ecuac. diferenciales mat.iii

7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii

http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 1/89

F A C U LTA D D E I N GEN I E R Í A

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

MODULO DE

MATEMATICA IIIEXPERIENCIA LABORAL

Presentado por:Escuela de Ingeniería Civil

Facultad de Ingeniería - UCVDeano de !a Fa"!tad de In#en$er%a&

Ing. Ricardo Delgado Arana

D$retor de !a Es"e!a de In#en$er%a C$'$!&

Ing. Ricardo Delgado Arana.

Doente de! C"rso&

Lic. Wilfredo Agustín Robles

NOVIEMBRE ()*+

1



PRESENTACI,N

La elaboración de este modulo se ha realizado teniendo en cuenta que va dirigido

a estudiantes que cuentan con experiencia laboral en el área de ingeniería y que

se suman a la carrera de ingeniería civil.

Aprovecharemos los conocimientos previos que trae el alumno para encaminarlo

en el aprendizaje de la asignatura MA!MA"#A """$ cuyo contenido se basa

esencialmente en las ecuaciones di%erenciales y sus aplicaciones. !s requisito

indispensable para el aprendizaje de este curso que el estudiante est&

%amiliarizado con el cálculo integral.

#on mucha %recuencia en %ísica como en ingeniería se utilizan modelos de

%enómenos reales dinámicos que involucran ecuaciones di%erenciales' para

resolver problemas de velocidad$ aceleración$ de%lexión de vigas y columnas$

circuitos el&ctricos$ vibraciones mecánicas entre otras aplicaciones matemáticas.

(or ejemplodP

dt =kP es una ecuación di%erencial que se utiliza en estudios de

crecimiento poblacional.

2



!n la ecuación di%erencialdy

dt =−k √ y )ley de orricelli*$ la variable dependiente

y denota la pro%undidad del agua en un tanque que se drena lentamente por un

agujero peque+o en su base.

La ecuación de la curva elástica de una viga está muy ligada a la solución de la

ecuación di%erencial

M = EI d

2 y

d x2 $

,onde ! es el modulo de elasticidad de la viga e I es el momento de inercia.

Lo anteriormente expresado nos induce a estudiar los diversos m&todos que

existen para resolver ecuaciones di%erenciales.

3



FACULTAD DE INGENIERÍA

SILABO: MATEMÁTICA III

I DATOS GENERALES

- !scuela (ro%esional "ngeniería #ivil

/ Modulo de !studios """

0 1rea #urricular 2ormación (ro%esional.

3 #ódigo del #urso

4 #r&ditos 53

6 7oras 8emanales -3 horas eórico9práctico.

: 8emestre Acad&mico /5-4; ""

< ,uración del #urso 53 8emanas.

= 2echa de "nicio /< de >oviembre /5-4

-5 2echa de &rmino ,iciembre /5-6.

-- ,ocente Mat. ?il%redo Agustín @obles

4



-/ #orreos !lectrónicos tinB=3Chotmail.com

II FUNDAMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA

La siguiente asignatura tiene como propósito %undamental construir las bases

cognitivas de la matemática superior$ poniendo &n%asis en la construcción de

Modelos Matemáticos$ asumiendo una actitud permanente de investigación$ y

creatividad.

!l curso está plani%icado en el desarrollo de temas secuencialmente

articulados de manera %ácil y didáctica$ donde se desarrollaran temas de

ecuaciones di%erenciales ordinarias de primer orden$ orden superior y sus

aplicaciones.

!n la cuarta semana$ re%orzaremos los aprendizajes matemáticos de los

diversos temas tratados en clase con ayuda de un programa matemático.

III COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA

#lasi%ica la ecuaciones di%erenciales segDn el tipo$ "denti%icando su orden y

grado. Etiliza las ecuaciones como modelos Matemáticos para expresar

situaciones reales como crecimientos poblacionales$ curva de elasticidad de

una viga$ %amilias de trayectorias ortogonales' reconociendo el valor de la

Matemática como herramienta para entender la realidad.

5



@esuelve ecuaciones di%erenciales haciendo uso de m&todos y del %actor

integrante$ valorando el análisis matemático como instrumento de cálculo e

interpretación de la realidad.

@esuelve$ aplica e interpreta el conocimiento de los principales m&todos de

solución de las ecuaciones di%erenciales demostrando orden precisión y

%lexibilidad en el tratamiento de los datos.

IV PROGRAMACIÓN ACADÉMICA

Capacidades:

• #omprende e interpreta el concepto de ecuación di%erencial.

• @esuelve ecuaciones di%erenciales segDn su clasi%icación.

• Etiliza procedimientos analíticos y experimentales para modelar

diversas situaciones reales.

• "nterpreta adecuadamente la solución de una ecuación di%erencial.

• Aplica los criterios para resolver ecuaciones di%erenciales de primer

orden en la bDsqueda de solución de las ecuaciones de orden

superior.

Actitudes:

• Falora a las ecuaciones di%erenciales como instrumento de cálculo e

interpretación de la realidad.

• @econoce el valor de la Matemática como una herramienta para

modelar la realidad.

Coteidos:

6



8em #ontenidos rabajos

(rácticos

M&todos y

materiales

!

9 (resentación del curso.9 (rueba de saberes previos.

9@e%orzamiento de m&todos de

integración.

9 "ntroducción a las ecuaciones

di%erenciales. ,e%inición.

98olución de una ecuación

di%erencial.

9 ecuaciones di%erenciales de

variables separables.

9(ractica.

"nducción deltema a trav&s

de una

situación real.

!valuación"ndividual y

grupal$

preguntas de

razonamiento.

/

9 !cuación di%erencial

homog&nea y reducible a

homog&neas.

9!cuación di%erencial !xacta.

9 ecuación di%erencial no exacta.

92actor de integración.

9!cuación di%erencial lineal de

primer orden.

9 practica.

"nducción al

tema$

ejemplos

tipos.

!valuación

%ormativa.

7



9primer examen parcial.

0

9!cuación de Gernoulli.

9!cuación de @icatti9!cuación de primer orden y

segundo grado.

9!cuación de #lairaut

9!cuaciones de orden superior y

primer grado.

9practica.

"nducción al

tema$ejemplos.

ejemplos

tipos

!valuación

"ndividual ygrupal$

preguntas de

razonamiento.

3

9Algunas aplicaciones de las

ecuaciones di%erenciales.

9rayectorias Hrtogonales.

9#recimiento y decrecimiento o

desintegración

9Figas horizontales.

9(ractica.

9!xposición de trabajos.

98egunda práctica cali%icada.

@esolución

de ejemplos

tipos$ y

(ractica.

!valuación

%ormativa.

PORCENTA"E DE EVALUACIÓN

8e dará &n%asis en dos aspectos (E>EAL",A, y #ELE@A AMG"!>AL.

Los indicadores se dan a continuación

8



EVALUACIÓN PESO DE LA

EVALUACIÓN

PUNTA"E

A8"8!>#"A )diaria* /5I 3 (untos@AGAJH /5I 3 (untos

">!@F!>#"H>!8 !>

#LA8! )acumulativa*

-5I / (untos

(@A#"#A8 #AL"2"#A,A8

)- por semana*

/5I 3 (untos

!KAM!> ">,"F",EAL )/

exámenes*

05I 6 (untos

TOTAL -55I /5 (untos

REFERENCIAS #I#LIOGR$FICAS:

-. Apóstol . M. Análisis Matemático.

Addison ?esley. Mass.-=<5

/. Ayres 2. !cuaciones di%erenciales.

Mc. ra 7ill. M&xico. -=<4

0. Gecerril !spinoza$ J. !cuaciones di%erenciales. Aplicaciones.

Eniversidad Autónoma Metropolitana9

M&xico

3. G5yce ,i(rima. !cuaciones di%erenciales

L"musa. M&xico. -==5

4. iseliov$ rasnov$ MaNarenco. (roblemas de !cuaciones ,i%erenciales.

