ec dif lin (ii unid)

7/23/2019 EC DIF LIN (II UNID)

1/37

PEDRO HUERTA MARIN ECUA

CIONES DIFERENCIALES

1

ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES

LINEALES DE 2 ORDEN

II UNIDADII UNIDAD


2/37

PEDRO HUERTA MA 2

COEFICIENTES VARIABLESCOEFICIENTES VARIABLES

( ) ( ) ( ) ( )2 1 0'' 'a x y a x y a x y b x+ + =

01

2 2 2

( )( ) ( )" '( ) ( ) ( )

a xa x b xy y ya x a x a x

+ + =

(1) " ( ) ' ( ) ( )y p x y q x y r x+ + =


3/37

COMO SE OBTIENE LA

SOLUCION GENERALDE (1) ?


4/37

PEDRO HUERTA MA 4

Entonces

es ! soc#$n %ene&! e (1)

(2) " ( ) ' ( ) 0y p x y q x y+ + =

( )S# ( ) es soc#$n %ene&! e 2Hy x

( )S# ( ) es soc#$n !&t#c!& e 1p

y x

( ) ( ) ( )H pyy x x y x= +

Consideremos ! ECUACION "OMOGENEA ASOCIADA

# DEMOSTRAR $


5/37

PEDRO HUERTA MA

* COMO SE O+TIENE

LA SOLUCION

( ) ,Hy x


6/37

PEDRO HUERTA MA -

HERRAMIENTAS TEORICAS

. CONCEPTO DE FUNCIONESLINEALMENTE INDEPENDIENTES

. CONCEPTO DE /RONSIANO

. CRITERIOS DE INDEPENDENCIA

LINEAL PARA SOLUCIONES DE UNA

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL

# ESTUDIE ESTOS CONCE%TOS $


7/37

PEDRO HUERTA MA

1( )y x 2 ( )y x

1 1 2 2( ) ( ) ( )Hy x C y x C y x= +

SON SOLUCIONES LINEALMENTE

INDE%ENDIENTES DE (2)

SI


8/37

PEDRO HUERTA MA

ECUACIONES DE COE&ICIENTESCONSTANTES

(3) " ' 0a y b y c y+ + =

0a b c a R


9/37

PEDRO HUERTA MA 5

mxy e=

se o6t#ene ! ECUACION AU7ILIAR

2

0a m b m c+ + =

Son#eno soc#ones e ! 8o&9!


10/37

PEDRO HUERTA MA 10

CASO 1 (R!:ces &e!es #st#nt!s)

1 2

1 2( )

m x m x

y x C e C e= +

* POR ;UE ,

1 2 1 2 m m m m R

E'EM%LO2

1 2

4

1 2

Reso


11/37

PEDRO HUERTA MA 11

1 2 1 24 4m m m m =R1 1

1 2( ) m x m x

y x C e C xe= +

* POR ;UE ,

CASO 2 (R!:ces &e!es #%!es)

E'EM%LO

2

1 2

1 2

Reso


12/37

PEDRO HUERTA MA 12

1 2 1 2 m m m i m i = + = C

( )1 2( ) cosxy x e C x C sen x = +

CASO 3 (R!:ces co9e?!s con?%!!s)

%OR UE?E'EM%LO

2

1 2

Reso


13/37

PEDRO HUERTA MA 13

( )2

1

* COMO O+TENER UNA SEUNDA

SOLUCION B ( ) LINEALMENTE

INDEPENDIENTE CON B ,

x

x

1S# ( ) es soc#$n e

(2) " ( ) ' ( ) 0

y x

y p x y q x y+ + =

( )

2 1 2

1

( ) ( )( ( ))

p x dxe

y x y x dxy x

=

# DEMUESTRE $

( TEOREMA DE REDUCCION DE ORDEN O &ORMULA DE ABEL)


14/37

PEDRO HUERTA MA 14

E'EM%LO 2 21

1S# ( ) es soc#$n e " ' ( ) 0@

4

Encent&e s soc#$n %ene&!

senxy x x y xy x y

x= + + =

Esri*iendo ! e+!i,n en s+ -orm! norm! .

2

1 1 1" ' (1 ) 0 ( )

4y y y p x

x x x+ + = =

Us!ndo ! -,rm+! de A*e

[ ]

1( )

2 1 2 2

1

2

2

( ) ( )( )

cos

cos( cot )

dxp x dxx

Lnx

e senx ey x y x dx dxxy x senx

x

senx xe senxdx ec x dx

sen xx x

senx xgx

x x

= =

= =

= =

SOLUCION GENERAL1 2

cos( )

senx xy x C C

x x= +


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PEDRO HUERTA MA 1

SOLUCIONES

PARTICULARES

(1) Mtoo e coe8#c#entes

#nete&9#n!os

(2) Mtoo e


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PEDRO HUERTA MA 1-

Meto'o 'e Coe8#c#entes In'ete&9#n!'os

CASO 1

(4) " ' ( )ay by cy r x+ + =

( )( )

( )

0 1

0 1

0 1

n 0 1

( ) @@@@@

( ) @@@@@

( ) @@@@@

; ( ) cos @@@@@ cos

( ) ( )n

n n

ax n ax

n n

ax n ax

n n

ax n x

n

p

a

P x a a x a x

P x e a a x a x e

P x e senbx a a x a x e senbx

x e bx b b x b e

r x y x

x bx

+ + +

+ + ++ + +

+ + +

Consideremos .


