ecuaciones 2008 i (a. aquino)

COMPETENCIA DE LA UNIDAD

¿Qué? Al término de la unidad se espera que el alumno domine los métodos operacionales y procedimientos básicos que se estudian en los números reales, ecuaciones e inecuaciones.

¿Para qué? Para formular, simplificar, resolver e interpretar los resultados de problemas típicos, en forma gráfica y analítica,

¿Porqué? ya que esto le permitirá utilizar tales instrumentos reflejando como consecuencia inmediata la importancia de su estudio

¿Cómo? Como una base para el análisis cuantitativo de situaciones simples y complejas de interés práctico para el estudiante.

MAPA CONCEPTUAL

Angel Aquino Fernández1

INTRODUCIÓN

Historia de las ecuaciones lineales. La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = 0 donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón.Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24 La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.Supongamos que fuera 7 la solución, al sustituir en la x nos daría: 7 + 1/7 · 7 = 8 , y como nuestra solución es 24 , es decir, 8·3 , la solución es 21 = 3 · 7 , ya que 3 · (7 + 1/7 - 7) = 24.Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente.Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 aC. a 300 dC.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60 .Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:


" Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años. De todo esto, deduce su edad. "

Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema:

" Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado. "

Esto es:

es decir, a x = S .Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera sílaba de las palabras.Dada la ecuación ax + b = cx + d , la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,

Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.El método de la doble falsa posición es el siguiente:Sea la ecuación ax + b = 0 y supongamos dos valores para la x : x = m am + b = p x = n an + b = q restando, a (m - n) = p - q Por otra parte, eliminando a en (1) amn + bn = pn amn + bm = qm que restando, b (n - m) = pn - qm y dividiendo ambos resultados, - a / b = (p - q) / (pn - qm) o también - b / a = (pn - qm) / (p - q) siendo esto último el valor de x . Veamos un ejemplo. Sea la ecuación 5x - 10 = 0 , si tomamos como valor de x : x = 3 y x = 4 , y sustituyendo, 5 · 4 - 10 = p

5 · 3 - 10 = q se tiene que x = (10 · 3 - 5 · 4) / (10 - 5) = (30 - 20) / 5 = 10 / 5 = 2


Este principio fue posteriormente presentado en una forma ligeramente modificada por el método de las escalas. El nombre proviene de un diagrama que permitía escribir la solución rápidamente:

Las dos líneas de la izquierda representan p y q y las de la derecha m y n y la cruz del centro indica que hay que multiplicar. El método puede ser sintetizado como sigue:1. Consideran dos valores cualesquiera de la incógnita m, n . 2. Calculan los errores correspondientes a ellos p, q .3. Hallan el valor de la incógnita en función de los valores dados y sus errores. En nuestro ejemplo,

A partir de aquí se dedican al estudio de ecuaciones de grado superior.

Historia de los sistemas de ecuaciones lineales.Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de

eliminación. En nuestra notación, sería: restando la segunda de la primera, se

obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 . También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.


LOS NUMEROS REALES

I. DEFINICION AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES

Se llama número reales a un conjunto no vacío R dotado de dos operaciones internas: adición y

multiplicación y una relación de orden que satisfacen los axiomas siguientes:

1) AXIOMA PARA LA ADICIÓN

A1 (a,b) a + b Clausura

A2 a + b = b + a Conmutativa

A3 a + ( b + c ) = ( a + b ) + a Asociativa

A4 a + 0 = 0 + a = a Elemento neutro aditivo

A5 a + (-a) = (-a) + a = 0 Elemento Inverso aditivo

2) AXIOMA PARA LA MULTIPLICACIÓN

M1 (a,b) a . b Clausura

M2 a . b = b . a Conmutativa

M3 a . ( b . c ) = ( a . b ) . c Asociativa

M4 a . 1 = 1 . a = a Elemento neutro multiplicativo

M5 (a 0): a . a-1 = a-1. a = 1 Elemento Inverso multiplicativo

3) AXIOMAS DISTRIBUTIVAS RESPECTO DE LA ADICIÓN

D1 a . ( b + c ) = a . b + a . c Distributiva por la izquierda

D2 (b + c).a = b.a + c.a Distributiva por la derecha

4) AXIOMAS DE ORDEN

O1 Ley de la Tricotomia

Si: a y b uno y sólo uno de los siguientes enunciados verifica:

a < b

a = b

a > b

O 2 Transitividad

Si: a < b y b < c a < c

O3 Monotonía

a < b c . a + c < b + c Consistencia aditiva

a < b y c > 0 a.c < b.c Consistencia multiplicativa

a < b y c < 0 a.c > b.c


5. AXIOMAS DE LA IGUALDAD

I1 a, b , Dicotomía

I2 a a = a Reflexividad

I3 a, b , si a = b b = a Simetría

I4 a, b, c , si a = b b = c a = c Transitividad

I5 a, b, c , si Unicidad de la adición

I6 a, b, c , si Unicidad de la multiplicación

II. DEFINICION DE LA SUSTRACCION DE NUMEROS REALES

Dado dos números a y b. Se define la diferencia de a y b, como la suma de a con el inverso

aditivo de b.