Mir. MoscD -==5

9



6. ómez O. J. !cuaciones di%erenciales .-=<4

LINKOGRAFÍA

www.juntadeandalicia.es/averroes/iesarroyo/matematicas

7materiales72bach/naturaleza/2bachnaturaleza.htm

www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.html

www.libreria.universia.edu.pe/publicacion/ calculo -diferencial

www.wikipedia.org/wiki/ !lculo " diferencia

INDICE

#aratulaPPPPPP PPPPPPP...PPPPPPPPPPPPPPP.-

(resentaciónPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP../

8ilaboPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP..P0

!cuaciones ,i%erenciales PPPPPPPPPPPPPPPPPPPP.P.--

!cuaciones ,i%erenciales ordinarias de primer ordenPPPPPPPP.P.-3

!cuaciones de Fariables 8eparablesPPPPPPPPPPPPPP..PP-4

!cuaciones ,i%erenciales homogeneas.PPPPPPPPPPPPP.........-=

!cuaciones ,i%erenciales !xactasPPPPPPPPPPPPPP..PP.P./3

!cuaciones ,i%erenciales >o exactas.PPPPPPPP..PPPPP.P.....05

10

http://www.juntadeandalicia.es/averroes/iesarroyo/matematicas7materiales72bach/naturaleza/2bachnaturaleza.htm


http://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.html


http://www.libreria.universia.edu.pe/publicacion/calculo-diferencial


http://www.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencia





http://www.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencia





!cuaciones ,i%erenciales Lineales y reducibles a linealesPPPPPPP..04

!cuación ,i%erencial de GernoulliPPPPPPP..PPP.PPPPP..P...35

!cuaciones ,i%erenciales de primer orden y segundo grado.......................33

!cuación de orden superior y primer gradoPPPPPPPPPPPPPP43

Algunas AplicacionesPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP.PP65

11



ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuaci% Di&e'ecia(.9 !s una relación de igualdad ligada entre variables y sus

derivadas o di%erenciales.

E)e*p(os.

-. x dydx

+2 y2=0

/.

y¿ y¿¿¿¿

0.d

2 y

dx2 +2 y

3+ xy=0

3. ( x+2 y ) y ' = x−3 y ; para y=1,cuando x=1.

4.∂2 z

∂ x2+ ysenx= x

2 y .

6.d

3 x

dt 3 +5

dx

dt + x=0

:. (t 2− x

2) dt +4 txdx=0

<. ∂ w∂ y = yt

ambi&n se emplea la notación %uncional para representar una ecuación

di%erencial$ en general$ por ejemplo f ( x , y , y' , y

' ' )=0 que representa a

12



una ecuación di%erencial que tiene en el primer miembro la variable

independiente x , la variable dependiente y $ así como tambi&n las derivadas

primera y segunda.

O'de de una ecuación di%erencial.9 esta dado por la máxima derivada que

posee.

E)e*p(os

• las ecuaciones )-* $ )3* $):* y )<* son de primer orden )orden uno*• Las ecuaciones )/*$ )0* y )4* son de segundo )orden orden dos*• La ecuación )6* es de tercer orden )orden tres*

G'ado de una ecuación di%erencial.9esta dado por el entero positivo que$ como

potencia$ a%ecta a la máxima derivada )derivada de mayor orden*. !jemplos

• Las ecuaciones )-*$ )0*$)3* $ )4*$ )6*$ ):* y )<* son de grado uno.• La ecuación )/* es de grado tres.

So(uci% de una ecuación di%erencial. !sta dada por la relación entre variables

que satis%acen la ecuación di%erencial. (or ejemplo

x2− xy= A $ es solución de la ecuación di%erencial x y

' =2 x− y .

ipos de soluciones

13



So(uci% +ee'a(.9 posee tantas constantes arbitrarias como lo indica el orden

de la ecuación di%erencial.

So(uci% Pa'ticu(a' .9 se caracteriza porque las constantes adquieren valores

%ijos que se obtienen de las condiciones de contorno )%rontera* que se

establece en la ecuación di%erencial.

(or ejemplo

• La ecuación y

' ¿2

y y' =¿ tiene como solución general a la expresión

lny+B= Ax

• La ecuación di%erencial y (2 x2+ x+1 ) dx+ x ( x2+ x+lnx ) dy=0, para las

condiciones de contorno yQ-$ cuando x=1 ; tiene solución particular

y ( x2+ x+lnx )=2 $ ya que las condiciones impuestas obligan a la constante

a adquirir el valor %ijo /.

E)e'cicios,

7allar la solución general por integración$ encontrar despu&s las soluciones

particulares que satis%agan las condiciones iniciales establecidas

14



- y' =3 x+1, y (0 )=1

/ y' = x e

− x, y (0 )=0

0 dy=

dx

x2

−1

, y (2 )=0

3dy

y =dx, y (0 )=¿ /

4 y' =0.5 sen (3 t ) , y ( )=−1

6 y' ' =12 x

3, y (0 )=0, y

' (0 )=1

: dy=

dx

x ( x2−4 ), y (1 )=0

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE DE PRIMER

ORDEN,

It'oducci%.

Ena ecuación di%erencial de primer orden y primer grado es de la %orma

dy

dx=f ( x , y) .

!mpleando di%erenciales será de la %orma

M ( x , y )dx+ ! ( x , y ) dy=0 .

15



H simplemente

Mdx+ !dy=0 $

8iendo M = M ( x , y ) y ! = ! ( x , y) o constantes.

La solución de este tipo de ecuación tendrá una sola constante arbitraria$

pudiendo estar en %orma explícita

y= " ( x , c) $ o en %orma implícita " ( x , y , c )=0 .

!l m&todo a seguir para encontrar la solución general depende de la %orma

individual que tenga cada ecuación di%erencial.

ECUACIONES DE VARIA#LES SEPARA#LES.

Ena ecuación di%erencial de primer orden y primer grado es del tipo variable

separables$ cuando es posible escribirla en la %orma

# ( x ) dx+ " ( y ) dy=0

!n cuyo caso diremos que se ha logrado la separación de las variables.

16



La solución general puede obtenerse inmediatamente integrando t&rmino a

t&rmino

∫ # ( x ) dx+∫ " ( y ) dy=$

8iendo # la constante arbitraria de integración$ que puede tomar la %orma de

cualquier %unción de #$ como $ 2

,arc%ta&$,etc . #on el objeto de poder expresar

la solución general en %orma más sencilla.

E)e*p(o, @esolverdy

dx=

3 x+ x y2

y+ x2 y

So(uci%.

7aciendo operaciones algebraicas$ tenemos

dy

dx=

x (3+ y2)

y (1+ x2)

Hbservamos que la ecuación es de variables separables$ obteniendo

ydy

y2+3

= xdx

x2+1 ⟹ "ntegrando

1

2 ln ( y2+3)=1

2 ln ( x2+3 )+$

17



Oue puede tomar la %orma y2+3=$ ( x2+1)

E)e*p(o, @esolver

y' =

x+ x y2

4 y

So(uci%

!scribiendo en la %orma Mdx+ !dy=0 $ 8e tiene

x+ xy(¿¿ 2)dx−4 ydy=0

¿ H

1+ y(¿¿ 2)dx−4 ydy=0

x¿

,ividiendo e integrando ∫ xdx−∫ 4 ydy

1+ y2=∫ 0

x

2

2 −2 ln (1+ y

2 )=$

8olución general que puede tener la %orma 4 ln (1+ y2 )= x

2−$

E)e*p(o, @esolver sen2 ydx+cos2 xdy=0

So(uci%.

,ividiendo por sen2 y %cos

2 x $ 8e tiene

dx

cos2 x+

dy

sen2 y=0

18



5 tambi&n sec2 xdx+csec

2 ydy=0

"ntegrando ∫ sec2 xdx+∫csec

2 ydy=0

t&x−ct&y=$ $ que es solución general.

E)e'cicios, @esolver.

-. 1+ y+( x−1 ) y ' =0

/.dy

dx−2 xy √ y−1=0

0.dy

dx−sen ( x+ y )=sen( x− y)

3.

x+ y+cos ( x− y )dy

dx−2cosx=cos¿

4. y (2 x2+ x+1)dx+ x ( x2+ x+lnx )dy=0, para y=1,cuando x=1

6. (1−cosx ) dy

dx+coty=0

:.dy

dx+

ylny

secx−1=0

<.dy

dx e

− x=(1+ x ) (1+ y2) ; para x=0,cuando y=0

=. ( yx− y ) dy−( y+1) dx=0

-5. y' + y

2− y=0

19



--. e y

cosx+cosx+(e y

senx+e y ) y ' =0

-/. 1+e− x

y' =0

-0. ydx+( x3 y

2+ x3 ) dy=0

-3. x3

e2 x

2+3 y2

dx− y3

e− x

2−2 y2

dy=0

-4. 2 z (3 z+1 ) dw+ (1−2w ) dz=0

ECUACIONES DIFERENCIALES -OMOGENEAS.