17/37

PEDRO HUERTA MA 1

E'EM%LO2

H!!& n! soc#$n !&t#c!& e

" ' 2 2 y y y x = +

2Co9o ( ) 2 es n o#no9#o se &oone =r x x= + 2py Ax Bx C= + +

Co9o ( ) e6e s!t#s8!ce& ! ec!c#$n #8e&enc#! ! &ee9!F!& se o6t#ene =py x

2 22 2( ) 2 2 2 Ax A B x A B C x + + = + # /eri-i0+e $

I%!!no os coe8#c#entes se o6t#ene e s#ste9! =

2 22 2 0 1 1 4

2 2

AA B A B C

A B C

= = = = =

=

2( ) 4py x x x = +


18/37

PEDRO HUERTA MA 1

E'EM%LO2

H!!& n! soc#$n !&t#c!& e

" ' 2 y y x = +

2Co9o ( ) 2 es n o#no9#o se &oone =r x x= + 2py Ax Bx C= + +


22 2 2 Ax A B x + = + # /eri-i0+e $

I%!!no os coe8#c#entes no se o6t#ene n s#ste9! cons#stente

COMO SE E%LICA ESTA

CONTRADICCION ?


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PEDRO HUERTA MA 15

S# !%Gn t&9#no e ( ) es n! soc#$n

e (3) entonces se e6e&D 9t##c!& e

( ) e CASO 1 o& one es e

9eno& ente&o t! e n#n%Gn t&9#no e

( ) es soc#$n e (3)

k

p

kp

r x

y x x k

x y x

CASO 2


20/37

PEDRO HUERTA MA 20

E'EM%LO2

H!!& n! soc#$n !&t#c!& e

" ' 2 y y x = +

2Co9o ( ) 2 es n o#no9#o ! &oon & e =r x x= +2

p Cy Ax Bx= + +


2 23 (- 2 ) 2 2 Ax A B x B C x + + = + # /eri-i0+e $

I%!!no os coe8#c#entes se o6t#ene e s#ste9! =

Co9o 1 2( ) x

H Cy x C e= +

1!!&ece n! eenenc#! ent&e B entoncesC C2( )py Ax Bx C x= + +

3 22

- 2 0 2 53

2

A

A B A B C

B C

=

= = = =

=

3 22( ) 2 53

py x x x x =


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PEDRO HUERTA MA 21

O%ERADOR DI&ERENCIAL ANULADORES

=

n

nnd yD y dx=

( ) ( 1)

1 1 0

11 1 0

@@@ ' ( ) e#

( @@@ ) ( )

n n

n n

n nn n

a y a y a y a y g x

a D a D a D a y g x

+ + + + =

+ + + + =1

1 1 0L! e>&es#$n @@@ se !9!

Oe&!o& D#8e&enc#! L#ne! e o&en n B se enot! o&( )

n n

n na D a D a D a

LLy g x

+ + + +

=


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PEDRO HUERTA MA 22

O%ERADOR ANULADOR

S# es n oe&!o& #ne! e coe8#c#entes const!ntes B

es n! 8nc#$n s8#c#ente9ente #8e&enc#!6e t! e

( ( )) 0

entonces se #ce e es n ANULA e ( )DOR

L

f

L f x

L f x

=

E'EM%LOS3 4 3

4 3

1) S# ( ) 0

entonces es e !n!o& e

f x x D x

L D x

= =

=

2) S# ( ) ( ) ( ) 0

entonces ( ) es e !n!o& e

x x x x

x

f x e D e D e e

L D e= = ==


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PEDRO HUERTA MA 23

2 1

E oe&!o& #8e&enc#! !n! ! c!! n! e !s 8

CASO I

1

n

@@@

c#onesn

n

D

x x x

E'EM%LO 4 3

4 3 4 4 4 3

Co9o ( )0 entonces

(1 3 ) (1) (3 ) ( ) 0

D x

D x x D D x D x+ = + =


24/37

PEDRO HUERTA MA 24

2 1

E oe&!o& #8e&enc#! !n! ! c!! n!

e !s 8nc#o

CASO II

( )

nes

@@@

n

x x x n x

D

e xe x e x e

E'EM%LO

3> 3 2 3> 3

2 3> 3 3> 3

3> 3 3> 3 3>

3 3

3

3 3 3

3 3

S# ( )4 ( 3) (4 ) 0

En e8ecto =

( 3) (4 ) ( 3)( 3)(4 )

Co9o = ( 3)(4 ) (4 ) 3(4 )

11 12

( 3)( ) ( ) 1

1x x

x x

x x

x x x

x x x

x x

xe xe

f x e xe D e xe

D e xe D D e xe

D e xe D e xe e xe

e e e

D e D e

=

=

= = =

=

+ 33 3 1 01 x xxe e e= =


25/37

PEDRO HUERTA MA 2

2 2 2

2 1

2 1

CASO III

2 ( )

cos co

E oe&!o& #8

s

e&enc#! !n!

