econometria estadísticos de prueba en el modelo de regresión múltiple
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ECONOMETRIA Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiple. Mtro. Horacio Catalán Alonso. Revisión de algunas Distribuciones. Econometría. Taller de Econometría. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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ECONOMETRIAECONOMETRIA
Estadísticos de Prueba en el Modelo Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiplede Regresión Múltiple
ECONOMETRIAECONOMETRIA
Estadísticos de Prueba en el Modelo Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiplede Regresión Múltiple
Mtro. Horacio Catalán Alonso
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Revisión de algunas DistribucionesRevisión de algunas Distribuciones
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Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
Sea un vector x que representa un variable aleatoria que se distribuye como una función de densidad de probabilidad normal
kxxyx ,...,, 21
donde
kkk
k
k
y
Cov
mx
mx
m
1
1111 )()(E
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Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
),(X N
x se distribuye como una normal con media y varianza
x es una normal con media cero y varianza igual a uno se define como una normal estandarizada
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Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
En el caso de un vector de variables aleatorias
),0(N I Z
La matriz de covarianzas es una matriz identidad
Cualquier vector puede ser estandarizado si se define una matriz T tal que
1ΣT´T
ITΣΣT
Por lo tanto I)N(0, μ)T(
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Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
• La multiplicación de la matriz T por las desviaciones respecto a la media generan una variable normal estándar
• Asociados a la distribución normal existen diferentes distribuciones asociadas que son utilizadas en la inferencia estadística
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EconometríaEconometría
Teorema: sean x1, x2,…,xn una muestra aletaoria, con una distribución normal con media y varianza 2
Se define la variable aleatoria
21
2)(
n
iix
V
Se distribuye como una chi-cuadrada con n grados de libertad )(2
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EconometríaEconometría
Teorema: si x1 y x2 son dos variables aleatorias independientes y cada una tiene una distribución chi-cuadrada con k1 y k2 grados de libertad, respectivamente, entonces Y = x1+x2 también se distribuye como chi-cuadrada con k1+ k2 grados de libertad
)( 21 kk 2
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EconometríaEconometría
Sea Z una variable normal estándar y X una variable aleatoria chi-cuadrada con grados de libertad. Si X y Z son independientes, entonces.
νΧ
ZT Tienen una distribución t de student
con grados de libertad
s
tˆ
de student con n -1 grados de libertadt
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EconometríaEconometría
Sean y dos variables aleatorias independientes que se distribuyen como una chi-cuadrada con m y n grados de libertad respectivamente
n
m
u Se distribuye como una F con m y n
grados de libertad
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EconometríaEconometría
Distribución normal
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EconometríaEconometría
0
Distribución t de student
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EconometríaEconometría
)(2 k ),( nmF
Distribución Chi-cuadrada
Distribución F
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EconometríaEconometría
Normal estándar
(0,1) N)T(
Se define )T(Z
)μ μ)´)´T´TT(Z´Z
μ)T(μ)T(Z´Z /
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EconometríaEconometría
Dado que 1ΣT´T
)()()(´ 21 n ZZ
Se distribuye como una chi-cuadrada con n grados de libertad
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EconometríaEconometría
ZZ )()(´ 1
21
2)(
n
ii
Con base en dos variables normal estándar se puede obtener una variable chi-cuadrada con n grados de libertad
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EconometríaEconometría
Del modelo de regresión
UX)2
UXY)1
Es la suma de errores al cuadrado
)ˆXY)´(ˆYY(U´U)3
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EconometríaEconometría
Es importante notar que
E
)(E Bajo regresores fijos
Bajo regresores aleatorios con muestras independientes
EE )()(
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EconometríaEconometría
El término de error se distribuye como una normal
),0(NU 2 Es necesario obtener un estimador de la varianza
Sabemos que
)ˆ(MU)4