Ena %unción es homog&nea de grado RnS si cumple la siguiente condición

# (tx,ty )=t n # ( x , y ) , donde t esun par ()etro cual*uiera%

E)e*p(os:

20



-. # ( x , y )= x2+ y

2

x+ y $ es homog&nea de grado -.

/.

x

y /¿¿

sen¿ # ( x , y )=¿

$ es homog&nea de grado 5.

0. # ( x , y )= xtan( y / x ) $ es homog&nea de grado -.

3. # ( x , y )=2 x

3 y

3

x− y $ es homog&nea de grado /.

4. # ( x , y )= ytan( y / x2) $ no es homog&nea.

ECUACION DIFERENCIAL -OMOGENEA

La ecuación di%erencial Mdx+ !dy=0 $ es homog&nea en x e y $ si tanto

M como ! son %unciones homog&neas en x e y $ y del mismo grado.

#ualquiera de las sustituciones

y=vx ; dy=vdx+ xdv . H bien

x=vy ' dx=vdy+ ydv

21



La trans%ormarán en una ecuación de variables separables en v i x $ o bien

en v e y $ respectivamente segDn la sustitución escogida.

E)e*p(o. @esolver

x

(¿¿2+ y2)dx− xydy=0

¿

So(uci%,

!sta ecuación es homog&nea y de segundo grado.

(or la sustitución y=vx se reduce esta ecuación a variables separables

x

(¿¿2+v2 x

2)dx−v x2 ( vdx+ xdv )=0

¿.

,ividiendo entre x2

y separando variables

dx

x −vdv=0 $ integrando se tiene lnx−

v2

2 =ln$ $ o

x

c=e

v2 /2

$ reemplazando v= y

x $ su obtiene la solución general

22



x=c % e y

2 /2 x2

.

E)e'cicios,. @esolver.

-. x dy

dx− y+√ y2− x

2=0

/. ( x e

y

x + y )dx− xdy=0

0.dy

dx=

y

x +t&

y

x

3. y ( x2

+ xy−2 y

2

) dx+ x (3 y

2

− xy− x

2

) dy=0

4. (6 x2−7 y

2 ) dx−14 xydy=0

6. ) 3 x+2 y ¿dx+2 xdy=0

:. ( x+ ysen y

x )dx− xsen y

x dy=0

<. x y2

dy−( x3+ y3 ) dx=0

=.

x

(¿¿ 2− xy )dy+ y2

dx=0¿

-5. ( x2 y+2 y

3 ) dx−(2 x3−3 x y

2 ) dy=0

--. ( x2+ y2)dx= xydy

-/. xy ¿

1

2

x y' + y=2¿

-0. )

x

y

+ y

x

¿ dy+dx=0

23



NOTA. Algunas ecuaciones no homog&neas$ mediante arreglos$ podrían

suponerse que son homog&neas resultando una ecuación de variables

separables. (asos a seguir

-. !n la ecuación dada reemplazar x en lugar de dx e y en lugar de

dy %

/. 8impli%icar los t&rminos$ sin eliminar ninguna letra.

0. (ara obtener el grado de un t&rmino$ multiplíquese por n el exponente

de la variable y i sDmese con el exponente de x .

3. #omo se desea que todos los t&rminos sean del mismo grado$ se igualan

entre si estas expresiones en n $ para %ormar ecuaciones$ de donde se

despeja el valor de n %

4. 8i de este conjunto de ecuaciones se obtiene más de un valor de n

quiere decir que la ecuación no cae dentro de este tipo.

6. 8i solamente se obtiene un valor para n $ (a ecuaci% se pod'/

t'as&o'*a' e ot'a de 0a'ia1(es sepa'a1(es po' *edio de (a

sustituci% y=v % xn

24



Nota, n puede tomar valores negativos$ positivos$ enteros o %raccionarios.

E)e*p(o. @esolver ( x y2−3 y ) dx− xdy=0

So(uci%

@eemplazando x pordx e y por dy , resulta x2 y

2−3 xy− xy=0 $

simpli%icando

x2 y

2−4 xy=0 ⟹ 2n+2=n+1 ⟹ n=−1 .

7aciendo y=v % x−1

2 dy=−v x−2

dx+ x−1

dv

@eemplazando estos valores en la ecuación dada$ multiplicando y separando

variables

dx

x −

dv

v(v−2)=0 $ cuya solución es v (1−c x

2)=2

@eemplazando el valor de v= xy , se tiene xy (1−c x2 )=2

E)e*p(o. @esolver (1− x y2 ) dx−2 x

2 ydy=0

25



So(uci%:

@eemplazando x pordx e y por dy , resulta 2n+2=1

⟹ n=−1

2 $ haciendo y=v % x−1

2 2 dy=−1

2 v x

−3

2 dx+ x−1

2 dv

@eemplazando estos valores en la ecuación dada$ simpli%icando y separando

variables

dx

x −2 vdv=0 ⟹ lnx−v

2=c $ remplazando v= y % x1

2 se tiene la

solución general x y2=lnx+c

E)e'cicios. @esolver

-. x2 (1− xy ) dy+(1+ xy− x

2 y

2 ) dx=0

/.

2 y

(¿¿ 2−3 x )dx+2 xydy=0¿

0.

y

(¿¿2−3 x2 y )dx+ x

3dy=0

¿

26



3.

xy

2(¿¿ 2+1)dy+ y3

dx=0¿

4. (1− x2 y ) dy+2 x y

2dx=0

6. y (3− xy ) dx+ x(2− xy )dy

:.

x

(¿¿ 2 y+ x)dy+( x y2− y)dx

¿

ECUACION DIFERENCIAL E3ACTA.

Di&e'ecia(es E4actas.

8iendo la %unción implícita + ( x , y )=0 $ la di%erencial total de E es

d+ =∂+

∂ x dx+

∂ +

∂ y dy

La ecuación di%erencial exacta es∂+

∂ x dx+

∂+

∂ y dy=0

E)e*p(o,

7allar la di%erencial total de x3+7 x y

2−8 y3=0

So(uci%:

27



d) x3+7 x y

2−8 y3 ¿=

∂

∂ x ( x3+7 x y

2−8 y3 ) dx+

∂

∂ y ( x3+7 x y

2−8 y3 ) dy

Q (3 x

2

+7 y

2

) dx+(14 xy−24 y

2

) dy

La ecuación di%erencial exacta correspondiente será

(3 x2+7 y

2 ) dx+(14 xy−24 y2 ) dy=0 .

Ecuaci% Di&e'ecia( E4acta, 8e dice que una ecuación di%erencial

M ( x , y )dx+ ! ( x , y )dy=0 es exacta$ cuando existe una %unción E)x$y* cuya

di%erencial total es igual al primer miembro de la ecuación$ es decir

d+ = Mdx+ !d $ siendo + =+ ( x , y ) , M = M ( x , y ) , ! = ! ( , - )

(ara que la ecuación Mdx+ !dy=0 sea exacta se debe cumplir que

∂ M

∂ y =

∂ !

∂ x

M5todo pa'a o1tee' (a so(uci% +ee'a( de ua ecuaci% di&e'ecia( e4acta

28



8i se veri%ica que la ecuación Mdx+ !dy=0 es exacta$ proceder de la manera

siguiente

8ea E la %unción buscada$ entonces∂+

∂ x = M .

"ntegrando parcialmente respecto a x$ colocar en lugar de la constante de

integración$ una %unción cualquiera de la variable y$ esto es

+ =∫ Mdx+ f ( y )= # ( x )+ f ( y)

Luego derivar parcialmente respecto a y e igualar a >

∂

∂ y

[ # ( x )+ f ( y )]= ! $ de donde se deduce f ' ( y ) $ y por integración hallamos

f ( y) que incluye la constante arbitraria #$ obteniendo la solución general.

E)e*p(o, -

@esolver ( x2+ y2) dx+2 xydy=0

So(uci%.

29



!n este caso M = x2+ y

2

$ ! =2 xy

!ntonces

∂ M

∂ y =

∂ !

∂ x =2 y

$ esto prueba que la ecuación es exacta.

8i E es la %unción buscada

∂+

∂ x = x

2+ y2

$ integrando parcialmente respecto a x

x¿

(¿2+ y2¿)dx=

x3

3 + x y

2+ f ( y )

¿+ =∫ ¿

,erivando parcialmente respecto a y e igualando a >

∂+

∂ y =2 xy+ f

' ( y )= ! =2 xy $ por tanto f ' ( y )=0 $ entonces f ( y )=−$ .