! c!! n! e !s 8nc#o

cos @@@ cos

ne

@@

s

@

n

x x x n x

x x x n x

D D

e x xe x x e x x e x

e sen x xe sen x x e sen x x e sen x

+ +

E'EM%LO

2

1) P!&! 1 2 B 1 se t#ene e

!n! ! B t!96#n !( 2 ) cos 2 2x xD D e x e se x

n

n

+ +

= = =

2 2

2 22) S# 0 1 B 2 e oe&!o& !n!&

B @ Ae9s ( 1) !n!&

c!#e& co96#n

( 1)cos cos

!c#$n #ne! e est!s 8nc# s@

one

Dx x x senx xs x Den

n += = =+


26/37

PEDRO HUERTA MA 2-

E'EM%LO 3Reso


27/37

PEDRO HUERTA MA 2

En onse+eni! .

33

1 3 42 cos

xx

C C e C xe C x C sy enx+ + + +=

Hy Py

Se 3! o*4enido +n! so+i,n 5!r4i+!r omo en e m64odo de Coe-iien4es

Inde4ermin!dos .

3 cosxPy Axe B x Csenx= + +

Reem5!7!ndo en ! e+!i,n di-ereni!8 se o*4iene .

3 33 ( 3 )cos (3 ) 4x xAe B C x B C senx e senx+ + = +


28/37

PEDRO HUERTA MA 2

Se 9ener! en4ones e sis4em! de e+!iones ine!es .

3

3 03 4

A

B CB C

=

= =

Reso/iendo se o*4ienen .

- 2 B3

A B C= = =

%or o 4!n4o .

- 2cos

3

x

Py xe x senx= +

%ASO :

3 3

1 2

- 2( ) cos

3

x xy x C C e xe x senx= + + +

L! so+i,n 9ener! es .


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PEDRO HUERTA MA 25

Mtoo e K!!c#$n e P!&D9et&os

2 11 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( 4 ) ( 4 )

pr x y x r x y xy x y x dx y x dx

W y y W y y= +

Un! soc#$n !&t#c!& ( ) e

(1) " ( ) ' ( ) ( )

est! !! o& =

py x

y p x y q x y r x+ + =

1 2one ( ) e ( ) son soc#ones

#ne!9ente #neen#entes e

(2) " ( ) ' ( ) 0

y x y x

y p x y q x y+ + =


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PEDRO HUERTA MA 30

E'EM%LO H!!& ! soc#$n %ene&! e "y y tgx+ =

SOLUCION "OMOGENEA

1 2cosHy C x C senx= +

2Ec!c#$n A>##!& = 1 0 0 1m m i + = = = =

SOLUCION %ARTICULAR

[ ] 2 21 2cos

( ) ( ) cos 1cos

x senxW y x y x x sen x

senx x= = + =


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PEDRO HUERTA MA 31

[ ]

2

2

1 2

( ) ( )(sec )

1 cos

y x r x senx tgx sen xdx dx dx Ln x tgx senx

W y y x

= = = +

[ ]1

1 2

( ) ( ) coscos

1

y x r x x tgxdx dx senx dx x

W y y

= = =

Reem5!7!ndo8 se o*4iene .

( ) ( (sec ) ) cos cos (sec )py x Ln x tgx senx x x senx Ln x tgx= + = +

(sec )cospy Ln x tgx x= +

SOLUCION GENERAL 1 2( ) cos (sec )cosy x C x C senx Ln x tgx x= + +


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PEDRO HUERTA MA 32

ECUACION DE CAUC";EULER

2

" ' 0ax y bxy cy+ + = 0a b c a R


33/37

PEDRO HUERTA MA 33

my x=

se o6t#ene ! ECUACION AU7ILIAR

2 ( ) 0am b a m c+ + =

Son#eno soc#ones e ! 8o&9!


34/37

PEDRO HUERTA MA 34

CASO 1 (R!:ces &e!es #st#nt!s)

1 2

1 2( ) m my x C x C x= +

* POR ;UE ,

1 2 1 2 m m m m R

E'EM%LO2

2

2 2

1 2

Reso


35/37

PEDRO HUERTA MA 3

1 2 1 24 4m m m m =R1 1

1 2( ) m m

y x C x C x Lnx= +

* POR ;UE ,

CASO 2 (R!:ces &e!es #%!es)

E'EM%LO2

2

1 2

3 3

1 2

Reso


36/37

PEDRO HUERTA MA 3-

1 2 1 2 m m m i m i = + = C

( ) ( )( )1 2( ) cosy x x C Lnx C sen Lnx

= +

CASO 3 (R!:ces co9e?!s con?%!!s)

%OR UE?

E'EM%LO

2

1

1 2

Rese


37/37

PEDRO HUERTA MA 3

ec dif lin (ii unid)

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