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F A C U LTA D D E I N GEN I E R Í A
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
MODULO DE
MATEMATICA IIIEXPERIENCIA LABORAL
Presentado por:Escuela de Ingeniería Civil
Facultad de Ingeniería - UCVDeano de !a Fa"!tad de In#en$er%a&
Ing. Ricardo Delgado Arana
D$retor de !a Es"e!a de In#en$er%a C$'$!&
Ing. Ricardo Delgado Arana.
Doente de! C"rso&
Lic. Wilfredo Agustín Robles
NOVIEMBRE ()*+
1
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PRESENTACI,N
La elaboración de este modulo se ha realizado teniendo en cuenta que va dirigido
a estudiantes que cuentan con experiencia laboral en el área de ingeniería y que
se suman a la carrera de ingeniería civil.
Aprovecharemos los conocimientos previos que trae el alumno para encaminarlo
en el aprendizaje de la asignatura MA!MA"#A """$ cuyo contenido se basa
esencialmente en las ecuaciones di%erenciales y sus aplicaciones. !s requisito
indispensable para el aprendizaje de este curso que el estudiante est&
%amiliarizado con el cálculo integral.
#on mucha %recuencia en %ísica como en ingeniería se utilizan modelos de
%enómenos reales dinámicos que involucran ecuaciones di%erenciales' para
resolver problemas de velocidad$ aceleración$ de%lexión de vigas y columnas$
circuitos el&ctricos$ vibraciones mecánicas entre otras aplicaciones matemáticas.
(or ejemplodP
dt =kP es una ecuación di%erencial que se utiliza en estudios de
crecimiento poblacional.
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!n la ecuación di%erencialdy
dt =−k √ y )ley de orricelli*$ la variable dependiente
y denota la pro%undidad del agua en un tanque que se drena lentamente por un
agujero peque+o en su base.
La ecuación de la curva elástica de una viga está muy ligada a la solución de la
ecuación di%erencial
M = EI d
2 y
d x2 $
,onde ! es el modulo de elasticidad de la viga e I es el momento de inercia.
Lo anteriormente expresado nos induce a estudiar los diversos m&todos que
existen para resolver ecuaciones di%erenciales.
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FACULTAD DE INGENIERÍA
SILABO: MATEMÁTICA III
I DATOS GENERALES
- !scuela (ro%esional "ngeniería #ivil
/ Modulo de !studios """
0 1rea #urricular 2ormación (ro%esional.
3 #ódigo del #urso
4 #r&ditos 53
6 7oras 8emanales -3 horas eórico9práctico.
: 8emestre Acad&mico /5-4; ""
< ,uración del #urso 53 8emanas.
= 2echa de "nicio /< de >oviembre /5-4
-5 2echa de &rmino ,iciembre /5-6.
-- ,ocente Mat. ?il%redo Agustín @obles
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-/ #orreos !lectrónicos tinB=3Chotmail.com
II FUNDAMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA
La siguiente asignatura tiene como propósito %undamental construir las bases
cognitivas de la matemática superior$ poniendo &n%asis en la construcción de
Modelos Matemáticos$ asumiendo una actitud permanente de investigación$ y
creatividad.
!l curso está plani%icado en el desarrollo de temas secuencialmente
articulados de manera %ácil y didáctica$ donde se desarrollaran temas de
ecuaciones di%erenciales ordinarias de primer orden$ orden superior y sus
aplicaciones.
!n la cuarta semana$ re%orzaremos los aprendizajes matemáticos de los
diversos temas tratados en clase con ayuda de un programa matemático.
III COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA
#lasi%ica la ecuaciones di%erenciales segDn el tipo$ "denti%icando su orden y
grado. Etiliza las ecuaciones como modelos Matemáticos para expresar
situaciones reales como crecimientos poblacionales$ curva de elasticidad de
una viga$ %amilias de trayectorias ortogonales' reconociendo el valor de la
Matemática como herramienta para entender la realidad.
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@esuelve ecuaciones di%erenciales haciendo uso de m&todos y del %actor
integrante$ valorando el análisis matemático como instrumento de cálculo e
interpretación de la realidad.
@esuelve$ aplica e interpreta el conocimiento de los principales m&todos de
solución de las ecuaciones di%erenciales demostrando orden precisión y
%lexibilidad en el tratamiento de los datos.
IV PROGRAMACIÓN ACADÉMICA
Capacidades:
• #omprende e interpreta el concepto de ecuación di%erencial.
• @esuelve ecuaciones di%erenciales segDn su clasi%icación.
• Etiliza procedimientos analíticos y experimentales para modelar
diversas situaciones reales.
• "nterpreta adecuadamente la solución de una ecuación di%erencial.
• Aplica los criterios para resolver ecuaciones di%erenciales de primer
orden en la bDsqueda de solución de las ecuaciones de orden
superior.
Actitudes:
• Falora a las ecuaciones di%erenciales como instrumento de cálculo e
interpretación de la realidad.
• @econoce el valor de la Matemática como una herramienta para
modelar la realidad.
Coteidos:
6
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8em #ontenidos rabajos
(rácticos
M&todos y
materiales
!
9 (resentación del curso.9 (rueba de saberes previos.
9@e%orzamiento de m&todos de
integración.
9 "ntroducción a las ecuaciones
di%erenciales. ,e%inición.
98olución de una ecuación
di%erencial.
9 ecuaciones di%erenciales de
variables separables.
9(ractica.
"nducción deltema a trav&s
de una
situación real.
!valuación"ndividual y
grupal$
preguntas de
razonamiento.
/
9 !cuación di%erencial
homog&nea y reducible a
homog&neas.
9!cuación di%erencial !xacta.
9 ecuación di%erencial no exacta.
92actor de integración.
9!cuación di%erencial lineal de
primer orden.
9 practica.
"nducción al
tema$
ejemplos
tipos.
!valuación
%ormativa.
7
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9primer examen parcial.
0
9!cuación de Gernoulli.
9!cuación de @icatti9!cuación de primer orden y
segundo grado.
9!cuación de #lairaut
9!cuaciones de orden superior y
primer grado.
9practica.
"nducción al
tema$ejemplos.
ejemplos
tipos
!valuación
"ndividual ygrupal$
preguntas de
razonamiento.
3
9Algunas aplicaciones de las
ecuaciones di%erenciales.
9rayectorias Hrtogonales.
9#recimiento y decrecimiento o
desintegración
9Figas horizontales.
9(ractica.
9!xposición de trabajos.
98egunda práctica cali%icada.
@esolución
de ejemplos
tipos$ y
(ractica.
!valuación
%ormativa.
PORCENTA"E DE EVALUACIÓN
8e dará &n%asis en dos aspectos (E>EAL",A, y #ELE@A AMG"!>AL.
Los indicadores se dan a continuación
8
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EVALUACIÓN PESO DE LA
EVALUACIÓN
PUNTA"E
A8"8!>#"A )diaria* /5I 3 (untos@AGAJH /5I 3 (untos
">!@F!>#"H>!8 !>
#LA8! )acumulativa*
-5I / (untos
(@A#"#A8 #AL"2"#A,A8
)- por semana*
/5I 3 (untos
!KAM!> ">,"F",EAL )/
exámenes*
05I 6 (untos
TOTAL -55I /5 (untos
REFERENCIAS #I#LIOGR$FICAS:
-. Apóstol . M. Análisis Matemático.
Addison ?esley. Mass.-=<5
/. Ayres 2. !cuaciones di%erenciales.
Mc. ra 7ill. M&xico. -=<4
0. Gecerril !spinoza$ J. !cuaciones di%erenciales. Aplicaciones.
Eniversidad Autónoma Metropolitana9
M&xico
3. G5yce ,i(rima. !cuaciones di%erenciales
L"musa. M&xico. -==5
4. iseliov$ rasnov$ MaNarenco. (roblemas de !cuaciones ,i%erenciales.