La solución general será x

3

3 + x y

2=$ .

E)e*p(o, /

30



@esolver e2 x ( dy+2 ydx )= x

2dx

So(uci%,

Hrdenando

2 ye

(¿¿2 x− x2)dx+e

2 xdy=0

¿

∂ M

∂ y =

∂ !

∂ x =2e

2 x

$ ecuación exacta.

"ntegrando respecto a y + =∫ e2 x

dy= y e2 x+ f ( x)

,erivando respecto a x∂+

∂ x =2 y e

2 x+ f ' ( x )=2 y e

2 x− x2

!ntonces f ' ( x )=− x

2

$ luego f ( x )=− x

3

3 −$ .

La solución general será y e2 x−

x3

3 =$

E)e*p(o.0

@esolver. e x

2

( dy+2 xydx )=3 x2

dx

31



So(uci%

Hrdenando (2 xye2 x−3 x

2 )dx+e x

2

dy=0 $

∂ M

∂ y =

∂ !

∂ x =2 x e

2 x

$ se trata entonces de una ecuación exacta.

"ntegrando respecto a y + =∫ e x

2

dy= ye x

2

+ f ( x )

,erivando respecto a x∂+

∂ x =2 xye

x2

+f ' ( x )= M =2 xye

x2

−3 x2

.

Luego f ' ( x )=−3 x

2

$ de donde f ( x )=− x3−$ .

8iendo la solución general ye x

2

− x3=$ .

E)e'cicios.

-. ( 1 x + y2)dx+2 xydy=0

/. ( 12 x

+ y2+1)dx+( 12 y

+2 xy)dy=0

0. ( sen2 x

y + x+1)dx+( y−

sen2 x

y2 )dy=0

32



3. ( 2 x

x2+ y

2−

1

x+1)dx+( 2 y

x2+ y

2+ x+1)dy=0

4. [ 1

2√ x+ y2+1

x ] dx+[ y

√ x+ y2+ 1

y ]dy=0, para y=1,cuando x=1

6. (3 x2 y+2 x) dx+( x3−1) dy=0

:. (4 x−2 y+5 )dx+(2 y−2 x )dy=0

<. (3 x2+3 x y

2) dx+(3 x2 y−3 y

2+2 y ) dy=0

=. 2 x e

ydx+( x2− y

2−2 y ) e y

dy=0¿

-5. ( x+ y )dx+( x−2 y ) dy=0

--. e y dx+( x e y−2 y ) dy=0

-/.

x

2 xydx−(¿¿2+ y2)dy=0

¿

-0.2 xy−1

x dx+

x+3 y

y2

dy=0

-3. ( y e x−2 x ) dx+e

xdy=0

-4.

( ycosx−2 seny ) dx=(2 xcosy−senx )dy

ECUACION DIFERENCIAL NO E3ACTA

!s de la %orma M ( x , y )dx+ ! ( x , y ) dy=0, siempre y cuando ∂ M

∂ y .

∂ !

∂ x

33



(ara resolver esta ecuación di%erencial' se introduce el %actor integrante

/= / ( x , y ) , dando lugar a la ecuación di%erencial ) M/¿dx+( !/ ) dy=0,

que es exacta. (or tanto cumple la condición∂( M/)

∂ y =

∂( !/)∂ x .

NOTA.9 !l %actor integrante no es Dnico$ por ejemplo

!cuac. >H exacta 2act. "nt. !cuac. !xacta

2 ydx+ xdy=0 x3 y 2 x

3 y

2dx+ x

4 ydy=0

2 ydx+ xdy=0 1

xy 2

x dx+

dy

y =0

2 ydx+ xdy=0 1

√ y / √ y dx+ x

√ ydy=0

34



Facto' ite+'ate de (a &o'*a: v=0( x )

8ea M ( x , y )+ ! ( x , y ) dy=0 $ ecuación di%erencial no exacta.

8i se cumple que

∂ M

∂ y −

∂ !

∂ x

! =f ( x) $ entonces el %actor integrante esta dado

por v=e∫f ( x ) dx

E)e*p(o !. @esolver

x

(¿¿2+ y2+ x)dx+ xydy=0

¿

So(uci%

,ado no que∂ M

∂ y .

∂ !

∂ x la ecuación no es exacta.

(ero

∂ M

∂ y −

∂ !

∂ x

! =

1

x $ luego el %actor integrante es v=e

∫ 1

xdx

= x

Multiplicando por la ecuación dada

x

(¿¿3+ xy2+ x

2)dx+ x2 ydy=0

¿$ que es

ecuación di%erencial exacta.

35



Luego$ resolviendo u=∫ x2 ydy=

x2 y

2

2 + f ( x)

∂ u∂ x = x y 2+ f ' ( x )= M = x3+ x y2+ x2 $ entonces

f ' ( x )= x

3+ x2

⟹ f ( x )= x

4

4 +

x3

3 −c $ la solución general es

x2 y

2

2 +

x4

4 +

x3

3 =c

E)e*p(o, 6,. @esolver

x

(¿¿3+ x y2)dx+2 ydy=0¿

So(uci%

8iendo∂ M

∂ y .

∂ !

∂ x la ecuación no es exacta.

36



@esolviendo

∂ M

∂ y −

∂ !

∂ x

! = x $ tenemos que el %actor integrante es

v=e∫ 1

xdx

=e

x2

2 Multiplicando el 2.". por la ecuación dada se tiene la ecuación

di%erencial exacta

x

(¿¿3 e x

2

2 + x y2

e x

2

2 )dx+2 y e

x2

2 dy=0

¿

"ntegrando respecto a y y derivando respecto a x

∂ u

∂ x= x y

2e

x2

2 +f ' ( x )= M = x

3e

x2

2 + x y2e

x2

2⟹ f

' ( x )= x3

e x

2

2

$ f ( x )=∫ x3e

x2

2 dx )por

partes*$ f ( x )= x2

e

x2

2 −2e

x2

2−c $ luego la solución general es

e

x2

2 ( x2+ y2−2 )=c

E)e*p(os. @esolver

37



-. xdy− ydx= x4 ydy+ x

3 y

2dx

/. (2 x3 y

2+4 x2 y+2 x y

2+ x y4+2 y ) dx+2 ( y3+ x

2 y+ x ) dy=0

Facto' ite+'ate de (a &o'*a: v=0( y )

8i−

∂ M

∂ y −

∂ !

∂ x

M = # ( y ) $ el %actor integrante esta dado por v=e∫

# ( y )dy

E)e*p(o,9 @esolver xdy− ydx= y2

dx

So(uci%,

Hrdenando ( y+ y2 ) dx− xdy=0 $ ecuación no exacta$ pero

∂ M ∂ y

− ∂ ! ∂ x

M =

−2

y ⟹ el 2. ". v=e

∫−2

ydy

= y−2 .

Multiplicando la ecuación dada por el %actor de integración tenemos

(

1

y+1

)dx−

x

y

2 dy=0 $ ecuación exacta. ⟹

( 1 y +1)dx=¿

x

y + x+ f ( y)

u=∫¿

38



∂u

∂ y=− x

y2 +f

' ( y )= ! =− x

y2 ⟹ f

' ( y )=0 ⟹ f ( y )=−c

8iendo la solución general x+ xy=c y.

E)e*p(os, @esolver

-. ydx−2 xdy= xydy

/.

x

(¿¿ 2+3 xy+2 x )dy=0

( xy+ y

2

+ y ) dx+¿

0. (2 xy−1 ) dx+( x

y+3)dy=0


-. (4 xy+3 y2− x ) dx+ x ( x+2 y ) dy=0

/.

y

ydx+(¿¿ 2− x)dy=0¿

0. x

2+ y(¿¿ 2+ x)dx+ xydy=0

¿

3.

y

(¿¿ 3+ y)dx

x (1− y2 ) dy=¿

4.

x

xydx+(¿¿ 2+ y )dy=0¿¿

6. xdy+2 ydx=2 xydy

39



:.

xy

(¿¿ 3−1)dx+ x2 y

2dy=0

¿

<. 2 x y

2dx−( x2

y+ y3 ) dy=0

¿

=. x

2seny− xy

xcosydx−(¿¿ 2)dy=0¿

-5. xdy− ydx= x3 y

2dx

--. (2 y−3 x )dx+ xdy=0

-/. ) x− y2 ¿dx+2 xydy=0

-0. (3 x2+ y

2 ) dx−2 xydy=0

-3. xdy− ydx= x2

e x

dx

-4.