Esto es: , a, b

III. DEFINICION DE LA DIVISION DE NUMEROS REALES

Dado dos números a y b. Se define el cociente de a entre b, como el producto de a con el

inverso multiplicativo de b.

Esto es: , a, b

TEOREMAS PARA LA SUMA Y MULTIPLICACION a, b, c, además: a 0 , b 0 y c 0 se tiene que:

T1. (-0) = 0

T2. 1-1 = 1

T3. - (-a) = a

T4. (-a) . b = - (ab)

T5. a . (-b) = - (ab)

T6. (a-1)-1 = a

T7 a-1 b = (a . b-1)-1

T8 a . b-1 = (a-1 . b)-1

T9 a-1 . b-1 = (a . b)-1

T10 a + b = a + c b = c

T11 a . b = a . c b = c a 0

T12 a – (-b) = a + b

T13 a – b = 0 a = b

T14 a – (b + a) = a – b - a

T15 Si a + b = 0 a = -b y b = -a

T16 Si a.b = 1 a = b-1 y b = a-1


T17 Si a . b = 0 a = 0 b = 0

T18 a1 . b2 = b1 . a2

T19 La ecuación a + x = b tiene única solución: x = b + (-a)

T20 La ecuación a . x = b tiene única solución: x = a-1 b

TEOREMAS DE LA RELACION DE ORDEN

T1: La relación “<” tiene las siguientes propiedades: i) No reflexiva: a , no se cumple que a < a ii) No simétrica (asimétrica): Si a < b no se cumple que a > b. iii) Transitiva: Si a > b b > c a > c

T2: i) a b (a < b) (a = b)ii) a b (a > b) (a = b)

T3: La relación “” tiene las siguientes propiedades:i) Reflexiva: a a , a ii) Antisimétrica: Si a b b a a = biii) Transitiva: Si a b b c a c

T4: a b a + c b + c

T5: i) Si a b y c es positivo, entonces: a . c b . cii) Si a b y c es negativo, entonces: a . c b . c

T6: i) Si a > 0 - a < 0 ii) Si a < 0 - a > 0iii) Si a > 0 a-1 > 0 iv) Si a < 0 a-1 < 0

T7: a . b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)

T8: a . b < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)

T9: Sean a, b , si a<b a< < b. Este teorema permite afirmar que siempre

entre dos números reales distintos es posible intercalar un tercer número c,


ECUACIÓN

Ecuación es una igualdad literal que sólo es cierta para algunos valores de las letras. La letra o

letras desconocidas de una ecuación se llaman incógnitas. La incógnita de una ecuación se puede

designar con cualquier letra, pero en general se utiliza la letra x, y, z

Resolución de Ecuaciones

Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Las soluciones de una ecuación son los números

que al sustituir a la incógnita o incógnitas hacen cierta la igualdad.

ECUACIONES LINEALES

1. Ecuaciones de 1er Grado con una Variable

Forma: a x + b = 0, con a 0

Ejemplo: 3x - 1 = 8

3x = 9

x = 3

Ahora prueba tu capacidad

Resolver: 2x + 4 = 24

…………………………………………………………………………………………………

…

…………………………………………………………………………………………………

…

…………………………………………………………………………………………………

…

Ejemplo: 2(7 - x) + 7x = 8 - 5(x - 1) + 8x + 4

14 - 2x + 7x = 8 - 5x + 5 + 8x + 4

-2x + 7x + 5x - 8x = 8 + 5 + 4 - 14

2x = 3

5,12

3x

Ahora prueba tu capacidadResolver: 3(x + 4) + 5 – 2x = 4(3 - x) + 7(x - 3)


…………………………………………………………………………………………………

…

…………………………………………………………………………………………………

…

…………………………………………………………………………………………………

…

Ejemplo: 6

)2(.71

4

3

xx

12

214

12

12

12

9

xx

214129 xx 9x + 12 = 14x - 28

9x - 14x = -28 – 12 -5x = -40

85

40

x


Resolver:

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…

…………………………………………………………………………………………………

…

…………………………………………………………………………………………………

…

2. Ecuaciones de 1er Grado con dos o más Variables

Forma : a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

A21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

… … … … ..

am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bn

Para determinar la solución de estas ecuaciones usaremos los métodos de eliminación,

sustitución, comparación (2 ó 3 variables), determinantes y de Gauss Jordan (matrices)

Ejemplo: x – y = 8

x + y = 2

sumando miembro a miembro 2x = 10


x = 5

y = -3

Ahora prueba tu capacidadResolver:

x + y = 3

x – y = 9

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…

…………………………………………………………………………………………………

…

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…

ECUACIONES NO LINEALES

1. Ecuaciones Cuadráticas o de 2do Grado

Forma: ax2 + bx + c = 0; a 0

Solución por el Método del Aspa simple

Para utilizar este método

Ejemplo: Factorizar Usando el Aspa Simple

x2 - 7x + 10 = 0 (x - 2)(x -5) = 0

x -5 = -5x (x - 2) = 0 ó (x - 5) = 0

x -2 = -2x x = 2 ó x = 5

-7x

Ahora prueba tu capacidadFactorizar usando el aspa simple: x2 – x – 6 = 0

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Solución por el Método de Completando Cuadrados


En este método se trata de convertir la expresión en una de la forma (x ± a)2 - b = 0.

Recordar: x2 + 2(a)x + a2 = (x + a)2

x2 - 2(a)x + a2 = (x - a)2

Ejemplo: x2 - 6x - 11 = 0

(x2 - 6x ) - 11 = 0

(x2 - 2(3)x ) - 11 = 0

(x2 - 2(3)x +32) - 32 - 11 = 0

(x – 3)2 – 9 – 11 = 0

(x - 3)2 = 20

x - 3 =

x = 3

x = 3 + ó x = 3 -

Ahora prueba tu capacidadResolver completando cuadrados: x2 + 4x – 7 = 0

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Solución por el Método de la Fórmula Cuadrática.

La ecuación de segundo grado puede tener una, dos o ninguna solución. Depende del valor de

la discriminante ( = b2 - 4ac), tal es el caso si:

> 0 Dos soluciones reales distintas.

= 0 Solución única

< 0 No hay solución real.

Dado: ax2 + bx + c = 0


Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación 2x2 + 3x -4 = 0

Aplicando la fórmula cuadrática tenemos:

ó

Ahora prueba tu capacidadResolver completando cuadrados: 3x2 + 11x + 5 = 0

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2. Ecuaciones Polinómicas

La resolución de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado a lo largo de

los años a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversas áreas de la ciencia y de

la tecnología, en las que este tipo de ecuaciones aparecen.

El objetivo de este Tema es que el alumno aprenda a trabajar los Polinomios y obtener sus

Ceros Racionales, Irracionales y Complejos, así como aprender a Factorizar cualquier

Polinomio expresándolo como el Producto de Factores Lineales y Cuadráticos.

Se considerará una Función Polinomial Entera de grado m que tiene la forma:

f(x) = amxm + am-1xm-1+am-2xm-2 + …+a2x2+a1x+a0

en la cual los Coeficientes Reales am, am-1, am-2, … a2, a1, a0 son Constantes, en donde am es el

Coeficiente Principal y a0 es el Coeficiente del término Independiente de x.

Los términos de la función están formados en orden descendiente de las Potencias de “x” y sé

estará analizando para f(x) = 0, ya que el Cero del Polinomio f(x) es la solución de la

ecuación entera.


Existen formulas para encontrar las soluciones de ecuaciones polinomiales de grado igual a 3

e igual a 4 pero su solución es muy laboriosa de obtener y no es muy practica, además en

tratados superiores de álgebra también sé ha demostrado que las ecuaciones de grado igual o

mayor que 5 no tienen solución Algebraica por este motivo se propondrá otro Método para

determinarlas.

Una forma muy útil para determinar los Ceros de un Polinomio f(x) es el Teorema del

Residuo, el cual vamos a introducir a continuación.

Si efectuamos la División Algebraica de un Polinomio: f(x) =3x3 - 4x2 -3x - 4

entre x -2 donde es un número Independiente de nos quedaría:

3x3 – 4x2 – 3x – 4 | x - 2 -3x3 + 6x2 3x2 + 2x + 1 2x2 – 3x -2x2 + 4x x – 4 -x + 2 -2

en donde el Cociente es 3x2 + 2x + 1 y el Residuo es -2

el Polinomio, entonces, se puede expresar como:

A continuación, si calculamos f(2) en el ejemplo anterior, (si recordamos f(2) se obtiene

sustituyendo 2 por x en la Función)

Podemos observar que el valor de f(2) es igual al valor del Residuo que se obtuvo en la

División Algebraica esto podría indicar que se trata de una coincidencia sin embargo si se

efectúa el mismo procedimiento con varias divisiones de f(x) entre distintos x - r se podría

comprobar que en todos los casos que f(r) es igual al residuo r lo cual constituye el

fundamento del Teorema del Residuo.