Mir. MoscD -==5
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6. ómez O. J. !cuaciones di%erenciales .-=<4
LINKOGRAFÍA
www.juntadeandalicia.es/averroes/iesarroyo/matematicas
7materiales72bach/naturaleza/2bachnaturaleza.htm
www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.html
www.libreria.universia.edu.pe/publicacion/ calculo -diferencial
www.wikipedia.org/wiki/ !lculo " diferencia
INDICE
#aratulaPPPPPP PPPPPPP...PPPPPPPPPPPPPPP.-
(resentaciónPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP../
8ilaboPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP..P0
!cuaciones ,i%erenciales PPPPPPPPPPPPPPPPPPPP.P.--
!cuaciones ,i%erenciales ordinarias de primer ordenPPPPPPPP.P.-3
!cuaciones de Fariables 8eparablesPPPPPPPPPPPPPP..PP-4
!cuaciones ,i%erenciales homogeneas.PPPPPPPPPPPPP.........-=
!cuaciones ,i%erenciales !xactasPPPPPPPPPPPPPP..PP.P./3
!cuaciones ,i%erenciales >o exactas.PPPPPPPP..PPPPP.P.....05
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!cuaciones ,i%erenciales Lineales y reducibles a linealesPPPPPPP..04
!cuación ,i%erencial de GernoulliPPPPPPP..PPP.PPPPP..P...35
!cuaciones ,i%erenciales de primer orden y segundo grado.......................33
!cuación de orden superior y primer gradoPPPPPPPPPPPPPP43
Algunas AplicacionesPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP.PP65
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Ecuaci% Di&e'ecia(.9 !s una relación de igualdad ligada entre variables y sus
derivadas o di%erenciales.
E)e*p(os.
-. x dydx
+2 y2=0
/.
y¿ y¿¿¿¿
0.d
2 y
dx2 +2 y
3+ xy=0
3. ( x+2 y ) y ' = x−3 y ; para y=1,cuando x=1.
4.∂2 z
∂ x2+ ysenx= x
2 y .
6.d
3 x
dt 3 +5
dx
dt + x=0
:. (t 2− x
2) dt +4 txdx=0
<. ∂ w∂ y = yt
ambi&n se emplea la notación %uncional para representar una ecuación
di%erencial$ en general$ por ejemplo f ( x , y , y' , y
' ' )=0 que representa a
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una ecuación di%erencial que tiene en el primer miembro la variable
independiente x , la variable dependiente y $ así como tambi&n las derivadas
primera y segunda.
O'de de una ecuación di%erencial.9 esta dado por la máxima derivada que
posee.
E)e*p(os
• las ecuaciones )-* $ )3* $):* y )<* son de primer orden )orden uno*• Las ecuaciones )/*$ )0* y )4* son de segundo )orden orden dos*• La ecuación )6* es de tercer orden )orden tres*
G'ado de una ecuación di%erencial.9esta dado por el entero positivo que$ como
potencia$ a%ecta a la máxima derivada )derivada de mayor orden*. !jemplos
• Las ecuaciones )-*$ )0*$)3* $ )4*$ )6*$ ):* y )<* son de grado uno.• La ecuación )/* es de grado tres.
So(uci% de una ecuación di%erencial. !sta dada por la relación entre variables
que satis%acen la ecuación di%erencial. (or ejemplo
x2− xy= A $ es solución de la ecuación di%erencial x y
' =2 x− y .
ipos de soluciones
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So(uci% +ee'a(.9 posee tantas constantes arbitrarias como lo indica el orden
de la ecuación di%erencial.
So(uci% Pa'ticu(a' .9 se caracteriza porque las constantes adquieren valores
%ijos que se obtienen de las condiciones de contorno )%rontera* que se
establece en la ecuación di%erencial.
(or ejemplo
• La ecuación y
' ¿2
y y' =¿ tiene como solución general a la expresión
lny+B= Ax
• La ecuación di%erencial y (2 x2+ x+1 ) dx+ x ( x2+ x+lnx ) dy=0, para las
condiciones de contorno yQ-$ cuando x=1 ; tiene solución particular
y ( x2+ x+lnx )=2 $ ya que las condiciones impuestas obligan a la constante
a adquirir el valor %ijo /.
E)e'cicios,
7allar la solución general por integración$ encontrar despu&s las soluciones
particulares que satis%agan las condiciones iniciales establecidas
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- y' =3 x+1, y (0 )=1
/ y' = x e
− x, y (0 )=0
0 dy=
dx
x2
−1
, y (2 )=0
3dy
y =dx, y (0 )=¿ /
4 y' =0.5 sen (3 t ) , y ( )=−1
6 y' ' =12 x
3, y (0 )=0, y
' (0 )=1
: dy=
dx
x ( x2−4 ), y (1 )=0
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE DE PRIMER
ORDEN,
It'oducci%.
Ena ecuación di%erencial de primer orden y primer grado es de la %orma
dy
dx=f ( x , y) .
!mpleando di%erenciales será de la %orma
M ( x , y )dx+ ! ( x , y ) dy=0 .
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H simplemente
Mdx+ !dy=0 $
8iendo M = M ( x , y ) y ! = ! ( x , y) o constantes.
La solución de este tipo de ecuación tendrá una sola constante arbitraria$
pudiendo estar en %orma explícita
y= " ( x , c) $ o en %orma implícita " ( x , y , c )=0 .
!l m&todo a seguir para encontrar la solución general depende de la %orma
individual que tenga cada ecuación di%erencial.
ECUACIONES DE VARIA#LES SEPARA#LES.
Ena ecuación di%erencial de primer orden y primer grado es del tipo variable
separables$ cuando es posible escribirla en la %orma
# ( x ) dx+ " ( y ) dy=0
!n cuyo caso diremos que se ha logrado la separación de las variables.
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La solución general puede obtenerse inmediatamente integrando t&rmino a
t&rmino
∫ # ( x ) dx+∫ " ( y ) dy=$
8iendo # la constante arbitraria de integración$ que puede tomar la %orma de
cualquier %unción de #$ como $ 2
,arc%ta&$,etc . #on el objeto de poder expresar
la solución general en %orma más sencilla.
E)e*p(o, @esolverdy
dx=
3 x+ x y2
y+ x2 y
So(uci%.
7aciendo operaciones algebraicas$ tenemos
dy
dx=
x (3+ y2)
y (1+ x2)
Hbservamos que la ecuación es de variables separables$ obteniendo
ydy
y2+3
= xdx
x2+1 ⟹ "ntegrando
1
2 ln ( y2+3)=1
2 ln ( x2+3 )+$
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Oue puede tomar la %orma y2+3=$ ( x2+1)
E)e*p(o, @esolver
y' =
x+ x y2
4 y
So(uci%
!scribiendo en la %orma Mdx+ !dy=0 $ 8e tiene
x+ xy(¿¿ 2)dx−4 ydy=0
¿ H
1+ y(¿¿ 2)dx−4 ydy=0
x¿
,ividiendo e integrando ∫ xdx−∫ 4 ydy
1+ y2=∫ 0
x
2
2 −2 ln (1+ y
2 )=$
8olución general que puede tener la %orma 4 ln (1+ y2 )= x
2−$
E)e*p(o, @esolver sen2 ydx+cos2 xdy=0
So(uci%.
,ividiendo por sen2 y %cos
2 x $ 8e tiene
dx
cos2 x+
dy
sen2 y=0
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5 tambi&n sec2 xdx+csec
2 ydy=0
"ntegrando ∫ sec2 xdx+∫csec
2 ydy=0
t&x−ct&y=$ $ que es solución general.
E)e'cicios, @esolver.
-. 1+ y+( x−1 ) y ' =0
/.dy
dx−2 xy √ y−1=0
0.dy
dx−sen ( x+ y )=sen( x− y)
3.
x+ y+cos ( x− y )dy
dx−2cosx=cos¿
4. y (2 x2+ x+1)dx+ x ( x2+ x+lnx )dy=0, para y=1,cuando x=1
6. (1−cosx ) dy
dx+coty=0
:.dy
dx+
ylny
secx−1=0
<.dy
dx e
− x=(1+ x ) (1+ y2) ; para x=0,cuando y=0
=. ( yx− y ) dy−( y+1) dx=0
-5. y' + y
2− y=0
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--. e y
cosx+cosx+(e y
senx+e y ) y ' =0
-/. 1+e− x
y' =0
-0. ydx+( x3 y
2+ x3 ) dy=0
-3. x3
e2 x
2+3 y2
dx− y3
e− x
2−2 y2
dy=0
-4. 2 z (3 z+1 ) dw+ (1−2w ) dz=0
ECUACIONES DIFERENCIALES -OMOGENEAS.
Ena %unción es homog&nea de grado RnS si cumple la siguiente condición
# (tx,ty )=t n # ( x , y ) , donde t esun par ()etro cual*uiera%
E)e*p(os:
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-. # ( x , y )= x2+ y
2
x+ y $ es homog&nea de grado -.