2 y− x

(¿¿ 3)dx+ xdy=0¿

ECUACIONES LINEALES 7 REDUCI#LES A LINEALES

ECUACION LINEAL DE PRIMER ORDEN

Ena ecuación di%erencial es lineal en la variable dependiente y $ cuando es

de primer grado en dicha variable$ y en su derivada dydx .

40



8i la ecuación Mdx+ !dy=0 $ es lineal en y $ puede escribirse en la %orma

generaldy

dx+ Py=1 2 %(1) $ siendo P= P( x ) $ 1=1( x ) .

8i ( y O son constantes$ la ecuación sigue siendo lineal$ pero en este caso se

simpli%ica pues se convierte en una de variables separables.

En ecuación puede no ser lineal respecto a y pero si respecto a x $ en

cuyo caso es de la %ormadx

dy+ /x=32(2) $ siendo /= / ( y) $

3=3( y) o constantes.

8i hacemos 1=0 en )-*$ tendremos la ecuacióndy

dx+ Py=0 $ llamada

ecuación #HM(L!M!>A@"A de )-* o bien la ecuación reducida homog&nea

de )-*. !s %ácil mostrar que la ecuación complementaria es de variables

separables$ la solución de la ecuación complementaria está íntimamente

relacionada con la solución de la ecuación completa )-*. oda ecuación

41



di%erencial lineal de primer orden se puede resolver por medio de dos

cuadraturas$ es decir$ por medio de dos integraciones. Feremos dos m&todos

el m&todo del %actor integrante y el m&todo de variación de parámetros.

Ecuaci% Liea(, M5todo de( Facto' Ite+'ate .9

La ecuación lineal de la %ormady

dx+ Py=1 $ tiene un %actor integrante )2.".*

que depende de la variable x $ que es de la %orma

v=e∫ Pdx

Hbtenido el 2.". la solución general de la ecuación puede obtenerse aplicando

el m&todo general para resolver una ecuación di%erencial exacta.

8in embargo es más %ácil y rápido multiplicar la ecuación por vdx $ esto es

e∫ Pdx

dy+e∫ Pdx

P % ydx=e∫ Pdx

1dx ⟹:

42



y % e

d (¿¿∫ Pdx)=e∫ Pdx

1dx

¿ ⟹ y %e∫

Pdx=∫(e∫

Pdx1dx)+ c $ de donde puede

despejarse el valor de y para obtener la solución general en %orma explícita.

8i la ecuación es lineal en x $ o de la %ormadx

dy+ /x=3 $ el %actor

integrante será v=e∫ /dy

$ el cual dependerá exclusivamente de y $ en

cuyo caso la di%erencial del primer miembro será

y %e

d (¿¿∫ /dy)¿

E)e*p(o. @esolver x2dy+3 xydx=(4−3 x ) dx

So(uci%,9

43



Hrdenandody

dx+3

x y=

4−3 x

x2 $ ecuación lineal en y $ siendo P=

3

x por

tanto3

x v=e

∫ 3

xdx

= x3

⟹ x3dy+3 x

2 ydx=(4 x−3 x

2 ) dx ⟹

d ( y x3 )=(4 x−3 x

2 ) dx $ integrando tenemos la solución general

y x3=2 x

2− x3+c

E)e*p(o. @esolver ydx=¿ ) y3− x ¿dy

So(uci%,

Hrdenandodx

dy+ 1

y x= y

2

$ ecuación lineal en x . ⟹v=e∫ 1

ydy

= y

⟹ ydx+ xdy= y3

dy ⟹ d ( xy )= y3

dy $ integrando tenemos la

solución general 4 xy Q y4+c

Ecuaci% (iea(, M5todo de Va'iaci% de Pa'/*et'o.

44



(ara resolverdy

dx+ Py=1 $ resolver primero la ecuación complementaria

dydx

+ Py=0 $ cuya solución será de la %orma y= f ( x , k ) $ siendo k la

constante de integración. A esta solución se le llama solución complementaria.

Luego reemplazar la constante k )parámetro* por una variable z

)dependiendo z de x * que debemos determinar a %in de que

y=f ( x , z ) $ satis%aga a la ecuación complementaria

E)e*p(o. @esolverdy

dx+3

x y=

4−3 x

x

2

So(uci%.9

La ecuación complementaria esdy

dx+3

x y=0 $ resolviendo y=k x

−3

45



@eemplazando la constante o parámetro k por cierta variable z que

depende de x se tiene y= z x−3

$ tambi&ndy

dx=−3 z x

−4+ x−3 dz

dx $

reemplazando en la ecuación dada x

−3 dz

dx=

4−3 x

x2 $ separando variables e

integrando

∫dz=∫ (4 x−3 x2 ) dx ⟹ z=2 x

2− x3+c

@eemplazando el valor de z hallamos la solución general

x3 y=2 x

2− x3+c .

E4ercicios . @esolver

1. x y

'

+ y=cscx

2. x y' + y=secx

3. x y' − y= xe

x−e x

4. x y' − y= x

2e

x

46



5. 2 y' + xy=3 x

6. y' = x− xy

7. y' − xy= x

8. (2 y−3 x )dx+ xdy=0

9. dy+e x

ydx=e x

dx

10. 2 ydx=( y4+ x ) dy

11. co s

2 x

dy

dx+ y=t&x

ECUACION DE #ERNOULLI

La ecuación no linealdy

dx+ Py=1 y

n

$ donde P= P ( x ) , 1=( x) y n es

una constante cualquiera$ se conoce con el nombre de ecuación de Gernoulli en la

variable y . !ste tipo de ecuación puede trans%ormarse en otra ecuación lineal

haciendo el cambio de variable u= y1−n

.

47



>ota. Ena ecuación puede >H ser de Gernoulli en la variable y $ pero si en la

variable x $ en cuyo caso seria de la %ormadx

dy+ /x=3 % x

n

$ siendo / y

3 %unciones de la variable y solamente o constantes.

E)e*p(o. @esolver

dy

dx

+ y

x

= x y2

So(uci%,.

8e observa que es una ecuación de Gernoulli en y .

,ividir entre y2

y−2 dy

dx+1

x y

−1= x P.)-* ⟹ haciendo y−1=u $

derivando respecto a x : − y−2 dy

dx=

du

dx $ reemplazando en )-*

du

dx−

y

x=− x que es lineal en u $ por tanto

48



∫ Pdx=∫−1

x dx=−lnx=ln x

−1

⟹ el 2.". es ⟹v=eln x−1

=1

x

Multiplicando por la ecuación lineal en u $ se obtiene la solución general

1

xy=− x+c $ o 1= xy (c− x)

E)e*p(o. @esolver ydx+( x2 y

4−3 x ) dy=0

So(uci%,

Hrdenandodx

dy−

3

y x=− y

3 x

2

que es ecuación de Gernoulli en x %

,ividiendo entre x2

9 x−2 dx

dy+3

y x

−1= y3

7acemos x−1= z $ de donde − x

−2 dx

dy=

dz

dy $ reemplazando en la ecuación

anteriordz

dy+ 3

y z= y

3

$ que es lineal en z .

49



!l 2.". será v=e∫ 3

ydy

= y3 $ multiplicando la ecuación lineal por y

3dy :

y3 dz+3 y2 zdy= y6 dy $ ⟹ ∫d ( y3 z)=∫ y6 dy ⟹ y3 z= y

7

7 +k

(ero z= x−1

⟹ la solución general es

7 y3= x ( y7+7k ) haciendo 7 k =c 7 y

3= x ( y7+c )

Ecuaci% de #e'ou((i, Va'iaci% de pa'/*et'os.

!l procedimiento a seguir es igual al seguido para el caso de las ecuaciones

lineales.

E)e*p(o. @esolverdy

dx+

y

x = x

2 y

So(uci%,

50



8e trata de una ecuación de Gernoulli en y . La ecuación complementaria es

dy

dx+

y

x =0 $ su solución es y=

k

x $ reemplazando la constante k por la

variable z )%unción de x *$ se tiene y= z

x $dy

dx=

1

x

dz

dx−

z

x2 $

reemplazando en la ecuación de Gernoulli

∫ dz

z =∫ x

2dx ⟹ lnz=

x3

3 + c $ reemplazando z= xy

ln ( xy )= x

3

3 +c

$ solución general.

