e scu ela m ilitar de in gen iería ingenier ía com er cia l

Investigación Operativa I Ing. Jhonny Flores Flores

E scu ela Mil i ta r de I n gen ier ía Ingeniería Comercial



PRESENTACION

El desarrollo de las ciencias y su aplicación es un tema fundamental para el avance tecnológico, el

cual tiene como base la investigación científica, es por eso que la Escuela Militar de Ingeniería está

motivando a la comunidad docente y estudiantil que se interese en la aplicación científica y así

lograr la aplicación de todas las áreas de estudio, además que esto ayudara a diversas empresas a

resolver problemas.

Es por eso que es necesaria la aplicación de las herramientas científicas en especial la concerniente a

la Investigación de Operaciones, ya que se tiene diversos campos y usos, lo que ayuda a la

optimización de los distintos recursos, además que la base es la formulación de los modelos que

ayuda a la optimización de las necesidades de las empresas.

Una parte importante es obtener resultados correctos en los modelos para la cual se tienen diferentes

técnicas y herramientas, que se ven reflejados en diversos software aplicados a la Programación

Lineal, que este manual presenta los mas importantes con un ejemplo sencillo, para que se entienda

el uso análisis e interpretación de los resultados, este ejemplo se puede aplicar a distintas áreas de

aplicación que tiene la programación lineal.

Este manual esta destinado a aquellas personas que tienen un conocimiento previo de las técnicas

para resolución de Investigación Operativa referente a los Modelos de Programación Lineal (MPL)

que en primera instancia tendrá un resumen y en algunos casos un desglose puntual de los capítulos

de la asignatura Investigación Operativa I, que es llevado en la carrera de Ingeniería Comercial de la

EMI. En base a esta referencia se realizara el desarrollo del planteo de un problema que puede

presentarse en la vida real para resolverlo mediante los software (SOLVER, LINDO, LINGO,

EPLAR, etc.), además de la interpretación de los resultados, que en algunos casos se requiere para

realizar el análisis de sensibilidad correspondiente a cada modelo.

Ing. Jhonny Flores Flores Ingeniero Industrial



DEDICATORIA

Este texto esta dedicado a la Escuela Militar de Ingeniería (EMI) y en especial a la Carrera de Ingeniería

Comercial por abrirme las puertas para que puede enseñar los conocimientos que he adquirido a lo largo

de mi carrera profesional.

También en forma especial al Jefe de Carrera de Ingeniería Comercial, Tcnl. DIM. José Luís Hinojosa

Guzmán, que más que un jefe es un amigo que me incentivo a expresar mis conocimientos de manera

tangible en un texto guía para los estudiantes y así poder beneficiar a los estudiantes actuales y de

generaciones futuras.

A mi familia que siempre me inculco no quedarme, no ser conformista, siempre superarse, ser el mejor y

ayudar siempre a los demás, en especial a la mujer que amare por siempre mi Madre. También de

manera muy particular a Ing. Ilsen Callejas, por ser la persona especial que comparte su vida conmigo,

en las buenas y malas, siempre esta a mi lado apoyándome y aconsejando, mejorando así mi vida.

A mi universidad donde me forme (UMSA), a mi facultad y en especial a mi carrera, Ingeniería

Industrial que me acogió a lo largo del periodo de estudiante, que me enseñaron e inculcaron ser siempre

lo mejor, además de mis grandes amigos que hicieron ver que en la vida si existe la verdadera amistad

eterna y con esa enseñanza quiero dar lo mejor de mi a la Escuela Militar de Ingeniería.

A mi docente de la asignatura de Investigación Operativa I, Ing. Juan Carlos Ignacio Garzón que me

inculco sus enseñanzas e hicieron que vea la aplicación más práctica y extensa de la asignatura. También

agradecer a mis compañeros y amigos de estudio con los que compartí una amistad inolvidable.

A los estudiantes de la carrera de Ingeniería Comercial de la EMI. Que fueron la fuente de inspiración

para dejar mis conocimientos y las aplicaciones de los distintos software, pero de manera especial a los

que cursan el quinto semestre, ya que fui su docente y vieron que el campo de aplicación de la

Investigación Operativa es extensa, y al final se obtuvo proyectos aplicados que servirán como referencia

de posibles soluciones a distintos problemas, en distintas áreas o trabajo.

“Ser ingeniero significa tener ingenio para plantear soluciones a los distintos problemas existentes sobre la base que se tiene”



INDICE DE CONTENIDO

Pág.

1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION MATEMATICA......................................... 1 1.1 Definición de la Investigación de Operaciones.................................................................... 1 1.2 Resumen histórico e importancia de la Investigación Operativa. ...................................... 2 1.3 La Programación Matemática............................................................................................. 5 1.4 Programación Lineal. ......................................................................................................... 5 1.4.1 Programación Lineal. ...................................................................................................... 5 1.4.1.1 Identificación de Variables ............................................................................................ 6 1.4.1.2 Identificación de la función objetivo ............................................................................. 6 1.4.1.3 Identificación de las restricciones .................................................................................. 6 1.4.1.4 Condición de existencia de las variables........................................................................ 7 1.4.1.5 Representación Matricial de un MPL .......................................................................... 7 1.4.2 Propiedades del Modelo de Programación Lineal (MPL) .............................................. 7 1.5 Aplicaciones de la Programación Lineal ............................................................................ 8 1.6 Ejemplos de modelación en la Programación Lineal......................................................... 9 1.7 Recomendación para el uso del manual de Programación Lineal en software................19 1.8 Técnicas para resolver modelos de programación lineal..................................................20 1.8.1 Método Gráfico ................................................................................................................20 1.8.2 Método Algebraico...........................................................................................................20 1.8.3 Método Simplex................................................................................................................20 1.8.4 Técnica en M ....................................................................................................................21 1.8.5 Técnica 2 fases. .................................................................................................................22 1.8.6 Técnica Dual Simplex. .....................................................................................................22 1.9 Análisis de Sensibilidad .....................................................................................................23 1.10 Modelo de Transporte......................................................................................................24 1.10.1 Algoritmos de Transporte..............................................................................................25 1.10.1.1 Método de la Esquina Noroeste ..................................................................................26 1.10.1.2 Método del Costo Mínimo...........................................................................................26 1.10.1.3 Método de la Esquina Noroeste ..................................................................................26 1.10.2 Prueba de optimización..................................................................................................26 2. INTRODUCCIÓN PARA LA APLICACIÓN DE SOFTWARE .......................................27 3. RESOLUCIÓN MEDIANTE SOLVER ..............................................................................27 3.1 Habilitar SOLVER en EXCEL. .........................................................................................27 3.2 Planteo de un Modelo de Programación Lineal MPL en EXCEL ....................................29 3.3 Resolución de un MPL mediante SOLVER.......................................................................30 3.4 Opciones de SOLVER ........................................................................................................32 3.4.1 Opciones para Modelos No Lineales ...............................................................................33 3.5 Resultado del SOLVER ......................................................................................................34 3.5.1 El Informe de Respuestas. ..............................................................................................34 3.5.2 El Informe de Sensibilidad. .............................................................................................35 3.5.3 El Informe de Límites ......................................................................................................36 4. RESOLUCIÓN MEDIANTE WINQSB ..............................................................................37 4.1 Introducción del MPL en WINQSB...................................................................................38 4.2 Opciones del menú para resolver el MPL en WINQSB ....................................................41 4.2.1 Comando File. ..................................................................................................................41 4.2.2 Comando Edit. .................................................................................................................41



4.2.3 Comando Format. ............................................................................................................42 4.2.4 Comando Solve and Analyze. ..........................................................................................43 4.2.5 Comando Results. ..........................................................................................................45 4.2.6 Comando Utilities. .........................................................................................................45 4.2.7 Comando Window............................................................................................................45 4.2.8 Comando WINQSB..........................................................................................................45 4.2.9 Comando HELP. ..............................................................................................................46 4.3 Opciones de la bar ra de herramientas para resolver el MPL en WINQSB .....................46 4.4 Presentación de Soluciones del MPL en WINQSB ............................................................47 3.4.1 Presentación de la Solución del MPL de manera directa en WINQSB..........................47 4.4.2 Presentación de iteraciones para resolver el MPL en WINQSB ....................................49 4.5 Método grafico para resolver el MPL en WINQSB ..........................................................51 4.6 Sensibilidad del MPL en WINQSB ....................................................................................52 4.6.1 Sensibilidad respecto a las Variables de Decisión del MPL en WINQSB......................52 4.6.2 Sensibilidad respecto a las restricciones del MPL en WINQSB.....................................52 4.6.3 Presentación del análisis de Sensibilidad respecto a las variables y restricciones del MPL en WINQSB.....................................................................................................................53 5. RESOLUCIÓN MEDIANTE WHAT’S BEST ....................................................................54 5.1 Descripción de la bar ra de funcionamiento del WHAT’S BEST ......................................54 5.1.1 Descripción de la bar ra de funcionamiento del WHAT’S BEST en el Menú de EXCEL ...................................................................................................................................................55 5.1.2 Descripción de la bar ra de funcionamiento del WHAT’S BEST en EXCEL ................55 5.2 Solución de un MPL mediante WHAT’S BEST ................................................................56 5.3 Presentación de la Solución de un MPL mediante WHAT’S BEST .................................58 5.4 Análisis de Sensibilidad de un MPL mediante WHAT’S BEST .......................................59 5.5 Presentación del Reporte de Solución de un MPL mediante WHAT’S BEST .................60 6. RESOLUCIÓN MEDIANTE EPLAR .................................................................................60 6.1 Descripción de la bar ra de funcionamiento del EPLAR ...................................................61 6.2 Introducir un MPL considerando el EPLAR ....................................................................63 6.3 Resolución de un MPL por el EPLAR ...............................................................................64 7. RESOLUCIÓN MEDIANTE LINDO..................................................................................67 7.1 Descripción de la bar ras de herramientas del LINDO ......................................................68 7.1.1 Descripción de la bar ra de menú principal del LINDO .................................................69 7.1.1.1 Comando File ................................................................................................................69 7.1.1.2 Comando Edit ...............................................................................................................70 7.1.1.3 Comando Solve..............................................................................................................70 7.1.1.4 Comando Reports .........................................................................................................70 7.1.1.5 Comando Windows .......................................................................................................70 7.1.1.6 Comando Help...............................................................................................................71 7.1.2 Descripción de la bar ra de iconos de herramientas del LINDO.....................................71 7.1.2.1 Comando Nuevo. ...........................................................................................................71 7.1.2.2 Comando Abrir . ............................................................................................................71 7.1.2.3 Comando Ver. ...............................................................................................................72 7.1.2.4 Comando Guardar/ Guardar Como.............................................................................72 7.1.2.5 Comando Imprimir. ......................................................................................................72 7.1.2.6 Comando Cortar. ..........................................................................................................73 7.1.2.7 Comando Copiar. ..........................................................................................................73 7.1.2.8 Comando Find/Remplace. (Buscar / Reemplazar).......................................................73



7.1.2.9 Comando Opciones. ......................................................................................................73 7.1.2.10 Comando Go to Line. (Ir a la Línea) ..........................................................................76 7.1.2.11 Comando Paste Symbol. (Pegar símbolo)...................................................................76 7.1.2.12 Comando Clear all. (Limpiar todo) ............................................................................77 7.1.2.13 Comando Solve Command. (Resolver).......................................................................77 7.1.2.14 Comando Compile Model. (Modelo compilado) ........................................................77 7.1.2.15 Comando Solution Command. (Comando de Solución) ............................................77 7.1.2.16 Comando Peruse Command. (Comando para verificar) ...........................................77 7.1.2.17 Comando Picture. (Cuadro)........................................................................................77 7.1.2.18 Comando Send to Back. (Enviar al fondo).................................................................77 7.1.2.19 Comando Title. (Titulo) ..............................................................................................78 7.1.2.19 Comando Close All Command. (Cerrar todos los comandos)...................................78 7.2 Solución de un MPL mediante LINDO..............................................................................78 7.3 Análisis de Sensibilidad de un MPL mediante LINDO .....................................................80 7.4 Reportes adicionales de un MPL mediante LINDO ..........................................................80 8. RESOLUCIÓN MEDIANTE LINGO .................................................................................81 8.1 Descripción de la bar ras de herramientas del LINGO......................................................82 8.1.1 Descripción de la bar ra de menú principal del LINGO .................................................82 8.1.1.1 Comando File ................................................................................................................82 8.1.1.2 Comando Edit ...............................................................................................................83 8.1.1.3 Comando LINGO..........................................................................................................83 8.1.1.4 Comando Window.........................................................................................................84 8.1.1.4 Comando Help...............................................................................................................84 8.1.2 Descripción de la bar ra de iconos de herramienta del LINGO ......................................84 8.1.2.1 Comando Nuevo. ...........................................................................................................84 8.1.2.2 Comando Abrir . ............................................................................................................84 8.1.2.3 Comando Guardar. .......................................................................................................85 8.1.2.4 Comando Cortar. ..........................................................................................................85 8.1.2.5 Comando Copiar. ..........................................................................................................85 8.1.2.5 Comando Pegar. ............................................................................................................85 8.1.2.6 Comando Deshacer / Rehacer.......................................................................................85 8.1.2.7 Comando Buscar. ..........................................................................................................85 8.1.2.8 Comando Ir a línea........................................................................................................85 8.1.2.9 Comando Separación de paréntesis..............................................................................86 8.1.2.10 Comando Resolver. .....................................................................................................86 8.1.2.11 Comando Solución. .....................................................................................................86 8.1.2.12 Comando Cuadro matricial. .......................................................................................86 8.1.2.13 Comando Opciones. ....................................................................................................86 8.1.2.14 Comando Send to Back. (Enviar al fondo).................................................................87 8.1.2.15 Comando Close All Command. (Cerrar todos los comandos)...................................88 8.1.2.16 Comando Title. (Titulo) ..............................................................................................88 8.1.2.17 Comando Help Topics. (Temas de ayuda)..................................................................88 8.1.2.18 Comando Help (ayuda) ...............................................................................................88 8.2 Solución de un MPL mediante LINGO.............................................................................88 8.3 Análisis de resultados de un MPL mediante LINGO .......................................................89 9. RESOLUCIÓN MEDIANTE TORA ...................................................................................90 9.1 Introducción de un MPL en TORA ...................................................................................92 9.1 Solución de un MPL en TORA...........................................................................................95



9.1.1 Solución por el método M de un MPL en TORA............................................................95 9.1.2 Solución por el método 2 fases de un MPL en TORA ....................................................97 9.1.3 Solución por el método gráfico de un MPL en TORA....................................................98 BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................101


E scu ela Mil i ta r de I n gen ier ía I n gen ier ía Comer cia l 1

1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION MATEMATICA

1.1 Definición de la Investigación de Operaciones. Para definir la investigación de operaciones se puede tomar en cuenta las definiciones correspondientes por autores que realizaron textos importantes en esta rama, de los cuales se puede citar a los siguientes:

Según Hiller F. y Lieberman J. “Un enfoque científico de la toma de decisiones que requiere la operación de sistemas organizacionales”

Según Taha, H. “Una herramienta para la toma de decisiones mediante herramienta que ayuden la optimización de recursos”

Según Chediak, F. “Ofrece a los gerentes herramientas cuantitativas para la toma de decisiones que resuelven los problemas diarios de un negocio ó sirven para tomar decisiones en la planeación a corto o largo plazo, sea el negocio de carácter gubernamental, de producción, de servicios gremial o cooperativo”

Según la Escuela de Economía de la Universidad de Carabobo. “La Investigación de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocada hacia la toma de decisiones gerenciales, basada en el método científico para resolver problemas”.

Según Shamblin y Stevens “La Investigación Operacional es un enfoque científico de la toma de decisiones”

Según Ackoff y Sasieni “La Investigación de Operaciones es: La aplicación del método científico, por equipos interdisciplinarios, a problemas que comprenden el control de sistemas organizados hombremáquina, para dar soluciones que sirvan mejor a los propósitos de la organización como un todo” .

Según Thierauf y Grosse “La investigación de Operaciones utiliza el enfoque planeado (método científico) y un grupo interdisciplinario, a fin de representar las complicadas relaciones funcionales en modelos matemáticos para suministrar una base cuantitativa para la toma de decisiones, y descubrir nuevos problemas para su análisis cuantitativo.”

Según Moskowitz y Wright. “Método científico aplicado a problemas y la toma de decisiones por la gerencia”

Según Winston, W. “Planteamiento científico a la toma de decisiones, que busca determinar cómo diseñar y operar mejor un sistema, normalmente bajo condiciones que requieren la asignación de recursos escasos.”

De acuerdo a lo que se menciono se puede establecer la siguiente definición:

La investigación operativa es la aplicación, del método científico y técnicas matemáticas a problemas relacionados en la vida real, donde se requiere optimizar una operación tomando en cuenta los recursos y condiciones existentes en el medio.



1.2 Resumen histórico e importancia de la Investigación Operativa. La importancia de la aplicación de la Investigación Operativa se presenta desde tiempos antiguos, por lo cual se dará una referencia en forma cronológica de estos acontecimientos.

En el año 212 A. C. Arquímedes cuando tenía 75 años, fue contratado por la ciudad de Siracusa para idear un método de romper el sitio naval a la ciudad, que estaba bajo el ataque de los romanos, en el cual se produjo la primera idea de maximizar los beneficios por el mínimo de recursos con se contara la ciudad de Siracusa.

En 1759, Quesnay realizo los primeros Modelos de programación matemática, en 1873, G. Jordan planteo los métodos de Modelos lineales, en 1874, Warlas ya perfecciono los Modelos de programación matemática, en 1891, Minkousky estableció los Modelos lineales y en 1897 Markov desarrollo los Modelos dinámicos probabilísticos que tuvo una gran aplicación en la estadística. En 1903 Farkas desarrollo por completo los Modelos lineales.

En 1905 Un ingeniero danés A. K. Erlang hizo experimentos relacionados con las fluctuaciones de la demanda telefónica en equipo automático quedando estos trabajos como fundamento de muchos modelos matemáticos que se usan actualmente en los estudios de Teoría de Colas o Líneas de Espera.

En 1910, Taylor se dedicó a buscar la eficiencia para las tareas haciendo valer los estudios de tiempos y movimientos de Frank y Lillian Gilbreth eliminando movimientos innecesarios y desperdicios en cada tarea

Entre los años 1914 – 1915 se introdujo por primera vez el concepto de Investigación de Operaciones, por este entonces se tenía la primera guerra mundial en Inglaterra,, cuando W. Lanchester intentó tratar cuantitativamente las operaciones militares, obteniendo ecuaciones que relacionaban el resultado de una batalla en función de la fuerza numérica relativa de los combatientes y de su capacidad relativa de fuego. Lanchester modeló una situación que involucraba opciones estratégicas, y después probó ese modelo contra la situación real. Éste procedimiento es el que los Investigadores de Operaciones han venido practicando desde entonces. Incluso Tomás Alva Edison en los Estados Unidos de América, estudió el proceso de la guerra antisubmarina. Efectuó un análisis estadístico para desarrollar maniobras mediante las cuales los barcos pudieran evadir y destruir a los submarinos, y algo que contribuyo a los militares fue de averiguar las maniobras más eficaces de los barcos mercantes para disminuir los embarques perdidos por ataques de los submarinos enemigos. Edison empleó un "tablero táctico" como modelo para simular las operaciones reales.

En 1915 Ford W. Harris describió el primer modelo sobre el tamaño de lote económico de inventarios. En 1917, el matemático Danés A. K. Erlang, que trabajaba en la compañía telefónica de Copenhage, publicó el trabajo Soluciones a algunos problemas en la teoría de probabilidades importantes en las centrales telefónicas automáticas, contenía fórmulas de tiempo de espera que más tardes fueron empleadas por la Oficina Postal Británica para calcular el número de circuitos necesarios.



En 1925 Owen contribuyo al desarrollo de modelos de control de inventarios, Benjamín Cooper (1926), Wilson (1926) y W. Mueller (1927). Las técnicas matemáticas del control de inventarios son de las más antiguas herramientas de la Investigación de Operaciones.

En 1937, a punto de empezar la Segunda Guerra Mundial, se juntó en el Reino Unido a un equipo de matemáticos, ingenieros y científicos en áreas básicas, para estudiar los problemas estratégicos y tácticos asociados con la defensa del país. Se formó un equipo cuyo objetivo era determinar la utilización más efectiva de los limitados recursos militares. En consecuencia, a las actividades de este grupo se le llamó Investigación Operacional, que es terminología común en el medio militar

En 1939 como consecuencia del ingreso de Inglaterra a la segunda guerra mundial dos años antes que Estados Unidos, existía un núcleo de una organización Británica de Investigación de Operaciones y sus principales aportes fueron: El mejoramiento del sistema de radar, el cañoneo antiaéreo, en la guerra antisubmarina, en la defensa de la población civil, en el diseño del tamaño de los convoy y en la conducción de ataques de bombardeo sobre Alemania.

En 1940 se reunió otro grupo, el circo de Blackett encabezado por el distinguido físico inglés P. Blackett para estudiar la actuación del equipo de control de cañones en el campo; había tres fisiólogos, cuatro matemáticos, un físico, un astrofísico, un oficial militar y un agrimensor.

En Abril de 1942 en los Estados Unidos de Norteamérica se motivaron por los éxitos alcanzados por los grupos británicos, se decidió introducir la Investigación Operativa a nivel superior, emprendiendo también estudios tales como: problemas logísticos complejos, el desarrollo de patrones de vuelo para aviones y la planeación de maniobras navales. En la Fuerza Aérea se le dio el nombre de Análisis de Operaciones y en el Ejército y la Marina los de Investigación de Operaciones y Evaluación de Operaciones, respectivamente. Cuando terminó la guerra, la necesidad de reconstruir en la Gran Bretaña, dio lugar al surgimiento de otros problemas de administración en sectores de gobierno e industria los cuales demandaron la actuación de los mismos científicos especializados en la Investigación Operativa. Después de la segunda guerra mundial, tanto el ejército como la fuerza aérea de los Estados Unidos de Norte América, continuaron con los grupos de Investigación Operativa pero las técnicas desarrolladas empezaron a ser usadas en la planeación de los negocios. La industria debía renovar su producción y organización para servir rápidamente a las necesidades en tiempos de paz.

En 1950 se organizó la Operations Research Society of América (ORSA) y The Institute of Management Science (TIMS). Desde 1952 ORSA publica la revista Operations Research y desde 1953 TIMS publica su revista Management Science. Desde la década de los 70 (s) las dos sociedades publican la revista trimestral Interfases con trabajos y artículos relacionados con los problemas operacionales del uso de la ciencia administrativa y la investigación de Operaciones. En Inglaterra se formó en 1948 el Operational Research Club quien cambió su nombre posteriormente a la Operational Research Society of the United Kingdom y para 1950 crearon la revista Operational Research Quarterly. Más recientemente se han formado sociedades de Investigación de Operaciones en Francia, Italia, Israel y Austria.

También en la década de 1950 en Estados Unidos con el desarrollo y comercialización de las computadoras, los investigadores de operaciones y la gente asociada con las operaciones de la última guerra, se percataron que los estudios realizados en la misma eran de gran utilidad, aplicados



a los problemas industriales. La computadora y el desarrollo de la IO motivaron a los ejecutivos industriales y a los especialistas de esta disciplina para reunirse y provocar su rápido crecimiento.

El desarrollo de la Programación Lineal ocurrió hacia 1960 cuando los economistas empezaron a describir sistemas económicos en términos matemáticos. El profesor de Harvard Wassily Leontieff desarrolló un modelo de programación Lineal que representaba la totalidad de la economía de los Estados Unidos de Norte América.

La Programación Lineal (PL) tuvo un gran impulso para la investigación industrial dando entrada las empresas a muchos especialistas; las técnicas Pert, control de inventarios, y la simulación, empezaron a emplearse con éxito; en vez de los simples promedios, se incluyeron la probabilidad y la estadística tan útiles en cualquier estudio moderno.

Actualmente el uso de la Investigación Operativa es extenso en áreas de: contabilidad, compras, planeación financiera, mercadotecnia, planeación de producción, transporte y muchas otras más, convirtiéndose en importante instrumento de competencia para los presupuestos y contratos.

La siguiente tabla esboza parte de los estudios y técnicas en que se apoyaron los grupos de IO en el desarrollo de esta disciplina.

Año Autor Técnica Desarrollada 1730 1765 Newton, Lagrange, Leibinitz,

Stiegles y Laplace Caculo Diferencial

1760 1800 Bernoulli, Poisson, Gauss, Bayes y Snedecor Probabilidad y Estadistica

1753 Quesnay Modelos primarios de programación matemática 1873 Jordan Modelos lineales 1874 Warlas Modelos primarios de programación matemática 1896 Minkousky Modelos lineales 1897 Markov Modelos dinámicos probabilísticos 1903 Farkas Modelos dinámicos probabilísticos 1905 Erlang Líneas de Espera 1910 Taylor Eficiencia para las tareas con estudios de tiempos 1915 Ford W. Harris Primer modelo del tamaño de lote económico de inventarios 1920 1930 Konig Egervary Asignación 1937 Morgestern Lógica Estadística 1939 Kantorovich Planeación en producción y distribución 1941 Hitchcok Transporte 1947 Dantzig George Método Simplex 1958 Bellman Richard Programación dinámica

19501956 Kun Tucker Programación No Lineal, Método Húngaro, sistema de desigualdades

1958 Gomory Programación Entera 19561962 Ford Fulkerson Redes de Flujo 1957 Markowitz Simulación y Programación discreta 1957 Raifa Análisis de Decisiones 1958 Arrow Karlin Inventarios 1960 Harvard Wassily Leontieff Desarrollo de la Programación Lineal 1963 Karmarkar – Narend Algoritmo de punto interior



1.3 La Programación Matemática. La programación matemática es la base para resolver un modelo matemático, que tiene una estructura ya definida, entre los cuales se puede mencionar los pasos siguientes para la construcción de este tipo de modelos.