Teorema del Residuo: Si se Divide el Polinomio f(x) entre el Binomio x - r donde r es un

número real, el residuo es igual a f(r)

Teorema del Factor: “Si r es una raíz de f(x) = 0, entonces x - r es un factor de f(x)”

Tomando como base el Teorema del Residuo, se puede establecer el enunciado de este

Teorema que nos será muy útil para determinar los Factores de un Polinomio. Es importante

recordar que al efectuar una División Algebraica, si la División es Exacta el Residuo es igual a

Cero. Con lo anterior, se puede hacer notar la importancia de conocer el valor del Residuo, ya

que si este es igual a Cero, nos va a indicar que se tienen Factores, y que con ellos se pueden

determinar los Ceros del Polinomio.


Teorema Fundamental del Álgebra

* Toda Ecuación entera f(x) = 0, tiene por lo menos una raíz ( cero ) ya sea real ó Compleja

* Una Ecuación entera f(x) = 0 de Grado n tiene exactamente n raíces (ceros)

En consecuencia se recomienda al estudiante que si desea encontrar las raíces de una ecuación

polinómica utilice las divisiones sucesivas o el método de Ruffini.

Ejemplo: x5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 + 4x + 12 = 0

1 3 -5 -15 4 12

1 1 4 -1 -16 -12

1 4 -1 -16 -12 0

2 2 12 22 12

1 6 11 6 0

-1 -1 -5 -6

1 5 6 0

-2 -2 -6

1 3 0

-3 -3

1 0

por lo tanto (x – 1)(x – 2)(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0

de donde x = 1 ó x = 2 ó x = -1 ó x = -2 ó x = -3


Resolver:

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

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¡Hazlo Tú!

I. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones lineales:

1) 41 + x = 2(18 + x) 2) 2(25x - 18) = 41x


3) 18 - 2(x + 25) = x - 41 4) 2(x + 41) - 18 = x

5) 6)

7) 8)

II. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas por los métodos estudiados:

1) x2 + 8x + 6 = 0 2) 9x2 + 6x + 1 = 0

3) 5x2 - 4x + 1 = 0 4) x2 + 6x + 7 = 0

5) x2 – 10x + 5 = 0 6) 2x2 - 3x - 4 = 0

7) x2 - 9 = 0 8) 2x2 - 1 = 0

9) (x - 3)2 = -8 10) x2 - 4x = 0

11) x2 - 4x = 12 12) 12x2 - 17x + 6 = 0

13) x2 - x - 20 = 0 14) x2 - 8 = 0

15) x2 - 4x + 5 = 0 16) 9x2 + 6x = 1

III. Resuelva los siguientes problemas

1) Si dos zumos de naranja y tres cartones de leche cuestan S/. 34.00; y tres zumos de

naranja y dos cartones de leche, S/. 36.00. ¿Cuánto cuesta cada zumo y cada cartón?

2) Javier tiene 4 años más que su hermana Elena. Hace seis años Javier tenía el doble de

edad que entonces tenía Elena. Calcula la edad actual de cada uno.

3) Un tren sale de parís hacia roma con una velocidad uniforme de 130 km/h. Dos horas

después sale otro tren detrás de él pero con una velocidad uniforme de 195 km/h. ¿A

qué hora y a qué distancia de París dará alcance el segundo tren al primero?

IV. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones1) Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

4x + y = -3 x + 2y = 12

y – 3x = 11 x + 5y = 38

2) Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas:


3x + 5y = 11 3x + 4y = 9

4x – 5y = 38 5x + 2y = 15

3) Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

. x + y = 3 . x – 3y = 21

x – y = 9 2x + 5y = -35

4) Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. Dispone en total de 50 habitaciones y 87

camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

5) Varios amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 25 pesetas. Al abrir las

manos cuentan 8 monedas con un valor de 140 pesetas. ¿Cuántas monedas hay de cada

clase?

6) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1.

Halla dichos números.

7) El cociente de una división es 3 y el resto 5. Si el divisor disminuye en dos unidades, el

cociente aumenta en una unidad y el resto nuevo es 1. Halla el dividendo y el divisor.