/.
x
y /¿¿
sen¿ # ( x , y )=¿
$ es homog&nea de grado 5.
0. # ( x , y )= xtan( y / x ) $ es homog&nea de grado -.
3. # ( x , y )=2 x
3 y
3
x− y $ es homog&nea de grado /.
4. # ( x , y )= ytan( y / x2) $ no es homog&nea.
ECUACION DIFERENCIAL -OMOGENEA
La ecuación di%erencial Mdx+ !dy=0 $ es homog&nea en x e y $ si tanto
M como ! son %unciones homog&neas en x e y $ y del mismo grado.
#ualquiera de las sustituciones
y=vx ; dy=vdx+ xdv . H bien
x=vy ' dx=vdy+ ydv
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La trans%ormarán en una ecuación de variables separables en v i x $ o bien
en v e y $ respectivamente segDn la sustitución escogida.
E)e*p(o. @esolver
x
(¿¿2+ y2)dx− xydy=0
¿
So(uci%,
!sta ecuación es homog&nea y de segundo grado.
(or la sustitución y=vx se reduce esta ecuación a variables separables
x
(¿¿2+v2 x
2)dx−v x2 ( vdx+ xdv )=0
¿.
,ividiendo entre x2
y separando variables
dx
x −vdv=0 $ integrando se tiene lnx−
v2
2 =ln$ $ o
x
c=e
v2 /2
$ reemplazando v= y
x $ su obtiene la solución general
22
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x=c % e y
2 /2 x2
.
E)e'cicios,. @esolver.
-. x dy
dx− y+√ y2− x
2=0
/. ( x e
y
x + y )dx− xdy=0
0.dy
dx=
y
x +t&
y
x
3. y ( x2
+ xy−2 y
2
) dx+ x (3 y
2
− xy− x
2
) dy=0
4. (6 x2−7 y
2 ) dx−14 xydy=0
6. ) 3 x+2 y ¿dx+2 xdy=0
:. ( x+ ysen y
x )dx− xsen y
x dy=0
<. x y2
dy−( x3+ y3 ) dx=0
=.
x
(¿¿ 2− xy )dy+ y2
dx=0¿
-5. ( x2 y+2 y
3 ) dx−(2 x3−3 x y
2 ) dy=0
--. ( x2+ y2)dx= xydy
-/. xy ¿
1
2
x y' + y=2¿
-0. )
x
y
+ y
x
¿ dy+dx=0
23
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NOTA. Algunas ecuaciones no homog&neas$ mediante arreglos$ podrían
suponerse que son homog&neas resultando una ecuación de variables
separables. (asos a seguir
-. !n la ecuación dada reemplazar x en lugar de dx e y en lugar de
dy %
/. 8impli%icar los t&rminos$ sin eliminar ninguna letra.
0. (ara obtener el grado de un t&rmino$ multiplíquese por n el exponente
de la variable y i sDmese con el exponente de x .
3. #omo se desea que todos los t&rminos sean del mismo grado$ se igualan
entre si estas expresiones en n $ para %ormar ecuaciones$ de donde se
despeja el valor de n %
4. 8i de este conjunto de ecuaciones se obtiene más de un valor de n
quiere decir que la ecuación no cae dentro de este tipo.
6. 8i solamente se obtiene un valor para n $ (a ecuaci% se pod'/
t'as&o'*a' e ot'a de 0a'ia1(es sepa'a1(es po' *edio de (a
sustituci% y=v % xn
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Nota, n puede tomar valores negativos$ positivos$ enteros o %raccionarios.
E)e*p(o. @esolver ( x y2−3 y ) dx− xdy=0
So(uci%
@eemplazando x pordx e y por dy , resulta x2 y
2−3 xy− xy=0 $
simpli%icando
x2 y
2−4 xy=0 ⟹ 2n+2=n+1 ⟹ n=−1 .
7aciendo y=v % x−1
2 dy=−v x−2
dx+ x−1
dv
@eemplazando estos valores en la ecuación dada$ multiplicando y separando
variables
dx
x −
dv
v(v−2)=0 $ cuya solución es v (1−c x
2)=2
@eemplazando el valor de v= xy , se tiene xy (1−c x2 )=2
E)e*p(o. @esolver (1− x y2 ) dx−2 x
2 ydy=0
25
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So(uci%:
@eemplazando x pordx e y por dy , resulta 2n+2=1
⟹ n=−1
2 $ haciendo y=v % x−1
2 2 dy=−1
2 v x
−3
2 dx+ x−1
2 dv
@eemplazando estos valores en la ecuación dada$ simpli%icando y separando
variables
dx
x −2 vdv=0 ⟹ lnx−v
2=c $ remplazando v= y % x1
2 se tiene la
solución general x y2=lnx+c
E)e'cicios. @esolver
-. x2 (1− xy ) dy+(1+ xy− x
2 y
2 ) dx=0
/.
2 y
(¿¿ 2−3 x )dx+2 xydy=0¿
0.
y
(¿¿2−3 x2 y )dx+ x
3dy=0
¿
26
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3.
xy
2(¿¿ 2+1)dy+ y3
dx=0¿
4. (1− x2 y ) dy+2 x y
2dx=0
6. y (3− xy ) dx+ x(2− xy )dy
:.
x
(¿¿ 2 y+ x)dy+( x y2− y)dx
¿
ECUACION DIFERENCIAL E3ACTA.
Di&e'ecia(es E4actas.
8iendo la %unción implícita + ( x , y )=0 $ la di%erencial total de E es
d+ =∂+
∂ x dx+
∂ +
∂ y dy
La ecuación di%erencial exacta es∂+
∂ x dx+
∂+
∂ y dy=0
E)e*p(o,
7allar la di%erencial total de x3+7 x y
2−8 y3=0
So(uci%:
27
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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d) x3+7 x y
2−8 y3 ¿=
∂
∂ x ( x3+7 x y
2−8 y3 ) dx+
∂
∂ y ( x3+7 x y
2−8 y3 ) dy
Q (3 x
2
+7 y
2
) dx+(14 xy−24 y
2
) dy
La ecuación di%erencial exacta correspondiente será
(3 x2+7 y
2 ) dx+(14 xy−24 y2 ) dy=0 .
Ecuaci% Di&e'ecia( E4acta, 8e dice que una ecuación di%erencial
M ( x , y )dx+ ! ( x , y )dy=0 es exacta$ cuando existe una %unción E)x$y* cuya
di%erencial total es igual al primer miembro de la ecuación$ es decir
d+ = Mdx+ !d $ siendo + =+ ( x , y ) , M = M ( x , y ) , ! = ! ( , - )
(ara que la ecuación Mdx+ !dy=0 sea exacta se debe cumplir que
∂ M
∂ y =
∂ !
∂ x
M5todo pa'a o1tee' (a so(uci% +ee'a( de ua ecuaci% di&e'ecia( e4acta
28
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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8i se veri%ica que la ecuación Mdx+ !dy=0 es exacta$ proceder de la manera
siguiente
8ea E la %unción buscada$ entonces∂+
∂ x = M .
"ntegrando parcialmente respecto a x$ colocar en lugar de la constante de
integración$ una %unción cualquiera de la variable y$ esto es
+ =∫ Mdx+ f ( y )= # ( x )+ f ( y)
Luego derivar parcialmente respecto a y e igualar a >
∂
∂ y
[ # ( x )+ f ( y )]= ! $ de donde se deduce f ' ( y ) $ y por integración hallamos
f ( y) que incluye la constante arbitraria #$ obteniendo la solución general.
E)e*p(o, -
@esolver ( x2+ y2) dx+2 xydy=0
So(uci%.
29
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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!n este caso M = x2+ y
2
$ ! =2 xy
!ntonces
∂ M
∂ y =
∂ !
∂ x =2 y
$ esto prueba que la ecuación es exacta.
8i E es la %unción buscada
∂+
∂ x = x
2+ y2
$ integrando parcialmente respecto a x
x¿
(¿2+ y2¿)dx=
x3
3 + x y
2+ f ( y )
¿+ =∫ ¿
,erivando parcialmente respecto a y e igualando a >
∂+
∂ y =2 xy+ f
' ( y )= ! =2 xy $ por tanto f ' ( y )=0 $ entonces f ( y )=−$ .
La solución general será x
3
3 + x y
2=$ .
E)e*p(o, /
30
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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@esolver e2 x ( dy+2 ydx )= x
2dx
So(uci%,
Hrdenando
2 ye
(¿¿2 x− x2)dx+e
2 xdy=0
¿
∂ M
∂ y =
∂ !