• Identificar el problema • Observar el sistema • Formular el modelo matemático del problema • Verificar el modelo y usar el modelo para predecir • Seleccionar una opción adecuada • Presentar los resultados y conclusión del estudia de la empresa • Poner en marcha y evaluar las recomendaciones

Lo principal siempre es identificar el problema, pero esta estructura se puede presentar en un modelo de programación matemática que es la siguiente:

bi Xi g bi Xi g bi Xi g

Xi f Z OPT

≥ = ≤

=

) ( ) ( ) (

) (

Donde i = 1, 2, 3, … , n

En un modelo matemático se tiene restricciones de la forma de desigualdades (mayor o igual y menor o igual) y de la forma de igualdad, este de acuerdo al sistema que se presente, además esto sirve para ver la opción más adecuada del modelo planteado.

1.4 Programación Lineal. La programación Lineal se basa en la relación de variables definidas de acuerdo al problema existente, esta programación requiere de un modelo que relacione todas las variables de acuerdo a las condiciones existentes.

1.4.1 Programación Lineal. El modelo de Programación Lineal es una representación simbólica de la realidad que se estudia, se forma con expresiones lógicas matemáticas conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo), al costo (con mínimo). Este modelo en primera instancia se debe definir de acuerdo a lo que se necesita, como se menciono cuando se pide o necesita una retribución (Maximizar) esta puede ser de acuerdo al ingreso que se pude tener, a las utilidades, pero en algunos casos, no se presentan estos en forma directa, es decir se pude dar de manera indirecta que vincule los ingresos o utilidades, por ejemplo la producción o venta de un articulo, a la larga representa un ingreso o en algunos casos si se da información una utilidad.

De la misma manera se puede representar el costo (Minimizar), que puede presentarse de manera indirecta, como por ejemplo los operarios, mermas de producción, etc., a la larga representan un costo a la empresa o industria donde se quiere realizar el modelo.

Este modelo también presenta restricciones, es decir que los recursos disponibles, que por lo general son limitantes que hacen planificar las operaciones, en caso del consumo de recurso (disponible con



desigualdad ≤), al recurso requerido (con desigualdad ≥), recurso especificado (con igual = ), pero además de esto se pude contar con palabras como ser: disponible (≤), mínimo (≥), máximo (≤), por lo menos (≥), a lo mucho (≤), necesario (≥), etc., y sinónimos de esas palabras, al realizar este modelo se tiene que seguir 4 partes las cuales se desglosa a continuación.

1.4.1.1 Identificación de Variables Cualquier modelo debe necesariamente identificar la variable a ser determinada, no se debe olvidar que esta variable puede considerarse como una incógnita que se necesita ser calculada, también es necesario determinar las unidades con que se mide esa variable, que puede ser, unidades físicas, litros, kilogramos, personas, horas, etc., al dimensionar las unidades se puede establecer las relaciones correspondientes.

Por lo general se propone la variable a ser encontrada como Xi, donde i presente el número de variables de ese tipo existentes en el modelo, Pero en algunos problemas no se pueden reflejar con un solo tipo de variable a veces se requiere otra variable Yi, o incluso más variables, no se debe olvidar que cada tipo de variable debe estar correctamente dimensionado para que la construcción del modelo no presente dificultades.

1.4.1.2 Identificación de la función objetivo Como se menciono anteriormente la función objetivo tiene que establecerse de acuerdo a lo que se pide o necesita, por o general tiene la siguiente presentación

n n X C X C X C X C Z MAX OBJ F + + + + = .... _ . 3 3 2 2 1 1 En caso que se trate del calculo del ingreso o utilidades de manera directa o indirecta.

n n X C X C X C X C Z MIN OBJ F + + + + = .... _ . 3 3 2 2 1 1 En caso que se trate del calculo del costo de manera directa o indirecta.

Donde Ci representa los coeficientes que relacionan a las variables dentro de la FOBJ, estos por lo general dan una pauta de cual seria la variable o variables, como por ejemplo si se tiene el precio en ($/und.), o ($/Hr.) se puede deducir que las unidades de la variables pueden ser und., o hr., por lo general en esta fila debe tener unidades monetarias o que estén relacionados monetariamente con la función objetivo (MAX o MIN).

1.4.1.3 Identificación de las restricciones Cada modelo de Programación Lineal (MPL) tiene escenarios en el cual se presenta limitantes o restricciones de acuerdo a las referencias que se dan, como se menciono anteriormente se tiene desigualdades (≤ o ≥) o igualdad (=) en estas restricciones que pueden tener la siguiente presentación:

m n mn m i m

n n i

n n i

b o X a X a X a

b o X a X a X a b o X a X a X a

= ≥ ≥ + + +

= ≥ ≥ + + + = ≥ ≥ + + +

, ... .....

, ... , ...

2 2 1

2 2 2 22 21

1 1 2 12 11



Donde: ai = Representan los coeficientes tecnológicos, es decir las relaciones que vinculan las variables identificadas con las materias primas, capacidades, rendimientos, etc. bi = Son los valores que representan los recursos o disponibilidades de cada restricción o limitante.

1.4.1.4 Condición de existencia de las variables Cada variable debe cumplir la condición de existencialidad, es decir que debe existir esta variable Xi para que el modelo presente un comportamiento real, por ejemplo si se tratase de una variable que expresa la cantidad de artículos producidos, el valor que asume la variable no pude ser negativo es decir que no puede existir –3 artículos en la vida real, puede que no exista por lo que la variable puede asumir el valor de cero (0) o puede haber valores positivos. Lo mismo sucede en el caso que la variable represente la producción en kilogramos de cierto producto, por lo cual es una condición necesaria en el modelo que se puede presentar de la siguiente manera:

0 ≥ i X ∀ i = 1, 2, 3, …, n

1.4.1.5 Representación Matricial de un MPL La forma típica en la cual se puede englobar un MPL es la matricial que puede tener la siguiente estructura:

F. OBJ OPT Z =[ ]

1

2

1

1 2 1 : * ....

nx n

xn n

X

X X

C C C

s. a.

1

2

1

1

2

1

2 1

2 22 21

1 12 11

: : *

... : : : :

...

...

mx m nx n mxn mn m m

n

n

b

b b

X

X X

a a a

a a a a a a

≥ = ≤

0 ≥ i X

Esta representación matricial es la base de la Representación Canónica OPT Z = CX SA AX ≤, =, ≥ B

X ≥ 0

1.4.2 Propiedades del Modelo de Programación Lineal (MPL) Para que un MPL sea válido, debe cumplir necesariamente las siguientes propiedades:

• Proporcionalidad.Significa que la contribución al valor de la función objetivo y el consumo o requerimiento de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de cada variable de decisión. Así el término 4X1 es proporcional, porque contribuye al valor de la función Z con 4, 8, 12, etc. para los valores 1, 2, 3, etc., respectivamente, de X1. Se puede observar el aumento constante y proporcional de 4 conforme crece el valor de X1. En



contraste, el término no lineal 4X1 2 , contribuye con 4, 16, 36, etc., para los mismos valores 1,

2, 3, etc., respectivamente, de la variable X1; Aquí se observa que el aumento en la contribución no es constante y por lo tanto no hay proporcionalidad.

• Aditividad. Significa que se puede valorar la función objetivo Z, así como también los recursos utilizados, sumando las contribuciones de cada uno de los términos que intervienen en la función objetivo Z y en las restricciones.

• Divisibilidad. Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados valores no enteros para ellas. La hipótesis de divisibilidad más la restricción de no negatividad, significa que las variables de decisión pueden tener cualquier valor que sea positivo o por lo menos igual a cero.

• Certidumbre. Significa que los parámetros o constantes son estimados con certeza, o sea, no interviene una función de probabilidad para obtenerlos

• El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues debe cumplir que, tanto la función objetivo como todas las funciones de restricción, sean lineales.

1.5 Aplicaciones de la Programación Lineal En la vida real se puede aplicar el modelaje, de acuerdo a los escenarios presentados, actualmente en la sociedad moderna se ha reconocido interesantes problemas de optimización tales como la manera más eficiente de manejar la economía de un país o también la mezcla de ingredientes de un fertilizante para satisfacer las especificaciones agrícolas a costo mínimo. Ambos problemas utilizan el modelo de programación lineal, para optimizar una función lineal condicionada a restricciones lineales, que es sencillo en su estructura matemática, pero poderoso por su gran adaptación a una amplia variedad de problemas.

La programación lineal es una técnica matemática de resolución de problemas, su desarrollo representa una ayuda a los administradores para tomar decisiones en la asignación de recursos. A continuación aparecen algunas aplicaciones típicas de un MPL que posteriormente se desglosara en este manual:

• Un fabricante desea desarrollar un programa de asignación en producción y una política de inventario que satisfagan la demanda de ventas de periodos futuros. Así se podría cumplir la demanda con mínimo costo total de producción y de inventario.

• Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de una diversidad de alternativas en acciones y bonos. Se debe establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión asignada.

• Un administrador de mercadotecnia desea determinar la mejor manera de asignar un presupuesto de publicidad como radio, televisión, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría determinar la combinación de medios que maximice la efectividad de la publicidad.

• Una empresa tiene almacenes en varias. ubicaciones en todo el país. Para un conjunto de demandas de sus productos por parte de sus clientes, la empresa desearía determinar cuánto debe asignar en embarques a cada uno de los almacenes y a cada cliente, de manera que los costos totales de transporte resulten mínimos.

• El transito quiere optimizar el flujo vehicular de modo que se tenga un mínimo de congestión.

• Se quiere acondicionar un lote de modo que se tenga una optima distribución en la plantación de árboles, de manera que no se tenga áreas que ocasionen la que las plantaciones futuras tengas complicaciones



Estas aplicaciones representan unas cuantas situaciones en las que se ha utilizado con éxito la programación lineal, pero ilustran su potencial en la solución de problemas. Un estudio detallado revela las características comunes de ellas. En el ejemplo inicial, el fabricante desea minimizar costos; en el segundo, el analista financiero desea maximizar el rendimiento sobre la inversión; en el tercero, el gerente de mercadotecnia desea maximizar la efectividad de la publicidad, y en el ejemplo cuarto, la empresa desea minimizar los costos totales de transporte. En todos los problemas de programación lineal, el objetivo es el máximo o bien el mínimo de alguna cantidad en la acción de asignar recursos.

Los problemas de programación lineal se caracterizan, además, por las condiciones impuestas o restricciones de recursos, que limitan el grado en que se puede cumplir algún objetivo. En el ejemplo inicial, el fabricante está limitado por restricciones que requieren que la demanda de producto quede satisfecha y por restricciones respecto a la capacidad de producción. El problema de la cartera del analista financiero está limitado por la cantidad total de fondos de inversión disponibles y las cantidades máximas que se pueden invertir en cada acción o bono. La decisión en la selección de medios del gerente de mercadotecnia, está restringida por un presupuesto de publicidad fijo y por la disponibilidad de los varios medios. En el problema de transportación, el programa de embarques de costo mínimo está restringido al suministro de productos disponibles en cada almacén. La diversidad de condiciones mencionadas, es parte de lo que puede esperar aquel que decida enfrentar un problema, pues las restricciones son otra característica general en todo problema de programación lineal.

1.6 Ejemplos de modelación en la Programación Lineal A continuación se dará ejemplo en la cual uno puede ver como se debe modelar para obtener un resultado acorde a la situación y restricciones, no se debe olvidar que para una correcta modelación se deben identificar las variables y sus unidades, en algunos casos es aconsejable identificar las restricciones. Para presentar el modelo en primera instancia se debe identificar las variables y sus unidades o dimensiones; luego se debe formular la función objetivo (FOBJ), y las restricciones de acuerdo al enunciado, para esto se debe tener las unidades compatibles en cada lado de las restricciones y por último se debe considerar la condición de existencia de la variable.

a) Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Solución XA cantidad que invertimos en acciones de tipo A; XB cantidad que invertimos en acciones de tipo B FOBJ. MAX Z = 0,1 XA + 0,08 XB SA XA + XB ≤ 210000

XA ≤ 130000 XB ≤ 60000 XA ≤ 2 XB XA , XB ≥ 0



b) El granjero Jones tiene que determinar cuántos acres de maíz y de trigo hay que sembrar este año. Un acre de trigo produce 25 bushel de trigo y requiere 10 horas semanales de trabajo. Un acre de maíz produce 10 bushel de maíz y requiere 4 horas semanales de trabajo. Se puede vender todo el trigo a 4$ el bushel y todo el maíz a 3$ el bushel. Se dispone de 4 acres y de 40 horas semanales de trabajo. Disposiciones gubernamentales especifican una producción de maíz de por los menos 30 bushel durante el año en curso. Formule el problema de Programación Lineal.

Solución X 1 = # de acres con maíz X 2 = # de acres con trigo

FOBJ Max Z = 30 X1 + 100 X2 s.a

X1 + X2 ≤ 7 4 X1 +10 X2 ≤ 40 10 X1 ≥ 30

X1 , X2 ≥ 0

c) Suponga que una persona acaba de heredar $ 6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planteado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirán entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

Solución FOBJ Max Z = 4500 X1 + 4500 X2

S a : X1 ≤ 1

X 2 ≤ 1 5000 X1 + 4000 X2 ≤ 6000 400 X1 + 500 X2 ≤ 600

X1 , X 2 ≥ 0

d) RYLON COPORPORATION fabrica los perfumes BRUTTE y CHANELLE. Se puede comprar la metería prima que se necesita para producir cada tipo de perfume a 3 $US/lb. Para procesar 1 libra de materia prima se necesita 1 hora de trabajo de laboratorio. Cada libar de materia prima procesada produce 3 oz de perfume BRUTTE regular, y 4 Oz de perfume CHANELLE Regular. Se puede vender BRUTTE regular a 7 $US, y CHANELLE Regular a 6 $US/Oz. RYLON tiene también la opción de seguir procesando BRUTTE Regular y CHANELLE Regular para producir BRUTTE LUXURY, vendido a 18 $US/Oz, y Chanelle LUXURY vendido a 14 $US/oz. Cada onza de BRUTTE regular necesita 3 horas adicionales de



laboratorio y causa 4 $US extra de costos de producción, para producir 1 oz. De Brutte Luxury. Cada onza de CHANELLE Regular necesita 2 horas adicionales de laboratorio y causa 4 $US extra de costos de producción para producir 1oz de CHANELLE LUXURY. Cada año, Rylon dispone de 6000 horas de laboratorio y puede comprar hasta 4000 lb de materia prima. Formule un PL que se puede utilizar para determinar como puede maximizar RYLON sus ganancias. Supóngase que los gastos de laboratorio son fijos.

Solución X1 = Onzas de BRUTTE Regular vendidas anualmente X2 = Onzas de BRUTTE LUXURYvendidas anualmente X3 = Onzas de CHANELLE Regular vendidas anualmente X4 = Onzas de CHANELLE Regular vendidas anualmente X5 = Libras de materia prima compradas anualmente FOBJ Max z = 7X 1 + 14X 2 + 6X3 + 10 X 4 + 3X5 Sa

X5 ≤ 4000 3X2 + 2X4 + X5 ≤ 6000

X1 + X2 3X5 = 0 X3 + X4 4X5 = 0

Xi ≥ 0

e) Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y por un taller de montaje de la carrocería. Si el taller de pintura pintara solo camiones, se podrían pintar 40 camiones al día. Si el taller de pintura pintara solamente automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de carrocería produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día. Si el taller de carrocería produjera solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día. Cada camión aporta 300$ a la utilidad, y cada automóvil, 200. Utilice la programación lineal para determinar la producción diaria que maximizará la ganancia de la compañía.

Solución X1 = # de camiones producidos al día X2 = # de automóviles producidos al día

FOBJ Max Z = 3 X1 + 2 X2 s.a

1/40 X1 + 1/60 X2 ≤ 1 1/50 X1 + 1/50 X2 ≤ 1

X 1 , X 2 ≥0

f) Se desean invertir 2 millones de dólares en 6 tipos de inversión cuyas características son las siguientes:

Tipo de Inversión Interés anual (%) Factor de Riesgo Plazo promedio de inversión 1 8.5 0.02 8 2 9.0 0.01 2 3 8.5 0.38 5 4 14.3 0.45 6 5 6.7 0.07 2 6 13.0 0.35 4



El factor de riesgo significa la probabilidad de que el rendimiento real sea inferior al esperado. Se considera ventajoso un período promedio ponderado de inversión de ciando menos 5 años; pero el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a 0.20. La ley prohíbe que la suma de las inversiones de los tipos 4 y 6 sea mayor al 25% del total de la inversión. Formule un MPL para decidir cómo invertir para maximizar el rendimiento de los 2 millones de dólares. Solución Definición de variables Sea: Xj = cantidad de dólares a invertir en el tipo j(j=1,2,3,4,5,6) para maximizar el rendimiento.

FOBJ MAX Z= 0.085X1 + 0.09X2 + 0.85X3 + 0.143X4 + 0.067X5 +0.13X6 sa:

X1 + X2 + X3 +X4 + X5 + X6 = 2000000. 0.02X1 + 0.01X2 + 0.38X3 + 0.45X4 + 0.07X5 + 0.35X6 = 0.2 (2000000) = 400000 8X1 + 2X2 + 5X3 +6X4 + 2X5 + 4X6 = 5 (2000000) = 10000000

X4 + X6 = 0.25 (2000000) = 5000000 X1, X2, X3, X4, X5, X6 = 0

g) Un fabricante de muebles desea determinar cuantas mesas, cuantas sillas, escritorios y estantes debe fabricar para optimizar sus ganancias, para la fabricación de los muebles se utiliza, dos clases de madera. Se dispone de 1500 pies del primer tipo y 1000 pies del segundo. El fabricante dispone de 800 hombreshora para el trabajo. Se tienen vendidas 40 mesas, 130 sillas y 30 escritorios, se sabe además que no se podrán vender más de 10 estantes. En cada mesa, silla, escritorio y estante se usan 5, 1, 9 y 12 pies de madera del primer tipo y 2,3,4 y 1 pies del segundo tipo respectivamente. Fabricar una mesa requiere 3 hombrehora, una silla 2, un escritorio 5, y un estante 10. La utilidad por una mesa es de 12$, por una silla 5$, por un escritorio 15$ y por un estante 10$. Formule el problema de PL.

Solución X1 = numero de mesas por producir X2 = número de sillas por producir X3 = número de escritorios por producir X4 = número de estantes por producir

FOBJ Max Z = 12 X1 + 5 X2 + 12X3 + 10 X4 Madera del primer tipo: 5 X1 + X2 + 9X3 + 12X4 ≤ 1500 Madera del segundo tipo: 2 X1 + 3X2 + 4X3 + X4 ≤ 100 Mano de obra: 3 X1 + 2X2 + 5X3 + 10X4 ≤ 800 También X1 ≥ 40

X2 ≥ 130 X3 ≥ 30

X4 ≤ 10 X1, X2, X3, X4 ≥ 0

h) Una empresa ha dejado de fabricar ciertos productos, liberando de esta forma las cargas de producción que tenían sus equipos en los departamentos de maquinado. Ahora se tienen horas máquina que se pueden utilizar en los productos denominados 1, 2, 3 de la siguiente manera:



Horas por pieza de producto Maquina

1 2 3 Hrs. Maq. Disponible/semana

Fresadora 9 3 5 500 Torno 5 4 350 Rectificadora 3 2 150 Utilidad ($/pza.) 50 20 25 Recomendación del Dpto. Vtas. A Prod. Mínimo 30 Mínimo 15 Mínimo 20 Formular un MPL para este problema

Solución Xj = numero de piezas de producto j(j=1,2,3) a fabricar para maximizar la utilidad. FOBJ MAX Z = 50X1 + 20X2 + 25X3 [ ($US/Unidad) (Unidad/Sem)] = [$US/Sem.] sa Fresadora: 9X1 + 3X2 + 5X3 = 500 horas máquina fresadora Torno: 5X1 + 4X2 = 350 horas máquina torno Rectificadora: 3X1 + 2X3 = 150 horas maquina rectificadora Condiciones de signos pare las variables:

X1 = 30 piezas X2 = 15 piezas

X3 = 20 piezas Xi ≥ 0

i) El gobierno ha dispuesto 1500 millones de $US de su presupuesto para fines militares. 60% del presupuesto militar se usará para comprar tanques, aviones y proyectiles. Estos pueden adquirirse a un costo por unidad de 600000, 2 millones y 80000 $ US respectivamente. Se ha decidido que se deben adquirir al menos 200 tanques y 200 aviones. Debido a la escasez de pilotos experimentados, también se ha decidido comprar más de 300 aviones. La proporción de proyectiles a aviones comprados debe estar en el rango de ¼ a ½. El objetivo es maximizar la utilidad total de estas armas, en donde las utilidades individuales están dadas como 1, 2 y 3 respectivamente. Formule el problema de PL.

Solución X1 = Número de tanques X2 = Número de aviones X3 = Número de proyectiles FOBJ Max Z = X1 + 3X2 + 2X3 S.a

600000X1 + 2000000X2 + 800000X3 ≤ 90000000 X1 ≥ 200

X2 ≥ 200 X3 ≥ 300

2 1

4 1

2

3 ≤ ≤ X X

X1 , X2, X3 ≥ 0



j). Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, Bs 700, cada unidad; B, Bs 3500; C, Bs 7000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima. Con base en la teoría señalada en el aparte 5, sección A; para formular y construir el modelo, se tiene lo siguiente: a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente. En la computadora y dependiendo del programa que utilice, dispondrá de un mayor espacio diseñado para escritura que puede utilizar para nombrarlas convencionalmente.

Solución X1: unidades a producir de producto A X2: unidades a producir de producto B Estos son insumos controlables X3: unidades a producir de producto C

FOBJ Max Z = 700X1+ 3500 X2 + 7000 X3 SaDisponibilidad limitada de horas de trabajo. X1 + 2X2 + 3X3 ≤ 100 Horas de acabado disponibles en este período: 2X1 + 3X2 + X3 ≤ 200 Disponibilidad limitada de unidades de materia prima: 3X1 + 2.5X2 + 4 X3 ≤ 600

X1, X2, X3 ≥ 0

k) SUNCO Oil utiliza 3 diferentes procesos para producir varios tipos de gasolina. En cada proceso se mezclan crudos en la instalación fraccionamiento catalítico de la compañía. El funcionamiento del proceso 1 durante 1 hora cuesta 5 dólares y requiere 2 barriles de petróleo crudo 1 y 3 barriles de petróleo crudo 2. La producción después de funcionar una hora el proceso 1 es 2 barriles de gasolina 1 y1 barril de gasolina 2. El funcionamiento del proceso 2 durante 1 hora cuesta 4 dólares y requiere 1 barril de petróleo rudo 1 y 3 barriles de petróleo crudo 2. La producción después de funcionar una hora el proceso 2, e 3 barriles de gasolina 2.

Solución Xi = Horas semana que trabaja el proceso i G = Barriles de gasolina 2 que venden por semana Ob = Barriles de petróleo i que se compran por semana FOBJ Max z = 9(2X 1) + 10G + 24(2X3 ) 5X 1 4X2 X3 – 2O1 – 3O2 Sa

O1 = 2X1 + X2 O2 = 3X1 + 3X2 + 2X3 O1 ≤ 200 O2 ≤ 300 G + 3X3 = X1 X1 ≤ 3X2 X1 + X2 + X3 ≤ 100 Xi, G, Ob ≥ 0

l) En un sector de la ciudad se tiene el siguiente requerimiento de policías:



PERIODO DEL DIA 1 2 3 4 5 6 HORA DEL DIA. 0610 1014 1418 1822 2202 0206 POLICIAS REQUERIDOS (≥) 300 350 425 450 250 200

El periodo 1 sigue inmediatamente del 6. Cada policía debe laborar 8 hrs. consecutivas. Formular un modelo de programación lineal de este problema. 1

Solución Definición de variables:

Sea xj = Número de policías que inician el periodo j (j = 1, 2,3,...,6) PERIODO/HORA 0610 1014 1418 1822 2202 0206

1 2 3 4 5 6

X1

X6

X1 X2 X2

X3 X3 X4 X4

X5 X5 X6

REQUERIDOS. ≥ 300 ≥ 350 ≥ 425 ≥ 450 ≥250 ≥200

FOBJ Min. z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 sa

X1 + + X6 ≥ 300 X1 + X2 ≥ 350

X2 + X3 ≥ 425 X3 + X4 ≥ 450

X4 + X5 ≥ 250 X5 + X6 ≥ 200

Xj ≥ 0

m) Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Esta considerando producir dos tipos de dulces. SLUGGER CANDY y EASY CANDY que se componen solamente de azúcar, nueces y chocolate. Actualmente tiene en bodega 100 Oz de azúcar, 20 Oz de nueces y 30 Oz de chocolate. La mezcla para producir EASY CANDY tiene que contener por lo menos 20% de nueces. La mezcla para producir SLUGGER CANDY tiene que contener por lo menos10% de nueces y 10% de chocolate. Cada onza de EASY Out CANDY se venda a 25ctvs. Y una onza de SLUGGER CANDY a 20 ctvs.: Formule un PL que le permita maximizar sus ingresos por la venta de dulces.