8) Hay doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso ligeramente

mayor. Usando una balanza de platillos, y con sólo tres pesadas, encontrar la moneda

anómala.

9) Se dice que este problema le fue planteado a Einstein por un grupo de sus alumnos, y

que el padre de la teoría de la relatividad lo encontró realmente ingenioso.

Dos profesores pasean, charlando de sus respectivas familias.

- Por cierto- pregunta uno -, ¿de qué edad son tus tres hijas?

- El producto de sus edades es 36- contesta su colega -, y su suma, casualmente, es igual

al número de tu casa.

Tras pensar un poco, el que ha formulado la pregunta acota:

- Me falta un dato.


- Es verdad - concede el otro -.Me había olvidado de aclararte que la mayor toca el

piano.

¿Qué edades tienen las tres hijas del profesor?

10) La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añade 18, el número

resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Halla el número

primitivo.

11) En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla

el número de conejos y de gallinas.

12) Un padre dice a su hijo: “Hoy tu edad es 1/5 de la mía, y hace 7 años no era más que

1/9”. Halla las dos edades.


DESIGUALDAD

Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de los números reales que la hacen verdadera en contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución consta de un solo número el conjunto solución de una desigualdad consta de un intervalo completo de números o en algunos casos la unión de algunos casos la unión de varios intervalos.

INECUACIONES

Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas.

INTERVALOS: Si representamos la desigualdad a < b

x

a ba < x < b (a < x x < b)

a estos subconjuntos numéricos en R que están definidos mediante la propiedad de que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades, se les denomina intervalos. Los intervalos son sub conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica.

a) Intervalo Abierto:

b}xR/a{x b ;a a b

b) Intervalo Cerrado:

b}xR/a{x b] ;a[ a b

c) Intervalo Semi Abierto por la Izquierda:

b}xR/a{x b] ;a a b

d) Intervalo Semi Abierto por la Derecha:

b}xR/a{x b ;a[ a b


e) Intervalos Infinitos:

a}R/x{x ;a a

a}R/x{x ;a[ a

a}R/x{x a] ;- a

R}R/x{x ;-

Resolución de una InecuaciónEl resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación.

1. Inecuaciones de Primer Grado con una IncógnitaResolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad.

Ejemplos: Resolvera) 3 x – 2 < 1

Despejando3x – 2 < 1

3 x < 1 + 2

3 x < 3

x < 3 / 3

x < 1

C.S: x = <- , 1>

Representación gráfica:

b)

Despejando

> 4

x + 1 > 4 . 2

x + 1 > 8


x > 8 - 1

x > 7

Solución: S = <7 , + >


c) -2 x + 1 x – 3

Despejando - 2 x + 1 x - 3

- 2 x - x - 3 - 1

- 3 x - 4

x - 4 : (- 3)

x

Solución: S = [ , + >


Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?.

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 - 4 . x 415

- 4 x 415 - 875

- 4 x - 460


x

x 115

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0.Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo <0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:

Ahora prueba tu capacidadResolver: 2x-3 < = 4(x - 3)

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2. Inecuaciones de Segundo Grado con una Incógnita

Forma: ax2 + bx + c > 0 ó ax2+bx+c < 0; a,b,c R; a > 0

Consideremos el trinomio de 2do grado: ax2 + bx + c = 0; a > 0

I CASO: Si: = b2 - 4ac > 0

Entonces hay dos raíces diferentes r1 < r2 que anulan el trinomio ax2 + bx + c = 0

II CASO: Si: = b2 - 4ac = 0

Entonces hay un sólo valor real r1 = r2 = r que anulan el trinomio ax2 + bx + c = 0

III CASO: Si = b2 - 4ac < 0

Entonces se tiene dos valores no reales r1 = +i r2 = -i que anulan el trinomio

ax2+bx+c=0


Ejemplo: 2x2 + 5x -3 < 0

Ahora prueba tu capacidadResolver: x2 - 8x +5 < 0

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Ejemplo: 4x2 + 20x + 24 < 0


Ahora prueba tu capacidadResolver: 2x2 + 5x -7 > 0

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3. INECUACIONES POLINOMICAS

Forma: P(x) = anxn + ... + a1x + a0 > 0 ó P(x) = anxn + ... + a1x + a0 < 0;

donde a0, a1, ... an son constantes y a 0

Una inecuación polinómica de la forma P(x) > 0 ó P(x) < 0 se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raices de la ecuación polinómica P(x) = 0 consideando an > 0.

Para eso hallaremos primero las raices del polinomio P(x)=anxn+ ...+a1x+a0=0 y cómo éste

polinomio es de grado n entonces tiene n raices, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.