∂ x =2e
2 x
$ ecuación exacta.
"ntegrando respecto a y + =∫ e2 x
dy= y e2 x+ f ( x)
,erivando respecto a x∂+
∂ x =2 y e
2 x+ f ' ( x )=2 y e
2 x− x2
!ntonces f ' ( x )=− x
2
$ luego f ( x )=− x
3
3 −$ .
La solución general será y e2 x−
x3
3 =$
E)e*p(o.0
@esolver. e x
2
( dy+2 xydx )=3 x2
dx
31
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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So(uci%
Hrdenando (2 xye2 x−3 x
2 )dx+e x
2
dy=0 $
∂ M
∂ y =
∂ !
∂ x =2 x e
2 x
$ se trata entonces de una ecuación exacta.
"ntegrando respecto a y + =∫ e x
2
dy= ye x
2
+ f ( x )
,erivando respecto a x∂+
∂ x =2 xye
x2
+f ' ( x )= M =2 xye
x2
−3 x2
.
Luego f ' ( x )=−3 x
2
$ de donde f ( x )=− x3−$ .
8iendo la solución general ye x
2
− x3=$ .
E)e'cicios.
-. ( 1 x + y2)dx+2 xydy=0
/. ( 12 x
+ y2+1)dx+( 12 y
+2 xy)dy=0
0. ( sen2 x
y + x+1)dx+( y−
sen2 x
y2 )dy=0
32
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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3. ( 2 x
x2+ y
2−
1
x+1)dx+( 2 y
x2+ y
2+ x+1)dy=0
4. [ 1
2√ x+ y2+1
x ] dx+[ y
√ x+ y2+ 1
y ]dy=0, para y=1,cuando x=1
6. (3 x2 y+2 x) dx+( x3−1) dy=0
:. (4 x−2 y+5 )dx+(2 y−2 x )dy=0
<. (3 x2+3 x y
2) dx+(3 x2 y−3 y
2+2 y ) dy=0
=. 2 x e
ydx+( x2− y
2−2 y ) e y
dy=0¿
-5. ( x+ y )dx+( x−2 y ) dy=0
--. e y dx+( x e y−2 y ) dy=0
-/.
x
2 xydx−(¿¿2+ y2)dy=0
¿
-0.2 xy−1
x dx+
x+3 y
y2
dy=0
-3. ( y e x−2 x ) dx+e
xdy=0
-4.
( ycosx−2 seny ) dx=(2 xcosy−senx )dy
ECUACION DIFERENCIAL NO E3ACTA
!s de la %orma M ( x , y )dx+ ! ( x , y ) dy=0, siempre y cuando ∂ M
∂ y .
∂ !
∂ x
33
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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(ara resolver esta ecuación di%erencial' se introduce el %actor integrante
/= / ( x , y ) , dando lugar a la ecuación di%erencial ) M/¿dx+( !/ ) dy=0,
que es exacta. (or tanto cumple la condición∂( M/)
∂ y =
∂( !/)∂ x .
NOTA.9 !l %actor integrante no es Dnico$ por ejemplo
!cuac. >H exacta 2act. "nt. !cuac. !xacta
2 ydx+ xdy=0 x3 y 2 x
3 y
2dx+ x
4 ydy=0
2 ydx+ xdy=0 1
xy 2
x dx+
dy
y =0
2 ydx+ xdy=0 1
√ y / √ y dx+ x
√ ydy=0
34
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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Facto' ite+'ate de (a &o'*a: v=0( x )
8ea M ( x , y )+ ! ( x , y ) dy=0 $ ecuación di%erencial no exacta.
8i se cumple que
∂ M
∂ y −
∂ !
∂ x
! =f ( x) $ entonces el %actor integrante esta dado
por v=e∫f ( x ) dx
E)e*p(o !. @esolver
x
(¿¿2+ y2+ x)dx+ xydy=0
¿
So(uci%
,ado no que∂ M
∂ y .
∂ !
∂ x la ecuación no es exacta.
(ero
∂ M
∂ y −
∂ !
∂ x
! =
1
x $ luego el %actor integrante es v=e
∫ 1
xdx
= x
Multiplicando por la ecuación dada
x
(¿¿3+ xy2+ x
2)dx+ x2 ydy=0
¿$ que es
ecuación di%erencial exacta.
35
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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Luego$ resolviendo u=∫ x2 ydy=
x2 y
2
2 + f ( x)
∂ u∂ x = x y 2+ f ' ( x )= M = x3+ x y2+ x2 $ entonces
f ' ( x )= x
3+ x2
⟹ f ( x )= x
4
4 +
x3
3 −c $ la solución general es
x2 y
2
2 +
x4
4 +
x3
3 =c
E)e*p(o, 6,. @esolver
x
(¿¿3+ x y2)dx+2 ydy=0¿
So(uci%
8iendo∂ M
∂ y .
∂ !
∂ x la ecuación no es exacta.
36
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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@esolviendo
∂ M
∂ y −
∂ !
∂ x
! = x $ tenemos que el %actor integrante es
v=e∫ 1
xdx
=e
x2
2 Multiplicando el 2.". por la ecuación dada se tiene la ecuación
di%erencial exacta
x
(¿¿3 e x
2
2 + x y2
e x
2
2 )dx+2 y e
x2
2 dy=0
¿
"ntegrando respecto a y y derivando respecto a x
∂ u
∂ x= x y
2e
x2
2 +f ' ( x )= M = x
3e
x2
2 + x y2e
x2
2⟹ f
' ( x )= x3
e x
2
2
$ f ( x )=∫ x3e
x2
2 dx )por
partes*$ f ( x )= x2
e
x2
2 −2e
x2
2−c $ luego la solución general es
e
x2
2 ( x2+ y2−2 )=c
E)e*p(os. @esolver
37
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-. xdy− ydx= x4 ydy+ x
3 y
2dx
/. (2 x3 y
2+4 x2 y+2 x y
2+ x y4+2 y ) dx+2 ( y3+ x
2 y+ x ) dy=0
Facto' ite+'ate de (a &o'*a: v=0( y )
8i−
∂ M
∂ y −
∂ !
∂ x
M = # ( y ) $ el %actor integrante esta dado por v=e∫
# ( y )dy
E)e*p(o,9 @esolver xdy− ydx= y2
dx
So(uci%,
Hrdenando ( y+ y2 ) dx− xdy=0 $ ecuación no exacta$ pero
∂ M ∂ y
− ∂ ! ∂ x
M =
−2
y ⟹ el 2. ". v=e
∫−2
ydy
= y−2 .
Multiplicando la ecuación dada por el %actor de integración tenemos
(
1
y+1
)dx−
x
y
2 dy=0 $ ecuación exacta. ⟹
( 1 y +1)dx=¿
x
y + x+ f ( y)
u=∫¿
38
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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∂u
∂ y=− x
y2 +f
' ( y )= ! =− x
y2 ⟹ f
' ( y )=0 ⟹ f ( y )=−c
8iendo la solución general x+ xy=c y.
E)e*p(os, @esolver
-. ydx−2 xdy= xydy
/.
x
(¿¿ 2+3 xy+2 x )dy=0
( xy+ y
2
+ y ) dx+¿
0. (2 xy−1 ) dx+( x
y+3)dy=0
E)e'cicios. @esolver
-. (4 xy+3 y2− x ) dx+ x ( x+2 y ) dy=0
/.
y
ydx+(¿¿ 2− x)dy=0¿
0. x
2+ y(¿¿ 2+ x)dx+ xydy=0
¿
3.
y
(¿¿ 3+ y)dx
x (1− y2 ) dy=¿
4.
x
xydx+(¿¿ 2+ y )dy=0¿¿
6. xdy+2 ydx=2 xydy
39
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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:.
xy
(¿¿ 3−1)dx+ x2 y
2dy=0
¿
<. 2 x y
2dx−( x2
y+ y3 ) dy=0
¿
=. x
2seny− xy
xcosydx−(¿¿ 2)dy=0¿
-5. xdy− ydx= x3 y
2dx
--. (2 y−3 x )dx+ xdy=0
-/. ) x− y2 ¿dx+2 xydy=0
-0. (3 x2+ y
2 ) dx−2 xydy=0
-3. xdy− ydx= x2
e x
dx
-4.