Solución Definición de variables: Xij= Onzas de ingrediente i que se usan para fabricar el ingrediente j FOBJ Max z = 25 ( X 12 + X 22 + X32 ) + 20 (X 11 + X 21 + X 31 ) Sa

X11 + X12 ≤ 100 X22 + X22 ≤ 20 X31 + X32 ≤ 30 X11 ≥ 0.2(X12 + X22 + X32) X21 ≥ 0.2(X11 + X21 + X31)

1 Requerido significa también necesidad, que es lo mismo a cubrir, por lo tanto debe ser ≥



X31 ≤ 0.2(X11 + X21 + X31) Xij ≥ 0

n) La Refinería Azteca produce dos tipos de gasolina sin plomo, regular y extra los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en $12 y $14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de la azteca de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado, y deben cumplir con las siguientes especificaciones:

Tipo Presión máxima de vapor Octanaje mínimo Demanda máxima

(Bar./Sem,) Entregas mínimas

(Bar./sem.) Regular 23 88 100000 50000 Extra 23 93 20000 5000

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes: Tipo Presión de vapor Octanaje Inventario barriles Costo ($/Bar.)

Nacional 25 87 400000 8 Importado 15 98 60000 15

¿Qué cantidades de los dos petróleos (nacional e importado) deberá mezclar la azteca en ambas gasolinas, a fin de maximizar la ganancia semanal?

Solución Definición de variables: Xij barriles que compra de petroleo i para producir la gasolina sin plomo j Donde i = Nacional (N), Importado (I)

j = Regular (R), Extra (E)

FOBJ Max Z = 12(XNR + XJR) + 14(XNE + XIE) 8(XNR + XNE) 15(XER + XIE) sa

XNR + XIR ≤ 100 000 (demanda máxima de regular) XNE + XIE ≤ 20000 (demanda máxima de extra) XNR + XIR ≥ 50000 (requerimiento máximo regular) XNE + XIE ≥ 5000 (requerimiento mínimo de extra)

De la disponibilidad: XNR + XNE ≤ 40000 (nacional) XIR + XIE ≤ 60000 (importado)

Los componentes de una mezcla contribuyen al octanaje general, según sus porcentajes por peso; asimismo para la presión de vapor. Entonces, el octanaje de la regular es:

88 * 98 * 87 ≥ +

+ + IR NR

IR

IR NR

NR

X X X

X X X Lo mismo se realiza para los otros requerimientos

93 * 98 * 87 ≥ +

+ + IE NE

IE

IE NE

NE

X X X

X X X

23 * 15 * 25 ≤ +

+ + IR NR

IR

IR NR

NR

X X X

X X X



23 * 15 * 25 ≤ +

+ + IE NE

IE

IE NE

NE

X X X

X X X

Xi ≥ 0

o) Cierta Corporación tiene tres plantas sucursales con capacidad de producción en exceso. Las tres plantas tienen los elementos necesarios como para producir determinado producto y el gerente ha decidido usar parte de la capacidad de producción en exceso para tal fin. Este producto puede hacerse en tres tamaños grande, mediano y pequeño que dan como resultado una utilidad unitaria neta de 140$, 120$ y 100$, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen la capacidad de mano de obra y equipo en exceso como para producir 750, 900 y 450 unidades por día de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños que se aplique. Sin embargo, el espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso también impone una limitación sobre las tasas de producción. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso, para un día de producción de este artículo. Cada unidad de los tamaños grande, mediano y pequeño producida por día requiere de 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que pueden venderse al día 900, 1200 y 750 unidades de los tamaños grande, mediano y pequeño. Con el fin de mantener una carga uniforme de trabajo entre las plantas y conservar cierta flexibilidad, el gerente ha decidido que la producción adicional asignada a cada planta debe usar el mismo porcentaje de la capacidad de mano de obra y equipo en exceso. El gerente desea saber cuánto debe producirse de cada uno de los tamaños en cada una de las plantas para maximizar la utilidad.

Solución Definición de variables: Xij, a la producción en la planta i (i =1, 2 y 3) del producto j (j = grande, mediano y pequeño)

FOBJ Max Z = 140 (X11 +X21 + X31) + 120 (X12 + X22 + X32) + 100 (X13 + X23 + X33) S.A.

Condición de capacidad de planta: X11 + X12 + X13 ≤ 750 X21 + X22 + X23 ≤ 900 X31 + X32 + X33 ≤ 450

Condición del espacio de almacenamiento 20X11 + 15X12 + 12X13 ≤ 13000 20X21 + 15X22 + 12X23 ≤ 12000 20X31 + 15X32 + 12X33 ≤ 5000

Condición del mercado X11 + X21 + X31 ≤ 900 X12 + X22 + X32 ≤ 1200 X13 + X23 + X33 ≤ 750

Condición de la gerencia



450 900 750 33 32 31 23 22 21 13 12 11 X X X X X X X X X + +

= + +

= + +

Xij ≥ 0

p) Supóngase que el Banco de Crédito al Campesino, tiene dos planes de inversión: El primero en el programa de tierras de riesgo y el segundo en el programa de tierras temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión anualmente, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, pero al término de dos años. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule un programa lineal que le permita al Banco maximizar la inversión total en un sexenio, si la inversión anual es de $100 millones de pesos.

Solución Definición de variables: Sea Xij la cantidad que se invierte en el plan i ( i = A, B), en el periodo j ( j = 1,2, ......, 6) Donde Cantidad que ingresa ≥ Cantidad que sale El modelo de programación lineal tendrá la siguiente forma:

FOBJ Max Z = 1.3XA6 + 1.65B5 S.a.: XA1 + XB1 ≤ 100

XA2 + XB2 ≤ 1.3XA1 XA3 + XB3 ≤ 1.3XA2 + 1.65XB1 XA4 + XB4 ≤ 1.3XA3 + 1.65XB2 XA4 + XB4 ≤ 1.3XA3 + 1.65XB2 XA6 ≤ 1.3XA5 + 1.65XB4 Xij ≥ 0 ∀i , ∀j

q) CSL es una cadena de tiendas de servicios para computadoras. El número de horas de reparación especializada que requiere CSL durante los próximos cinco meses, se da a continuación. Mes 1 (Enero): 6000 horas Mes 2 (Febrero): 7000 horas Mes 3 (Marzo): 8000 horas Mes 4 (Abril): 9500 horas Mes 5 (Mayo): 11000 horas Al principio de enero, 50 técnicos especializados trabajan pera CSL. Cada técnico especializado puede trabajar hasta 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas hay que capacitar a nuevos técnicos. La capacitación de un nuevo técnico dura un mes. Un técnico experimentado tiene que supervisar al aprendiz durante 50 horas del mes de entrenamiento. A cada técnico experimentado se le paga mensualmente 2000 dólares (aunque no trabaje las 160 horas). Durante el mes de entrenamiento, se paga al aprendiz 1000 dólares al mes. Al final de cada mes, 5% de los técnicos experimentados de CSL cambian de trabajo para irse con Plum Computers. Formule un programa lineal cuya solución permitirá a CSL minimizar los costos de trabajo que se presentan al cumplir con los requerimientos de servicios durante los próximos meses.

Solución Definición de variables:



Xb = Número de técnicos capacitados durante el mes i Yb = Número de técnicos experimentados al principio del mes y FOBJ Min Z = 1000X1 + 1000X2 + 1000X3 + 1000X4 + 1000X5 + 2000Y1 + 2000Y2+ 2000Y3 + 200Y4 + 2000Y5 S.a.

160Y1 – 50X1 ≥ 6000 160Y2 – 50X2 ≥ 7000 160Y3 – 50X3 ≥ 8000 160Y4 – 50X4 ≥ 9500 160Y5 – 50X5 ≥ 6000 Y4 = 50 0.95Y1 + X1 = Y2 0.95Y2 + X2 = Y3 0.95Y3 + X3 = Y4 0.95Y4 + X4 = Y5 Yi , Xi ≥ 0

1.7 Recomendación para el uso del manual de Programación Lineal en software Para resolver los modelos mediante software, se debe identificar las variables del modelo y de acuerdo al orden presentado se debe insertar en el software, en caso que se tenga variables del tipo X11, X12, X13, …. Xnm, se debe asumir que la variable X11 sea igual a X1, X12 a X2, X13 a X3, etc., hasta llegar a completar Xmn, que sería la variable Xn.

En caso que se tratase de varios tipos de Variables Xij, Yij, Zij, etc., se la debe enumerar de acuerdo al orden de presentación, para lo cual es necesario que se tenga como subíndice un solo digito, por ejemplo si se tratase de un modelo cuyas variables son: X11, X12, X21, X22, Y11, Y12, Y13, Y21, Y22, Y23, Z1, Z2, Z3, Z4. La forma correcta de enumerar las variables para la introducción a los distintos software es la siguiente:

X11 = X1 X12 = X2 X21 = X3 X22 = X4 Y11 = X5 Y12 = X6 Y13 = X7 Y21 = X8 Y22 = X9 Y23 = X10 Z1 = X11 Z2 = X12 Z3 = X12 Z4 = X13

Para el desarrollo de este manual se debe considerar que los ejercicios son de carácter lineal, y que las variables deben estar completamente identificadas para así dimensionar las entradas a los programas.



1.8 Técnicas para resolver modelos de programación lineal Existen una gama de técnicas que ayudan a la resolución de MPL, como se hablo en clases, estos varían de acuerdo al modelo, en este manual se mencionara teóricamente las diferentes técnicas ya que posteriormente estas son mostradas en los diferentes programas.

1.8.1 Método Gráfico Para aplicar este método se debe considerar el alcance del mismo, ya que a lo mucho se pueden resolver MPL con 3 variables (X1, X2 y X3), como se avanzo en clases y los pasos respectivos son los siguientes:

• Se debe graficar las restricciones considerándolas en primera instancia en forma de igualdad. • Una vez graficado las restricciones se deben identificar el área Solución de acuerdo a las

condiciones presentadas en cada restricción. • Dentro del área de Solución se deben identificar aristas o puntos, considerando que cada uno

de estos es una posible solución. • Los puntos críticos se los obtiene mediante la intersección con los ejes coordenados o entre

las mismas restricciones, considerando los ejes X, Y para el caso de 2 variables y X, Y, Z para 3 variables.

• En caso de 3 variables se debe tomar en cuenta los planos que se forma, de acuerdo a cada restricción, sin olvidar que la intersección entre planos representa una recta.

• Se debe evaluar cada punto que delimita el área solución, remplazando estos valores en la función objetivo; de acuerdo al requerimiento se elige el que da el mayor valor en caso de Maximizar y el mínimo valor en Minimizar.

1.8.2 Método Algebraico Este método es una introducción a otras técnicas más específicas, se sigue los siguientes pasos para realizarlos:

• Para hallar una solución básica y factible (solución inicial) se debe considerar lo siguiente: Expresar las inecuaciones (desigualdades) como ecuaciones (=); posteriormente hallar la variable básica para cada ecuación y organizar el sistema de ecuaciones lineales.

• Para compensar este cambio se debe agregar una variable de holgura (Si) por cada restricción ≤, una variable artificial (Ri) por cada restricción = y restar una variable de holgura (Si) y adicionar una variable artificial (Ri) por cada restricción ≥.

• Para escoger la variable de entrada se debe considerar lo siguiente: En caso de Maximización es el que tiene mayor coeficiente y en caso de minimización el que tiene un menor coeficiente y negativo (si existiera)

• Para escoger la variable de salida se considera lo siguiente: De las ecuaciones se conserva la variable de entrada y las otras variables no básicas y básicas asumen el valor nulo. Si se considera la variable que restringe al crecimiento, es decir el que tiene menor valor.

• Se reorganiza el sistema de ecuaciones y se identifica la variable de entrada nuevamente. • Estos se realiza hasta que no exista variables de entrada.

1.8.3 Método Simplex Como se hablo en clases, este método tiene facilidad de ser empleado ya que solo se trabaja con los coeficientes, pero también tiene limitantes ya que solo se puede emplear en MPL que solo contengan restricciones de ≤.



No se debe olvidar que en caso de Maximización se debe incrementar el valor de la función objetivo y en caso de Minimización debe reducirse. La condición de optimizad se asocia con el término de entrada y a la condición de factibilidad el termino de entrada. Los pasos para realizar el Método Simplex son los siguientes:

• Colocar el modelo en su forma estándar. • Poner los coeficientes de las función objetivo con signo contrario debido a que se traslada al

lado izquierdo de esta función y las restricciones colocarlas en forma de igualdad de acuerdo a su estado inicial, para esto se adiciona una variable de holgura (Si).

• Para identificar la Variable de Entrada se debe considerar que es aquella con coeficiente MAS NEGATIVO si la Función Objetivo es de Maximización y con coeficiente MAS POSITIVO en caso que la función objetivo sea de Minimización, en caso de empate se debe considerar la importancia entre variables de entrada.

• La Variable de Salida se elige de la siguiente manera: realizar la división entre los recursos o disponibilidades y los coeficientes de columna pivote que corresponde a la variable de entrada, no existiendo división entre ceros ni negativos, la variable de salida es aquella correspondiente al MENOR COCIENTE, en caso de empates se debe considerar la importancia de las variables de salida.

• Una vez reconocida la variable de entrada y salida, la casilla de intersección de columna y fila pivote, se pivotiza, es decir que debe tener coeficiente igual a 1, en caso que no tuviese se aplica su inverso multiplicativo para que tenga el coeficiente 1, también debe tener la particularidad de ser una Variable Básica, es decir que en la columna tenga valores iguales a cero a excepción del pivote, para lo cual se debe aplicar los inversos aditivos mediante operaciones elementales.

• De esta forma se logra una nueva solución posible a ser óptima y factible, este proceso se repite hasta obtener puro coeficientes positivos o nulos en caso que la función objetivo sea de Maximización y coeficientes negativos o nulos en caso que la función objetivo sea de Minimización, de tal forma que se obtiene una solución óptima.

1.8.4 Técnica en M Cuando se tiene un MPL con distintas restricciones (≥, =, ≤) el método Simplex no puede ser empleado en forma directa, es por eso que se debe considerar otras técnicas para llegar a obtener una solución óptima y factible. Para este se debe considerar las variables de Holgura (Si), Artificiales (Ri) y una variable de Penalización (M) a dichas variables, no se debe olvidar que si se quiere hacer más especifico de debe particularizar esta variable de penalización (Mi), pero también se debe considerar que esta penalización tiene un valor muy grande, por lo que solo servirá como un instrumento para que las variables artificiales no estén dentro de la solución final.

Se debe mencionar que por cada variable artificial incluida en el MPL se debe agregar esta en la función objetivo relacionándola con la Penalización, también es necesario incluir que dichas variables son consideradas inicialmente como Variables Básicas. Los pasos necesarios para la aplicación de la técnica en M son las siguientes:

• Colocar el modelo en su forma estándar. • Para restricciones con ≤ se debe sumar a la restricción una variable de holgura Si. • Para restricciones con = se debe sumar a la restricción una variable Artificial Ri. • Para restricciones con ≥ se debe restar una variable de holgura (Si) y sumar a la restricción

una variable Artificial Ri.



• Para Maximización se deben adicionar todas las variables artificiales Ri con coeficientes –M en la función objetivo.

• Para Minimización se deben adicionar todas las variables artificiales Ri con coeficientes +M en la función objetivo.

• Se debe actualizar la función Objetivo, considerando que las variables básicas no existen, para esto se debe apoyar en las ecuaciones que tienen variables artificiales.

• Se debe considerar en grado de importancia de las variables en entrada que deben ser Xi, Si, Ri (en caso extremo), y la jerarquía para decidir la variables de salida que son Ri, Si y Xi.

• Se debe seguir los mismos pasos de decisión para las variables de entrada y salida del Método Simplex.

1.8.5 Técnica 2 fases. Es otra técnica que se puede aplicar para resolver cualquier MPL, considerando las variables artificiales, para esto se debe considerar las siguientes fases:

• Fase 1: Se crea un nuevo modelo asociado al original cuya función objetivo debe considéranse necesariamente como Minimización, en la cual se suma las variables artificiales de acuerdo a las restricciones que se presenten. Se introduce el modelo estándar en la Tabla Simplex, donde se repone la base canónica, es decir que las variables tengan inicialmente coeficientes nulos y solo se considera las variables artificiales con valor negativo. Se debe aplicar el Simplex para el caso MINIMO. El valor óptimo de la función objetivo debe ser cero para pasar a la segunda fase, de no ser así el modelo original no tendría solución y no se puede pasar a la segunda fase. Se debe ver que en la fila de la función objetivo, en la ultima iteración se repite los valores iniciales, es decir que no se tiene valores en las variables Xi y en la solución y que las columnas que reflejan las variables artificiales tengan coeficientes 1.

• Fase 2: De la tabla óptima (última iteración) de la fase 1, se debe considerar los coeficientes obtenidos, a esta se elimina todas las columnas correspondientes a las variables artificiales y solo se considera las variables de holgura, también se debe copiar las variables básicas resultantes de la última iteración y los coeficientes de la función objetivo del MPL. Considerar para los cálculos los pasos del Método Simplex y de acuerdo a la Función Objetivo (Maximización o Minimización).

• También se debe considerar la importancia de las variables Ri, Si Xi; en caso de empate se elige aleatoriamente o por su menor importancia.

1.8.6 Técnica Dual Simplex. Resuelve MPL con cualquier tipo de restricción, partiendo de una solución óptima pero INFACTIBLE, para el caso de Minimización la función objetivo debe tener Coeficientes Positivos y para el caso de Maximización debe tener Coeficientes Negativos. Para realizar esta técnica se procede a los siguientes pasos.

• Colocar el modelo en una forma parecida a la estándar, en caso de restricciones ≥ se debe multiplicar por signo negativo para que se tenga restricción ≤, en caso de restricción de tipo =, se debe separar en dos restricciones (> y <), y multiplicar nuevamente por signo negativo a la restricción >, posteriormente se debe sumar variables de holgura a las restricciones.

• Introducir al modelo anterior a una tabla Simplex, considerando a la función objetivo con signo cambiado.



• La Variable de Salida es aquella Variable Básica con valor más Negativo, es decir en la columna de solución de la tabla Simplex se debe identificar el valor más negativo, en caso de empate considerar la importancia entre variables de salida.

• La variable de entrada se elige de la siguiente manera. Realizar los cocientes entre los coeficientes de la Función Objetivo, dividido los coeficientes tecnológicos correspondientes a la restricción de la variable de salida, NO existiendo división entre ceros ni positivos; la variables de Entrada es aquella correspondiente al menor cociente, para el caso de Minimización y aquella de menor cociente en valor absoluto para el caso de Maximización, en caso de empates, se debe considerar la importancia entre variables de entrada.

• Una vez reconocidos las variables de entrada y salida, la casilla de intersección de línea o columna pivote, se pivotiza, aplicando inverso multiplicativo y se logra un vector canónico aplicando inversos aditivos, de esta forma se logra una nueva solución Básica.

• El proceso termina cuando no se tenga ninguna variable negativa en la base y se logra una solución óptima para el MPL.

1.9 Análisis de Sensibilidad El análisis de sensibilidad es muy importante en el estudio de un MPL, ya que representa los posibles cambios que pueden tener un MPL y las consecuencias en el resultado final, este análisis se aplica a modelos de la forma siguiente:

FOBJ MAX Z = CX AX ≤ b X ≥ 0

De manera matricial se tiene lo siguiente considerando los cálculos para la obtención de la solución óptima factible.

Variables de decisión Variables Básicas VB X1 X2 … Xn S1 S2 … Sm SOL Z C 0 0 S1 S2 : Sm :

A I b VB Z Z1C1 Z2C2 … ZnCn Zn+1Cn+1 Zn+2Cn+2 Zn+mCn+m … : Z πAC Π = CBB 1 ZB= CBXB

VBOPT B 1 A B 1 XB=B 1 b

Este análisis se refiere a los cambios de estado que pueden presentarse en un MPL, estos cambios pueden ser de manera externa o interna, esto se puede tener varias estructuras para realizar estos cambios se puede considerar los siguientes puntos.

• La solución inicial se puede mantener, es decir que se realiza cambios y no cambia la solución óptima, por tanto la función objetivo y restricciones se mantienen.



• Las variables básicas óptimas mantienen sus valores pero el resultado de la función objetivo cambia.

• Que exista un cambio general del modelo en las cuales se distinguen.

Cambio en b: En el caso que la matriz XB ≥ 0 Se actualiza la tabla con los siguientes cambios XB = B 1 b → XB = B 1 b* ZB = CBXB → ZB = CBXB

En el caso que la matriz XB < 0 es una solución Infactible y se debe dejar la solución de la tabla vació, y se emplea el dual Simplex y para completar la casilla de la solución se calcula con: ZB = CBXB

Cambio en C: Se debe borrar los valores de las variables de decisión y reemplazar por el siguiente cálculo

πA – C → πA – C* Después de eso se realiza el Simplex en caso que exista las condiciones de Variables de Salida

Cambio en A: De acuerdo a la ubicación del coeficiente de debe cambiar el subíndice J de la siguiente ecuación:

ZJ CJ = π aJ*CJ Se reemplaza en la fila de Z y en la ubicación correspondiente YJ = B 1 aJ Se reemplaza la columna correspondiente en la Matriz A

Si existe un la Fila Z un valor de acuerdo a la función objetivo que tenga las condiciones de Variable de Salida por el cambio correspondiente de aplica el Simplex

Cambio en X: Se aplica cuando se aumenta una nueva variable para esto se debe actualizar la tabla Simplex aumentando columnas con los siguientes cambios.

ZJ +1 CJ+1 = π aJ+1*CJ+1 Se pone en la columna aumentada en Z YJ+1 = B 1 aJ+1 Se pone en la columna aumentada en la Matriz A

Cambio en m: Se aplica cuando se aumenta una restricción en este caso se debe aumentar en la tabla Simplex, con la condición que siempre debe ser restricciones del tipo ≤, aumentando una variable de holgura en la columna de Variables básicas, si fuese una restricción ≥ se debe multiplicar por una valor negativo para introducirla a la tabla Simplex y aplicar el Dual Simplex.

1.10 Modelo de Transporte El modelo de transporte se define como una técnica que determina un programa de transporte de productos o mercancías desde unas fuentes hasta los diferentes destinos al menor costo posible, que como se menciono en clases puede ser tomado en cuenta también la parte de ingreso por lo que cambiaria el objetivo del modelo.

El modelo de Transporte por lo general sirve para minimizar los costos asociados a la distribución de un bien o servicio desde diferentes orígenes hasta diferentes destinos. Las condiciones de linealidad están presentes, como en cualquier técnica de programación lineal. Las características del modelo son: a) Los coeficientes de las variables, en las restricciones, son uno o cero. b) Las cantidades demandadas deben ser iguales a las cantidades ofrecidas para poder solucionar el modelo.



Se debe considerar también que cuando se realiza un modelo de transporte se debe considerar que el producto a transportar debe ser único y homogéneo. Si se ofrece cemento, por ejemplo, la demanda debe ser de cemento, es decir, un producto único. Si se ofrecen sacos de cemento la demanda debe ser de sacos de cemento y no a granel, es decir, es homogéneo. En caso de multi productos, se puede hacer una multiformulación.

La estructura del modelo en si es que por cada fuente u origen o disponibilidades puede distribuirse a distintos destinos, mercados demandantes o personas que requieren este producto, lo principal de esto es que se tiene un costo unitario (Cij) de trasporte de una fuente especifica (Fi) a un destino especifico (Dj), esta estructura se muestra a continuación:

La representación de este modelo es la siguiente:

0

,.., 3 , 2 , 1

,.., 3 , 2 , 1

* _

1

1

1 1

≥

= ≤

= ≤

=

∑

∑

∑∑

=

=

= =

Xij

n j bj Xij

m i ai Xij sa

Xij Cij MinZ FOBJ

m

i

n

j

n

j

m

i

En algunos casos se deben balancear el modelo considerando que la cantidad disponible (oferta) debe ser igual a la cantidad que se requiere (Demanda), esto se presenta en la siguiente relación:

∑ ∑ = =

= n

j j

m

i i b a

1 1

En caso que no se cumpliese tal propiedad se debe adicionar una fila o columna con la cantidad de oferta o demanda faltante, considerando una función de costos nula, es decir valores de costo unitario ceros.

1.10.1 Algoritmos de Transporte Existen diferentes técnicas para la resolución de los modelos de Transporte, para representarlos se debe tener una tabla en la cual estén representados de la siguiente forma:



Destino (bj) A B C …. Oferta

I (1,1) (1,2) (1,3) …. II (2,1) (2,2) (2,3) …. III (3,1) (3,2) (3,3) ….

Origen ai

: : : : …. Demanda

Donde las casillas con coordinas (ai, bj) son los costos unitarios correspondientes del traslado de un producto especifico. Las diferentes técnicas existentes presentan algoritmos que ayudan a encontrar una posible solución óptima entre los principales se tienen lo siguiente:

1.10.1.1 Método de la Esquina Noroeste Se debe tomar como referencia la primera celda (1,1) es la primara casilla donde se debe asignar el menor valor entre la fila (oferta) y columna (demanda) correspondiente, al haberse asignado el menor valor este valor (ya sea de oferta o demanda) debe ser anulada ya que no tendrá más valores y luego se pasa a la celda en la cual no se elimino el dato de oferta o demanda, y así sucesivamente hasta asignara valores a cada celda. La particularidad de este método es que se forma una ruta en la asignación en forma de escalera. Una vez que se estableció la asignación se procede al calculo de la Función Objetivo multiplicando los valores correspondientes entre los costos unitarios y las variables.

