A-1.

2

232

2

2232

)(

)()/(29.599,110

) 1408)(64(

)8.963()/ 73210)(27(

mollbm

ftabspglb

abslb/pg.

RRmollbmftabslb/pg.a

o

mollbm

ft168.3

)abslb/pg (8)(408.1

R) 8.963)(Rmol/lbmftabslb/pg (10.732b

3

2

32

963.8 oR y 408.1 lb/pg2abs, respectivamente

6


023

p

abV

p

aV

p

RTbV MMM

La ecuación de van der Waals puede ser escrita en forma polinomial:

Volumen molar, VM (ft3)

Pre

sión,

p(l

b/p

g2abs)

PUNTO

CRITICO

T=cte

T1

E

D

C

BA

p1

Isoterma para un componente

puro calculada con la ecuación

de estado de van der Waals

LÍQUIDO

GAS

DOS

FASES

p

zRTVM

0ABAzz)B1(z 23

22TR

apA

RT

bpB

7

Cálculo de las densidades de fluidos con la ecuación de Van der Waals

En un cilindro cerrado se encuentra propano puro a 100 °F teniendo las fases líquido y vaporpresentes. Empleando la ecuación cúbica de estado de van der Waals de dos parámetros, calcularla densidad de las fases líquido y vapor (gas).

Solución.Etapa 1. Estimando la pv del propano puro a partir de la cartas de Cox

Temperatura (°F)

Temperatura (°F)Temperatura (°F)

Temperatura (°F)

Presió

n (lb

/pg

2 a

bs.)

Presió

n (lb

/pg

2 a

bs.)pv = 185 lb/pg2abs

8


c

c

p

TRa

64

27 22

2

232

2

2232

)(

)(/465.970,34

)/ (616.3

)666()// (10.732(0.421875)

mollbm

ftabspglb

abspglb

RRmollbmftabspglba

c

c

P

RTb

8

mollbm

ft4496.1

)abspg/lb (616.3

)R666)(Rmollbm/ftabspg/lb (10.732(0.125)b

3

2

32

Etapa 2. Calculando los parámetros a y b

TcPc

9


22TR

apA

17912.0

)R560()Rmollbm/ftabspg/lb732.10(

)abspg/lb185(mol)lbm/(ftabspg/lb 465.970,34A

2o2o32

2262

RT

bpB

044620R560Rmollbmftabspglb73210

abspglb185mollbmft44961B

oo32

23

.))(//.(

)/)(/.(

Etapa 3. Calcular los coeficientes A y B aplicando las ecuaciones:

10


0ABAzz)B1(z 23

Etapa 4. Sustituyendo los valores de A y B dentro de la ecuación:

0007993.017912.004462.1 23 zzz

Etapa 5. Resolviendo el polinomio de tercer grado, obteniendo el mayor y menor valores (raíces) delpolinomio. Para resolver este polinomio se utilizan métodos directos o iterativos. Para la fase vaporse obtiene,

y para la fase líquida,

zv = 0.84350

zL = 0.07534

11


RTz

pM

V

Cv 3

RTz

pM

L

CL 3

Etapa 6. Calculando las densidades de las fases líquido y vapor. Para la fase vapor se tiene,

332

2

60572.1)560)(//732.10)(84350.0(

)/44)(/185(

ft

lbm

RRmollbmftabspglb

mollbmlbmabspglboo

v

332

2

97753.17)560)(//732.10)(07534.0(

)/44)(/185(

ft

lbm

RRmollbmftabspglb

mollbmlbmabspglboo

L

12

Ecuación de Redlich-Kwong (RK)

En 1948 Redlich y Kwong modificaron el término de fuerzas de atracción (fuerzas de presión a/V2)de la ecuación de van der Waals, lo cuál mejora en forma considerable la predicción de laspropiedades físicas y volumétricas de la fase gas. Redlich-Kwong sustituyeron el término de fuerzasde atracción de presión, con un término general de dependencia de la temperatura. La ecuación deRedlich-Kwong se expresa como:

5.0TbVV

a

bV

RTp

c

5.2

c

2

ap

TRa

c

c

bp

RTb

42747.0a 08664.0b

13


0)( 223 ABzBBAzz

5.22TR

apA

RT

bpB

La EOS de RK expresada en forma polinomial:

14

1. Retrabaje el ejemplo utilizado en VdW, usando la ecuación de estado de Redlich – Kwong.

2. Calcule la densidad de un aceite con la siguiente composición a 4,000 lb/pg2

abs y 160°F. Utilizando RK.

Componentexj

(fracción mol)

Metano, C1H4 0.86

Etano, C2 H6 0.05

Propano, C3 H8 0.05

Butano normal, n-C4 H10 0.02

Pentano, C5 H12 0.01

Hexano, C6 H14 0.005

Heptano, C7 H16+ 0.005

Peso molecular del C7+=215 lbm/lbm-molpc del C7+ = 285 lb/pg2 abs.

Tc del C7+ = 825 °R.