2 y− x
(¿¿ 3)dx+ xdy=0¿
ECUACIONES LINEALES 7 REDUCI#LES A LINEALES
ECUACION LINEAL DE PRIMER ORDEN
Ena ecuación di%erencial es lineal en la variable dependiente y $ cuando es
de primer grado en dicha variable$ y en su derivada dydx .
40
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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8i la ecuación Mdx+ !dy=0 $ es lineal en y $ puede escribirse en la %orma
generaldy
dx+ Py=1 2 %(1) $ siendo P= P( x ) $ 1=1( x ) .
8i ( y O son constantes$ la ecuación sigue siendo lineal$ pero en este caso se
simpli%ica pues se convierte en una de variables separables.
En ecuación puede no ser lineal respecto a y pero si respecto a x $ en
cuyo caso es de la %ormadx
dy+ /x=32(2) $ siendo /= / ( y) $
3=3( y) o constantes.
8i hacemos 1=0 en )-*$ tendremos la ecuacióndy
dx+ Py=0 $ llamada
ecuación #HM(L!M!>A@"A de )-* o bien la ecuación reducida homog&nea
de )-*. !s %ácil mostrar que la ecuación complementaria es de variables
separables$ la solución de la ecuación complementaria está íntimamente
relacionada con la solución de la ecuación completa )-*. oda ecuación
41
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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di%erencial lineal de primer orden se puede resolver por medio de dos
cuadraturas$ es decir$ por medio de dos integraciones. Feremos dos m&todos
el m&todo del %actor integrante y el m&todo de variación de parámetros.
Ecuaci% Liea(, M5todo de( Facto' Ite+'ate .9
La ecuación lineal de la %ormady
dx+ Py=1 $ tiene un %actor integrante )2.".*
que depende de la variable x $ que es de la %orma
v=e∫ Pdx
Hbtenido el 2.". la solución general de la ecuación puede obtenerse aplicando
el m&todo general para resolver una ecuación di%erencial exacta.
8in embargo es más %ácil y rápido multiplicar la ecuación por vdx $ esto es
e∫ Pdx
dy+e∫ Pdx
P % ydx=e∫ Pdx
1dx ⟹:
42
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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y % e
d (¿¿∫ Pdx)=e∫ Pdx
1dx
¿ ⟹ y %e∫
Pdx=∫(e∫
Pdx1dx)+ c $ de donde puede
despejarse el valor de y para obtener la solución general en %orma explícita.
8i la ecuación es lineal en x $ o de la %ormadx
dy+ /x=3 $ el %actor
integrante será v=e∫ /dy
$ el cual dependerá exclusivamente de y $ en
cuyo caso la di%erencial del primer miembro será
y %e
d (¿¿∫ /dy)¿
E)e*p(o. @esolver x2dy+3 xydx=(4−3 x ) dx
So(uci%,9
43
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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Hrdenandody
dx+3
x y=
4−3 x
x2 $ ecuación lineal en y $ siendo P=
3
x por
tanto3
x v=e
∫ 3
xdx
= x3
⟹ x3dy+3 x
2 ydx=(4 x−3 x
2 ) dx ⟹
d ( y x3 )=(4 x−3 x
2 ) dx $ integrando tenemos la solución general
y x3=2 x
2− x3+c
E)e*p(o. @esolver ydx=¿ ) y3− x ¿dy
So(uci%,
Hrdenandodx
dy+ 1
y x= y
2
$ ecuación lineal en x . ⟹v=e∫ 1
ydy
= y
⟹ ydx+ xdy= y3
dy ⟹ d ( xy )= y3
dy $ integrando tenemos la
solución general 4 xy Q y4+c
Ecuaci% (iea(, M5todo de Va'iaci% de Pa'/*et'o.
44
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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(ara resolverdy
dx+ Py=1 $ resolver primero la ecuación complementaria
dydx
+ Py=0 $ cuya solución será de la %orma y= f ( x , k ) $ siendo k la
constante de integración. A esta solución se le llama solución complementaria.
Luego reemplazar la constante k )parámetro* por una variable z
)dependiendo z de x * que debemos determinar a %in de que
y=f ( x , z ) $ satis%aga a la ecuación complementaria
E)e*p(o. @esolverdy
dx+3
x y=
4−3 x
x
2
So(uci%.9
La ecuación complementaria esdy
dx+3
x y=0 $ resolviendo y=k x
−3
45
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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@eemplazando la constante o parámetro k por cierta variable z que
depende de x se tiene y= z x−3
$ tambi&ndy
dx=−3 z x
−4+ x−3 dz
dx $
reemplazando en la ecuación dada x
−3 dz
dx=
4−3 x
x2 $ separando variables e
integrando
∫dz=∫ (4 x−3 x2 ) dx ⟹ z=2 x
2− x3+c
@eemplazando el valor de z hallamos la solución general
x3 y=2 x
2− x3+c .
E4ercicios . @esolver
1. x y
'
+ y=cscx
2. x y' + y=secx
3. x y' − y= xe
x−e x
4. x y' − y= x
2e
x
46
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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5. 2 y' + xy=3 x
6. y' = x− xy
7. y' − xy= x
8. (2 y−3 x )dx+ xdy=0
9. dy+e x
ydx=e x
dx
10. 2 ydx=( y4+ x ) dy
11. co s
2 x
dy
dx+ y=t&x
ECUACION DE #ERNOULLI
La ecuación no linealdy
dx+ Py=1 y
n
$ donde P= P ( x ) , 1=( x) y n es
una constante cualquiera$ se conoce con el nombre de ecuación de Gernoulli en la
variable y . !ste tipo de ecuación puede trans%ormarse en otra ecuación lineal
haciendo el cambio de variable u= y1−n
.
47
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>ota. Ena ecuación puede >H ser de Gernoulli en la variable y $ pero si en la
variable x $ en cuyo caso seria de la %ormadx
dy+ /x=3 % x
n
$ siendo / y
3 %unciones de la variable y solamente o constantes.
E)e*p(o. @esolver
dy
dx
+ y
x
= x y2
So(uci%,.
8e observa que es una ecuación de Gernoulli en y .
,ividir entre y2
y−2 dy
dx+1
x y
−1= x P.)-* ⟹ haciendo y−1=u $
derivando respecto a x : − y−2 dy
dx=
du
dx $ reemplazando en )-*
du
dx−
y
x=− x que es lineal en u $ por tanto
48
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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∫ Pdx=∫−1
x dx=−lnx=ln x
−1
⟹ el 2.". es ⟹v=eln x−1
=1
x
Multiplicando por la ecuación lineal en u $ se obtiene la solución general
1
xy=− x+c $ o 1= xy (c− x)
E)e*p(o. @esolver ydx+( x2 y
4−3 x ) dy=0
So(uci%,
Hrdenandodx
dy−
3
y x=− y
3 x
2
que es ecuación de Gernoulli en x %
,ividiendo entre x2
9 x−2 dx
dy+3
y x
−1= y3
7acemos x−1= z $ de donde − x
−2 dx
dy=
dz
dy $ reemplazando en la ecuación
anteriordz
dy+ 3
y z= y
3
$ que es lineal en z .
49
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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!l 2.". será v=e∫ 3
ydy
= y3 $ multiplicando la ecuación lineal por y
3dy :
y3 dz+3 y2 zdy= y6 dy $ ⟹ ∫d ( y3 z)=∫ y6 dy ⟹ y3 z= y
7
7 +k
(ero z= x−1
⟹ la solución general es
7 y3= x ( y7+7k ) haciendo 7 k =c 7 y
3= x ( y7+c )
Ecuaci% de #e'ou((i, Va'iaci% de pa'/*et'os.
!l procedimiento a seguir es igual al seguido para el caso de las ecuaciones
lineales.
E)e*p(o. @esolverdy
dx+
y
x = x
2 y
So(uci%,
50
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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8e trata de una ecuación de Gernoulli en y . La ecuación complementaria es
dy
dx+
y
x =0 $ su solución es y=
k
x $ reemplazando la constante k por la
variable z )%unción de x *$ se tiene y= z
x $dy
dx=
1
x
dz
dx−
z
x2 $
reemplazando en la ecuación de Gernoulli
∫ dz
z =∫ x
2dx ⟹ lnz=
x3
3 + c $ reemplazando z= xy
ln ( xy )= x
3
3 +c
$ solución general.
E)e'cicios. @esolver.