1.10.1.2 Método del Costo Mínimo En este método se debe identificar la celda que tiene menor costo unitario, una vez identificado se debe ver a que fila (oferta) y columna (demanda) corresponde y de ahí se debe asignar el que tiene el menor valor, y ese valor (fila o columna) debe ser anulado para las demás asignaciones, y así sucesivamente se debe reajustar los valores de oferta y demanda, en caso que exista un empate entre el valor a asignarse de oferta y demanda se debe elegir en forma aleatoria, este proceso continua hasta que se haya distribuido todas las cantidades de oferto y demanda.

1.10.1.3 Método de la Esquina Noroeste Para realizar este método se debe calcular las diferencias (filas y columnas) entre el menor y mayor costo, posteriormente se debe elegir aquella fila o columna donde se presento la diferencia mayor, e identificar el costo mínimo de esa celda (fila o columna), para luego asignarle el menor valor (oferta o demanda), una vez asignado el menor valor se debe anular la fila o columna que se asigno en su totalidad, y no se toma en cuenta para realizar nuevamente las diferencias entre el menor y mayor costo unitario, se realiza este procedimiento hasta que todos los valores hayan sido distribuidos.

1.10.2 Prueba de optimización Los algoritmos anteriores por lo general no presentan inicialmente la solución óptima, por lo que se debe realizar estas pruebas en base a lo siguiente. Las distribuciones finales de cada algoritmo tiene celdas especificas, paralelamente se debe construir una tabla similar pero marcado en las celdas de los valores distribuidos los valores correspondientes a sus costos unitarios, y otra tabla que se anule las celdas inicialmente asignadas con valores. Se debe asigna un nuevo valor de acuerdo a una trayectoria en forma recta (horizontal o vertical) partiendo de la celda asignada con signo (+) y alternando en cada celda considerada. En la segunda tabla se debe considerar los costos probables mediante la relación ui + vj y en la tercera tabla se procede al calculo de los nuevos costos con Cij* = Cij – (ui + vj), este proceso se realiza hasta que todos estos costos den valores mayores a cero.



2. INTRODUCCIÓN PARA LA APLICACIÓN DE SOFTWARE

El presente manual esta orientado para que el estudiante de la carrera de ingeniería comercial de la EMI y en general todos los interesados en emplear los diferentes software para la resolución de problemas.

En todos los casos se empleara el siguiente modelo de programación lineal (MPL), que es similar al que se realizo en clases: FOBJ Min Z = 4X1 + X2

s.a. 3X1 + X2 = 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 4

Xi ≥ 0 La aplicación se la puede realizar en base a muchos ejemplos que contengan más variables de decisión (Xi) y restricciones. Para este manual la Función Objetivo estará representada por FOBJ.

3. RESOLUCIÓN MEDIANTE SOLVER 3.1 Habilitar SOLVER en EXCEL. En primer lugar se empleara el SOLVER como una herramienta de resolución, esta herramienta se encuentra en EXCEL, dependiendo de la Versión (2003 ó 2007), en algunas maquinas se instala lo básico respecto de Microsoft Office, dentro de eso no contempla inicialmente el SOLVER. Para llegar a habilitar este complemento se debe proceder de la siguiente manera. En primer lugar encontrar la opción COMPLEMENTOS en el EXCEL, esto se encuentra en el menú de HERRAMIENTAS en la versión 2003, esto se obtiene de la siguiente manera:

Una vez identificado los complementos, se debe elegir esa opción y se obtiene el siguiente menú.



Una vez ya habilitado aparece esa opción en el menú de herramientas.

Para la versión 2007 se puede personalizar mediante la barra de herramientas de acceso rápido. De la siguiente manera, se elige el botón de personalizar

Una vez elegido se debe acceder a la opción de MAS COMANDOS, de ahí sale una nueva ventana de OPCIONES DE EXCEL, y en el menú de COMANDOS DISPONIBLES se elige la opción de TODOS LOS COMANDOS, y dentro de esa lista se debe buscar la opción de COMPLEMENTOS

Por defecto no esta habilitado la opción de SOLVER, y para hacerlo se elige esa opción con un clic del Mouse y a continuación se presiona el botón de Aceptar



Una vez encontrado se debe agregar a la ventana de la derecha y finalizar con ACEPTAR. En la barra de herramientas de acceso rápido aparecerá esta opción y de la misma manera la ventana de COMPLEMENTOS y de ahí elegir el SOLVER.

3.2 Planteo de un Modelo de Programación Lineal MPL en EXCEL Para resolver el modelo se debe proceder de la siguiente manera: Elegir una celda cualquiera en la hoja de EXCEL y personalizar con las variables, y a continuación elegir a su lado derecho un valor aleatorio que será la solución de partida del MPL.

Una vez establecido las celdas de variables y valores se debe construir la función objetivo, esta se la realiza mediante una formula construida en la hoja de EXCEL. No se debe olvidar que la FOBJ es Min Z = 4X1 + X2, donde los valores 4 y 1 son los coeficientes que multiplican a las Variables X1 y X2 en la hoja de EXCEL, esto se lo realiza de la siguiente manera.



Se debe añadir una columna que represente a la par los coeficientes que multiplican a las variables, después realizar lo que indica la FOBJ, en este caso es la multiplicación de los coeficientes por sus respectivas variables. Esto puede quedar de la siguiente manera:

De la misma manera tiene que representarse las restricciones del MPL, esto se lo debe hacer colocando solo los coeficientes de cada variable y que involucran las restricciones, estos se lo hace en forma de tabla, a continuación se debe presentar el resultado de la formula que involucra los coeficientes y los valores de las variables. Y para guiarse es recomendable poner el símbolo de la restricción (<, = o >) y al lado los valores de las disponibilidades del MPL.

Se recomienda que las celdas que involucran los valores de las variables (B2:B3) se vuelvan fijas, ya que son los mismos valores en todas las desigualdades, esto se logra marcado el termino que representa las celdas B2 por ejemplo y pulsar la tecla F4, a continuación esta celda tendrá el símbolo B$2$, que significa que estará fija.

3.3 Resolución de un MPL mediante SOLVER Una vez construido el MPL en forma de formulas en la hoja de EXCEL se debe proceder de la siguiente manera para resolverlo. Elegir la opción SOLVER del menú de Herramientas y a continuación se mostrará el siguiente panel:

Valores de los coeficientes que tiene que ir a la par con las variables

Formula que representa la FOBJ

Celda que representa el resultado inicial de la FOBJ

Valores de los coeficientes de las variables en las restricciones

Resultado de la multiplicación de los coeficientes con las variables en las restricciones

Valores de las disponibilidades del MPL

Símbolos de guía que tiene el MPL para su resolución

Formula que representa el resultado de cada restricción



En la celda objetivo se debe ubicar el resultado de la celda que tiene la ecuación de la FOBJ, También se debe ver el tipo de FOBJ es, eso se lo define en el Valor de la celda objetivo que puede ser Máximo, Mínimo o Valores de. En el ejemplo se trata de una FOBJ de MINIMIZACION por lo tanto se elige Mínimo, la opción de Valores de: se usa cuando se tiene un valor final de la FOBJ, y solo va estimar los valores de las variables para que esta condición se cumpla. En la parte de Cambiando las Celdas, se debe poner las celdas que corresponde a las variables, en este caso serian las celdas B$2$:B$3$. Para agregar las restricciones se debe seleccionar la opción Agregar y sale el siguiente panel:

Se debe poner uno por uno el resultado de las celdas de cada restricción en referencia de la celda, en la parte media se debe buscar el tipo condición de la restricción, y en la Restricción, de pone el valor de las disponibilidades, al completar esto para la primera restricción se debe presionar Agregar, y se hace esto cuantas restricciones se tengan, cuando se llega a la ultima restricción se debe presionar Aceptar. Una vez completado esto aparece la siguiente figura.

Acá se debe poner el resultado de la FOBJ

Opciones de la FOBJ

Se debe poner las celdas que corresponden a las variables para que el SOLVER pueda estimarlas su valor

Área en el cual se ingresan los resultados de las restricciones con sus respectivas condiciones (≤, = ,≥) en comparación con las disponibilidades

Poner el resultado de cada restricción que vincule los coeficientes con el valor de las variables

Condición de las restricciones (≤, = ,≥)

Poner el valor de las disponibilidades por cada restricción



Después se debe elegir la opción Opciones, en la cual aparece el siguiente panel.

3.4 Opciones de SOLVER Pueden controlarse las características avanzadas del proceso de solución, cargarse o guardarse definiciones de problemas y definirse parámetros para los problemas lineales y no lineales. Cada opción tiene una configuración predeterminada adecuada a la mayoría de los problemas.

• Tiempo máximo. Limita el tiempo que tarda el proceso de solución. Puede introducirse un valor de hasta 32.367, pero el valor predeterminado 100 (segundos) es adecuado para la mayor parte de los problemas.

• Iteraciones. Limita el tiempo que tarda el proceso de solución, limitando el número de cálculos provisionales. Aunque puede introducirse un valor de hasta 32 767, el valor predeterminado 100 es adecuado para la mayor parte de los problemas pequeños.

• Precisión. Controla la precisión de las soluciones utilizando el número que se introduce para averiguar si el valor de una restricción cumple un objetivo o satisface un límite inferior o superior. Debe indicarse la precisión mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantos más decimales tenga el número que se introduzca, mayor será la precisión; por ejemplo, 0,0001 indica una precisión mayor que 0,01. Cuanto mayor sea la precisión, más tiempo se tardará en encontrar una solución.



• Tolerancia. El porcentaje mediante el cual la celda objetivo de una solución satisface las restricciones externas puede diferir del valor óptimo verdadero y todavía considerarse aceptable. Esta opción sólo se aplica a los problemas que tengan restricciones enteras. Una tolerancia mayor tiende a acelerar el proceso de solución.

• Convergencia. Si el valor del cambio relativo en la celda objetivo es menor que el número introducido en el cuadro Convergencia para las últimas cinco iteraciones, SOLVER se detendrá. La convergencia se aplica únicamente a los problemas no lineales y debe indicarse mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantos más decimales tenga el número que se introduzca, menor será la convergencia; por ejemplo, 0,0001 indica un cambio relativo menor que 0,01. Cuanto menor sea el valor de convergencia, más tiempo se tardará en encontrar una solución.

• Adoptar modelo lineal. Selecciónelo cuando todas las relaciones en el modelo sean lineales y desee resolver un problema de optimización o una aproximación lineal a un problema no lineal.

• Mostrar resultado de iteraciones. Selecciónelo para que SOLVER muestre temporalmente los resultados de cada iteración. Esta opción es válida sólo en modelos no lineales.

• Usar escala automática. Selecciónelo para utilizar la escala automática cuando haya grandes diferencias de magnitud entre las entradas y los resultados; por ejemplo, cuando se maximiza el porcentaje de beneficios basándose en una inversión de medio millón de dólares.

• Adoptar nonegativo. Hace que SOLVER suponga un límite de 0 (cero) para todas las celdas ajustables en las que no se haya definido un límite inferior en el cuadro Restricción del cuadro de diálogo Agregar restricción.

• Cargar modelo. Muestra el cuadro de diálogo Cargar modelo, donde puede especificarse la referencia del modelo que desee cargar.

• Guardar modelo. Muestra el cuadro de diálogo Guardar modelo, donde puede especificar la ubicación en que desee guardar el modelo. Úselo únicamente cuando desee guardar más de un modelo con una hoja de cálculo; el primer modelo se guardará de forma automática.

3.4.1 Opciones para Modelos No Lineales • Estimación. Específica el enfoque que se utiliza para obtener las estimaciones iniciales de

las variables básicas en cada una de las búsquedas dimensionales. • Lineal. Utiliza la extrapolación lineal de un vector tangente. • Cuadrática. Utiliza la extrapolación cuadrática, que puede mejorar en gran medida los

resultados de problemas no lineales. • Derivadas. Específica la diferencia que se utiliza para estimar las derivadas parciales del

objetivo y las funciones de la restricción. • Progresivas. Se utilizan para la mayor parte de los problemas, en que los valores de

restricción cambien relativamente poco. • Centrales. Se utiliza en los problemas en que las restricciones cambian rápidamente,

especialmente cerca de los límites. Aunque esta opción necesita más cálculos, puede ser útil cuando SOLVER devuelve un mensaje diciendo que no puede mejorarse la solución.

• Buscar. Específica el algoritmo que se utiliza en cada iteración para determinar la dirección en que se hace la búsqueda.

• Newton. Utiliza un método cuasi Newton que normalmente necesita más memoria pero menos iteraciones que el método de gradiente conjugado.



• Gradiente Conjugado. Necesita menos memoria que el método Newton, pero normalmente necesita más iteraciones para alcanzar un determinado nivel de precisión. Use esta opción cuando se trate de un problema grande o cuando al hacer un recorrido a través de iteraciones se descubra un progreso lento

Por defecto se tiene iteraciones como máximo, en esta parte se debe elegir la opción Asumir no negativos, esto por la condición de existencia (Xi ≥ 0), también se recomienda elegir la opción Adoptar modelo lineal, por la naturaleza del modelo, no se debe olvidar que se trata de un modelo de programación lineal. Una vez elegido estas opciones se tiene lo siguiente.

3.5 Resultado del SOLVER En la ventana de Resultados de SOLVER, se muestra la parte de Informes en la cual se tiene: Respuestas, Sensibilidad y Límites. Se puede marcar todas estas opciones para un análisis completo. En el caso que no se habiliten, puede ser que el modelo no este bien estructurado o no corresponda a un modelo lineal. Al elegir estas opciones se crean 3 hojas que representan cada opción, aparte que la hoja en donde se tiene los valores de las variables, cuyas celdas inicialmente estaban en cero, se cambio a lo siguiente:

El valor de la celda B2 que corresponde a la variable X1 tiene el valor de 0.4 ó 2/5, y de la variable X2 1.8 ó (9/5), con estos valores se obtiene un ZOPT de 3.4 ó 17/5. Se debe mencionar que el SOLVER no muestra las iteraciones para encontrar la solución óptima, para que esta opción se habilite se debe actualizar el complemento. En caso de las hojas de informes se debe considerar lo que representa cada uno.

3.5.1 El Informe de Respuestas. Los informes de SOLVER tienen las siguientes características, en la cabecera se presenta la versión de EXCEL, el nombre del archivo y la ubicación de los datos considerando el nombre de la hoja, aparte se da el día y la hora de la creación del informe.



El primer bloque se da la característica de la Celda objetivo, en este caso fue de minimización, además se muestra el lugar de la celda donde estaba la formula de la FOBJ, por defecto en el Nombre, asume el texto que se pone al inicio y al lado el termino Valores, además se considera el valor original con el que empezó la iteración y el Valor final con el que la solución resulta se optima. En el segundo bloque de Celdas Cambiantes, se presenta la siguiente estructura; en la columna de Celda, se muestra la ubicación de los valores de las variables, debajo de Nombre, el informe puso: X1: Valores; que es el rótulo de la celada que se empleo para personalizar la variable y adiciona por defecto el término Valores, es importante notar esto, ya que puede tener en cuenta esta característica en sus futuros problemas. Y de la misma forma se tiene valor inicial y valor final, que son los valores al inicio de las iteraciones y al final de las iteraciones.

En el tercer bloque de Restricciones, se tienen las siguientes características: Celda, que muestra la ubicación del resultado de la formula que representa esa restricción; Nombre, que pone el nombre de la celda que personaliza cada restricción, en el ejemplo no se puso es por eso que no sale esa característica; Valor de la celda, es el valor que toma el lado izquierdo de cada restricción en la solución óptima, es decir el resultado de la formula usada anteriormente que representa cada restricción pero considerando las soluciones de las variables, esto se lo realiza por cada restricción; Fórmula, nos recuerda las restricciones que hemos introducido, incluyendo si es de ≤, = ,≥; Estado, indica si la restricción se cumple exactamente (obligatorio) o que exista un margen es decir que exista una variable de holgura para que se cumpla la restricción (opcional); Divergencia, es el margen que tiene cada restricción. Si la desigualdad es ≤, entonces es el lado derecho de la restricción (la constante) menos el lado izquierdo. Si la desigualdad es ≥, es el lado izquierdo menos el lado derecho (la constante). Si la restricción es obligatoria, desde luego el margen será cero, Esto representa el valor de la variable de holgura.

3.5.2 El Informe de Sensibilidad. na parte importante en el análisis de un MPL es la sensibilidad, que indica cuanto puede variar el resultado de la FOBJ si se cambia condiciones en el modelo planteado, para este análisis SOLVER muestra en primera parte las características del informe que son las mismas que el anterior caso.

Características del informe de respuestas



En el primer bloque de muestra las Celdas cambiantes, se presenta las columnas de Celda, que el la ubicación del valor de la variable, Nombre, que ya se explico anteriormente; Valor igual, que muestra los valores óptimos de las variables; Gradiente reducido, también conocido como Costo Reducido indica cuánto deberá cambiar el coeficiente de la función objetivo para que la variable tome un valor positivo. En este caso, las dos variables controlables son positivas (conviene producir ambos productos), por lo que su costo reducido es cero. Coeficiente objetivo: son los coeficientes de las variables en la función objetivo, en el ejemplo era 4X1 + X2; Aumento permisible: incremento admisible en los coeficientes de la función objetivo sin que cambien los valores óptimos de las variables controlables, es decir hasta cuanto pueden incrementarse los coeficientes de modo que no se cambie la variable en la solución optima, en la primera restricción se puede incrementar en 9, es decir que el valor seria de 12; Disminución permisible: disminución admisible en los coeficientes de la función objetivo sin que cambien los valores óptimos de las variables controlables, en este caso puede disminuir en 1, es decir que el valor sería de 2 en la restricción 1.

En el segundo bloque se muestra una tabla de Restricciones, en la cual se tiene la misma interpretación respecto a las columnas de Celda y Nombre; el Valor igual, se tienen los valores de las formulas que involucran cada restricción; la Sombra precio, es conocido también como precios sombra que son los precios duales de los recursos (o requerimientos) indicados en las restricciones. Indican la mejora en el valor de la función objetivo si se "relaja" una desigualdad, o el empeoramiento si se la restringe, representa las variaciones de la variable de holgura; Restricción lado derecho: indican los lados derechos de las desigualdades esto representa las disponibilidades de cada restricción; Aumento permisible: representa en cuánto puede incrementarse el lado derecho (Constante o disponibilidad) sin que se altere el precio Dual. En este caso se puede incrementar en 9 el valor de la disponibilidad, el precio dual será otro, seguramente menor; Disminución admisible: indica en cuánto puede disminuir el lado derecho de la restricción sin que cambie el precio dual de un recurso (o requerimiento), en algunas ocasiones dependiendo de la configuración en la instalación suele repetirse el termino en relación del titulo de la columna como en este caso, pero la ultima columna es la disminución que puede tener la disponibilidad de modo que siga siendo factible la solución.

3.5.3 El Informe de Límites Respecto a este reporte muestra el siguiente reporte:

Características del informe de sensibilidad



En el segundo bloque se tienen los valores de: Celda, en la cual se refleja la celda de las variables de decisión; Celdas Cambiantes se tiene las características de las variables de decisión (Nombre) y en la columna Igual, se presenta nuevamente el valor optimo encontrado de cada variable; Límite inferior, es el menor valor que puede tomar la variable (suponiendo que las demás mantienen el valor óptimo encontrado), y satisfacer todas las restricciones; Celda objetivo, es el valor de la función objetivo si la variable toma el valor del límite inferior y las demás mantienen el valor óptimo encontrado; Límite superior, es el mayor valor que puede tomar la variable (suponiendo que las demás mantienen el valor óptimo encontrado) sin violar las restricciones; Celda objetivo, es el valor de la función objetivo si la variable toma el valor del límite superior y las demás mantienen el valor óptimo encontrado.

4. RESOLUCIÓN MEDIANTE WINQSB El software WINQSB esta dirigido a un análisis estadístico, en la cual uno puede elegir la opción de acuerdo a las necesidades de uso. Este programa fue diseñado como apoyo a la toma de decisiones con distintas opciones, entre las principales se tienen:

Análisis de muestreo de aceptación (Acceptance sampling Analysis), Planificación Agregada (aggregate planning), Análisis de las Decisiones (Decision Analysis), Programación Dinámica (Dynamic Programming), Facilidad en la ubicación y la disposición (Facility Location and Layout), Previsión y de regresión lineal (Forecasting and Linear Regressión), Programación por metas (Goal Programming), Teoría y Sistema de Inventario (Inventory Theory and System), Programación por trabajos (Job Scheduling), Programación lineal y entera (Linear and Integer Programming), Proceso de Markov (Markov Process), Planificación de requerimiento de Materiales (Material Requirements Planning), Programación No Lineal (Nonlinear Programming), Modelo PERT CPM (PERT_CPM), Programación Cuadrática (Quadratic Programming), Graficos de Control de Calidad (Quality Control Chart), Análisis de colas de espera (Queuing Analysis), Simulación de sistemas de colas de espera (Queuing System Simulation)

En esta parte solo se realizara lo que concierne a la Programación Lineal (Linear and Integer Programming) para acceder esto se procede de la siguiente manera:

Características del informe de límites

Valores iniciales de la celda de la FOBJ con el valor óptimo encontrado 3.4 ó 17/5



4.1 Introducción del MPL en WINQSB Como se ve se tiene mucha aplicación en las áreas que se mencionaron, generalmente el instalador se ubica en la unidad C: una vez elegido la opción de la Programación Lineal se puede resolver los modelos, no se debe olvidar que se tomara el mismo modelo que se tomo como ejemplo:

FOBJ Min Z = 4X1 + X2 s.a. 3X1 + X2 = 3

4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 4

Xi ≥ 0

Al elegir la opción correspondiente se tiene la siguiente pantalla.



Al presionar el icono para introducir el MPL Aparece lo siguiente.

Una vez identificado los elementos principales se procede al llenado de las casillas correspondientes, en el Titulo del Problema, se puede poner el nombre que desea, en este caso Ejemplo MPL, en la opción de Numero de Variables, se identifico en el ejemplo a X1 y X2, es decir que se tendrá 2 variables de decisión, y en la opción que corresponde al Numero de restricciones, se ve 3 restricciones. En nuestro caso sería elegir el Criterio del Objetivo que corresponde a Minimización.

Icono que sirva para introducir el MPL

Icono que sirva para abrir archivo que contengan un MPL almacenado con el WINQSB

Icono que sirva para cerrar el WINQSB en este estado, ya que cuando aparece en otra pantalla tiene otra función

Icono que habilita la calculadora del WINDOWS

Titulo del problema Numero de Variables Numero de restricciones

Criterio del Objetivo

• Maximización • Minimización

Formato de datos de entrada

• Hoja de calculo matricial

• Formulario de tipo normal

Tipo de variable por defecto

• No negativa continua

• Entero no negativo

• Binario (0, 1) • Sin signo / Sin restricciones



Se sugiere elegir en el Formato de datos de entrada la opción de Hoja de cálculo matricial, esto para que se vea de manera de una TABLA SIMPLEX. Respecto a los tipos de Variable por defecto, en los MPL, dependiendo de las unidades que representan cada variable Xi, se puede establecer que sean No negativa continua, si se permite resultados con decimales, para el ejemplo se elegirá esta opción para encontrar la solución optima, y si se tratase de valores enteros se recomienda elegir Entero no negativo. También existen modelos en los cuales los valores de las Variables Xi pueden asumir solo valores binarios para lo cual se debe elegir Binario (0,1), también existen caso en los cuales se puede simular la función objetivo sin considerar restricciones o que las variables Xi, pueden asumir valores negativos es decir que sean Irrestrictas en Signo, para este caso se sugiere la opción Sin signo/Sin restricciones. Una vez establecido las condiciones de entrada del modelo se presenta la siguiente figura.

Una vez realizado esto se presiona el botón de OK y muestra el siguiente panel.

FOBJ

Restricciones

Variables de Holgura

Variables Artificiales penalizados con M

Tipo de variable

Tipo de restricción >=, =, <=

Valor de la disponibilidad



En la tabla se debe poner los coeficientes correspondientes al MPL del ejemplo, esto se ve de la siguiente manera:

Los términos correspondientes a la columna de símbolo de la restricción se puede considerar ≤, =, ≥; estos símbolos pueden cambiar si se presiona 2 veces seguidas con el Mouse en la celda correspondiente

4.2 Opciones del menú para resolver el MPL en WINQSB Antes de continuar la resolución del MPL es bueno conocer las opciones del Menú principal que tiene el programa, para eso se tiene lo siguiente:

4.2.1 Comando File. Se tiene las siguientes opciones

Esta primera opción del menú sirve para la creación de un nuevo archivo que tenga el MPL, acá se guarda con extensión *.lpp, en la opción de Guardar como, se la puede guardar con extensiones *.DAT y *.TXT. En la opción de Fuente de letra para impresión, se puede configurar el formato en tipo de letra, se habilita automáticamente esta opción con la misma estructura de WORD, y en la opción Configuración de impresión, se accede a las características para imprimir el archivo, como el tipo de impresora que tiene instalado, además de el tipo de papel en donde se va imprimir.