E)e'cicios. @esolver.

-. 3 y2 y

' − x y3=e

x2

2 cosx

/. y3 y

' + x y4= x e

− x2

0. xydy=( x2− y2 ) dx

3. x2 y

' + y2= xy

51



4. y' − xy= x y

−1

6. 2 x y' − y+

x2

y2=0

:. y

'

+ y+3

y2

e−2 x

=0

<. x y' + y= x

2 y

3

=. y− x y' = x

2 y

2

-5. y− x y' = x

3 y

2

--. y' −

x

y=− x y

2

-/. y' xdy+ y ( y2+1 ) dx=0

-0. x y ' + y= x2 y2cosx

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 7 SEGUNDO GRADO,

It'oducci%.

2orma general

dy

dx ¿2+ P

dy

dx +1=0

¿

!n la cual P= P( x , y) $ 1=1( x , y) o constantes.

52



(ara %acilitar hacemos P=dy

dx

!n cuyo caso la %orma general puede escribirse

p2+ P% p+1=0 PPPP..)-*

Oue puede representarse por la notación %uncional # ( x , y , p )=0.

P'i*e' caso. 8i )-* puede descomponerse en dos %actores de primer grado en

p , o bien si de )-* puede despejarse el valor de p aplicando la %órmula para

la ecuación de segundo grado$ entonces resu&lvase las dos ecuaciones

di%erenciales de primer orden y primer grado resultantes$ y se obtendrán las dos

soluciones parciales

f 1 ( x , y , c )=0 y f 2 ( x , y , c )=0

2inalmente la solución general de )-* será igual al producto

f 1 ( x , y , c ) % f 2 ( x , y , c )=0 PPP..)/*

53



Nota,!. Hbservar que la misma constante de integración se coloca en las dos

soluciones parciales$ de modo que al obtener la solución general )/*$ se tendrá

una sola constante arbitraria por tratarse de una ecuación de primer orden.

Nota,6. !l mismo procedimiento es aplicable a las ecuaciones de primer orden y

grado n que se pueden descomponer en %actores lineales de p $ es decir de

la %orma

p− A2

¿ p− A n

( p− A1 )¿

,onde A1 , A2

,22 .. An son %unciones de x e y como veremos en el ejemplo

)0*.

E)e*p(o, @esolver p2− p−6=0

So(uci%. 2actorizando ( p−3 ) ( p+2 )=0 ⟹ p=3 y p=−2

"ntegrando y=3 x−c $ y=−2 x−c ⟹

54



( y−3 x+c ) ( y+2 x+c )=0 . 8olución general.

E)e*p(o, @esolver xy p2+( y2− x

2 ) p− xy=0

So(uci%. ,espejando p )%ormula cuadrática*

p= x2− y25( x2+ y2)2 xy

,e donde p= x

y ⟹ resolviendo y2− x

2+c=0

p=− y

x ⟹ resolviendo xy+c=0

8iendo la solución general

y

(¿¿2− x2+c )( xy+c )=0

¿.

E)e*p(o, @esolver x p3

+( x−2 x2

− y ) p2

−(2 x2

+ y−2 xy ) p+2 xy=0

So(uci%, !s ecuación de primer orden grado tres. 2actorizando

55



( p+1 ) ( xp− y ) ( p−2 x )=0

"gualando a cero cada %actor y resolviendo

y+ x+c=0 $ y+cx=0 , y+ x2+c=0

8iendo la solución general

( y+ x+c ) ( y+cx ) ( y+ x2+c )=0

Se+udo caso. 8i despu&s de resolverdy

dx por p , vemos que es %ácil

despejar el valor de la variable y en t&rminos de x y p $ es decir$ si

podemos poner la ecuación en la %orma y=f ( x , p) P.)-*

,erivar )-* respecto a x resultando

dy

dx = p=( ∂ f

∂ p )(dp

dx )+∂ f

∂ x

!cuación de primer grado en la variable p y x .

56



8u solución p= # ( x ,c ) puede combinarse con )-* para eliminar p entre

estas dos ecuaciones y obtener la solución %inal en t&rminos de x , y , c %

Nota. Al resolver este tipo de ecuación di%erencial se obtiene$ a menudo$ además

de la solución general$ otra solución llamada 8HLE#"H> 8">ELA@$

porque no puede deducirse de la solución general asignando valores particulares

a la constante c .

E)e*p(o, @esolver

dy

dx ¿2+2 x

3( dy

dx )−4 x2 y=0

¿

So(uci%. 7acemos p=dydx $ ⟹ p

2+2 x3 p−4 x

2 y=0 P.)-*

Hbservamos que es %ácil despejar y ⟹ y= p

2

4 x2+

px

2

,erivando respecto a x

dy

dx= p=

4 x22 p

dp

dx− p

2dx

16 x4

+ p

2+

x

2 %

dp

dx

57



8impli%icando x4(dp

dx )+ px ( dp

dx )− p x3− p

2=0

2actorizando x dpdx

( x3+ p)− p ( x3+ p )=0

x

(¿¿ 3+ p)( x dp

dx− p)=0.

¿

,el primer %actor p=− x3

reemplazando en )-*

x4+4 y=0 Pso(uci% si+u(a'

,el segundo %acto x

dp

dx− p=0

$ resolviendo

p=c1 x : reemplazando en )-*$ y haciendo c=c1

2 se tiene

y=c x2+c

2

$ solución general.

E)e*p(os. @esolver

58



-. p2+2 px−2 y=0

/. p2 x− y=0

Te'ce' caso. 8i despu&s de reemplazardy

dx por p $ vemos que es %ácil

despejar el valor de x en t&rminos de y y p $ es decir si podemos poner

la ecuación en la %orma x=6 ( y , p )2 2 % (1 )

,erivamos respecto a y $ resultando una ecuación de primer grado en las

variables p e y .

8u solución p= # ( y , c) $ puede combinarse con la ecuación )-* para eliminar

p entre estas dosecuacines y obtener la solución %inal en t&rminos de

x , y , c %

ambi&n puede obtenerse solución singular.

59



E)e*p(o. @esolver 0

dy

dx ¿2−2 y

2( dy

dx )+2=0

xy ¿.

So(uci%. 7aciendo p=dy

dx $ tenemos 0 xy p2−2 y

2 p+2=0 P)-*

Hbservamos en este caso que es %ácil despejar x .

x=2 y

3 p− 2

3 p2 y $ derivando respecto a y

3 p2+6 yp %

dp

dy¿

−2¿

1

p

=6 p−6 y

dp

dy

9 p2 −¿

Ouitando denominadores y ordenando

dp

dy=(4 y−2 p y

3)+2 p− p2 y

2

2actorizando ) 2− p y2¿ (2 y

dp

dy + p)=0

60



"gualando a cero el primer %actor y despejando p=

2

y2 .

@eemplazando en )-* y simpli%icando

y3=6 x P..solución singular.

,el segundo %actor 2 y dp

dy + p=0 $ resolviendo p

2=$

-

@eemplazando en )-*

3cx+2¿2=4 c y3

¿ PPsolución general.


-. x p2= y

4− yp

/. p2+2 y−2 x=0

Ecuaci% de C(ai'aut.

8e denominan así a las ecuaciones que pueden ponerse en la %orma

61



y= x dy

dx+ f (

dy

dx)

7aciendo p=dydx se tiene y= px+f ( p)

!cuaciones que adoptan esta %orma pueden resolverse %ácilmente por el m&todo

seguido para resolver ecuaciones de segundo grado.

E)e*p(o. @esolver y= px− p2

So(uci%,

,i%erenciando$ simpli%icando y %actorizando se obtiene

p' ( x−2 p)=0

Oue satis%ace para p' =0 ⟹

dp

dx=0 ⟹ p=c reemplazando

en la ecuación dada se obtiene la solución general

y=cx−c2

ambi&n para x−2 p=0 ⟹ reemplazando en la ecuación dada

62



y= x

2

4 $ solución singular.