-. 3 y2 y
' − x y3=e
x2
2 cosx
/. y3 y
' + x y4= x e
− x2
0. xydy=( x2− y2 ) dx
3. x2 y
' + y2= xy
51
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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4. y' − xy= x y
−1
6. 2 x y' − y+
x2
y2=0
:. y
'
+ y+3
y2
e−2 x
=0
<. x y' + y= x
2 y
3
=. y− x y' = x
2 y
2
-5. y− x y' = x
3 y
2
--. y' −
x
y=− x y
2
-/. y' xdy+ y ( y2+1 ) dx=0
-0. x y ' + y= x2 y2cosx
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 7 SEGUNDO GRADO,
It'oducci%.
2orma general
dy
dx ¿2+ P
dy
dx +1=0
¿
!n la cual P= P( x , y) $ 1=1( x , y) o constantes.
52
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 53/89
(ara %acilitar hacemos P=dy
dx
!n cuyo caso la %orma general puede escribirse
p2+ P% p+1=0 PPPP..)-*
Oue puede representarse por la notación %uncional # ( x , y , p )=0.
P'i*e' caso. 8i )-* puede descomponerse en dos %actores de primer grado en
p , o bien si de )-* puede despejarse el valor de p aplicando la %órmula para
la ecuación de segundo grado$ entonces resu&lvase las dos ecuaciones
di%erenciales de primer orden y primer grado resultantes$ y se obtendrán las dos
soluciones parciales
f 1 ( x , y , c )=0 y f 2 ( x , y , c )=0
2inalmente la solución general de )-* será igual al producto
f 1 ( x , y , c ) % f 2 ( x , y , c )=0 PPP..)/*
53
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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Nota,!. Hbservar que la misma constante de integración se coloca en las dos
soluciones parciales$ de modo que al obtener la solución general )/*$ se tendrá
una sola constante arbitraria por tratarse de una ecuación de primer orden.
Nota,6. !l mismo procedimiento es aplicable a las ecuaciones de primer orden y
grado n que se pueden descomponer en %actores lineales de p $ es decir de
la %orma
p− A2
¿ p− A n
( p− A1 )¿
,onde A1 , A2
,22 .. An son %unciones de x e y como veremos en el ejemplo
)0*.
E)e*p(o, @esolver p2− p−6=0
So(uci%. 2actorizando ( p−3 ) ( p+2 )=0 ⟹ p=3 y p=−2
"ntegrando y=3 x−c $ y=−2 x−c ⟹
54
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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( y−3 x+c ) ( y+2 x+c )=0 . 8olución general.
E)e*p(o, @esolver xy p2+( y2− x
2 ) p− xy=0
So(uci%. ,espejando p )%ormula cuadrática*
p= x2− y25( x2+ y2)2 xy
,e donde p= x
y ⟹ resolviendo y2− x
2+c=0
p=− y
x ⟹ resolviendo xy+c=0
8iendo la solución general
y
(¿¿2− x2+c )( xy+c )=0
¿.
E)e*p(o, @esolver x p3
+( x−2 x2
− y ) p2
−(2 x2
+ y−2 xy ) p+2 xy=0
So(uci%, !s ecuación de primer orden grado tres. 2actorizando
55
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( p+1 ) ( xp− y ) ( p−2 x )=0
"gualando a cero cada %actor y resolviendo
y+ x+c=0 $ y+cx=0 , y+ x2+c=0
8iendo la solución general
( y+ x+c ) ( y+cx ) ( y+ x2+c )=0
Se+udo caso. 8i despu&s de resolverdy
dx por p , vemos que es %ácil
despejar el valor de la variable y en t&rminos de x y p $ es decir$ si
podemos poner la ecuación en la %orma y=f ( x , p) P.)-*
,erivar )-* respecto a x resultando
dy
dx = p=( ∂ f
∂ p )(dp
dx )+∂ f
∂ x
!cuación de primer grado en la variable p y x .
56
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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8u solución p= # ( x ,c ) puede combinarse con )-* para eliminar p entre
estas dos ecuaciones y obtener la solución %inal en t&rminos de x , y , c %
Nota. Al resolver este tipo de ecuación di%erencial se obtiene$ a menudo$ además
de la solución general$ otra solución llamada 8HLE#"H> 8">ELA@$
porque no puede deducirse de la solución general asignando valores particulares
a la constante c .
E)e*p(o, @esolver
dy
dx ¿2+2 x
3( dy
dx )−4 x2 y=0
¿
So(uci%. 7acemos p=dydx $ ⟹ p
2+2 x3 p−4 x
2 y=0 P.)-*
Hbservamos que es %ácil despejar y ⟹ y= p
2
4 x2+
px
2
,erivando respecto a x
dy
dx= p=
4 x22 p
dp
dx− p
2dx
16 x4
+ p
2+
x
2 %
dp
dx
57
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8impli%icando x4(dp
dx )+ px ( dp
dx )− p x3− p
2=0
2actorizando x dpdx
( x3+ p)− p ( x3+ p )=0
x
(¿¿ 3+ p)( x dp
dx− p)=0.
¿
,el primer %actor p=− x3
reemplazando en )-*
x4+4 y=0 Pso(uci% si+u(a'
,el segundo %acto x
dp
dx− p=0
$ resolviendo
p=c1 x : reemplazando en )-*$ y haciendo c=c1
2 se tiene
y=c x2+c
2
$ solución general.
E)e*p(os. @esolver
58
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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-. p2+2 px−2 y=0
/. p2 x− y=0
Te'ce' caso. 8i despu&s de reemplazardy
dx por p $ vemos que es %ácil
despejar el valor de x en t&rminos de y y p $ es decir si podemos poner
la ecuación en la %orma x=6 ( y , p )2 2 % (1 )
,erivamos respecto a y $ resultando una ecuación de primer grado en las
variables p e y .
8u solución p= # ( y , c) $ puede combinarse con la ecuación )-* para eliminar
p entre estas dosecuacines y obtener la solución %inal en t&rminos de
x , y , c %
ambi&n puede obtenerse solución singular.
59
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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E)e*p(o. @esolver 0
dy
dx ¿2−2 y
2( dy
dx )+2=0
xy ¿.
So(uci%. 7aciendo p=dy
dx $ tenemos 0 xy p2−2 y
2 p+2=0 P)-*
Hbservamos en este caso que es %ácil despejar x .
x=2 y
3 p− 2
3 p2 y $ derivando respecto a y
3 p2+6 yp %
dp
dy¿
−2¿
1
p
=6 p−6 y
dp
dy
9 p2 −¿
Ouitando denominadores y ordenando
dp
dy=(4 y−2 p y
3)+2 p− p2 y
2
2actorizando ) 2− p y2¿ (2 y
dp
dy + p)=0
60
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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"gualando a cero el primer %actor y despejando p=
2
y2 .
@eemplazando en )-* y simpli%icando
y3=6 x P..solución singular.
,el segundo %actor 2 y dp
dy + p=0 $ resolviendo p
2=$
-
@eemplazando en )-*
3cx+2¿2=4 c y3
¿ PPsolución general.
E)e'cicios. @esolver
-. x p2= y
4− yp
/. p2+2 y−2 x=0
Ecuaci% de C(ai'aut.
8e denominan así a las ecuaciones que pueden ponerse en la %orma
61
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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y= x dy
dx+ f (
dy
dx)
7aciendo p=dydx se tiene y= px+f ( p)
!cuaciones que adoptan esta %orma pueden resolverse %ácilmente por el m&todo
seguido para resolver ecuaciones de segundo grado.
E)e*p(o. @esolver y= px− p2
So(uci%,
,i%erenciando$ simpli%icando y %actorizando se obtiene
p' ( x−2 p)=0
Oue satis%ace para p' =0 ⟹
dp
dx=0 ⟹ p=c reemplazando
en la ecuación dada se obtiene la solución general
y=cx−c2
ambi&n para x−2 p=0 ⟹ reemplazando en la ecuación dada
62
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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y= x
2
4 $ solución singular.