4.2.2 Comando Edit. Se tiene las siguientes opciones

Archivo • Nuevo Problema. Para crear un nuevo archivo para resolver un MPL • Buscar Problema. Busca un archivo ya guardado de MPL • Cerrar Problema. Cierra el archivo que contiene un MPL • Guardar Problema. Guardar problema que contiene un MPL • Guardar Problema Como: Guardar problema en otro formato • Imprimir Problema. Imprimir el problema

• Fuente de letra para impresión. Configurar el tipo de letra de la impresión

• Configuración de impresión. Configuración de la impresión

• Salir. Salir del programa WINQSB



En el primer bloque se debe marcar las celdas para realizar alguno de esos comandos. Para el comando UNDO (Deshacer) se activa cuando se hizo operaciones o acciones y al presionarlo vuelve al estado anterior. Para PROBLEM NAME, se abre una ventana en donde se muestra en nombre del problema y este se puede cambiar y presionar OK; VARIABLES NAMES se muestra una ventana en donde se puede personalizar cada variable y poner nombre a cada uno, por defecto el software solo pone X1, X2, etc., una vez especificado cada variable se pulsa OK; CONSTRAINT NAMES muestra un menú en el cual cada restricción tiene el nombre de C1, C2, etc., esto puede personalizarse de acuerdo a las especificaciones del MPL; OBJECTIVE FUNTION CRITERION establece cambios en la FOBJ, aquí aparece una opción que menciona el cambio de Máximo a Mínimo, si se elige este cambio se debe pulsar OK y se cambia la FOBJ.

INSERT A VARIABLE se obtiene el siguiente menú, una celda en la cual muestra la variable a ser adicionada, en este caso X3, también la opción de usar el nombre de la variable X3 o personalizar el nombre de la variable, también se tiene el lugar donde se va a insertar la variable: THE END (al final de la tabla), THE BEGINNING (al inicio) y THE SELECTED LOCATION (Seleccionar la localización); DELETE A VARIABLE, Muestra una ventana en la cual se tiene las variables del MPL, en este caso se tiene X1 y X2, se puede elegir cualquier variable y borrarla y posteriormente apretar OK.

INSERT A CONSTRAINT se obtiene el siguiente menú, una celda en la cual muestra la restricción a ser adicionada, en este caso C4, también la opción de usar el nombre de la restricción C4 o personalizar el nombre de la restricción, también se tiene el lugar donde se va a insertar la restricción: THE END (como fila al final de la tabla), THE BEGINNING (como fila al inicio) y THE SELECTED LOCATION (Seleccionar la localización de la fila); DELETE A CONSTRAINT, Muestra una ventana en la cual se tiene las restricciones del MPL, en este caso se tiene C1, C2 y C3, se puede elegir cualquier restricción y borrarla y posteriormente apretar OK.

4.2.3 Comando Format. Se tiene las siguientes opciones

Revisión • Cortar. Cortar formato (s) o dato(s) de celda(s) del MPL • Copiar. Copiar formato (s) o dato(s) de celda(s) del MPL • Pegar. Pegar formato (s) o dato(s) de celda(s) del MPL • Limpiar. Borrar formato (s) o dato(s) de celda(s) del MPL

• Deshacer: Restaurar la anterior información

• Nombre del Problema. Colocar nombre al problema • Nombres de Variable. Colocar nombre a las variables • Nombre de Restricciones. Colocar nombre a las restricciones • Criterio de Función Objetivo. Establecer el criterio de la

función objetivo

• Insertar Variables. Insertar Variables • Borrar Variables. Borrar Variables

• Insertar una restricción. Insertar restricciones del MPL • Borrar una restricción,. Borrar restricciones del MPL



En el primer bloque se muestra el formato de presentación del modelo respecto a los números y letras. NUMBER, muestra un menú en donde existen varios tipos de presentación de los números, también muestra una pequeña ventana donde muestra el Código y la forma que tendrá el número. FONT tiene la misma estructura de fuente que WORD, en la cual se puede cambiar el tipo de letra; ALIGNMENT muestra una ventana en donde la primera columna tiene alineación Left (izquierda), Right (derecha) y Center (centrar), y debajo de esta la forma como estará presentada el número; también se muestra Apply to (Aplicar a), donde se puede aplicar a: All columns (Todas las columnas); First row (Primeras Filas), First columns (Primeras Columnas) y Selected columns (Seleccionar columnas).

En ROW HEIGHT, se configura el alto de las filas, se muestra una barra de desplazamiento en el cual se puede ampliar el alto de las filas si se desplaza hacia abajo. También se muestra los siguientes comandos: As on the Left (Como a la izquierda), Use default heigth (Uso de altura por defecto), Best fit (mejor adaptación), también se muestra Apply to (Aplicar a), donde se puede aplicar a: All rows (Todas las filas); Selected rows (Seleccionar Filas) y First row only (Solo la Primera fila).

En COLUMN HEIGHT, se configura el ancho de las filas, se muestra una barra de desplazamiento de manera horizontal en el cual se puede ampliar el ancho de las columnas si se desplaza hacia la derecha. También se muestra los siguientes comandos: As above (marcar encima), Use default width (Uso de ancho por defecto), Best fit (mejor adaptación), también se muestra Apply to (Aplicar a), donde se puede aplicar a: All columns (Todas las columnas); Selected columns (Seleccionar columnas) y First column only (Solo la Primera columna).

En SWITCH TO NORMAL MODEL FORM muestra de manera directa el MPL, no en forma de tabla, esto separado respecto a la FOBJ y a las restricciones, al activar esto el comando cambia a SWITCH TO MATRIZ FORM. SWITCH TO DUAL FORM convierte el MPL en su modelo DUAL, es decir considerando matrices transpuestas.

4.2.4 Comando Solve and Analyze. Se tiene las siguientes opciones

Formato • Numero. Tipo de formato de los números de un MPL • Fuente de Letra. Tipo de fuente de letra de MPL • Alineación. Alineación del texto y numero de un MPL

• Alto de fila. Configurar el alto de las filas de un MPL • Ancho de columna: Configurar el ancho de las columna de un MPL

• Cambiar la forma normal del modelo. Cambiar la presentación del MPL

• Cambiar a la forma Dual. Cambiar el modelo MPL inicial al modelo Dual



Para este punto es necesario aclarar algunas opciones, las cuales son: SOLVE THE PROBLEM, al elegir esta opción se presenta una ventana en donde menciona que el MPL tiene una solución óptima y al aceptar eso se muestra la solución de la misma, la explicación de la misma se la realizara más adelante. SOLVE AND DISPLAY STEPS, presenta la tabla inicial en donde se procederá a las iteraciones y al finalizar esta muestra la misma tabla que la anterior opción. GRAPHIC METHOD, muestra una ventana en la cual se puede definir los ejes respecto a las Variables X1 y X2, después de esta se muestra una figura en la cual están las rectas que son representadas y la FOBJ con un color distinto.

En PERFORM PARAMETRIC ANALYSIS, se da las siguientes opciones, se puede analizar el resultado respecto a Objetive funtion (FOBJ) y Right hand side (Lado derecho o disponibilidades) para cada uno se presenta distintas escenarios. Por ejemplo si se elige Objetive funtion (FOBJ) se debe elegir una opción que contempla el Perturbation Vector (Vector de perturbación) en donde se debe dar valores del vector de perturbación que no es más que los valores de las disponibilidades que se tienen y que de influye en la FOBJ; de la misma manera si se elige Right hand side (Lado derecho o disponibilidades) se deben dar valores a las variables X1 y/o X2 de modo que influya en la FOBJ. En cada una de las opciones se presenta variaciones respecto a la FOBJ, y como influye respecto a la opción elegida.

En CHANGE INTEGER TOLERANCE, esta opción es solo para MPL que tienen variables con números enteros, en donde se da una tolerancia de un valor entero actual de 0, y se puede introducir un nuevo valor nuevo entero. Respecto a SPECIFY SOLUTION QUALITY, esta opción sólo es válida para un MPL entero. Cuando se presenta que la mejor solución entera está fuera de este % de la solución óptima, la dependencia o ramificación y la iteración se detendrá, se muestra la calidad en la solución actual (% de descuento en el ambiente del MPL) que es de 0.0%, y se puede introducir una nueva calidad (% sobre el óptimo encontrado). Finalmente en SPECIFY VARIABLE BRANCHING PRIORITIES, esta opción tiene que ver con las prioridades de ramificación que tiene cada variable, son útiles para MPL enteros o variables binarias. No se debe olvidar que la variable de tipo entero con un valor nointegral con el valor más alto de prioridad será ramificada primero en la rama y el proceso de acotamiento. El valor de prioridad por defecto para cada variable es cero, lo que significa que cada uno tiene la misma prioridad. Seleccione el botón Sí e introduzca el número que oscila de 32767 a 32767 para las prioridades de la variable en el caso de que decida cambiarlos.

Resolver y analizar . • Solucionar el problema. Presenta la solución de un MPL • Solucionar y mostrar los pasos. Presenta la solución de un MPL y muestra las

iteraciones paso a paso para llegar a la solución. • Método Gráfico. Muestra la solución por el método gráfico de un MPL

• Realizar Análisis de Parámetros. Analiza los parámetros de un MPL • Solución Alternativa: Identifica la solución alternativa de un MPL

• Tolerancia de cambio en número entero. Indica la tolerancia en los cambios de la variable de manera entera del MPL

• Especificar Calidad de solución. Especifica los rango de la solución • Especificar la prioridad en la ramificación de la variable. Especifica la

dependencia de las variables en forma ramificada



4.2.5 Comando Results. Se tiene las siguientes opciones

Debe considerarse que esta opción en el menú solo se habilita si se resuelve el MPL inicialmente

4.2.6 Comando Utilities. Se tiene las siguientes opciones

En esta parte no es necesario explicar a detalle debido a la simpleza de su manejo

4.2.7 Comando Window. Se tiene las siguientes opciones

En esta parte no es necesario explicar a detalle debido a la simpleza de su manejo

4.2.8 Comando WINQSB. Se tiene las siguientes opciones

Utilidades. • Calculadora. Presenta la Calculadora del Windows • Reloj. Presenta la hora con la que esta configurada el sistema operativo. • Gráfica / tabla. Muestra la una grafica en forma de barras que refleja un MPL

Ventana. • Cascada. Presenta las ventanas utilizada al mismo tiempo en forma de cascada • Titulo. Presenta las ventanas usadas en forma ordenada a su titulo. • Organización de Iconos. Ordena la presentación por categoría de iconos.

• Ejemplo MPL. Nombre de las ventana donde se trabajan

Resultados. • Resumen de la Solución. Presenta en una tabla el resumen de la solución • Resumen de las restricciones. Presenta en una tabla el resultado de las restricciones

considerando las soluciones de las variables de decisión

• Análisis de Sensibilidad por la FOBJ. Presenta el análisis de sensibilidad respecto a los coeficientes de las variables en la FOBJ.

• Análisis de Sensibilidad por la RHS. Presenta el análisis de sensibilidad respecto a los coeficientes tecnológicos de las variables en las restricciones

• Reporte combinado. Muestra los análisis de sensibilidad por la FOBJ y RHS al mismo tiempo

• Análisis de Inviabilidad. Analiza de las variables que no son viables en la FOBJ • Análisis de infinitud. Analiza de las variables respecto al valor infinitesimal que

influyen en la FOBJ

• Mostrar análisis de parámetros. Analiza los parámetros que se consideraron en las variables de la FOBJ

• Grafica del análisis de parámetros. Muestra la grafica que involucra el análisis de parámetros de la FOBJ

• Tabla SIMPLEX final. Muestra la ultima tabla SIMPLEX del MPL • Obtener una solución optima alternativa. Obtiene una solución optima alterna a la

mostrada en la tabla SIMPLEX, solo en casos de problemas con múltiples soluciones

• Mostrar tiempo e iteraciones. Muestra el tipo de variables, el método empleado para resolver, el numero de iteraciones pero considerando la tabla inicial y el tiempo de resolución para el CPU



En esta parte solo se mostrara de manera general que significa cada opción, el desarrollo como se menciono se lo hará solo para la Programación Lineal, dejando a los estudiantes la investigación de las diversas aplicaciones.

4.2.9 Comando HELP. Se tiene las siguientes opciones

Cualquier duda sobre el uso del software es bueno recurrir a su ayuda, por lo tanto no se desarrollara este punto dejando al estudiante a investigar más sobre este comando.

4.3 Opciones de la bar ra de herramientas para resolver el MPL en WINQSB De manera inicial se muestra la siguiente barra de herramientas

A continuación se dará una breve explicación de cada uno de los comandos de la barra.

WINQSB. • Análisis de muestreo de aceptación • Planificación Agregada • Análisis de las Decisiones • Programación Dinámica • Facilidad en la ubicación y la disposición • Previsión y de regresión lineal • Programación por metas • Teoría y Sistema de Inventario • Programación por trabajos • Programación lineal y entera • Proceso de Markov • Planificación de requerimiento de Materiales • Programación No Lineal • Modelo PERT CPM • Programación Cuadrática • Gráficos de Control de Calidad • Análisis de colas de espera • Simulación de sistemas de colas de espera

Ayuda. • Contenido. Presenta los contenidos generales de toda al ayuda del WINQSB • Buscar ayuda de…. Se puede buscar ayuda especifica acerca de un comando • Como utilizar ayuda. Muestra como se puede utilizar la ayuda.

• Ayuda con la actual ventana. Indica las opciones que cuenta la actual ventana de trabajo

• Acerca de LPILP. Muestra las especificaciones del programa sobre la resolución de un MPL y un MPL entera

• Acerca de la forma matricial. Muestra un ejemplo practico como se construye ela forma matricial del MPL



Símbolo Característica Al presionar este botón permite introducir el problema de MPL con las características ya explicadas Al elegir esta opción ayuda a buscar un problema ya almacenado

Sirve para guardar el problema

Imprime el resultado y modelo planteado del MPL

Corta formato y valores de una celda

Copia formato y valores de una celda

Pega formato y valores de una celda Al presionar este botón permite introducir el problema de MPL con las características ya explicadas Es un acceso directo para el formato de texto que se presenta en el problema de MPL

Ayuda a alinear a la izquierda las celdas Ayuda a alinear al centro las celdas Ayuda a alinear a la derecha las celdas Amplia el alto de las filas

Amplia el ancho de las columnas

Permite encontrar la solución del MPL de manera directa Permite ver las tablas SIMPLEX desde el inicio considerando las iteraciones hasta encontrar la solución final del MPL.

Permite encontrar la solución por el método grafico

Permite graficar los valores de las variables y disponibilidades Acceso directo a la calculadora del Windows Acceso directo a la configuración del tiempo Acceso para ayuda del WINQSB

En esta parte se ven los mismo comandos que se explicaron al inicio, solo que están de manera directa. También estos botones se enfocan en el formato y la solución del MPL, son como accesos directos que en cierta forma facilitan las operaciones del WINQSB.

4.4 Presentación de Soluciones del MPL en WINQSB Se considera de 2 tipos uno de manera directa y otra con la presentación de las iteraciones respectivas hasta la solución final.

3.4.1 Presentación de la Solución del MPL de manera directa en WINQSB

Para acceder a esto solo se presiona el botón de para acceder a la solución del MPL, lo cual tiene la siguiente estructura.



Se puede observar lo siguiente,

También se observa la siguiente tabla que tiene las siguientes características:

El valor de la solución es el resultado final de las iteraciones, el costo unitario se refiere a los coeficientes de las variables en la FOBJ, el Total de contribución se refiere al resultado de las variables por sus respectivos coeficientes, el costo reducido, se refiere a cuanto puede reducirse el costo anterior, el estado básico, se refiere al estado final de la variable que por teoría se sabe que será una variable básica, el Mínimo permisible C(j), se refiere hasta que valor puede reducir el coeficiente C(j) que multiplica la variable, en X1 puede reducirse de 4 a 3, el Máximo permisible C(j), se refiere hasta donde puede subir el coeficiente C(j) que multiplica a la variable, en este caso para la variable X1 puede subir de 4 al valor M de penalización.

No se debe olvidar que las restricciones se nombrar por defecto Ci, en este ejemplo se tiene 3 restricciones y por lo tanto se tendrán de C1 a C3, pero como también se dijo estos nombres pueden ser cambiados y personalizados. Respecto al Valor a la izquierda, es el resultado de las condiciones de las restricciones del lado izquierdo, la Dirección, son las condiciones de las restricciones, el Valor a la derecha son las disponibilidades de las restricciones. La Holgura

Hora donde se resolvió el MPL Día Mes

Mes en forma numeral

Año

Variable de decisión

Valor de la solución

FOBJ

Costo unitario sin fines de lucro C(j)

Total de contribución a la FOBJ

Costo reducido

Estado básico

Mínimo permisible

C(j)

Máximo permisible

C(j)

Restricción

Valor a la izquierda

Valor a la derecha

Dirección o término de la restricción

Holgura o excedente

Precio sombra

Mínimo permisible

RHS

Máximo permisible

RHS

Solución de la FOBJ



representa el exceso que se tiene para cada variable, en este caso en la restricción C2 existe una variable de holgura cuyo valor es 1. El Precio sombra es el valor superior por unidad de recurso que se incrementa, en este caso por adicionar una unidad en el recurso de la restricción C1 el precio es de 1.4 $, el Mínimo permisible RHS es el valor mínimo que puede reducir una disponibilidad o recurso, por ejemplo en la restricción C1 puede reducirse de 3 a 2 unidades, el Máximo permisible RHS es el valor máximo que puede aumentar la disponibilidad o recurso, en el ejemplo puede aumentar de 3 a 12 unidades.

4.4.2 Presentación de iteraciones para resolver el MPL en WINQSB Para acceder a esto solo se presiona el botón de para acceder las tablas de solución del MPL, lo cual inicialmente tiene la siguiente estructura.

Se debe tomar en cuenta lo siguiente para la FOBJ, el WINQSB pone los coeficientes de la siguiente manera C(j) – Z(j), para el ejemplo sería MIN Z = (4 – 7M)*X1 + (1 – 4M)*X2 + M*S1, pero siguiendo esta nomenclatura la FOBJ sería Z(j) – C(j), lo cual sería MIN Z = ( 4 + 7M)*X1 + (1 + 4M)*X2 – M*S1. En la columna de las variables básicas se tienen lo siguiente: Artificial_C1 que sería la variable artificial R1, Artificial_C2 que sería la variable artificial R2 y Slack_C3 que seria la variable de holgura S2, esto según lo que se avanzo en clases, además el WINQSB lo pone en la tabla de acuerdo al orden de jerarquía, en este caso primero siempre colocara en las columnas las variables de Decisión (Xi), luego las variables de holgura (Si) y finalmente las variables artificiales (Ri). Considerando lo que se presenta entraría la variable X1 incluso el software lo marca con un sombreado leve y saldría la Variable Básica Artificial_C1 (R1) por tener el menor ratio en comparación con las demás restricciones, y al presionar el mismo botón se tendrá la PRIMERA ITERACION que muestra lo siguiente:

El software marca la variable de entrada que sería X1 por tener el menor valor en la FOBJ con C(j) – Z(j) de 0.333 – 1.6667M, pero como se explico a este valor se debe multiplicar por (1) para que vaya a lo que se llevo en teoría en clases lo cual sería Z(j) – C(j) = 0.333 + 1.6667M y la variable de salida es el de menor ratio que correspondería a Artificial_C2 (R2) ya que su ratio es de 1.2, se presiona de nuevo el botón correspondiente y se tendría la SEGUNDA ITERACION.

Variables básicas

Valor C(j)

Variables de decisión

Variable superfula C2

(S1)

Variable de holgura C3

(S2) Variables artificiales C1 (R1) y C2 (R2) Recurso

Ratio



El software marca la variable de entrada que sería Surplus_C2 (S1) ya que tiene como coeficiente en la FOBJ C(j) – Z(j) de 0.2 y como se dijo anteriormente debe cambiarse de signo para ir de acuerdo a la Teoría que se llevo en clases (Z(j) – C(j) = 0.2, se elegiría esto por ser por una valor positivo) y la variable de salida es el de menor ratio que correspondería a Slack_C3 (S2) ya que su ratio es de 1, se presiona de nuevo el botón correspondiente y se tendría la TERCERA ITERACION.

En esta tabla el software ya no marca claramente la variable de entrada ya que los coeficientes de la FOBJ C(j) – Z(j) son: 0*X1 + 0*X2 + 0*S1 + 0.20*S2 + (1.40 + M)*R1 + M*R2 y como se dijo anteriormente debe cambiarse de signo para ir de acuerdo a la Teoría lo cual quedaría de la siguiente manera la FOBJ: 0*X1 0*X2 0*S1 0.20*S2 (1.40 + M)*R1 M*R2, según la teoría que se avanzo en clases, se dijo que: “las iteraciones se realizarán hasta que todos los coeficientes tengan valores nulos o negativos para el caso de minimización”, tampoco se debe olvidar que “en caso de maximización las iteraciones se realizan hasta tener coeficientes nulos o positivos”. Si se ve esta condición en la tabla se vera que se esta cumpliendo, es decir que esta tabla sería la tabla final del SIMPLEX, si se presiona el botón correspondiente y se tendría lo siguiente.

Acá no cambio los resultados en comparación a la anterior tabla y en seguida aparece el siguiente mensaje

Esto representa que es la tabla final del SIMPLEX y que este método ya ha sido completado, si se acepta el mensaje mostrara la tabla inicial del problema, por lo que ha concluido la solución.



4.5 Método grafico para resolver el MPL en WINQSB El WINQSB tiene la opción de realizar la solución por el método gráfico, esto solo para MPL con 2 variables, al elegir esta opción se tiene lo siguiente.

No se debe olvidar que basta presionar el botón y se tendrá la siguiente ventana:

Acá se debe selecciona la ubicación en los ejes de las variables, como se menciono en clases se recomienda que la variable X1 este en el eje X y la variable X2 en el eje Y, al aceptar esta opción se tiene la siguiente figura.

Acá se muestra las líneas que representan la FOBJ, las restricciones y enmarca con un punto de otro color los valores óptimos de X1 y X2. La solución óptima se presenta en un marco a la derecha.

Líneas que representan las restricciones

Línea que representa la FOBJ

Punto que representa los valores óptimos de la FOBJ

Valores de la Solución óptima de la FOBJ



4.6 Sensibilidad del MPL en WINQSB El WINQSB puede realizar el análisis de sensibilidad partiendo del principio de variaciones respecto a las variables de decisión y a las restricciones.

4.6.1 Sensibilidad respecto a las Variables de Decisión del MPL en WINQSB Esto se realiza eligiendo la opción Results y Sensitivity Analysis for OBJ, para lo cual se tiene la siguiente tabla.

Para interpretar se debe ver el Costo Reducido, que es hasta donde puede reducir el valor de las variables X1 y X2, en este caso no se permite más reducciones. El Costo unitario sin fines de lucro C(j), muestra el valor actual del coeficiente C(j) que multiplica a la variable Xi en la FOBJ, respecto al Mínimo permisible C(j), en este caso se puede decir que de 4 puede disminuir a 3 sin cambiar la variables de decisión X1, para X2 puede reducirse de 1 a un valor penalizado de –M, no se debe olvidar que en clases se dijo que M es un valor muy grande, por lo tanto se puede decir que la variable X2 siempre formara parte de la solución en la FOBJ. Considerando el Máximo permisible C(j), que expresa hasta donde puede variar el coeficiente que multiplica a la variable en la FOBJ, para la variable de decisión X1 pude incrementarse el coeficiente C(j) de 4 a un valor penalizado de M, es decir que se puede incrementar enormemente su aporte sin que eso influya en que esta variable sea parte de la solución, para X2 se muestra que del valor inicial de 1 puede incrementarse hasta 1.3333 para que esta variable sea parte de la solución óptima.

4.6.2 Sensibilidad respecto a las restricciones del MPL en WINQSB Esto se realiza eligiendo la opción Results y Sensitivity Analysis for RHS, para lo cual se tiene la siguiente tabla.

Para la interpretación se debe tomar en cuenta lo siguiente, en las 3 primeras columnas no se tiene ninguna dificultad en la comprensión de que expresa estos términos en la Tabla, Respecto al Precio Sombra, se debe recordar que es el valor marginal de cada uno de los recursos, es decir la tasa a la que la FOBJ puede incrementar la cantidad que se proporciona de este recurso, por el método SIMPLEX estos precios sombra viene representado por los valores C(j) de la FOBJ por cada Variable Básica, en el ejemplo se ve que si se incrementa un valor a la disponibilidad de la

Variable de decisión

Valor de la solución

Costo reducido

Costo unitario sin fines de lucro C(j)

Mínimo permisible C(j)

Máximo permisible C(j) Díamesaño

Hora De resolución

Díamesaño Hora

De resolución Restricción Dirección o

término de la restricción

Precio sombra

Valor a la derecha

Mínimo permisible RHS

Máximo permisible RHS



restricción 1 (C1) la FOBJ se incrementaría en 1.4 $, para la restricción C2 no existe precio sombra pero si para la restricción 3 (C3), que de igual forma se puede decir que por el aumento de una unidad en el recurso que contempla C3 la FOBJ disminuiría en 0.2 $, como la FOBJ es de Minimización convendría aumentar una unidad de recurso C3.

El Valor a la derecha, representa el valor de las disponibilidades o recursos que tienen las restricciones, el Mínimo permisible RHS, expresa hasta que valor puede ser reducido el recurso, por ejemplo, la restricción C1 su recurso puede ser reducido de 3 a 2 sin que cambie las variables de decisión en la solución óptima, considerando esto se puede decir que la restricción C2 se puede reducir hasta cualquier cantidad y eso no cambiara que las variables X1 y X2 sean parte de la solución óptima en FOBJ. Respecto a Máximo permisible RHS, representa hasta que valor se puede incrementar el recurso de modo que las variables de solución (X1 y X2 para este caso) se mantengan como soluciones óptimas, por ejemplo para la restricción C1 se puede incrementar el recurso de 3 a 12 unidades, sin que cambie las variables de decisión en la solución óptima.