E)e*p(o, @esolver

-. y= px−1

4 p

4

/. 7allar solamente la solución general de

dy

dx ¿2

y− x dy

dx ¿2+

dy

dx=¿

¿


-. 2 y= p2+4 px+2 x

2

/. 2 yp=3 x+ x p2

0. p

2 x

4

= y+

px

3. y=− xp+ p2

4. x= y+lnp

6. 2 x2 p

2+5 xyp+2 y2=0

:. xp2−2 yp− x=0

<. xyp2+( x2+ xy+ y

2 ) p+ x2+ xy=0

=. y=3 px+6 p

2 y

2

-5.

px

y−¿¿¿

--. p2 x ( x−2 )+ p (2 y−2 xy− x+2)+ y

2+ y=0

63



-/. 2 px=2 t&y+ p3

co s2 y

-0.

p+6 x ¿2

y= px+3 x2+

1

2¿

-3. 4 y−4 pxlnx= p2 x2

-4. y= px+√ p

-6. y= px+√ 1+ p2

-:. p2− px+ y=0

-<. y= px− p2

-=. y= px−senp

/5. y= px+lnp

Ecuacioes de o'de supe'io' 8 P'i*e' G'ado

ienen la %ormad

n y

d xn=f ( x)

!l segundo miembro es una %unción de x solamente.

64



(ara resolver estas ecuaciones hacemos una adecuada sustitución para bajar el

orden$ y resolver el resultado.

E)e*p(o. @esolverd

2 y

d x2=senx

So(uci%. @ealizando una primera integración

dy

dx

=∫ senx dx+c1

dy

dx=−cosx+c1

Ena segunda integración y=∫ (−cosx+c1 ) dx

y=−senx+c1 x+c2

E)e*p(o. @esolverd

3 y

d x3= x e

x

So(uci%, "ntegrando de manera sucesiva

65



x e x

dx=¿ x e x−e

x+c1

d2 y

d x2=∫ ¿

( x e x−e

x+c1)dx=¿ x e x−2e

x+c1 x+c2

dy

dx=∫¿

y=∫( xe x−2e

x+c1 x+c

2)dx

y= x e x−3e

x+c1

x2

2 +c2 x+c3

!cuaciones en la que %alta la variable dependiente RyS

8i

dk y

d xk es la derivada de menor orden en una ecuación que contiene

derivadas de la variable y $ pero no contiene y directamente' la sustitución

p=d

k

yd x

k $ bajara en k el orden de la ecuación$ y si se puede resolver esta

nueva ecuación para p en %unción de x $

66



p=d

k y

d xk =f 1( x )

Luego se podrá hallar y en %unción de x mediante k integraciones

sucesivas.

E)e*p(o. @esolver x d

2 y

d x2+

dy

dx=0

So(uci%,

7aciendo la sustitución p=dy

dx ⟹ d

2 y

d x2=

dp

dx

@eemplazando en la ecuación di%erencial$ obtenemos

x dp

dx + p=0

"ntegrando ln p+ln x=lnc1 $ simpli%icando p=c1

x ⟹

dy

dx=

c1

x $ integrando nuevamente ∫dy=∫c1

x dx ⟹

67



y=c1 lnx+c2

E)e*p(o, @esolver x

d3 y

d x3

−2 d

2 y

d x2

=12 x3

So(uci%,

7acer p=d

2 y

d x2 ⟹

dp

dx=¿

d3 y

d x3

@eemplazando en la ecuación di%erencial

x dp

dx−2 p=12 x

3

⟹ dp

dx−

2

x p=12 x

2

$ resolviendo

p=12 x3+c1 x

2

⟹ d2 y

d x2=12 x

3+c1 x2

"ntegrando

(12 x3+¿c1 x

2)dx=3 x4+

c1 x3

3 +c2

dy

dx=∫ ¿

"ntegrando y=3

5 x

5+c1

12 x

4+c2 x+c3

68



E)e*p(os. @esolver

-.

dy

dx ¿2=0

x2 d2 y

d x2+¿

/. (1+ x2 ) d

2 y

d x2+ x

dy

dx +ax=0

Ecuacioes e (as 9ue &a(ta (a 0a'ia1(e idepediete x

8i p=dy

dx ⟹ d

2 y

d x2=

dp

dx=

dp

dy %

dy

dx= p

dp

dy

dp

dy ¿2

d3 y

d x3=

d

dx

(d

2 y

d x2

)=

d

dy

(d

2 y

d x2

)dy

dx

= d

dy ( p

dp

dy )

dy

dx

= p2 d

2 p

d y2+ p¿

.

(or tanto si una ecuación di%erencial no contiene x directamente$ mediante

esta sustitución se obtendrá una nueva ecuación en p e y de orden in%erior

en una unidad al de la ecuación primitiva. 8i esta nueva ecuación se puede

resolver para p en %unción de y .

69



8e tienedy

dx= p=f ( y)

(udi&ndose hallar x en %unción de y x=∫ dyf ( y )

+c

E)e*p(o. @esolverd

2 y

d x2=−a

2 y

So(uci%.

8ustituyendo pdp

dy =−a

2 y

8eparando variables e integrando p dp=−¿a

2∫ y dy

∫ ¿

p2

2 =

−a2 y

2

2 +

c1

2

2

@esolviendo para p p=dy

dx=√ c1

2−a2 y

2

"ntegrando ∫dx=∫ dy

√ c1

2−a2 y

2 $ %inalmente

70



x=1

aarc % sen

ay

c1

+c2

E)e*p(o. @esolver

-.

dy

dx ¿2=

dy

dx

y d

2 y

d x2+¿

/.

dy

dx ¿3=0

y2 d

2

yd x

2 +¿

E)e'cicios, @esolver

-.d

2 y

d x2= y

/.d

2 y

d x2=12 x

0. x3 d

3 y

d x3=12

3.d

2 x

d t 2 =4 sen2 t

4.

d3 y

d x3= x+senx

6.d

2 y

d x2=acos nx

:.d

2 y

d x2= y

−3

71



<. y3 d

2 y

d x2+4=0

=.

dy

dx ¿2=0

y d2

yd x

2 +2¿

-5. y d

2 y

d x2+(1+ y)=0

--.

dy

dx ¿2=0

y d

2 y

d x2+4 y

2−1

2¿

-/. (1+ x2

) y' '

+2 x ( y'

+1 )=0

-0. y' ' =( y ' )3+ y

'

A(+uas Ap(icacioes.

Fa*i(ia de cu'0as 8 t'a8ecto'ias o'to+oa(es.

8upongamos que se tiene una %amilia de curvas f ( x , y )=c .

(odemos considerar otra %amilia de curvas # ( x , y)=k $ tal que todo miembro

de esta corta en ángulo recto a cada miembro de la primera. 8e dice que estas

%amilias son mutuamente ortogonales o que cada %amilia %orma un conjunto de

t'a8ecto'ias o'to+oa(es de la otra %amilia.

(rocedimiento de solución.

72



8ea f ( x , y )=c $ %amilia de curvas$ c puede tomar valores de cierto

conjunto determinado.

,erivando hasta eliminar la constante arbitraria$ tenemos la ecuación di%erencial

df =∂ f

∂ x dx+

∂ f

∂ y dy=0 $ despejando

∂ y

∂ x=−

∂ f

∂ x

∂ f

∂ y

$ pendiente de la %amilia de curvas$

La pendiente de la %amilia de trayectorias ortogonales debe ser la reciproca

negativa∂ y

∂ x=

∂ f

∂ y

∂ f

x

$ la ecuación di%erencial de +las trayectorias ortogonales

será

73



∂ f

∂ y dx−

∂ f

∂ x dy=0 $ resolviendo se obtiene la ecuación de la %amilia de

trayectorias ortogonales.

E)e*p(o. ,eterminar las trayectorias ortogonales de y=2 x+b

So(uci%.

,erivar respecto a x :

dy

dx=2

$⟹

la %amilia de trayectorias ortogonales

tiene por ecuación di%erencialdy

dx=−1

2 $ resolviendo

2 y+ x=k !cuación de la %amilia de trayectorias ortogonales.

y=2 x+c

y=−1

2 x+k

.

74



E)e*p(o. ,eterminar las trayectorias ortogonales de x2+ y

2=cx .

So(uci%.

c= x

2+ y2

x $ derivando respecto a x

x

x (2 x+2 y y' )−(¿¿2+ y

2)

x2

=0

¿

⟹

y' =

y2− x

2

2 xy ⟹

la %amilia de trayectorias ortogonales tienen la ecuación

di%erencial y'

¿ 2 xy

x2− y

2 o 2 xydx+( y2− x2 )dy=0 ecuación

homog&nea cuya solución general es x2+ y

2=ky que es la ecuación de

trayectorias ortogonales de la %amilia x2+ y

2=cx .