E)e*p(o, @esolver
-. y= px−1
4 p
4
/. 7allar solamente la solución general de
dy
dx ¿2
y− x dy
dx ¿2+
dy
dx=¿
¿
E)e'cicios. @esolver
-. 2 y= p2+4 px+2 x
2
/. 2 yp=3 x+ x p2
0. p
2 x
4
= y+
px
3. y=− xp+ p2
4. x= y+lnp
6. 2 x2 p
2+5 xyp+2 y2=0
:. xp2−2 yp− x=0
<. xyp2+( x2+ xy+ y
2 ) p+ x2+ xy=0
=. y=3 px+6 p
2 y
2
-5.
px
y−¿¿¿
--. p2 x ( x−2 )+ p (2 y−2 xy− x+2)+ y
2+ y=0
63
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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-/. 2 px=2 t&y+ p3
co s2 y
-0.
p+6 x ¿2
y= px+3 x2+
1
2¿
-3. 4 y−4 pxlnx= p2 x2
-4. y= px+√ p
-6. y= px+√ 1+ p2
-:. p2− px+ y=0
-<. y= px− p2
-=. y= px−senp
/5. y= px+lnp
Ecuacioes de o'de supe'io' 8 P'i*e' G'ado
ienen la %ormad
n y
d xn=f ( x)
!l segundo miembro es una %unción de x solamente.
64
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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(ara resolver estas ecuaciones hacemos una adecuada sustitución para bajar el
orden$ y resolver el resultado.
E)e*p(o. @esolverd
2 y
d x2=senx
So(uci%. @ealizando una primera integración
dy
dx
=∫ senx dx+c1
dy
dx=−cosx+c1
Ena segunda integración y=∫ (−cosx+c1 ) dx
y=−senx+c1 x+c2
E)e*p(o. @esolverd
3 y
d x3= x e
x
So(uci%, "ntegrando de manera sucesiva
65
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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x e x
dx=¿ x e x−e
x+c1
d2 y
d x2=∫ ¿
( x e x−e
x+c1)dx=¿ x e x−2e
x+c1 x+c2
dy
dx=∫¿
y=∫( xe x−2e
x+c1 x+c
2)dx
y= x e x−3e
x+c1
x2
2 +c2 x+c3
!cuaciones en la que %alta la variable dependiente RyS
8i
dk y
d xk es la derivada de menor orden en una ecuación que contiene
derivadas de la variable y $ pero no contiene y directamente' la sustitución
p=d
k
yd x
k $ bajara en k el orden de la ecuación$ y si se puede resolver esta
nueva ecuación para p en %unción de x $
66
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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p=d
k y
d xk =f 1( x )
Luego se podrá hallar y en %unción de x mediante k integraciones
sucesivas.
E)e*p(o. @esolver x d
2 y
d x2+
dy
dx=0
So(uci%,
7aciendo la sustitución p=dy
dx ⟹ d
2 y
d x2=
dp
dx
@eemplazando en la ecuación di%erencial$ obtenemos
x dp
dx + p=0
"ntegrando ln p+ln x=lnc1 $ simpli%icando p=c1
x ⟹
dy
dx=
c1
x $ integrando nuevamente ∫dy=∫c1
x dx ⟹
67
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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y=c1 lnx+c2
E)e*p(o, @esolver x
d3 y
d x3
−2 d
2 y
d x2
=12 x3
So(uci%,
7acer p=d
2 y
d x2 ⟹
dp
dx=¿
d3 y
d x3
@eemplazando en la ecuación di%erencial
x dp
dx−2 p=12 x
3
⟹ dp
dx−
2
x p=12 x
2
$ resolviendo
p=12 x3+c1 x
2
⟹ d2 y
d x2=12 x
3+c1 x2
"ntegrando
(12 x3+¿c1 x
2)dx=3 x4+
c1 x3
3 +c2
dy
dx=∫ ¿
"ntegrando y=3
5 x
5+c1
12 x
4+c2 x+c3
68
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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E)e*p(os. @esolver
-.
dy
dx ¿2=0
x2 d2 y
d x2+¿
/. (1+ x2 ) d
2 y
d x2+ x
dy
dx +ax=0
Ecuacioes e (as 9ue &a(ta (a 0a'ia1(e idepediete x
8i p=dy
dx ⟹ d
2 y
d x2=
dp
dx=
dp
dy %
dy
dx= p
dp
dy
dp
dy ¿2
d3 y
d x3=
d
dx
(d
2 y
d x2
)=
d
dy
(d
2 y
d x2
)dy
dx
= d
dy ( p
dp
dy )
dy
dx
= p2 d
2 p
d y2+ p¿
.
(or tanto si una ecuación di%erencial no contiene x directamente$ mediante
esta sustitución se obtendrá una nueva ecuación en p e y de orden in%erior
en una unidad al de la ecuación primitiva. 8i esta nueva ecuación se puede
resolver para p en %unción de y .
69
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 70/89
8e tienedy
dx= p=f ( y)
(udi&ndose hallar x en %unción de y x=∫ dyf ( y )
+c
E)e*p(o. @esolverd
2 y
d x2=−a
2 y
So(uci%.
8ustituyendo pdp
dy =−a
2 y
8eparando variables e integrando p dp=−¿a
2∫ y dy
∫ ¿
p2
2 =
−a2 y
2
2 +
c1
2
2
@esolviendo para p p=dy
dx=√ c1
2−a2 y
2
"ntegrando ∫dx=∫ dy
√ c1
2−a2 y
2 $ %inalmente
70
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 71/89
x=1
aarc % sen
ay
c1
+c2
E)e*p(o. @esolver
-.
dy
dx ¿2=
dy
dx
y d
2 y
d x2+¿
/.
dy
dx ¿3=0
y2 d
2
yd x
2 +¿
E)e'cicios, @esolver
-.d
2 y
d x2= y
/.d
2 y
d x2=12 x
0. x3 d
3 y
d x3=12
3.d
2 x
d t 2 =4 sen2 t
4.
d3 y
d x3= x+senx
6.d
2 y
d x2=acos nx
:.d
2 y
d x2= y
−3
71
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 72/89
<. y3 d
2 y
d x2+4=0
=.
dy
dx ¿2=0
y d2
yd x
2 +2¿
-5. y d
2 y
d x2+(1+ y)=0
--.
dy
dx ¿2=0
y d
2 y
d x2+4 y
2−1
2¿
-/. (1+ x2
) y' '
+2 x ( y'
+1 )=0
-0. y' ' =( y ' )3+ y
'
A(+uas Ap(icacioes.
Fa*i(ia de cu'0as 8 t'a8ecto'ias o'to+oa(es.
8upongamos que se tiene una %amilia de curvas f ( x , y )=c .
(odemos considerar otra %amilia de curvas # ( x , y)=k $ tal que todo miembro
de esta corta en ángulo recto a cada miembro de la primera. 8e dice que estas
%amilias son mutuamente ortogonales o que cada %amilia %orma un conjunto de
t'a8ecto'ias o'to+oa(es de la otra %amilia.
(rocedimiento de solución.
72
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 73/89
8ea f ( x , y )=c $ %amilia de curvas$ c puede tomar valores de cierto
conjunto determinado.
,erivando hasta eliminar la constante arbitraria$ tenemos la ecuación di%erencial
df =∂ f
∂ x dx+
∂ f
∂ y dy=0 $ despejando
∂ y
∂ x=−
∂ f
∂ x
∂ f
∂ y
$ pendiente de la %amilia de curvas$
La pendiente de la %amilia de trayectorias ortogonales debe ser la reciproca
negativa∂ y
∂ x=
∂ f
∂ y
∂ f
x
$ la ecuación di%erencial de +las trayectorias ortogonales
será
73
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 74/89
∂ f
∂ y dx−
∂ f
∂ x dy=0 $ resolviendo se obtiene la ecuación de la %amilia de
trayectorias ortogonales.
E)e*p(o. ,eterminar las trayectorias ortogonales de y=2 x+b
So(uci%.
,erivar respecto a x :
dy
dx=2
$⟹
la %amilia de trayectorias ortogonales
tiene por ecuación di%erencialdy
dx=−1
2 $ resolviendo
2 y+ x=k !cuación de la %amilia de trayectorias ortogonales.
y=2 x+c
y=−1
2 x+k
.
74
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 75/89
E)e*p(o. ,eterminar las trayectorias ortogonales de x2+ y
2=cx .
So(uci%.
c= x
2+ y2
x $ derivando respecto a x
x
x (2 x+2 y y' )−(¿¿2+ y
2)
x2
=0
¿
⟹
y' =
y2− x
2
2 xy ⟹
la %amilia de trayectorias ortogonales tienen la ecuación
di%erencial y'
¿ 2 xy
x2− y
2 o 2 xydx+( y2− x2 )dy=0 ecuación
homog&nea cuya solución general es x2+ y
2=ky que es la ecuación de
trayectorias ortogonales de la %amilia x2+ y
2=cx .
E)e*p(o,9 7allar el valor de la constante R a S con la cual las %amilias
y3=c1 x $ x
2+ay2=c2 son ortogonales.