4.6.3 Presentación del análisis de Sensibilidad respecto a las variables y restricciones del MPL en WINQSB Para elegir esta opción se debe seguir los siguientes pasos: ir al menú principal y acceder a Results y posteriormente marque Combined Report, para lo cual se tendrá la siguiente tabla.

Las opciones que tiene esta tabla ya fueron descritas anteriormente, acá solo se muestra de manera conjunta los dos anteriores reportes de sensibilidad. El software WINQSB tiene muchas aplicaciones, para el trabajo de aplicación del fin de semestre se recomienda que uno del software aplicado para resolver el MPL que realizarán sea este programa debido a su facilidad en su uso e interpretación.



5. RESOLUCIÓN MEDIANTE WHAT’S BEST Este programa tiene gran versatilidad respecto a su manejo y se instala en plataformas de Windows 98, 2000 server, XP. Al instalarlo se apoya en EXCEL para su funcionamiento. Es recomendable usar el Software versión 4 ya que la versión 7 o posteriores piden serial y no están completos. Al instalar se tiene la siguiente figura.

WHAT’S BEST es una aplicación que necesita de EXCEL para eso es bueno conocer las aplicaciones de las cuales consta el software. En algunos casos se debe recurrir al menu de herramientas e ir a complementes y ahí examinar donde fue instalado el archivo WB.XLA y WBINIT.XLA para habilitar completamente el programa. Para realizar un ejemplo de aplicación se lo hará con el mismo problema de clases:

FOBJ Min Z = 4X1 + X2 s.a. 3X1 + X2 = 3

4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 4

Xi ≥ 0

5.1 Descripción de la bar ra de funcionamiento del WHAT’S BEST Al instalarlo se adicionara al menú del EXCEL lo siguiente:



Para esto se tiene la siguiente descripción de las opciones del WHAT’S BEST en el menú de EXCEL

5.1.1 Descripción de la bar ra de funcionamiento del WHAT’S BEST en el Menú de EXCEL Para eso se tiene las siguientes opciones:

Todas estas opciones del menú serán desarrolladas de acuerdo a las exigencias en análisis del modelo.

5.1.2 Descripción de la bar ra de funcionamiento del WHAT’S BEST en EXCEL Al instalar el software también se agrego la siguiente barra de herramientas

A continuación se dará una breve explicación de cada uno de los comandos de la barra.

WB• Ajustable. Permite elegir o borrar los valores de las variables • Mejor. Establece la FOBJ que puede ser Máximo, Mínimo o ninguno • Restricciones. Se debe realizar una formula que represente a las restricciones

eso para el lado izquierdo, también permite establecer el tipo de restricción y el valor de la disponibilidad o recurso del lado derecho.

• Solución. Permite acceder a la solución del MPL

• Dual. Permite expresar el modelo inicial en un modelo DUAL • Entero. Permite solucionar un MPL con valores enteros • Opciones. Accede a opciones que considera WHAT’S BEST para la solución • Reportes. Permite tener distintos tipos de reportes del MPL

• Ayuda. Accede a la ayuda del software



Símbolo Característica Al presionar este botón permite determinar las celdas ajustables, estas son las celdas que contienen el valor de las variables de decisión, cuando se ajusta se cambia de color negro a azul Al presionar este botón permite desactivar las celdas ajustables, que son las que contienen el valor de las variables de decisión, cuando se desajusta se cambia de color azul a negro

Cuando se presiona este botón se elije la FOBJ mínimo

Cuando se presiona este botón se elije la FOBJ máximo Este botón ayuda a poner la restricción de tipo ≤, teniendo cuidado que este signo se encuentre entre la formula que representa la restricción y el valor de la disponibilidad Este botón ayuda a poner la restricción de tipo ≥, teniendo cuidado que este signo se encuentre entre la formula que representa la restricción y el valor de la disponibilidad Este botón ayuda a poner la restricción de tipo =, teniendo cuidado que este signo se encuentre entre la formula que representa la restricción y el valor de la disponibilidad Este botón permite resolver el modelo, esto después de haber realizado la correcta estructura del MPL y los anteriores pasos Este botón permite visualizar los tipos y opciones de reportes de solución del MPL, y obtener más información sobre un análisis completo del Modelo.

5.2 Solución de un MPL mediante WHAT’S BEST Para solucionar un MPL se debe seguir los mismos pasos en su estructura que lo que se vio por en SOLVER, es decir realizar lo siguiente:

Para definir las celdas en la cual se estimarán los valores de las variables de decisión y para encontrar la solución óptima, se puede marcar las celdas que incluyen al valor de la variable con el botón , o puede acceder al menú y elegir WB y Adjustable, en el cual aparece lo siguiente:

En Range, se debe marcar las celdas que contienen los valores de las variables, en Type, se debe elegir la opción Adjust que permite ajustar el rango elegido para que sea óptimo la solución y posteriormente se presiona OK. Para definir la celda que contiene la FOBJ se puede proceder de dos maneras, la primera es definir esa celda si es Máximo o Mínimo , en el ejemplo seria la segunda opción; también se la puede definir mediante el menú eligiendo WB y Best, en el cual aparece lo siguiente:



Donde se debe marcar la celda que contiene la formula de la FOBJ en Cell, y en Objetive, elegir si la FOBJ es Mínimo (Minimize), Máximo (Maximize) o no tiene valor (None) y después OK.

Para elegir el comportamiento de las restricciones, se la puede hacer de 2 maneras, la primera es identificando el tipo de restricción, esto se lo hace usando los iconos , no se debe olvidar que al presionar cualquiera de estos iconos se lo debe hacer en medio de las celdas que contienen las formulas de las reacciones y el valor de los recursos o disponibilidades, para el ejemplo la celda marcada con azul es el resultado de la restricción en formula y el valor de la disponibilidad esta con color verde al lado derecho, en medio se debe definir en este caso =, que el programa lo pone como NOT =, que viendo en la barra de formulas se tiene WB(C8;"=";E8), que menciona un comando de WHAT’S BEST que relaciona la celda C8; =; celda E8; lo mismo sería para la restricción 2 con el termino ≥ (el programa lo pone como NOT >=), y en la restricción 3 seria ≤.

También se la puede definir mediante el menú eligiendo WB y Constraints, en el cual aparece lo siguiente:

En esta figura se puede ver que el valor de la celda que representa la restricción 1 se debe poner en Left Hand Side, el valor de la disponibilidad o recurso en Right Hand Side, también se debe elegir el tipo de restricción que une las 2 celdas (Constraint Type) en la restricción 1 sería =, y la ubicación de esta celda colocarla en Range to store Constraints, y terminar en OK. Este procedimiento se debe hacer para cada restricción de manera individual.

Una vez concluido esto, se debe elegir inicialmente los reportes que se quieren obtener, para eso se puede elegir directamente con el botón , o tomando en cuenta el menú de EXCEL en WB! y Report, en ambos casos se obtendrá lo siguiente:



Para saber las opciones se tiene lo siguiente: • Locate (Localizar), permite localizar las siguientes celdas, para la cual se tienen lo siguiente:

o Adjustable (Ajustable), Celdas ajustables donde se encuentran la solución de las variables de decisión del MPL

o Best (Mejor), Localiza la celda donde se encuentra el resultado de la FOBJ. o Constraints (Restricciones), localiza las celdas donde se encuentran las restricciones

del MPL. o Violated (Violación), Marca las celdas de las restricciones violadas en el MPL, se

sabe que una restricción se viola cuando las variables de holgura o superávit son negativos y la solución es infactible.

• Written Report (Escribir reporte), permite establecer el tipo de reporte que se desea visualizar de las siguientes alternativas:

o Status Report (Estado del reporte), indica si la solución es Factible o no, junto con otros datos importantes del MPL como el número de tipo de variables utilizados, el tiempo de solución y el número de iteraciones que se realiza antes de obtener la solución óptima

o Solutión Report (Reporte de la solución), indica los valores de la FOBJ junto con las variables de decisión, además este reporte permite realizar el análisis de sensibilidad del MPL.

• Insert Reports (Insertar el Reporte), En esta opción se tienen los siguientes puntos: o At the Beginning (Al comienzo), se introduce el o los reportes al principio de las

hojas de EXCEL. o At the End (Al final), se introduce el o los reportes al final de las hojas de EXCEL.

• Open Status Or ly on er ror (Analizar estado solo cuando hay error), permite visualizar el reporte de estado solo cuando existe error en el planteo del MPL

5.3 Presentación de la Solución de un MPL mediante WHAT’S BEST Para el ejemplo se eligió la localización por la FOBJ, que muestre también el estado del reporte y el reporte de la solución, además de insertar todos estos reportes al final de las hojas de EXCEL, añadiendo también el análisis de error en el planteo del MPL del ejemplo. Para esto se tiene lo siguiente:



Acá se puede ver que el resultado de la FOBJ es de 3.4 (17/5), en la parte que muestra las variables de decisión se tiene valores para X1 (Hoja1!B2) de 0.4 (2/5) y X2 (Hoja1!B3) de 1.8 (9/5), con un valor inicial (Initial Value) de 0.4 y 1.8, además con una restricción ≥ 0, por ser la condición de existencia. También se ve que no tiene valores duales (Dual Value) y no tiene un valor máximo de incremento (Upper Range), según este informe estos valores se pueden reducirse por un valor indeterminado (Lower Range).

5.4 Análisis de Sensibilidad de un MPL mediante WHAT’S BEST Con este informe se puede realizar el análisis de sensibilidad, por ejemplo para el Valor Dual (Dual value) como se dijo es un Costo Dual de una variable, esto se entiende como la cantidad por la que el coeficiente de la FOBJ de la variable tendría que mejorar antes de que se pudiera aprovechar para dar la variable en cuestión un valor positivo en la solución óptima, en este caso no se tiene valores, es decir que no se va sacrificar ningún $ por las variables en la FOBJ. Respecto a las Variables de Holgura o Artificiales (Value) que se encuentra en el último bloque, en el cual se ve el valor de 1 para la segunda restricción, este es el valor correspondiente a la variable de holgura S1, es decir que es tiene un excedente de 1 respecto a su valor de disponibilidad de 6, pero que cumple con el tipo de restricción (≥ 6). En cuanto a los valores duales de las restricciones (Dual Value) se refiere a los Precio Sombra, esto expresan en cuanto se incrementa la FOBJ por el uso de la disponibilidad de la restricción, por ejemplo para la primera restricción se tiene un valor de 1.4$, es decir que por el incremento de una unidad en el uso de la restricción 1 la FOBJ aumentara en 1.4$, en este caso perjudicaría al FOBJ, si se toma en cuenta la restricción 3 que tiene un valor de 0.2, expresa que por el uso de una unidad de la restricción 3 la FOBJ disminuye en 0.2$ la FOBJ.

Respecto a los valores de Rangos máximos (Upper Range) y Rangos Mínimos (Lower Range) se debe interpretar de la siguiente manera: para la restricción 1 se tiene un rango máximo de 9 y un rango mínimo de 1, no se debe olvidar que el valor inicial de esta restricción es de 3, entonces el

Características de la hoja de reporte

Valor de la FOBJ Celda Objetivo

Referencia de la hoja y valor de la Celda Objetivo

Celdas Ajustables que corresponden a las variables de decisión

Celdas Ajustables

Referencia de la hoja y valor de la Celda que contiene los Xi

Referencia de la hoja y valor de la

Celda que contiene las restricciones

Valor de la inicial FOBJ

Condición de la FOBJ

Rango menor que puede tener la variable Xi

Rango Mayor que puede tener la variable Xi

Valor Dual

Valor de las variables de Holgura y Artificiales Tipo de restricción Valores duales de

las restricciones Rango mayor que puede

tener la restricción

Rango menor que puede tener la restricción

Formula usada en la restriccion



rango máximo será de 3 + 9 = 12 y el mínimo de 3 – 1 = 2, es decir que se puede incrementar a 12 y reducir a 2 sin que existan entradas nuevas de variables en la solución óptima y si varia el valor de la FOBJ.

5.5 Presentación del Reporte de Solución de un MPL mediante WHAT’S BEST Para este punto se debe elegir en Report la opción de Status Report, y se obtiene lo siguiente:

Este es el reporte de solución que presenta WHAT’S BEST en la cual se resume información global de la solución del MPL.

Se puede decir que este software presenta aplicaciones en la cuales se puede analizar los resultados con ayuda de los reportes que se tienen, además que tiene una aplicación directa con el EXCEL lo cual ayuda a la forma de presentación en los datos que son similares al SOLVER, que se explico anteriormente. También recalcar que en el WHAT’S BEST no se puede ver las iteraciones de las tablas SIMPLEX, solo muestra los resultados finales.

6. RESOLUCIÓN MEDIANTE EPLAR Este programa tiene gran versatilidad respecto a su manejo y se instala en plataformas de Windows 98, 2000 server, XP. En algunos casos no se cuenta con el instalador pero se puede acceder al programa mediante la elección del archivo EPLAR.EXE en la carpeta EPLAR1, y al elegir este archivo se presenta la siguiente figura.

Rango mayor que puede tener la restricción Memoria Asignada

Estadísticas de Clasificación Actual / Máximo

Numérico Ajustable Restricciones Enteros Optimizables No lineales Coeficientes

Tipo de Modelo: Lineal

Los coeficientes del modelo de menor y mayor fueron

Fin del reporte

El menor coeficiente se produjo en la celda de restricción: Hoja1!B6, en la celda optimizable: Hoja1!B6

El coeficiente más grande ocurrió en la restricción de la celda: Hoja1! D9 con celda optimizable: RHS

Ensayos: 5 inviabilidad: 0 Objetivo: 3,4 Estado de la Solución: Global y optimal

Tiempo de solución: 0 horas 0 minutos 0 segundos

Celda de alerta en blanco ha sido desactivado



Este programa fue desarrollado a los inicios de la década de los 90 por la Facultad de Informática de Málaga en España y ha sido desarrollado como Proyecto Fin de Carrera por Juan Antonio Sánchez bajo la dirección de Eva Millán, este programa viene en el idioma Español lo cual ayuda más en su manejo; su nombre nace de la abreviación de Entorno de Programación Lineal y Análisis de Redes, que fue elaborado para la solución de MPL y Redes.

6.1 Descripción de la bar ra de funcionamiento del EPLAR La barra de funcionamiento del EPLAR tiene la siguiente figura

La primera opción de Salir , permite salir del programa, que también puede hacerse presionando X en la esquina derecha superior de la ventana. Respecto a la segunda opción Programación Lineal, se tiene lo siguiente:

En esta parte se tienen las opciones de Método Simplex, Transporte y Asignación los cuales se explicaran a continuación. Si se elige el Método Simplex, se tendrá la siguiente ventana:



En la opción de Ficheros, se tiene lo siguiente

En la opción de Entrada de Datos, se tiene una ventana donde se tienen las opciones siguientes:

Se debe llenar correctamente cada casilla de acuerdo a lo que se necesita.

Respecto a la opción Resolver, se tienen los tipos de resolución

El Primal resuelve el MPL considerando las técnicas aprendidas en clases (Simplex, técnica 2 fases, etc.), Dual indica la resolución del modelo aplicando el DUAL, en Mostrar tablas, se da las tablas simplex para inicial las iteraciones de modo que se tenga las soluciones, esto de lo realiza mediante Técnica de 2 fases, en esta parte se muestra la siguiente barra de menú.

Donde las opciones están claras y se desarrollara cuando se esta realizando la solución del MPL. Respecto a los Informes, se tiene reportes por iteraciones, la variable de salida y la de entrada, además del tipo de método que se usa para la resolución de un MPL.

Respecto a la opción de Ver, se tiene la siguiente figura:

Nuevo. Sirve para crear un nuevo archivo que contenga el MPL. Abr ir . Permite acceder a un archivo guardado anteriormente con extensión *.SIMy que tenga un MPL Salvar . Permite salvar el problema en una carpeta determinada con extensión *.SIM Salvar como. Permite salvar el problema en una extensión distinta que puede ser compatible con la extensión *.TXT. Salir de Simplex. Permite salir del Simplex

Pr imal. Muestra el modelo en su estado primal, es decir en su estado inicial. Dual. Muestra el modelo Dual, considerando las consideraciones necesarias y partiendo del Primal.



Por último se tiene Imprimir, si se la elige se muestra una ventana en la cual da la opción de Ver un listado, si se acepta se tiene la alternativa de guardar como imagen y con extensión *.mdi, y una vez guardado se puede imprimir las tablas en forma de imagen.

6.2 Introducir un MPL considerando el EPLAR

En la opción de Entrada de Datos, se debe considerar el mismo ejemplo anterior que se muestra nuevamente: FOBJ Min Z = 4X1 + X2

s.a. 3X1 + X2 = 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 4

Xi ≥ 0 Considerando esto se tiene la siguiente ventana.

Se puede introducir el número de variables que tiene el MPL en N° de Variables, que en el ejemplo que se esta tomando es de 2 variables de decisión (X1 y X2) y se tiene 3 restricciones, también se tiene que la FOBJ es de Minimizar, una vez determinado esto se tiene:

Inicialmente se presenta los valores con cero, a esto debe ponerse los coeficientes respectivos juntos con el tipo de restricción de acuerdo al ejemplo que se esta desarrollando, se recomienda que marcar todos los número iniciales (0.00000) y poner los valores de los coeficientes.



En caso que existan valores negativos se debe anteponer el signo () a los coeficientes respectivos, una vez completado esto se presiona SI, y se carga el MPL, en caso de cambiar algún valor, aumentar o quitar restricciones, incluso cambiar el criterio de la FOBJ se debe elegir la opción Entrada de datos.

6.3 Resolución de un MPL por el EPLAR Para esto se elige la opción Resolver, que se explico anteriormente, si se quiere resolver el modelo como tal se debe elegir Primal, o si se quiere mostrar el modelo en su forma Dual, se elige esta opción. Una vez elegido esta se puede acceder a las tablas del Simplex, pero como se dijo se usa la técnica de 2 Fases, esto se puede ver eligiendo la opción Mostrar tabla, la cual muestra la tabla inicial de este método, esto se muestra a continuación:

Valor inicial de la solución de FOBJ.

X1 (C1) y X2 (C2) S1 (C3) y S2 (C4) X1

R1 R2 S2

R1

Valor inicial de las Variables Básicas en la FOBJ

Valor inicial de la Columna de solución de la tabla .



En esta tabla se muestra la actualización para la FOBJ con los criterios que se manejo en clases, el programa asume que la Minimización tendrá un valor negativo en los coeficientes, y la variable de entrada será el más negativo es decir 7.0 esto corresponde a la variable C1 (que es el valor de tablas de X1), y también indica la variable de salida de P5 (que sería el valor de la Variable Básica R1), esto se muestra con símbolos de V para la variable que ENTRA y > para la variable que SALE. En esta tabla se muestra el Método de dos Fases, la diferencia con la tabla que se vio en clases es que no se muestra las columnas que contienen las variables R1 y R2, acá solo se muestran las columnas de las variables X1, X2, S1 y S2. Para acceder a la siguiente iteración se elige la opción SIGUIENTE ITERACION, que se encuentra en la barra superior del menú, y se tiene lo siguiente:

No se debe olvidar que el valor de Z0 es el valor de la FOBJ en esta iteración, al seguir presionando la opción SIGUIENTE ITERACION, se tiene lo siguiente:

Variable de entrada C2 (X2) X1

R2

Variable de Salida P6 (R2)

Mensaje de la 1ra Fase Valores en la columna de SOL

de X1 0.6 (3/5) y X2 1.2 (6/5)

Valor de S2 (P4)

Valor de FOBJ



Como se ve en la parte superior con letras rojas que menciona El problema tiene solución, que es una condición para seguir con la segunda fase, además como se dijo en clases que el valor de la FOBJ debe ser cero, que también se muestra en la tabla. Al presionar de nuevo la opción SIGUIENTE ITERACION, se tiene lo siguiente:

Como esta habilitado todavía la opción SIGUIENTE ITERACION, se la debe elegir para obtener la siguiente iteración:

En esta figura se muestra que la opción SIGUIENTE ITERACION ya no esta habilitado lo que significa que es la solución óptima, además esta con color rojo el valor de la solución óptima que es de 3.4 (17/5). No se debe olvidar que en este programa los valores de la Columna CB refleja los valores iniciales de las variables de decisión, además como se dijo en clases para pasar a resolver en la segunda fase, se debe considerar los valores iniciales del modelo respecto a los coeficientes C(j) de la FOBJ.

Variable que ENTRA C3 (S1)

Variable que SALE P4 (S2)

Valor de FOBJ

Valor de FOBJ

Solución X1 0.4 (2/5) y X2 1.8 (9/5)

Valores iniciales de X1 4 y X2 1 en la FOBJ

Valor de S1 (P3) = 1

Valor de FOBJ



Ahora considerando la opción Informes, que esta en Resolver, solo se muestra los informes pertinentes como se tiene a continuación:

Como se ve no se muestra las tablas correspondientes, pero si los coeficientes de la FOBJ, la variable que Entra y la variable que Sale, además de mencionar el Método Dos fases y la fase correspondiente Fase 1. En esta parte se puede seguir sacando reportes o ir al reporte de la solución final que se presenta a continuación:

Acá se ve el número de iteración, la solución óptima de 3.4 (17/5), los valores de las variables X1 0.4 (2/5), X2 1.8 (9/5), S1 1 y S2 0. Como se muestra, solo se ve los valores finales sin mostrar la tabla que es la parte que más se debe considerar.

7. RESOLUCIÓN MEDIANTE LINDO Este programa es una aplicación a sistemas FAT32 y NFTS y para sistemas operativos WINDOWS 98, 2000 Server, XP, y de acuerdo a la forma de instalación puede funcionar para VISTA, y sirve para resolver modelos de programación Lineal, Cuadrática y Entera. Desde 1979 el programa LINDO ha sido una de las herramientas de optimización favoritas de las instituciones Educativas y Empresariales. LINDO SYSTEMS se ha dedicado a proveer herramientas innovadoras y poderosas en el campo de la optimización de modelos, que también son flexibles y muy fáciles de usar, además que tiene una larga historia que data del año 1979, que fue en México donde se vendió la primera copia comercial de LINDO, y de ahí en adelante tuvo mucha demanda en el sector de educación y empresarial por sus aplicaciones.

Antes que aparecieran Lotus 123 o Excel, LINDO había sido incorporado a la planilla de cálculo VISICALC, el paquete se llamó VINO y es el equivalente del SOLVER que viene con Excel. También se elaborar la hoja de cálculo llamada WHAT´S Best!, la cuál se explico anteriormente y se explico que es, un complemento que se integra a EXCEL o LOTUS 123; ésta resuelve problemas de optimización con algoritmos de LINDO Systems. En el año 1983 apareció la versión de LINDO/PC, que fue el primer programa que resolvía MPL, y podía manejar 60 restricciones y 120 variables. En 1996 apareció la versión 6.0 para WINDOWS, para este manual se esta considerando la versión 6.1 para WINDOWS, actualmente se tienen versiones superiores, pero la



mayoría están incompletas o en algunos caso necesitan serial o crack. Al instalar el programa se puede acceder a esta con la barra de menú, como se muestra en la figura.

En algunos casos al instalar se puede pedir un código, para que programa sea permanente, este código puede ser bajado del Internet, pero se no puede ser encontrado la pagina correspondiente puede cancelar esta opción y elegir versión Demo, pero a veces al elegir esta opción no se cuenta con un acceso directo al programa, y esta operación se debe hacer reiteradas veces hasta que se puede entrar al programa. Una vez que se accede al programa aparece una ventana en la cual muestra características previas del LINDO v 6.1, además que recalca que la licencia ha expirado, pero igual funciona el programa, y aparece la siguiente ventana:

7.1 Descripción de la bar ras de herramientas del LINDO Se tiene dos tipos de barras de herramientas una es la del menú principal y otra de iconos de herramientas que se explicaran a continuación



7.1.1 Descripción de la bar ra de menú principal del LINDO Se tiene lo siguiente cuando se entra al programa LINDO

Inicialmente en la barra principal se ven algunos iconos que no están habilitados, esto se explicara más adelante. Ahora se detallara las opciones de cada comando que se ve en la barra de menú principal, que posteriormente se desglosara detalladamente para resolver los MPL.

7.1.1.1 Comando File En el comando File, se tiene lo siguiente:

Estos comandos sirven para la estructura y almacenar los MPL en archivos que pueden ser usados o posteriormente recuperarlos para modificarlos.

Archivo • Nuevo F2. Permite crear un nuevo archivo para solucionar el MPL • Abr ir F3. Permite abrir un archivo ya guardado de MPL con extensión

*.ltx • Ver F4. Muestra un archivo con extensión *.ltx • Guardar F5. Permite guardar un archivo con extensión *.ltx • Guardar como F6. Permite guardar un archivo con extensión distinta a

*.ltx, estas pueden ser *.lpk y *.mps • Cer rar F7. Cierra la ventana donde se estaba trabajando

• Impr imir F8. Imprime el archivo considerando la ventana principal • Configurar Impresión F9. Accede a la configuración de la impresora.