E)e*p(o,9 7allar el valor de la constante R a S con la cual las %amilias

y3=c1 x $ x

2+ay2=c2 son ortogonales.

So(uci%

75



,erivando la segunda ecuación respecto a x dy

dx=− x

ay ⟹ la

%amilia de trayectorias ortogonales tiene la ecuación di%erencial

dy

dx=

ay

x $ resolviendo esta ecuación de variables separables

lny=alnx+alnc1 $ despejandoc1 x ¿

a

y=¿ ⟹ y1

a=c1 x comparando

con la primera %amilia a=1

3 .

C'eci*ieto 8 dec'eci*ieto o desite+'aci%.

La ecuación di%erencialdA

dt =kA indica que la velocidad de variación con

relación al tiempo de una cantidad A es proporcional a sí misma$ siendo una

constante de proporcionalidad.

8i es positiva entoncesdA

dt es positiva y A=f (t ) es creciente$

entonces el problema es de crecimiento.

76



8i es negativa$dA

dt será negativa y A= f (t ) es decreciente$ en este

caso el problema es de decrecimiento o desintegración.

Muchos %enómenos %ísicos y químicos se resuelven con una ecuación

di%erencial de esta %orma y se dice que estos %enómenos obedecen a la ley de

inter&s c5mpuesto.

E)e*p(o. Las bacterias de cierto cultivo aumentan con una intensidad

proporcional al nDmero presente. 8i en1

2 hora el numero original aumenta

en

50

. T#uántas horas se puede esperar que haya el triple del nDmero

originalU.

8olución. 8ean

A #antidad de bacterias en cualquier instante$ t.

A0 #antidad de bacterias al tiempo t =0 .

77



⟹ dA

dt = kA $ separando variables e integrando

lnA=kt +c $ las condiciones son

A= A0 $ cuando t =0 .

A=3 A0

2 $ cuando t =30 $ utilizando estas condiciones

ln A0=c

ln 3 A0

2 =30k +c $ de estas ecuaciones se tiene

k =ln 3

2

30 ⟹ lnA=

ln 3

2

30 t + ln A

0 ⟹

1.5¿t

30

A= A0¿

!sta ecuación nos da la cantidad de bacterias en %unción del tiempo. (ara

responder a la pregunta del problema propuesto$ se tiene que para A=3 A 0

$ reemplazando en la ecuación dada

78



1.5¿t

30

3 A0= A

0¿ ⟹ t =

30 ln3

ln1.5 .

E)e*p(o. Ena persona presta 1,000 soles sujetos a inter&s compuesto

continuo. 8i el tipo de inter&s es de 4 anual$ T#uánto tendrá que pagar al

cabo de 10 a+osU.

So(uci%.

8ean A #antidad de dinero al tiempo$ t a+os. ⟹

dA

dt

=kA=0.04 A

$ integrandolnA=0.04 t +c

.

Las condiciones son A=1000 $ cuando t =0 ⟹

ln1000=c ⟹ lnA=0.04 t + ln1000 ⟹ A=1000e0.04 t

.

#uando t =10 a+os A=1000e0.4=1492 soles.

79



E)e*p(o, 8e ha calentado agua hasta su punto de ebullición. 8e retira luego

del %uego y se mantiene en un recinto que se encuentra a una temperatura

constante de 600

$ . Al cabo de 0 minutos la temperatura de agua es de

900

$ . #alcular la temperatura del agua en %unción del tiempo.

So(uci%,

8ea 7 : temperatura del agua despu&s de t minutos de retirada del

%uego.

La di%erencia de temperatura entre el agua y el recinto será

(7 −60) .

La variación de la temperatura con el tiempo esd7

dt .

Gasado en la experiencia se dice que la temperatura cambia mas rápidamente

cuando (7 −60) es grande mas lentamente cuando (7 −60) es peque+a.

8e ha encontrado tambi&n experimentalmente que esta variación es lineal.

80



!ntonces podemos suponer qued7

dt =a(7 −60) donde a es una

constante de proporcionalidad. Ahora bien' comod7

dt es negativa cuando

(7 −60) es positiva$ hacemos a=−k $ siendo k >0 .

La ecuación toma la %ormad7 dt =−k (7 −60) .

!n %ísica esta ecuación se conoce como ley del en%riamiento de >eton.

@esolviendo la ecuación di%erencial

ln (7 −60)=−kt +c $ las condiciones son

7 =1000

$ $ cuando t =0

7 =900

$ cuando t =3 .

@eemplazando en la ecuación anterior

ln40=$

81



ln30=−3k +c ⟹

$ =ln40

k =−1

3 ln3 /4 ⟹ ln

7 −60

40 =

t

3 ln

3

4 ⟹

3

4¿ t /3

7 =60+40¿.

Vi+as -o'iota(es

!l problema consiste en determinar la %lexión de una viga rectangular sometida

a una carga. "nicialmente la viga es recta y su eje central coincide con el eje

. (osteriormente$ dicho eje se ha desplazado debido a la acción de la

carga. Lo que se desea es obtener la ecuación de la curva elástica$ que nos da

la de%ormación de la viga.

(or simplicidad consideraremos la curva elástica y un punto P( x , y ) sobre

ella. (or curso de %ísica se sabe que el momento M

en el punto P

es la

suma algebraica de los momentos de las %uerzas externas que actDan sobre el

segmento de la curva. Aquí supondremos que las %uerzas hacia arriba dan

82



momentos positivos y las %uerzas hacia abajo dan momentos negativos. !l

momento está dado por

M = EI d

2 y

d x2 $

,onde ! es el modulo de elasticidad de la viga e I es el momento de

inercia. Luego$ si queremos conocer la ecuación de la curva elástica debemos

resolver la ecuación di%erencial

EI d

2 y

d x2= M .

Figa horizontal

83



Aplicación de una carga a una viga

E)e*p(o,

84



Ena viga de 8) de longitud esta apoyada en dos columnas verticales. 8i la

viga tiene una carga uni%orme de 500 k& por metro de longitud y una carga al

centro de 5000k& $ T#uál es la carga elástica de la vigaU.

8olución. V

x

2 x

2

H O

(

!n la %igura$ las %uerzas que actDan sobre H( son

-. Ena %uerza aplicada en H a x metros de ($ dirigida hacia arriba e igual a

la carga total$ es decir1

2 (5000+8.500 ) %

85



/. Ena %uerza de 500 x dirigida hacia abajo que se supone concentrada en

el punto medio de H(.

Así el momento %lexionante )%lector* en ( es

1−¿ # 2d2

M = # 1d¿

¿

1

2 (5000+8.500 ) x−500

x(

x

2 )

¿4500 x−250 x2

⟹ EI d

2 y

d x2=4500 x−250 x

2

"ntegrando sucesivamente

EI dy

dx=2225 x

2−250

3 x

3+c1

EIy=223

3 x

3−125

6 x

4+c1 x+c2

!n 5$ x= y=0 de modo que c2=0. !n O$ x=8 $ y=0,

86



(or lo cual c1=−36800. (or tanto

y= 1

EI (225

3

x3−

125

6

x4−36800 x )

$ es la curva elástica de la viga.

E)e'cicios.

7allar las trayectorias ortogonales de cada una de las %amilias y haga una

gra%ica mostrando las dos %amilias.

-. y2=$x

/. y3=$ x

2

0. x2+$xy+ y

2=1

3. 3 x2+ y

2=c

4. x2−4 y

2=c

,eterminar las trayectorias ortogonales de cada una de las %amilias siguientes

y hallar miembros particulares que pasan por los puntos que se indican.

6. x2+c y

2=1 ' (2,1)

87



:. x2+cy+ y

2=1 ' (3,−1)

<. y=c e−2 x+3 x ' )5$0*

=. y2=c (1+ x

2) ' (−2,5)

-5.!n cuanto se convierte un sol impuesto al 6 de inter&s compuesto

continuo$ al cabo de un a+o.--. TOu& tiempo se necesita para duplicar una cantidad de dinero impuesto al

6 de inter&s compuesto continuoU

-/.T!n cuántos a+os se desintegrara la mitad de la cantidad de radio$ si el

10 desaparece en /30 a+osU

-0.En tirante uni%orme de longitud L$ soporta una carga lateral uni%orme y esta

sometido a una %uerza de tracción ( en sus extremos. ,eterminar el

momento %lexionante máximo. 8i soporta una carga uni%ormemente

distribuida ?.

.

88

ecuac. diferenciales mat.iii

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