So(uci%
75
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 76/89
,erivando la segunda ecuación respecto a x dy
dx=− x
ay ⟹ la
%amilia de trayectorias ortogonales tiene la ecuación di%erencial
dy
dx=
ay
x $ resolviendo esta ecuación de variables separables
lny=alnx+alnc1 $ despejandoc1 x ¿
a
y=¿ ⟹ y1
a=c1 x comparando
con la primera %amilia a=1
3 .
C'eci*ieto 8 dec'eci*ieto o desite+'aci%.
La ecuación di%erencialdA
dt =kA indica que la velocidad de variación con
relación al tiempo de una cantidad A es proporcional a sí misma$ siendo una
constante de proporcionalidad.
8i es positiva entoncesdA
dt es positiva y A=f (t ) es creciente$
entonces el problema es de crecimiento.
76
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
http://slidepdf.com/reader/full/ecuac-diferenciales-matiii 77/89
8i es negativa$dA
dt será negativa y A= f (t ) es decreciente$ en este
caso el problema es de decrecimiento o desintegración.
Muchos %enómenos %ísicos y químicos se resuelven con una ecuación
di%erencial de esta %orma y se dice que estos %enómenos obedecen a la ley de
inter&s c5mpuesto.
E)e*p(o. Las bacterias de cierto cultivo aumentan con una intensidad
proporcional al nDmero presente. 8i en1
2 hora el numero original aumenta
en
50
. T#uántas horas se puede esperar que haya el triple del nDmero
originalU.
8olución. 8ean
A #antidad de bacterias en cualquier instante$ t.
A0 #antidad de bacterias al tiempo t =0 .
77
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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⟹ dA
dt = kA $ separando variables e integrando
lnA=kt +c $ las condiciones son
A= A0 $ cuando t =0 .
A=3 A0
2 $ cuando t =30 $ utilizando estas condiciones
ln A0=c
ln 3 A0
2 =30k +c $ de estas ecuaciones se tiene
k =ln 3
2
30 ⟹ lnA=
ln 3
2
30 t + ln A
0 ⟹
1.5¿t
30
A= A0¿
!sta ecuación nos da la cantidad de bacterias en %unción del tiempo. (ara
responder a la pregunta del problema propuesto$ se tiene que para A=3 A 0
$ reemplazando en la ecuación dada
78
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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1.5¿t
30
3 A0= A
0¿ ⟹ t =
30 ln3
ln1.5 .
E)e*p(o. Ena persona presta 1,000 soles sujetos a inter&s compuesto
continuo. 8i el tipo de inter&s es de 4 anual$ T#uánto tendrá que pagar al
cabo de 10 a+osU.
So(uci%.
8ean A #antidad de dinero al tiempo$ t a+os. ⟹
dA
dt
=kA=0.04 A
$ integrandolnA=0.04 t +c
.
Las condiciones son A=1000 $ cuando t =0 ⟹
ln1000=c ⟹ lnA=0.04 t + ln1000 ⟹ A=1000e0.04 t
.
#uando t =10 a+os A=1000e0.4=1492 soles.
79
7/23/2019 Ecuac. Diferenciales Mat.iii
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E)e*p(o, 8e ha calentado agua hasta su punto de ebullición. 8e retira luego
del %uego y se mantiene en un recinto que se encuentra a una temperatura
constante de 600
$ . Al cabo de 0 minutos la temperatura de agua es de
900
$ . #alcular la temperatura del agua en %unción del tiempo.
So(uci%,
8ea 7 : temperatura del agua despu&s de t minutos de retirada del
%uego.
La di%erencia de temperatura entre el agua y el recinto será
(7 −60) .
La variación de la temperatura con el tiempo esd7
dt .
Gasado en la experiencia se dice que la temperatura cambia mas rápidamente
cuando (7 −60) es grande mas lentamente cuando (7 −60) es peque+a.
8e ha encontrado tambi&n experimentalmente que esta variación es lineal.
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!ntonces podemos suponer qued7
dt =a(7 −60) donde a es una
constante de proporcionalidad. Ahora bien' comod7
dt es negativa cuando
(7 −60) es positiva$ hacemos a=−k $ siendo k >0 .
La ecuación toma la %ormad7 dt =−k (7 −60) .
!n %ísica esta ecuación se conoce como ley del en%riamiento de >eton.
@esolviendo la ecuación di%erencial
ln (7 −60)=−kt +c $ las condiciones son
7 =1000
$ $ cuando t =0
7 =900
$ cuando t =3 .
@eemplazando en la ecuación anterior
ln40=$
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ln30=−3k +c ⟹
$ =ln40
k =−1
3 ln3 /4 ⟹ ln
7 −60
40 =
t
3 ln
3
4 ⟹
3
4¿ t /3
7 =60+40¿.
Vi+as -o'iota(es
!l problema consiste en determinar la %lexión de una viga rectangular sometida
a una carga. "nicialmente la viga es recta y su eje central coincide con el eje
. (osteriormente$ dicho eje se ha desplazado debido a la acción de la
carga. Lo que se desea es obtener la ecuación de la curva elástica$ que nos da
la de%ormación de la viga.
(or simplicidad consideraremos la curva elástica y un punto P( x , y ) sobre
ella. (or curso de %ísica se sabe que el momento M
en el punto P
es la
suma algebraica de los momentos de las %uerzas externas que actDan sobre el
segmento de la curva. Aquí supondremos que las %uerzas hacia arriba dan
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momentos positivos y las %uerzas hacia abajo dan momentos negativos. !l
momento está dado por
M = EI d
2 y
d x2 $
,onde ! es el modulo de elasticidad de la viga e I es el momento de
inercia. Luego$ si queremos conocer la ecuación de la curva elástica debemos
resolver la ecuación di%erencial
EI d
2 y
d x2= M .
Figa horizontal
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Aplicación de una carga a una viga
E)e*p(o,
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Ena viga de 8) de longitud esta apoyada en dos columnas verticales. 8i la
viga tiene una carga uni%orme de 500 k& por metro de longitud y una carga al
centro de 5000k& $ T#uál es la carga elástica de la vigaU.
8olución. V
x
2 x
2
H O
(
!n la %igura$ las %uerzas que actDan sobre H( son
-. Ena %uerza aplicada en H a x metros de ($ dirigida hacia arriba e igual a
la carga total$ es decir1
2 (5000+8.500 ) %
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/. Ena %uerza de 500 x dirigida hacia abajo que se supone concentrada en
el punto medio de H(.
Así el momento %lexionante )%lector* en ( es
1−¿ # 2d2
M = # 1d¿
¿
1
2 (5000+8.500 ) x−500
x(
x
2 )
¿4500 x−250 x2
⟹ EI d
2 y
d x2=4500 x−250 x
2
"ntegrando sucesivamente
EI dy
dx=2225 x
2−250
3 x
3+c1
EIy=223
3 x
3−125
6 x
4+c1 x+c2
!n 5$ x= y=0 de modo que c2=0. !n O$ x=8 $ y=0,
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(or lo cual c1=−36800. (or tanto
y= 1
EI (225
3
x3−
125
6
x4−36800 x )
$ es la curva elástica de la viga.
E)e'cicios.
7allar las trayectorias ortogonales de cada una de las %amilias y haga una
gra%ica mostrando las dos %amilias.
-. y2=$x
/. y3=$ x
2
0. x2+$xy+ y
2=1
3. 3 x2+ y
2=c
4. x2−4 y
2=c
,eterminar las trayectorias ortogonales de cada una de las %amilias siguientes
y hallar miembros particulares que pasan por los puntos que se indican.
6. x2+c y
2=1 ' (2,1)
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:. x2+cy+ y
2=1 ' (3,−1)
<. y=c e−2 x+3 x ' )5$0*
=. y2=c (1+ x
2) ' (−2,5)
-5.!n cuanto se convierte un sol impuesto al 6 de inter&s compuesto
continuo$ al cabo de un a+o.--. TOu& tiempo se necesita para duplicar una cantidad de dinero impuesto al
6 de inter&s compuesto continuoU
-/.T!n cuántos a+os se desintegrara la mitad de la cantidad de radio$ si el
10 desaparece en /30 a+osU
-0.En tirante uni%orme de longitud L$ soporta una carga lateral uni%orme y esta
sometido a una %uerza de tracción ( en sus extremos. ,eterminar el
momento %lexionante máximo. 8i soporta una carga uni%ormemente
distribuida ?.
.
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