1er Caso: Cuando las raices de la ecuación polinómica P(x)=0, son reales diferentes: Es decir r1<r2<r3<...rn-1<rn

a) En los intervalos consecutivos determinados por las raices del polinomio P(x) = 0, se alternan los signos «+» y «-» reemplazando por asignar el signo (+) al intervalo <rn, +>

rnrn-1

+ +- -

+

rn-2rn-3

b) Si la ecuación polinómica es de la forma P(x) = anxn+...+a1x + a0>0; an > 0; el

conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo (+).

c) Si la ecuación polinómica es de la forma P(x) = anxn+...+a1x+a0< 0; an > 0; el

conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo (-).

2do Caso: Si alguna de las raices del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:


a) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raices del polinomio P(x) = 0 es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los intervalos y para dar solución se sigue el mismo proceso del 1er caso.

b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raices del polinomio P(x) = 0, es impar en este caso a la raíz se considera para la determinación delos intervalos y para dar solución se sigue el mismo proceso del 1er caso.

3er Caso: Cuando alguna de las raices del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas raices no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.

4. INECUACIONES FRACCIONARIAS

Forma: ó ; Q(x) 0

Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuanta que las inecuaciones

ó , son equivalentes a las inecuaciones: P(x).Q(x) > 0 ó P(x).Q(x) < 0

Es decir: Si Q(x) 0 Q2(x) > 0, de donde se tiene:

*

*

¡Hazlo Tú!

I. Resolver las siguientes inecuaciones lineales:

2 x - 3 < 4 - 2 x 5 + 3 x 4 - x

4 - 2 t > t - 5 x + 8 3 x + 1

5 + 3x < 11 3 - 2x 7

2 > 3 x

3 x - 12 3( 4 - x ) > 18 x + 5


x - > 0

2x - 11 5x + 6 5x + 7 > 31 - 3x

3(2x - 1) > 4 + 5(x - 1) 5x - 7 3x + 1 6x – 11

-1 < -3 - 3x < 2 2x - 3 < 1 + x < 3x – 1

3x - 5 < 1 + x < 2x – 3 3x + 7 > 5 - 2x 13 - 6x

1,2(2x - 3) 2,3(x-1) 2(1,5x-2,1)+1,72(2,4x-2,5)

II. Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas:

2x2 - 6x + 3 < 0 -4x2 + 4x + 3 > 0

x2 + 2x + 1 > 0 3x2 - 8x + 11 > 4 (x-1)

x2 - x - 6 > 0 x2 + 13 < 6x

9x2 < 16 1 - 2x - 3x2 > 0

(x+2)(x-3) < 2 – x 9x > x2 + 14

2x2 + 6x - 9 < 0 4x2 + 9x + 9 < 0

-4x2 - 8 < -12x 3x2 - 10 x + 3 < 0

3x2 - 11x + 6 < 0 x2 - x > 0

x2 > 2 – x 5x2 - 14x + 9 < 0

x2 < 4 x2 - 6x + 9 > 0

9x2 + 54x > -76 4x2 - 4x + 7 > 0

x2 - 2x - 2 > 0 x(3x + 2) < (x + 2)2

III. Resolver las siguientes inecuaciones polinómicas:

x5 + 3x4 - 5x3 - 15x2 + 4x + 12 > 0 2x3 - 3x2 - 11x + 6 < 0

x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8>0 x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 < 0

x4 + 2x3 - x2 + 4x - 6 < 0 x5 - 6x4 - x3+ 29x2 + 8x - 15 < 0

x5 + 8x4 + 12 x3 - x2 - 8x - 12 > 0 (x3 - 5x2 + 7x - 3)(2 - x) > 0

(x2+6x-1)(x3-2x2-2x+4)(x+5)5 > 0 (6x+3)2(x2-1)3(3x-5)7< 0

IV. Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias:


VALOR ABSOLUTO EN LOS REALES

Definición 1: Llamaremos valor absoluto del número real a, denotado por | a |, al número:

a si a 0 | a | = - a si a < 0

Podemos apreciar que el número “a” y su inverso aditivo “-a” están a igual distancia del cero.

Teoremas: 1. | a | 0

2. | a | = 0 a = 0

3. | a | = | -a |

4. | a .b| = | a | . | b |

5.6.7. - | a | a | a |

8. Si b > 0, | a | b -b a b

9. Si b > 0, | a | b a b a -b

10. | a + b| | a | + | b |

ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

1. Ecuaciones con valor absoluto de la forma : │ax + b│= c

Al inicio de la sesión de clase se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│. Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3. Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c.