MU)3
´)´(I´)´(U)2
ˆU)111
u
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EconometríaEconometría
0´)´(
´)´(IM
´)´(IM
1
1
1
UMˆMU)5
UMU)6
Sabemos que
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EconometríaEconometría
U´M´MU
)U)´(MU(MU´U)7
Dado que la matriz M es simétrica e idempotente
M´UUU´U)9
UM´UU´U)8
Aplicando valor esperado
´MUUE)U´UE()10
MMM´M´M
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EconometríaEconometría
2
2
KxKNxN2
KxKNxN2
1NxN
2
12
2
σk)(n
)U´UE(
k)(nσ
)tr(I)tr(Iσ)u´uE(
IIσ
´)´(Iσ
´)´(Iσ
Mσ´MUUE)11
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EconometríaEconometría
Estimador de la varianza
Es un estimador insesgado de la varianza
k)-(n
U1
2i
2
N
tS
2
SS 2Es la desviación estándar de los valores de Y respecto a la estimación Ŷ
Es un estimador insesgado de la varianza
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EconometríaEconometría
Sabemos que
Si
Es una normal estándar
I)N(0, Z
(n) ZZ 2/
),0(NU 2
),0(NU 2
)ranM(UU 2
/
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EconometríaEconometría
Si
Si se dsitribuye como una chi-cuadrsda con n-k grados de libertad
KNKN
--UU //
KN 22
2SK-T
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EconometríaEconometría
Restricciones
Se define
Uβ
qRβ
β
/1/2/1/2
/
//
RRRRβRVar
RβRVar
Rβ-ββ-βRERβVar
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EconometríaEconometría
Se obtiene que
1/2β,Nβ
/1/2 RRβ,RNβR
/1/2 RR0,Nβ-βR
/1/2 RR0,Nq-βR
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EconometríaEconometría
Se define la hipótesis
qβR:H
qβR:H
1
0
/1/2 RR0,Nq-βR
¿Cuál es el estadístico apropiado para realizar la prueba?
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EconometríaEconometría
Primero se define un estadístico con base en la normal estándar
0,1N
RR
q-βR
RR
q-βR/1/2/1/2
Se distribuye como una normal estándar con media cero y varianza igual a 1
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EconometríaEconometría
Sabemos que
qt
q)(
N(0,1)2
q
K-NKNUU 2
2
/
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Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
S
RR
q-βR
KNUU
RR
q-βR/1/2
2
/
/1/2
dado que 2
/
SKN
UU
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EconometríaEconometría
El estadítico se distribuye como una t de student con N – K gardos de libertad
K-N
Sq-βR
RRS
q-βR
βR/1/
t
En el caso particular de H0 : βi = 0, H1 : βi ≠ 0
K-Nestimador delestándar Desviación
EstimadorSβ
iβ
i t
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EconometríaEconometría
Es importante destacar que la prueba -student es válida, sólo si los errores se distribuyen como una normal
dado que t (N – K) → N(0, 1) cuando N →∞
La distribución t-student tiende a la normal estandár cuando N tiende a infinito
t
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EconometríaEconometría
Entonces
(n) ZZ 2/
)I,0(N 2
)()I( 212/ K
/1/2 RR0,Nq-βR
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EconometríaEconometría
Se distribuye como una chi-cuadrda con q grados de libertad que es igual al numerio de restricciones donde
/1/22 RR)I(
)(q-βRRRq-βR 21
/1/2/q
La forma cuadrática
q-βRX
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Taller de Econometría
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EconometríaEconometría
dos variables aleatroias
)KN(
SKN 22
2
La forma cuadrática
)(2 m
)(2 n )(F 2 m
n
m
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EconometríaEconometría
)KN(S)KN(
q-βRRRq-βR
2
2
1/1/2/
q
)KNq,(F
)KN(
F 2
2
q
paámetros de NúmeroK
nesobservacio de NúmeroN
nesrestriccio de Númeroq
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Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
nesrestricciocon
modelo del cuadrado al errores de SumaU**UQ*
nesrestricciosin
modelo del cuadrado al errores de SumaUUQ
/
/
q-βRRRq-βRQ*-Q1
/1//
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Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
)KNq,(F
qK-N
Q-Q*Q
)KN(Q
)-Q*Q(
F
q
nesrestriccio
con modelo del RR
nesrestriccio
sin modelo del RR
22R
22u
El estadístico F se puede expresar como
)KW()R-(1
)R-R(
F 2u
2R
2u
q
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Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
2R
2 NR
NQ
-Q*Q)( q
La hipótesis de restricciones en los parámetros se puede probar utilizando la chi-cuadrada con “q” grados de libertad que genera resultados similares a la prueba F
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EconometríaEconometría
K)-NF(1,
Cuando se impone sólo una restrición
Es equivalente a un estadístico t de student
i
2
i
β(β
K)-NF(1,Var
q Es uan prueba pseudo t
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