• Salida de Registro F10. Permite salir de la ventana donde se estaba trabajando

• Tomar comando F11. Accede a un comando que es compatible con LINDO

• Leer Bases F12. Permite ver que variables son básica o tienen errores. • Guardar Base Shift+F2. Guarda la identificación de Bases o errores

que se identifico

• Titulo Shift+F3. Coloca un titulo al problema

• Dato Shift+F4. Muestra la fecha y hora actuales • Tiempo tr anscur r ido Shift+F5. Da el tiempo transcurrido acumulado

en el cual se realiza el problema

• Licencia. Accede a una ventada donde se debe revalidar la licencia del programa

• Salir Shift+F6. Permite salir de programa



7.1.1.2 Comando Edit En el comando Edit, se tiene lo siguiente:

7.1.1.3 Comando Solve En el comando Solve, se tiene lo siguiente:

7.1.1.4 Comando Reports En el comando Reports, se tiene lo siguiente:

7.1.1.5 Comando Windows En el comando Windows, se tiene lo siguiente:

Edición • Deshacer Ctr l+Z. Deshace la ultima operación que se realizo

• Cor tar Ctrl+X. Permite cortar o extraer la sección de una o más características • Copiar Ctrl+C. Permite copiar la sección de una o más características • Pegar Ctr l+V. Pega la selección anterior en un lugar específico • Limpiar Del. Borrar una selección pero ya no se recupera

• Buscar / Reemplazar Ctr l+F. Busca una característica en el Modelo y puede reemplazar por otra característica que se quiere

• Opciones Alt+O. Permite acceder a una ventana en la cual se puede elegir el tipo de modelo, numero de iteraciones, limites de variables, etc.

• Ir a la línea Alt+O. Se puede ir a la posición de un a línea del MPL.

• Pegar Símbolo Ctr l+P. Permite pegar en el modelo símbolos predeterminados por el programa.

• Seleccionar Todo Ctrl+A. Selecciona todo el modelo de la ventana. • Bor rar Todo. Borra todo el modelo sin necesidad de marcarlo

• Cambiar a nuevo tipo de letra. Se puede cambiar el tipo de letra de la ventana en donde se esta trabajando.

Resolver • Resolver Ctrl+S. Permite resolver el MPL planteado • Elaborar el modelo Ctrl+E. Permite encontrar si esta mal introducido el MPL • Depuración Ctrl+D. Permite encontrar errores de sintaxis en el MPL • Pivote Ctrl+N. Identifica el pivote en forma manual en el modelo o por medio

de LINDO • Objetivo Preferente Ctr l+G. Busca errores o anomalías en el modelo, y

también se puede ver el tipo de error que se comete

Repor tes • Solución Alt+0. Permite mostrar la solución del MPL y su sensibilidad. • Rango Alt+1. Muestra los rangos de variación del MPL (Sensibilidad) • Paramétricos Alt+2. Muestra valores paramétricos de las restricciones • Estadísticas Alt+3. Muestra estadísticas de manera general de MPL • Hojear Alt+4. Genera otros informes como ser: de parámetros, modelo dual, formato

de reportes, graficas, etc. • Figura Alt+5. Muestra los valores de las restricciones de manera gráfica. • Figura Base Alt+6. Muestra los valores iniciales del modelo • Tabla Alt+7. Muestra la ultima iteración en forma de tabla por el método 2 Fases. • Formulación Alt+8. Muestra el MPL formulado • Mostrar Columna Alt+9.. Muestra en forma de columnas los valores de las variables

que uno elija, con su resultado incluido. • Definir positivos. Permite establecer valores positivos de forma previa



7.1.1.6 Comando Help En el comando Help, se tiene lo siguiente:

Todos estos comandos son de fácil interpretación, esto lo puede hacer el alumno para mejor manejo del LINDO.

7.1.2 Descripción de la bar ra de iconos de herramientas del LINDO La barra de iconos de herramientas son como accesos directos de algunos comandos que se describió anteriormente, y esta barra tiene la siguiente estructura:

A continuación de detallara el uso de los iconos correspondientes:

7.1.2.1 Comando Nuevo. El comando Nuevo abre una nueva ventana en blanco para el modelo, puede agregar un modelo directamente en esta ventana o pegarlo del portapapeles

7.1.2.2 Comando Abrir . El comando Abrir lee un archivo anterior que contiene un MPL y cuando presiona se presenta la siguiente figura

Ayuda • Contenido F1. Muestra el contenido de temas que tiene el programa LINDO • Buscar ayuda Alt+F1. Buscar ayuda en el uso de una aplicación específica • Como usar la Ayuda Ctrl+F1. Muestro como usar la ayuda de LINDO

• Registro. Muestra una hoja de registro ON LINE para el LINDO • Actualizar automáticamente. Configura la actualización de manera automática

• Acerca de LINDO. Muestra las características de uso de LINDO

Ventana • Abr ir ventana de comandos Alt+C. Abre una ventana en donde se puede ver comando

usados por el LINDO o programar una secuencia • Abr ir ventana de estado. Presenta un resumen del estado que tiene LINDO

• Enviar atrás Ctrl+B. Envía la venta principal atrás de las demás ventanas • Cascada Alt+A. Muestra las ventanas usadas y generadas en forma de cascada • Titulo Alt+T. Ordena las ventanas en forma Vertical u Horizontal

• Cer rar Todo Alt+X. Cierra todas las ventanas que se emplearon o generaron

• Organizar iconos Alt+I. Ordena las ventana por titulo y orden alfabético • 1. Titulo de la ventana donde se tiene el MPL



Esta opción limita archivos de 64000 caracteres o menos. La lista etiquetada con “mostrar archivos de tipo”, le permite al usuario abir uno de los siguientes 4 filtros o extensiones para los archivos seleccionados: el texto de LINDO (*.ltx), LINDO Packed (*.pk), meta archivos (*.pms) y todos los archivos (*.*), para una descripción completa de cada filtro véase el comando Guardar.

7.1.2.3 Comando Ver. El comando View lee una archivo que anteriormente fue guardado en cualquiera de las extensiones aceptadas por LINDO, al contrario del comando Abrir este comando puede leer un archivo de cualquier tamaño y solo esta limitado por la memoria disponible en la PC que se usa. Si se necesita hacer la corrección extensa en un modelo grande, se puede usar un procesador de texto como el MS WORD para hacer sus cambios o cualquier otro editor (WORDPAD, NOTPAD, etc.), una vez guardado este archivo, puede ver en LINDO las correcciones o modificaciones con este comando View. Si se usa una editor externo se debe guardar como “solo texto” (*.txt) para así poder ver en el programa.

7.1.2.4 Comando Guardar/ Guardar Como. El comando Guardar / guardar como permite almacenar en la PC donde se esta usando un archivo referente al MPL, al presionar esto se muestra la siguiente figura:

Esto se puede hacer definiendo el tipo de formato de extensiones que se muestran a continuación: Formato Extensión Descr ipción Texto de LINDO *.ltx

La ventana se guarda exactamente en el formato del texto, como aparece en la pantalla. Así el Modelo esta disponible para informes y comandos Windows. Los comentarios y formato especial son guardados con el MPL

LINDO PACKED *.lpk

El modelo es guardado en formato comprimido, es un archivo de texto y puede correr fácilmente en otras plataformas, pero los volúmenes son ilegibles por otros editores de texto o procesadores de palabras. Comentarios y formato especial no son guardados y se pierden esas características en el MPL

Meta archivo MPS

*.mps

Es un formato estándar de modelos (MPS normal). Este es un formato ineficaz por lo que se refiere al espacio en disco requerido y a veces es difícil interpretar. La ventaja de este formato es que una norma ampliamente aceptada para la optimización por lo que es aceptado por otros programas de solución de modelos de optimización. Esto es solo disponible para Windows, los comentarios y formato especial del MPL se pierde al guardar

Se recomienda usar la extensión *.ltx en la plataforma Windows.

7.1.2.5 Comando Imprimir. El comando imprimir permite mandar directamente el MPL plateado, los informes de solución, gráficos, etc.



7.1.2.6 Comando Cortar. Este comando se usa para quitar el texto seleccionado de una ventana activa y pegar la selección a otro punto. El texto que esta cortado se pone en portapapeles de Windows y puede pegarlo en otras aplicaciones u otras ventanas de LINDO. Para seleccionar el texto por cortar, simplemente presiona el botón izquierdo del ratón al principio del texto, luego arrastrarlo al final del mismo y por último soltar el botón. Una vez seleccionado ejecutar el comando cortar para introducir el texto cortado.

7.1.2.7 Comando Copiar. El comando Copiar se usa para copiar el texto seleccionado al portapapeles de Windows.. El texto que esta copiado puede ser pegada en otras aplicaciones u otras ventanas de LINDO pero el texto seleccionado no se pierde de la ventana que procede. Este comando se usa para pegar el texto cortado o copiado, almacenado en el portapapeles.

7.1.2.8 Comando Find/Remplace. (Buscar / Reemplazar)

Este comando se usa para la revisión de una ventana, especialmente cuando el modelo es muy grande, en caso de error, este se corrige remplazándolo por la palabra correcta. Al presionar el botón correspondiente a este comando, se presenta la siguiente figura

Primero debe seleccionarse el campo en el que se quier buscar, luego aplicar Replace en la opción de la ventana, esta opción resaltara la primera búsqueda correcta, si desea reemplazarla presionar nuevamente Replace, si no se desea reemplazarse se puede aplicar Find Next, que permite encontrar la siguiente palabra en el modelo. La opción Replace All permite reemplazar todas las palabras del campo seleccionado de una sola vez. La opción Close cierra esta ventana y Help que se accede a la ayuda del LINDO de este comando y son fáciles de entender. Y por último la Opción Math Case, permite distinguir las mayúsculas de las minúsculas en la búsqueda

7.1.2.9 Comando Opciones. Este comando permite modificar los parámetros que por defecto tiene el LINDO, al presionar este botón se tiene la siguiente figura.



Si se desea modificar estas opciones predeterminadas, se debe presionar save una vez realizada todas las modificaciones y si se desea volver a los valores que por defecto tiene el LINDO se debe presionar Default. También se debe ver que se presenta la opción optimizar (Optimizar) y que tienen 2 áreas que son Integer Programming (Programación Entera) y General (Programación General), las cuales se desarrollan a continuación.

a) Integer Programming (Programación Entera) Se muestra opciones referentes a la solución de modelos de programación entera las cuales son:

1) Preprocess (PreProceso) Una fase optativa para resolver los modelos de optimización son los modelos de Programación Entera PE (Integer Programming), y una opción importante es la de Preprocess, en esta opción el LINDO hace una evaluación extensa del modelo para agregar las variables pertinentes para la PI, que en algunos casos son cortes o restricciones agregadas por el LINDO, esto sirve para discretizar las variables enteras y se puede agregar tiempo de espera para la resolución de la PE, pero cuando todas las variables deben ser enteras es indispensable, LINDO tiene como valor predefinido realizar el paso del Preprocess.

2) Preferrend Branch (Rama Preferida) Cuando el programa LINDO esta resolviendo un modelo de PE, se debe tomar en cuenta que su método de resolución esta echando ramas, es decir vinculaciones. Se investiga las variables del entero para determinar si alguna tiene los valores fraccionarios. Si es así, entonces el LINDO echara ramas en estas variables. Una vez realizada esta acción, arregla su valor cambiándolo por uno de los valores del entero más cercano y continua sucesivamente. Consecuentemente hay siempre 2 valores de enteros de cierre para cualquier número fraccionario (uno mayor que y otro menor que el número fraccionario), el programa puede escoger entre las anteriores opciones. En algunos modelos se tendrá una diferencia considerable al escoger uno u otro parámetro de redondeo, donde UP redondea al número mayor que la fracción y Down, al número inferior de la fracción. En esta parte el valor predeterminado Default, permite al programa escoger la dirección de bifurcación, en este caso LINDO tomara dirección inteligente si echa ramas arriba o abajo, analizando la dirección más favorable para la variable dada (la más cercana sea mayor – arriba o menor – abajo)

3) IP Optimality Tolerance (PE Tolerancia óptima) Este comando especifica una fracción “f” que indica que solo debe buscar las soluciones con el valor de la FOBJ 100*f% que es el mejor considerado hasta ahora. El uso de este comando es de doble sentido, primero el tiempo empleado en hallar la solución es considerablemente menor. Pero con el de esta tolerancia LINDO no puede encontrar la solución óptima y no se recibirá ninguna advertencia en este sentido en el informe de la solución. Sin embargo se le garantiza que la solución encontrada esta dentro del 100*f% del valor óptimo. En los modelos enteros grandes, las alternativas de conseguir una solución dentro del 2% de optimalidad, y se conseguirá el valor óptimo. Si se quiere un valor aproximado con un error f, error que se puede considerar despreciable si f es pequeño, entonces el valor calculado de la FOBJ no será pero que el óptimo verdadero en mas del 1% y ahorro tiempo de resolución y se disminuye el número de iteraciones que es lo aconsejable en modelos de gran tamaño.

4) IP Objetive Hurdle (PE Barra de objetivo) Cuando se usa este comando, solo se buscara soluciones del entero en que el valor objetivo es mejor que el valor de barrera (límite) especificado.



Este límite es normalmente basado en una solución factible conocida, el límite se usa en el algoritmo de rama y limite, para acortar la búsqueda del óptimo. El programa busca una solución inicial del modelo entero, puede ignorar las ramas con un valor de la FOBJ peor que su valor de la barrera, porque sabe que una solución buena (la barrera) se encontrara en una rama adyacente. En otros términos, las ramas deben tener el valor objetivo más atractivo que el valor de la barrera antes de ser considerados. Dependiendo del problema, un valor de barrera bueno puede reducir tiempos de la solución.

b) General (Opciones Generales) Presenta opciones para la resolución de un modelo general, esto tiene los siguientes puntos.

1) Nonzero Limit (Limite no nulo) Esto se refiere a los coeficientes de las variables de las ecuaciones de restricción distintos de cero. Seria raro encontrar a todas las variables en una sola ecuación de restricción. De hecho en modelos realistas muy grandes menos del 1% aparecen en una sola restricción, así en cualquier fila dada, la mayoría de las variables tienen coeficientes de cero. Si se elige estos ceros seria malgastar actuación y almacenamiento, es por eso que LINDO solo guarda los valores del coeficiente no nulo. Cuando el programa empieza, fija una cantidad de memoria para los coeficientes no nulos, se puede determinar este límite examinando el campo del limite no nulo en el cuadro de dialogo de las opciones. Si se tiene un modelo con una cantidad particularmente grande de no ceros, se puede aumentar el límite No nulo para permitirle a LINOD perfeccionar el modelo. Por otro lado, si se esta intentado conservar la memoria puede disminuir el límite, no se debe olvidar que por cada no nulo se gasta 8 Bytes de almacenamiento o memoria.

2) Iteration Limit (Limite de la iteración) Para esto se usa un formulario para realizar la optimización por el método SIMPLEX, como se hablo en clases este método emplea una serie de iteraciones en base a las variables de entrada y salida e identificando el pivote, hasta que la solución óptima se encuentre. En algunos casos, se puede poner un límite superior en el número de iteraciones que realiza el programa, para esto solo se debe poner un límite en la opción de Iteration limit en el cuadro de dialogo de las opciones.

2) Initial Constraint Tolerance / Final Constraint Tolerance (Tolerancia de Restricción Inicial / Tolerancia de Restricción Final) Debido a la precisión finita disponible para el punto flotante de las computadoras en los Sistemas Windows de plataforma FAT o NFTS, el programa LINDO no siempre puede satisfacer exactamente una restricción. Es por esto que se tienen 2 tolerancias que mencionan la cantidad máxima de violaciones permitidas en una restricción, estas tolerancias se llaman la Tolerancia de Restricción Inicial y Tolerancias de Restricción Final. El valor predeterminado para las tolerancias iniciales es 8*10 5 , mientras el valor predeterminado para las tolerancias finales es de 1*10 5 , que son los valores mínimas y máximas que permite el LINDO en el no cumplimiento de las restricciones iniciales y finales.

3) Entering Variable Tolerance (Tolerancia de variable de entrada) Es el valor predefinido por el LINDO para la tolerancia de la variable de entrada que es de 5*10 7 , este valor expresa hasta cuando puede ser tolerado o permitido las violaciones en la variable de entrada del modelo.



4) Pivot Size Tolerance (Tolerancia de Tamaño del Pivote) Cuando de introduce una variable en la solución, se debe asignar la variable a una restricción o fila. Cada fila tiene una variable asignada a él y esta asignación se usa para que se compute el valor de la variable. La fila en la cual una variable es asignada se llama fila pivote como se dijo en clases, para que LINDO asigne una variable a una fila, debe haber actualmente un elemento no nulo, que se llama Pivot (Pivote), la tolerancia del tamaño de pivote es la línea que divide entre los que es y lo que no considerado un elemento del pivote valido. El valore predeterminado para la tolerancia de tamaño de pivote es de 1*10 10 .

c) Status Windows (Ventana de Estado) Esta opción permite supervisar el proceso y progreso de la solución, si se quiere impedir que esta ventana aparezca cada vez que resuelva un modelo quite el Checkmark del cuadro de dialogo.

d) Terse Output (Rendimiento conciso) Esta opción permite acceder a ventanas con informes de la solución del modelo, al desactivar permite que mucha información no se presente en las ventanas de los informes.

e) Page Length Limit (Limite de longitud de página) Se usa para limitar el número de filas que presenta la ventana de informes, en caso de que no se presenten los resultados sale un mensaje que pregunta si se desean ver los resultados faltantes.

f) Terminal Width (Anchura terminal) Para usar los puertos E/S (Impresora), el programa respeta una Anchura terminal, es decir el máximo de caracteres permitido por la línea. Así se usa esta opción para que el documento final encaje en la hoja de impresión, sin embargo los valores de Anchura mínima y máxima permitidas son 40 y 132, y la anchura predeterminada por LINDO es 80 caracteres.

7.1.2.10 Comando Go to Line. (Ir a la Línea) Este comando es muy útil en modelos muy grandes y permite ir directamente a cualquier línea del documento o directamente al inicio (Go to Top) o al fin (Go to End) del modelo, a presionar este botón (de manera abreviada Ctrl+T) se presenta la siguiente ventana

7.1.2.11 Comando Paste Symbol. (Pegar símbolo) Este comando ayuda a construir el MPL, debido a que registra las variables en uso, en la restricción donde se encuentra el cursor y pega los símbolos definidos (Coeficientes, variables, operadores) en el documento, al elegir este comando (de modo abreviado Ctrl + P) se presenta la siguiente figura.



7.1.2.12 Comando Clear all. (Limpiar todo) Este comando borra el modelo de la ventana activa

7.1.2.13 Comando Solve Command. (Resolver) Este comando (En forma abreviada Ctrl+S) Resuelve el MPL planteado y presenta un informe completo si así lo desea, también presenta un informe de sensibilidad y otros datos útiles para interpretación y proyección.

7.1.2.14 Comando Compile Model. (Modelo compilado) Este comando (En forma abreviada Ctrl+E) sirve para encontrar errores de sintaxis en el MPL, y que estos pueden hacer que el modelo no pueda ser resuelto, por eso es aconsejable ejecutarlo antes del comando Solve, así el programa puede informar en donde se encuentra el error, ya sea en línea o columna.

7.1.2.15 Comando Solution Command. (Comando de Solución) Este comando (En forma abreviada Alt+0) sirve para buscar la solución óptima de las variables del sistema de ecuaciones formando por las restricciones y la FOBJ, este muestra un informe de la solución de las variables del modelo.

7.1.2.16 Comando Peruse Command. (Comando para verificar) Este comando (En forma abreviada Alt+4) se puede usar para establecer gráficamente o en forma textual los resultados e interpretación del modelo

7.1.2.17 Comando Picture. (Cuadro) Este comando (En forma abreviada Alt+5) permite obtener la orden para la presentación del cuadro de la matriz de coeficientes no nulos, es una manera útil de tener una visión gráfica del modelo

7.1.2.18 Comando Send to Back. (Enviar al fondo) Este comando (En forma abreviada Ctrl+B) sirve para mandar al fondo o atrás la ventana activa



7.1.2.19 Comando Title. (Titulo) Este Comando (En forma abreviada Alt+T) ordena las ventanas abiertas ya sea de manera horizontal o vertical, esto para que se puedan ver todas las ventanas

7.1.2.19 Comando Close All Command. (Cerrar todos los comandos) Este comando (En forma abreviada Alt+X), permite cerrar todas las ventanas que se están usando y los cuadros de diálogos.

7.2 Solución de un MPL mediante LINDO Para entender de mejor manera la forma en que se usara el LINDO es conveniente explicar el algoritmo base el cual se muestra a continuación:

Para esta parte se usara de nuevo el mismo ejemplo anterior que se muestra nuevamente: FOBJ Min Z = 4X1 + X2

s.a. 3X1 + X2 = 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 4

Xi ≥ 0 Al introducir este MPL en el LINDO se tiene la siguiente ventana.



Para introducir la FOBJ se debe identificar si el MPL es Máximo (MAX) o Mínimo (MIN), seguidamente se introduce los coeficientes de la FOBJ con sus variables. LINDO solo admite nombres de variables hasta de 8 caracteres, que puede empezar y contener las letras de la A a la Z, y posteriormente considerar números o símbolos a excepción de: !, ), +,_, , =, >, <. También es necesario considerar los valores de 1 que son los que multiplican a la variable de decisión, por ejemplo la FOBJ es MIN Z = 4X1 + X2, en el LINDO debe colocarse MIN 4X1 + 1X2, ya que si no de coloca coeficiente 1 se tendría resultados equivocados, esta sugerencia debe considerarse para todo el modelo, es decir FOBJ y restricciones.

Una vez introducida la fila de la FOBJ se debe colocar las restricciones, para esto se puede colocar al inicio del bloque de restricciones las siguientes sentencias: SUBJET TO, SUCH THAT, S.T. o ST, para efectos de simplificar en el ejemplo se considera ST, luego se introduce las restricciones con las variables, una vez introducida todas las restricciones, se termina con la sentencia END como se ven en la figura. Una vez concluido la introducción del modelo se presiona o cualquier paso que involucra la solución del MPL, también se presenta la siguiente figura

Al aceptar esto se obtiene la siguiente hoja de reporte

Bloque de Restricciones

FOBJ

Realizar rango para el análisis de Sensibilidad

La solución optima se encontró en el paso 0 Evaluación de la FOBJ

Solución óptima 3.4 (17/5) Valor

Costo Reducido

Se muestra en este bloque las filas de las restricciones, Holguras o excedentes y los precios duales

Intervalos en el cual las variables básicas no han cambiado ANALISIS DE SENSIBILIDAD

En esta parte se muestra los Intervalos de los Coeficientes, respecto a las var iables las cuales están en las columnas que son: Coeficiente recurrente, Incremento Permitido y Decremento Permitido. Respecto a las Filas las cuales están en columnas que son: Restricciones recurrentes, Incremento Permitido y Decremento Permitido.



Acá se puede ver que el resultado de la FOBJ es de 3.4 (17/5), en la parte que muestra las variables de decisión se tiene valores para X1 de 0.4 (2/5) y X2 de 1.8 (9/5), con un costo reducido de 0, es decir que la FOBJ de la variable X1 debe incrementarse en 0 para que la FOBJ tenga una mejora por la introducción de dicha variable. Lo mismo se expresa para la variable X2. Tomando en cuenta las filas, específicamente la restricción 1 que no tiene holguras pero si un precio dual, en este caso se dice que para el incremento de una unidad de restricción de la disponibilidad la FOBJ mejora en 1.4 $, en caso de la tercera restricción se diría que disminuye en 0.2 $.

7.3 Análisis de Sensibilidad de un MPL mediante LINDO Los valores correspondientes a Current Coef (Coeficientes recurrentes) expresan los coeficientes de cada variable en la FOBJ, para la variable X1 en la parte de Allowable Increase (Incremento Permitido), presenta un valor de infinito es decir que puede no tiene un margen para incrementarse, pero en Allowable Decrease (Decremento Permitido), muestra que el valor inicial de 4 puede disminuir en 1 y aún considerar a esta variable como parte de la solución, de la misma manera se puede analizar para la variable X2.

Respecto a las restricciones, se muestra la columna de Current RHS (Valor de la restricción), que son los valores iniciales de las disponibilidades de cada restricción, en la columna de Allowable Increase (Incremento Permitido), presenta un valor de 9, es decir que puede incrementarse en este valor para tener el resultado de 12 sin que existan entradas nuevas de variables en la solución óptima; respecto a Allowable Decrease (Decremento Permitido), muestra que el valor inicial de 4 puede disminuir en 1, es decir que el valor disponible de 3 disminuye en 1 dando como resultado 2 en disponibilidad sin que exista entradas de nuevas variables en la solución óptima.

7.4 Reportes adicionales de un MPL mediante LINDO Uno de los reportes importantes corresponde ala opción de Parametrics (parámetros), en la cual se tiene la identificación de los parámetros respecto a las restricciones, en la cual se tiene la siguiente figura.

Otro de los reportes importantes corresponde a Tableu (Tabla) en forma abreviada Alt+7, esto muestra la ultima tabla de iteración en la solución del MPL del ejemplo, no se debe olvidar que la estructura de la tabla presentada no tiene una forma vistosa y se presenta de la siguiente manera.

Muestra el tipo de restricción que tiene la fila 2 que corresponde a la primera restricción (=), además del valor correspondiente de la desigualdad, en este caso será de 3

Se puede elegir las opciones que vayan de acuerdo con el análisis correspondiente , y así ver la incidencia de la restricción con la FOBJ, donde se tienen reportes en forma textual y gráfica junto con la gráfica en 2D o 3D, no se debe olvidar que esto se hace de manera individual cada restricción.