Ejemplos:

1. . Solución : x = o x = -

2. . Solución x = 2 o x= - 2.

3. . Solución: x = 0

4. . No hay solución posible. No existen valores absolutos negativos.


5. . Solución: ó ó

ó .

Ahora prueba tu capacidadResolver: | 3x - 4│ = 5

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¡Hazlo Tú! Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1) 2) 3)

4) │x + 2│ = │x - 7│ 5) │2x + 1│ + 3 = 8 6) │3x - 1│+ 2 = 5

7) │x - 6│ = │5x + 8│ 8) │3x - 4│= 23

2. Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c

Son expresiones que se desarrollando aplicando las propiedades del valor absoluto. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación.

Ejemplos:

1. . Esta expresión es equivalente a: -5 < x < 5. O sea que el conjunto solución es el

intervalo abierto .

2. . Esta expresión o condición es equivalente a . .

C.S. x .

3. . Esta expresión es equivalente a x <- 5 o x > 5. El conjunto solución es la unión

de dos intervalos disjuntos: .

4. . Esta expresión es equivalente a: ó


ó .

C.S. x

5. . Esta expresión es equivalente a: ó ó

ó .

El conjunto solución es el conjunto U .

6. o ,etc. , no tienen solución o su solución es el conjunto vacío (Ø) ya que el valor absoluto de toda expresión es siempre no – negativo (no puede ser negativo).

Tenga en cuenta que los ejercicios en los que aparecen los símbolos < o > implican conjuntos solución con intervalos abiertos.Los ejercicios con o implican conjuntos solución con intervalos cerrados.Nota: Infinito, denotado por , o menos infinito denotado por - , no es un número si no un concepto, por ello los intervalos siempre estarán abiertos en y - .

Ahora prueba tu capacidadResolver: | 2x - 9│ > 11

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¡Hazlo Tú! Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1) │x│< 3 2) │x + 5│ ≤ 10 3) │3x - 2│≤ 8

4) │2(x – 1) + 4│ < 8 5) │x│≤ 5 6) │x - 6│ < 15

7) │2 + 3(x – 1)│< 20 8) │x│≥ 3 9) │x - 4│> 5

10) │2x - 3│> 5 11) │x│> 5 12) │x + 6│> 2

13) │-5x - 2│>13 14) >-6 15) <2

16) ≤ 9 17) ≤ -12 18)


¡Extensión del Aprendizaje! Resuelve cada una de los siguientes problemas:01. (Inversiones) Un hombre invierte el doble de la cantidad que destina a un 8 % al 5 %. Su

ingreso total anual por las dos inversiones es de S/ 840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

02. (Inversiones) Un colegio destina $ 60 000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $ 5 000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8 % y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5 %. ¿Cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?

03. (Inversiones) Los miembros de una fundación desean invertir $ 18 000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 % y 6 %, respectivamente. Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que producirá al 8 % la inversión total?

04. (Utilidades de Productor) Le cuesta a un fabricante $ 2000 comprar las herramientas a fin de producir cierto artículo domestico. SI tiene un costo de 60 c por el material y la mano de obra de cada artículo producido y si el fabricante puede vender todo lo que produce a 90 c cada uno. Determine cuántos artículos debería producir con objeto de obtener utilidades por $ 1000.

05. (Utilidades de una revista) El costo de producir cada ejemplar de una revista semanal es de 28 c. El ingreso del distribuidor es de 24 c por copia y por lo que respecta a la publicidad es del 20 % de los ingresos que sobrepasan las 3000 copias. Cuántas copias deben publicarse y venderse cada semana a fin de recoger utilidades semanales por $ 1000?.

06. (Venta de automóviles) Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $ 2 900. Vende uno con una ganancia del 10 % y el otro perdiendo el 5 % y aún obtuvo una ganancia de $ 185 por la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil.

07. (Problema de descuento porcentual) Un comerciante ofrece un 30% de descuento al precio marcado de un artículo y aún obtiene una utilidad de un 10 %. Si le cuesta $ 35 al comerciante, ¿cuál debe ser el precio marcado?

08. (Problema de costo) Un comerciante vende un reloj en $ 75. Su utilidad porcentual fue igual al precio de costo en dólares. Encuentre el precio de costo del reloj.

09. (Interés compuesto) Por cada $ 100 que invierte en préstamos comerciales de seguros, un banco recibe $ 116.64 después de 2 años. Esta cantidad representa el capital y los intereses compuestos anualmente. ¿Cuál es la tasa de interés?