15


Redlich y Kwong extendieron la aplicación de su ecuación a hidrocarburos líquidos o mezclas de gas, mediante el uso de las siguientes reglas de mezclado:

n

j

jjm bxb1

n

j

jiji

n

i

m aaxxa1

5.0

1

n= Número de componentes de la mezcla

ai= Parámetros RK para el enésimo componente de la ecuación de estado

bi=

am= Parámetro de la mezcla a

bm= Parámetro de la mezcla b

xi= Fracción mol del componente i en la fase líquida

16

Cálculo de la densidad de líquido de una mezcla de hidrocarburos con la ecuación de Redlich-Kwong (RK)

Calcular la densidad de un hidrocarburo líquido cuya composición se proporciona en la Tabla y quese encuentra a 4,000 lb/pg2 abs y 160 °F. Emplear la ecuación de estado de Redlich-Kwong.

Composición de los componentes líquido de la mezcla de hidrocarburos

Componentexj

(fracción mol)

Metano, C1H4 0.45

Etano, C2 H6 0.05

Propano, C3 H8 0.05

Butano normal, n-C4 H10 0.03

Pentano, C5 H12 0.01

Hexano, C6 H14 0.01

Heptano, C7 H16+ 0.40

Peso molecular del C7+=215 lbm/lbm-molpc del C7+ = 285 lb/pg2 abs.

Tc del C7+ = 825 °R.

17


Solución.Etapa 1. Calculando los parámetros aj y bj para cada componente

c

5.2

c

2

ap

TRa

c

c

bp

RTb

Componentex j

(fracción mol)

p cĵ

(lb/pg 2 abs)T cĵ (°R)

Metano, C 1 H 4 0.45 666.40 343.33

Etano, C 2 H 6 0.05 706.50 549.93

Propano, C 3 H 8 0.05 616.00 666.06

Butano normal, n-C 4 H 10 0.03 550.60 765.60

Pentano, C 5 H 12 0.01 490.40 829.10

Hexano, C 6 H 14 0.01 436.90 914.60

Heptano, C 7 H 16+ 0.4 285.00 825.00

18


Componente x j (fracción mol)p cĵ

(lb/pg 2 abs)T cĵ (°R) a ĵ b ĵ

Metano, C 1 H 4 0.45 666.40 343.33 161,365.75 0.47904452

Etano, C 2 H 6 0.05 706.50 549.93 494,214.45 0.72375436

Propano, C 3 H 8 0.05 616.00 666.06 915,102.28 1.00538349

Butano normal, n-C 4 H 10 0.03 550.60 765.60 1,450,225.62 1.29289967

Pentano, C 5 H 12 0.01 490.40 829.10 1,987,164.39 1.57201093

Hexano, C 6 H 14 0.01 436.90 914.60 2,850,774.84 1.94647244

Heptano, C 7 H 16+ 0.4 285.00 825.00 3,377,201.55 2.69158560

45263.11

n

j

jjm bxb

Etapa 2. Calculando los parámetros de mezclado am y bm , respectivamente.

11.233,136,11

5.0

1

n

j

jiji

n

i

m aaxxa

19


12275.4)R620()Rmollbm/ftabspg/lb732.10(

)abspg/lb4000()mollbm(

R)ft()abspg/lb(11.233,136,1

TR

paA

5.2o2o32

2

2

5.0232

5.22

m

87326.0)620)(//732.10(

)/4000(452633.1

32

2

3

RRmollbmftabspglb

abspglbft

lbm

RT

pbB

oo

m

Etapa 3. Calculando los coeficientes A y B , respectivamente,

20


0)( 223 ABzBBAzz

0)87326.0x12275.4(z)87326.087326.012275.4(zz 223

6001.3z48676.2zz 23

Etapa 4. Resolviendo la ecuación para encontrar la raíz con el menor valor,

sustituyendo valores,

zL = 1.27134

Etapa 5. Calculando el peso molecular aparente de la mezcla líquida,

Componente x j (fracción mol) Mj xjMj

Metano, C 1 H 4 0.45 16 7.2

Etano, C 2 H 6 0.05 30 1.5

Propano, C 3 H 8 0.05 44.1 2.205

Butano normal, n-C 4 H 10 0.03 58.12 1.7436

Pentano, C 5 H 12 0.01 72.15 0.7215

Hexano, C 6 H 14 0.01 86.177 0.86177

Heptano, C 7 H 16+ 0.4 215 86

100.23187 Ma = 100.2547 lbm/lbm-mol

21


RTz

pML

aL

Etapa 6. Calculando la densidad de la fase líquida, considerando el peso molecular aparente de la mezcla,

332

2

40571.47)620)(//732.10)(27134.1(

/2547.100/000,4

ft

lbm

RRmollbmftabspglb

mollbmlbmabspglb

RTz

pMooL

aL

1. LEE, J. y Wattenbarger, R. A. Gas Reservoir Engineering

2. MCCAIN, William. The properties of petroleum fluids, EUA. The Penn WellBooks, 1990.

3. KATZ, D. L. Handbook of natural gas Enginneering, New York. McGraw-HillBook Co., 1959.

4. BRADLEY, H.B. Petroleum Engineering Handbook, Texas. SPE, Richardson,1987.

22

ecuaciones de estado

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