10. (Interés compuesto) En dos años, compañía XYZ requerirá retirar $ 1102500 de alguno de sus bonos. ¿A qué tasa de interés compuesto anual debería invertir $ 1000000 en un periodo de dos años para recibir la cantidad requerida para retirar de los bonos?

11. (Determinación del precio de alquiler de apartamentos) Bienes raíces reales construyó una nueva unidad habitacional con 60 apartamentos. Sabe por experiencia que si fija un alquiler mensual de $ 150 por apartamento, todos ellos serán ocupados, pero por cada $ 3 de


incremento en el alquiler, un apartamento quedará vacante. ¿Qué alquiler deberá fijar con el objeto de obtener los mismos $ 9 000 de ingresos total que recaudaría con un alquiler de $ 150 y al mismo tiempo dejar algunos apartamentos vacíos?

12. (Determinación del precio de alquiler de apartamentos) En el ejercicio anterior, el mantenimiento, servicio y otros costos del edificio ascienden a $ 5000 al mes, más $ 50 por apartamento ocupado y $ 20 por los vacantes. Qué alquiler debería fijarse si la utilidad debe ser de $ 1225 al mes?.

13. (Decisiones sobre fijación de precios) Si un editor fija el precio de un libro en $ 20, deberán venderse 20 000 copias. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas caerán en 500 ejemplares. ¿Cuál debería ser el costo del libro con el fin de generar ingresos totales por ventas de $ 425 000?

14. (Mezcla) La sustancia A contiene 5 miligramos de niacina por onza, y la sustancia B 2 miligramos también de niacina, por onza. ¿En qué proporción deben mezclarse A y B para obtener una mezcla que tenga 4 miligramos de niacina por onza?

15. (Decisión de producción) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $ 30 cada una. Tiene costos fijos de $ 12 000 al mes; y además, le cuesta $ 22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?

16. (Utilidades del fabricante) Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $ 150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $ 15 000 y costos por unidad de $ 100 en materiales y mano de obra. Determine el número de aparatos de alta fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades semanales de $ 1000.

17. (Decisiones de fabricación) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 2.50 cada unidad. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $ 1 500 al mes, pero sólo le costará $ 1.70 fabricar cada correa. ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?

18. (Decisiones sobre contratación de maquiladores) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $ 2.75. Por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una máquina empacadora. Su instalación incrementará los costos fijos de la empresa a $ 2000 al mes y los costos mismos de empaquetamiento en $ 1.50 por unidad. ¿Cuántas unidades tendría que producir al mes para que la instalación de la máquina empacadora fuera rentable?

19. (Publicación de revistas). El costo de publicación de cada ejemplar de la revista semanal Compre y venda es de 35 c. Los ingresos por ventas de distribución son de 30 c por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 2000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $ 1000?


20. (Publicación de revistas) El editor de una revista mensual tiene costos de edición de 60.5 c por ejemplar. El ingreso por ventas de distribución es de 70 c por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 15% sobre obtenidos por ventas más allá de los 20 000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender al mes para asegurarse utilidades que sobrepasen los $4000?

21. (Ingresos del fabricante) Al precio de p por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado, con p = 600 – 5x. ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $ 18 000?

22. (Ingresos del fabricante) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p = 200 – x. ¿Qué número de unidades deberá venderse a la semana para obtener ingresos mínimos por $ 9900?

23. (Decisiones de Producción) En el ejercicio 21, si cuesta (8000 + 75x) dólares producir x unidades, ¿cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con objeto de obtener una utilidad de al menos $ 5500?

24. (Utilidades) Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $ 25 cada una. El costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por C = 3000 + 20x – 0.1x2. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad?

25. (Ingresos del editor) Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $ 25 cada uno. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr ingresos por lo menos de $ 300 000?

26. (Agricultura) Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 m de cerca

disponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 2100 metros cuadrados.

27. (Conservación) En cierto estanque se crían peces. Si se introducen n de ellos allí, se sabe que la ganancia de peso promedio de cada pez es de (600 – 3n) gramos. Determine las restricciones de n si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28 800 gramos.

28. (Inversiones) Un accionista invierte $ 100 a un interés anual de R por ciento y otros $ 100 al 2R por ciento anual. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $ 224.80 después de 2 años. ¿Qué restricciones deben establecerse sobre R?

29. (Política de fijación de precios) Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra, venderá x libras, con x = 1000 – 20p. ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de $ 120?

30. (Decisiones sobre fijación de precios) Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $ 4 por corte. Por cada incremento de 50 c en el precio, el peluquero


pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $ 520?


BIBLIOGRAFÍA.

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ecuaciones 2008 i (a. aquino)

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