El método de resolución del LINDO es de 2 fases, esta tabla corresponde a la última tabla de iteración en la fase 2. el programa para la resolución cambia el signo de la fila de FOBJ.

8. RESOLUCIÓN MEDIANTE LINGO LINGO es un programa parecido en uso y aplicación a LINDO, no se debe olvidar que este programa es una aplicación a sistemas FAT32 y NFTS y para sistemas operativos WINDOWS 98, 2000 Server, XP. Al instalar el programa se puede acceder a esta con la barra de menú, como se muestra en la figura.

Este programa es ampliamente utilizado para resolver modelos de optimización, además de analizarlos, no se debe olvidar que en clases se dijo que los modelos más empleados son los que se relacionan directa o indirectamente la de maximización de utilidades o minimización de costos,

S1 S2

Fila que corresponde a Z FOBJ

S1 Fila de variables ratifícales o compensadas



además de que siempre se debe cumplir la disponibilidad de recursos, ya sea dinero, tiempos, maquinaria, unidades físicas, personal, etc., estos modelos se pueden clasificar en lineales o no lineales y su dependencia de las variables en la FOBJ y restricciones.

8.1 Descripción de la bar ras de herramientas del LINGO Se tiene dos tipos de barras de herramientas una es la del menú principal y otra de iconos de herramientas que se explicaran a continuación

8.1.1 Descripción de la bar ra de menú principal del LINGO Se tiene lo siguiente cuando se entra al programa LINGO

Inicialmente en la barra principal se ven algunos iconos que no están habilitados, esto se explicara más adelante. Ahora se detallara las opciones de cada comando que se ve en la barra de menú principal, que posteriormente se desglosara detalladamente para resolver los MPL.

8.1.1.1 Comando File En el comando File, se tiene lo siguiente:

Barra de menú principal

Archivo • Nuevo F2. Permite crear un nuevo archivo para solucionar el MPL • Abr ir F3. Permite abrir un archivo ya guardado de MPL con extensión

*.lg4 • Guardar F4. Permite guardar un archivo con extensión *.lg4 • Guardar como F5. Permite guardar un archivo con extensión distinta a

*.lg4, estas pueden ser *.lgn, *.ldt, *.ltf y *.lgr • Cerrar F6. Cierra la ventana donde se estaba trabajando

• Impr imir F7. Imprime el archivo considerando la ventana principal • Configurar Impresión F8. Accede a la configuración de la impresora. • Vista previa de Impresión Shift+F8. Muestra una vista previa de cómo

será impreso el informe

• Salida de Registro F9. Permite salir de la ventana donde se estaba trabajando

• Tomar comando F11. Accede a un comando que es compatible con LINDO

• Impor ta Archivo LINDO F12. Permite importar a archivos compatibles con el programa LINDO

• Expor tar Archivos. Permite exportar los archivos con extensión *.mps y *.mpi.

• Licencia. Accede a una ventada donde se debe revalidar la licencia del programa

• Información de base de datos. Permite acceder a una base de datos previamente registrada y almacenada

• Archivos Recientes. Muestra los archivos últimos usados.

• Salir F10. Permite salir de programa



Este comando se usa más para el almacenamiento, configuración del MPL.

8.1.1.2 Comando Edit En el comando Edit, se tiene lo siguiente:

8.1.1.3 Comando LINGO En el comando LINGO, se tiene lo siguiente:

Edición • Deshacer Ctr l+Z. Deshace la ultima operación que se realizo • Rehacer Ctrl+Y. Rehace la última operación que se realizo

• Cor tar Ctr l+X. Permite cortar o extraer la sección de una o más características

• Copiar Ctrl+C. Permite copiar la sección de una o más características • Pegar Ctr l+V. Pega la selección anterior en un lugar específico • Pegado especial. Permite pegar una selección de acuerdo a ciertas

características del LINGO • Seleccionar Todo Ctr l+A. Selecciona todos los términos de la ventana que

se esta trabajando

• Buscar Ctrl+F. Busca una característica en el modelo • Buscar siguiente Ctrl+N. Busca la siguiente característica en el modelo • Reemplazar Ctr l+H. Reemplaza una característica por otra característica que

se quiere

• Ir a la línea Ctrl+T. Se puede ir a la posición de un a línea del MPL.

• Separación de paréntesis Ctr l+P. Buscar e identifica el uso correcto de los paréntesis

• Pegar Función. Permite pegar funciones de: archivos externos, financieros, matemáticas, probabilidades, establecer, dominio de la variable y otras, en el modelo, estas funciones ayuda a la programación del MPL

• Seleccionar Fuente Ctrl+J. Selecciona el tipo de letra.

• Inser tar nuevo objeto. Permite ingresar distintos tipos de objetos en el MPL • Vinculo. Establece vínculos de una característica del MPL • Propiedades del Objeto Alt+Enter. permite ver las propiedades que tiene un

objeto que tiene el MPL • Objeto. Permite seleccionar un objeto predefinido por el LINGO

LINGO • Solucionar Ctr l+S. Muestra la solución del MPL

• Solución Ctr l+O. Permite mostrar la solución en forma de grafica y texto • Range Ctrl+R. Muestra el rango en el cual no es viable el MPL

• Opciones Ctr l+I. Muestra las opciones para la resolución de un MPL, además de las características en los rangos e informes.

• Generar . Permite generar o no el modelo planteado en una ventana

• Cuadro Ctr l+K. Muestra de manera grafica los valores del modelo

• Depuración Ctrl+D. Permite ver si el modelo planteado tiene errores de sintaxis

• Modelo estadístico Ctr l+E. Muestra detalles estadísticos del MPL

• Mirar Ctr l+L. Permite ver la participación de cada variable que tiene el MPL



8.1.1.4 Comando Window En el comando Window, se tiene lo siguiente:

8.1.1.4 Comando Help En el comando Help, se tiene lo siguiente:

8.1.2 Descripción de la bar ra de iconos de herramienta del LINGO Esta barra de iconos de herramientas son como accesos directos y contienen algunos comandos que se describió anteriormente, esta barra tiene la siguiente estructura:

Como se dijo en LINDO en esta barra principal se ven algunos iconos que no están habilitados, debido a que en su estado no están siendo considerados. Ahora se detallara las opciones de cada comando que se ve en la barra de menú principal, que posteriormente se desglosara detalladamente para resolver los MPL.

8.1.2.1 Comando Nuevo.

El comando Nuevo (de forma abreviada F2) abre una nueva ventana en blanco para el modelo, puede agregar un modelo directamente en esta ventana o pegarlo del portapapeles

8.1.2.2 Comando Abrir .

El comando Abrir (de forma abreviada F3) abre un archivo existente, mediante los cuadros de dialogo se puede seleccionar los archivos y el lugar de guardado.

Ventana • Ventana de comando Ctr l+1. Muestra una ventana en la cual se puede

introducir comandos para ayudar a resolver modelos • Ventana de Estado Ctrl+2. Muestra el actual estado del MPL

• Enviar al fondo Ctrl+B. Envía la ventana activa al fondo • Cer rar todo Ctr l+3. Permite cerrar todas las ventanas generadas • Titulo Ctrl+4. Permite colocar nombre o titulo a una ventana • Cascada Ctrl+5. Ordena todas las ventana generadas en forma de cascada para

que se vean • Organizar iconos Ctrl+6. Ordena las ventanas por jerarquía u orden alfabético

• 1 LINGO. Nombre que por defecto pone LINGO a la ventana activa donde se encuentra el MPL

Ayuda • Temas de ayuda. Muestra distintos temas que tiene la ayuda del LINGO

• Registro. Muestra un formulario de registro del LINGO

• Actualización Automática. Permite actualizar el programa por WEB, para eso se debe estar registrado on line.

• Acerca de LINGO. Muestra característica propias del registro y funcionamiento de LINGO



8.1.2.3 Comando Guardar.

El comando Guardar (de forma abreviada F4) guarda la ventana activa en donde se puede almacenar el MPL o la solución, también se puede guardar datos de entrada de un modelo, un reporte o una ventana de comandos.

8.1.2.4 Comando Cortar.

El comando Cortar (de forma abreviada Ctrl+X) permite cortar el texto seleccionado con todas sus características y colocarlo en el lugar que uno quiera.

8.1.2.5 Comando Copiar.

El comando Copiar (de forma abreviada Ctrl+C) permite Copiar el texto seleccionado con todas sus características y colocarlo en el lugar que uno quiera.

8.1.2.5 Comando Pegar.

El comando Pegar (de forma abreviada Ctrl+V) permite Copiar el texto seleccionado con todas sus características y colocarlo en el lugar que uno quiera.

8.1.2.6 Comando Deshacer / Rehacer.

El comando Deshacer/Rehacer permite deshacer o rehacer cambios en el modelo de la ventana activa

8.1.2.7 Comando Buscar.

El comando Buscar (de forma abreviada Ctrl+F) permite buscar en la ventana activa un texto seleccionado, al elegir esta opción aparece la siguiente figura.

8.1.2.8 Comando Ir a línea.

El comando Ir a línea (de forma abreviada Ctrl+T) permite posicionar el cursos en una línea seleccionada, al elegir esta opción se presenta la siguiente figura



8.1.2.9 Comando Separación de paréntesis.

El comando Separación de paréntesis (de forma abreviada Ctrl+P) permite encontrar el paréntesis cerrado que corresponde al paréntesis abierto seleccionado.

8.1.2.10 Comando Resolver.

El comando Resolver (de forma abreviada Ctrl+S) permite encontrar la solución optima del MPL, esta solución se presenta en otra ventana.

8.1.2.11 Comando Solución.

El comando Solución (de forma abreviada Ctrl+O) permite acceder a la ventana de opciones de reporte de solución o grafica de cada variable y su incidencia en el MPL, al presionar este botón se tiene la siguiente figura.

En esta parte se debe elegir solo una variable del MPL, a la vez se tiene la forma en que se presentara el informe que puede ser en forma de texto o grafico, incluso se puede elegir el tipo de grafico (Barras, Líneas o puntos), el tipo de evaluación (Primal o Dual), además de establecer los limites superior e inferior.

8.1.2.12 Comando Cuadro matricial.

El comando Cuadro Matricial permite ver los valores de los coeficientes de cada variable en forma matricial y gráfica y su incidencia en el MPL, esto se presente en otra ventana.

8.1.2.13 Comando Opciones.

El comando Opciones (de forma abreviada Ctrl+I) permite acceder a la ventana de opciones y modificar parámetros para los reportes, al elegir esta opción se presentan la siguiente figura que contiene otras opciones más:



a) Interfaz La primera opción se refiere a las interfases que puede tener el informe, en donde se distingue las siguientes áreas

General Formato de archivo Er rores en los cuadros de diálogo. presente posibles errores en el proceso de solución del MPL

Pantalla de bienvenida. Presenta una ventana con un mensaje de bienvenida

Bar ra de estado. Presenta la barra de estado del LINGO

Ventanas de estado. Muestra la ventana de estado del Sistema

Lg4. Formato extendido

Salida conciso. Presenta valores de salida Bar ra de herramientas. Muestra la barra de herramientas principal

Solución de cor te. Presenta un valor tolerable para el tanteo en el corte de restricciones, este valor es de 1*10 9

Lgn. Formato de texto

Sintaxis para Colorear

Línea Limite. valor de tamaño de línea Retraso. Valor permitido en líneas Paren Permitido. considera valore predefinidos

Ventana de Comandos Enviar repor tes a ventana. Valor de entrada. Enlace de líneas. Máximo y Mínimo Limites de pagina. Largo y ancho

En esta parte se ve los reportes que se puede obtener, las demás opciones se la deja a los estudiantes a investigar, pero por defecto el LINGO trata de optimizar los reportes y su presentación, pero si el estudiante quiere investigar las opciones que serían para personalizar.

8.1.2.14 Comando Send to Back. (Enviar al fondo) Este comando sirve para mandar al fondo o atrás la ventana activa



8.1.2.15 Comando Close All Command. (Cerrar todos los comandos) Este comando , permite cerrar todas las ventanas que se están usando y los cuadros de diálogos.

8.1.2.16 Comando Title. (Titulo) Este Comando ordena las ventanas abiertas ya sea de manera horizontal o vertical, esto para que se puedan ver todas las ventanas

8.1.2.17 Comando Help Topics. (Temas de ayuda)

Este comando muestra los temas de ayuda que tiene LINGO

8.1.2.18 Comando Help (ayuda)

Este comando accede a una ayuda de un comando determinado por el usuario.

8.2 Solución de un MPL mediante LINGO El algoritmo de resolución de un MPL del LINGO es similar al LINDO por lo cual no se explicara en detalle el algoritmo, para ver como se maneja e introduce el modelo, se usara de nuevo el mismo ejemplo anterior que se muestra nuevamente:

FOBJ Min Z = 4X1 + X2 s.a. 3X1 + X2 = 3

4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 4

Xi ≥ 0

Al introducir este MPL en el LINDO se tiene la siguiente ventana.

Se puede introducir comentarios, pero estos LINGO lo ignorará, también el programa no distingue entre mayúsculas y minúsculas, los nombres de las variables necesariamente deben comenzar con un carácter alfabético (az), los siguientes caracteres pueden ser alfabéticos, numéricos o subrayado (_), estos nombres de variables pueden ser hasta 32 caracteres de longitud.

Una vez introducido el MPL se pude elegir las alternativas de reporte que se prefiera, y para obtener

un informe se pude presionar el botón , para lo cual aparece la siguiente figura:

Titulo del archivo

A diferencia de LINDO, en LINGO se debe colocar el coeficiente*variable no es necesario separar las restricciones con un comando, y tampoco finalizarlo con END, incluso no se puede considerar y colorar el coeficiente 1 en el modelo.



La parte de Constrints muestra la cantidad total de restricciones y el numero de los cuales no son lineales, no se debe olvidar que una restricción es considerada no lineal si una o más variables que están en esa restricción presenta un estado diferente a una ecuación lineal, ya sea esta cuadrática u otra potencia, o presentada de otra forma. En el área correspondiente a Nonzeros, muestra el total de coeficientes distinto de cero que aparecen en el MPL y el número de estos que aparecen en variables no Lineales. En el área que menciona a Solver Status, menciona el tipo de modelo que se resolvió LP o MPL, en State muestra el tipo de modelo que se esta considerando, en este caso fue un Optimo Global, en Objetive, muestra el valor obtenido de la solución del MPL.

8.3 Análisis de resultados de un MPL mediante LINGO También aparece la siguiente ventana que muestra en forma más detallada los resultados del MPL.

Solución de la FOBJ

Precio Dual. Monto por el cual la FOBJ mejorara si se incrementa 1 unidad, o cuanto puede pagar por 1 unidad de recurso

Costo Reducido. Valor por el cual la variable puede ser más beneficiosa

Holgura o Excedente. en esta parte LINGO muestra que tan cerca esta de satisfacer o cumplir la restricción de acuerdo a la desigualdad, si esta restricción es de ≤ se llama holgura, si es de ≥ es excedente, si es = se dice que la holgura o el excedente esta satisfecha, si una restricción no cumple este valor será negativo

Variables de Solución

Filas o Restricciones del MPL



En el reporte que se obtuvo se puede observar los siguientes aspectos importantes: La solución a la FOBJ es de 3.4 (17/5), Las variables Básicas son X1 y X2, con valores de 0.4 (2/5) y 1.8 (9/5) respectivamente, ambas variables no tienen Costo Reducido, es decir que no existe otro valor por el cual la FOBJ puede mejorarse. En Holgura o Excedente se analiza cada restricción, el valor de 3.4 de la primera restricción indica que existe un excedente de 0.4 en este recurso, al igual que la restricción 3, pero en este caso será una holgura por que la restricción es de ≤. Y en el Precio Dual, que también es conocido por Precios Sombra, se ve que si se asigna 1 unidad adicional de la restricción 1 el resultado de la FOBJ disminuye en 1, en este caso favorecería por tratarse de una FOBJ de Minimización, esta misma interpretación se daría con la restricción 2, y si se considera como un precio sombra se puede decir en la restricción 1, que se puede pagar 1 $ por cada unidad extra que se use de esta restricción.

También se puede decir que LINGO tiene ventajas sobre LINDO debido a que se puede programar el modelo para que se pueda solucionar, esto se sugiere para un modelo de muchas variables y restricciones, en ese Manual no se esta considerando esto debido a que se necesitaría explicar los algoritmos correspondientes para esta programación.

9. RESOLUCIÓN MEDIANTE TORA Este Programa fue diseñado como apoyo a los métodos básicos de resolución, al acceder a este programa se tiene la siguiente figura.



Este es uno de los Programas más usado juntamente con el WINQSB, debido a la facilidad en su manejo e interpretación de los resultados, además todo el programa fue desarrollado en VISUAL BASIC. Para acceder a las diversas opciones se debe presiona el botón Click Here, una vez hecho esto se accede a la siguiente ventana.

Donde se presenta las principales acciones del menú del programa que son: • Linear Equations Ecuaciones lineales • Linear Programming Programación Lineal • Transport Model Modelo de transporte • Integer Programming Programación Entera • Network Models Los modelos de red • Project Planning Planificación de Proyectos • Queuing Analysis – Análisis de Fenómenos de Espera o Teoría de Colas • Zero – Sum Games TeoriaJuegos • Exit TORA Salir TORA

Para este manual se vera la segunda opción que corresponde a la Programación Lineal, que de forma similar siguen los pasos en la introducción de datos y salida de los mismos para el Modelo de Transporte



9.1 Introducción de un MPL en TORA Como se dijo solo se hará énfasis en este tipo de resolución, y para acceder a esto se presiona esa opción y sale la siguiente ventana.

Por defecto el TORA asigna valores numéricos que son los óptimos, pero estos pueden ser cambiado de acuerdo al usuario, una vez definido esto se debe presionar Go to Input Screen y se presenta la siguiente ventana.

En esta parte se puede colocar el titulo al problema, y también definir en Número de variables y el número de restricciones, para seguir con el ejemplo se sabe que existe 2 variables y 3 restricciones según lo siguiente. FOBJ Min Z = 4X1 + X2

s.a. 3X1 + X2 = 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 4

Xi ≥ 0

Seleccionar el modo de entrada del MPL Introducir un nuevo problema Abrir un archivo existente

Seleccionar Formato de entrada del MPL Notación decimal Notación Científica Cuantos decimales? Cuantos en notación científica?

Ir a la pantalla de entrada

Menú Principal

Salir de TORA



Al introducir esos valores a las celdas correspondientes se debe presionar ENTER y aparece la siguiente figura.

En la primera fila se puede poner nombres a las variables. En la segunda fila se puede cambiar la FOBJ, que por defecto tiene la opción Maximize (Maximizar), si se presiona sobre ese nombre cambia a Minimize (Minimizar), y se puede colocar los coeficientes correspondientes al MPL. En las Filas Constr, se refiere a las restricciones, de igual manera se pueden introducir los coeficientes correspondientes a las variables si seguido del tipo de restricción y finalmente el valor de la restricción. Esto se lo hace hasta acabar todas las restricciones del MPL. También se presenta la fila de Lower Bound en la cual se puede definir el valor mínimo de las variables, al igual que en la fila correspondiente a Upper Bound que corresponde al valor máximo de las variables. Y por último se presenta la fila Unrestr’d (y/n), en la cual se puede decir que estas variables son irrestrictas en signo, es decir que pueden asumir valores negativos. En caso que no se tengan limites y que las variables sean ≥ 0, no se modifica las opciones presentadas.

Una vez colocado todos los coeficientes aparece la siguiente figura.



Una vez introducido todos los valores se debe presiona SOLVE MENU, donde se accede al menú para solucionar y a continuación se presenta la siguiente ventana.

Acá se da la opción de guardar los datos del problema, en la cual se tendrá un archivo con extensión *.TXT, una vez guardado el MPL se presenta la siguiente opción.

Acá se puede acceder a la solución de MPL y si hubo un error o si se quiere cambiar los coeficientes

Resolver el Problema Ver / Modificar los datos de entrada del MPL



9.1 Solución de un MPL en TORA Posteriormente si se accede a la opción de Resolver el Problema se tendrá 2 opciones, que lo puede realizar por el método Grafico o por el método algebraico, si se elige inicialmente el método algebraico se presenta 2 opciones, que se pueda mostrar la solución final o que muestre las iteraciones correspondientes. Si se accede a la opción de iteraciones se presenta 5 opciones las cuales son: Allslack starting solution (Solución de partida con todas las holguras), Mmethod Método M, Twophase method (Método 2 fases), Bounded simplex (Simplex limitado) y Dual simplex (Dual Simplex), esto se muestra en la siguiente figura

En el ejemplo por tratarse de un modelo que tiene restricciones de =, ≥ y ≤ no se puede elegir el primer método Allslack starting solution, que solo se emplea cuando todas las restricciones son del tipo ≤, y como se vio en clases solo seguirá la técnica de SIMPLEX, es por esto que se debe elegir la segunda o la tercera opción, los cuales serán explicados a continuación.

9.1.1 Solución por el método M de un MPL en TORA Al elegir esta opción se presenta la siguiente figura

En esta parte se puede asignar un valor a la penalización M que por defecto el TORA lo asume en 100, para este ejercicio se asumirá un valor de 1000, no se debe olvidar que en clases se dijo que M es un valor muy grande y posteriormente se presiona el botón correspondiente a ir a la pantalla con formato de salida, y se presentara la siguiente pantalla.



Acá da opciones de salida de los reportes y en este caso de las iteraciones, si no de quiere modificar se presiona el Botón correspondiente para ir a la ventana de salida de datos, y se presentara la siguiente figura.

Como se puede ver se tiene la tabla inicial, donde se tiene las variables X1 y X2, las variables de holgura Sx3 (que en clases se definió como S1) y Sx6 (S2), y finalmente las variables artificiales Rx4 (R1) y Rx5 (R2), donde las variables básicas son R1, R2 y S2 que a la vez son las variables que identifican cada restricción, además de aclarar esas variables con color blanco para que se vea la matriz identidad que forman dichas variables básicas como se dijo en clases.

También se tiene botones que dan la siguiente iteración (Next iteration), todas las iteraciones (All iterations), Mandar a imprimir (Write to Printer), para este caso se elige la opción que muestre todas las iteraciones el cual muestra todas las iteraciones necesarias para resolver el MPL y también se presenta el siguiente mensaje

En la cual muestra cuantas iteraciones fueron necesarias hasta obtener la solución óptima del MPL, además que si se ve en las tablas de iteraciones se muestra paso por paso cuales fueron las variables de entrada (columna de color verde) y cuales de salida (fila de color rojo), que son la columna y fila pivote correspondientes.

A continuación se muestra las 2 últimas iteraciones, no se debe olvidar que cada tabla tiene su correspondiente titulo referente a que iteración es, esto se presente en la figura siguiente.



Se puede ver que el valor de z(min) tiene como solución optima 3.4 (17/5), también se identifica las variables básicas X1 con valor de 0.4 (2/5), X2 con 1.8 (9/5) y S1 con 1 de valor óptimo.

9.1.2 Solución por el método 2 fases de un MPL en TORA Al elegir esta opción se debe proceder a los mismos pasos para la salida del reporte, y se tiene la siguiente figura en la cual se muestra que fase es en la esquina izquierda superior de la tabla.

Esta es la tabla ya actualizada, es decir que las variables básicas no tengan valor en coeficientes en la FOBJ, y al igual que el anterior método se puede sacar uno por uno las tablas de iteraciones correspondientes a esta 1ra fase, se debe tener cuidado ya que al elegir estas opción saca las iteraciones de las 2 fases al mismo tiempo, la ultima tabla de la primera fases es la siguiente.



Y finalmente se puede recorrer la barra de desplazamiento e ir a las ultimas tablas de iteración la cual se muestra a continuación.

No se debe olvidar que en la esquina superior de cada tabla de iteración muestra a que fase corresponde y la iteración, en la última tabla se ve que corresponde la fase 2 e iteración 5, se debe aclarar que este número de iteración corresponde al total de las tablas, al igual que el anterior método se puede ver que el valor de z(min) tiene como solución optima 3.4 (17/5), las variables básicas X1 con valor de 0.4 (2/5), X2 con 1.8 (9/5) y S1 con 1 de valor óptimo.

9.1.3 Solución por el método gráfico de un MPL en TORA Para este punto se debe acceder considerando la siguiente gráfica

. Y aparece la misma opción de formato de salida como se mostró anteriormente y aparece la siguiente figura.



En esta parte se puede elegir cualquier restricción y automáticamente se graficara la recta, si se elige cada restricción en forma ordenada como se muestra a continuación.

Se debe ver que cuando se marca la restricción esta se sombrea y aparece la restricción con su número correspondiente a la restricción, posteriormente se elige las otras dos restricciones que se muestra en la siguiente figura.



Como se ve, cada vez que se marca se dibuja la restricción que corresponde a una recta con sus respectivos números, una vez terminado esto se debe marcar la FOBJ que esta en la parte superior, y esta recta (Minimize z = 4x1+1x2) poco a poco se desplaza hasta encontrar la solución óptima,



Como se ve la recta correspondiente a la FOBJ (color azul) encuentra un punto en donde esta se vuelve óptimo, también se ve los valores óptimos en el cuadro inferior izquierdo (Optimal Solution), el cual muestra que el valor de la FOBJ (Objetive value) es de 3.4 (17/5), y de las variables X1 cuyo valor es de 0.40 (2/5) y el valor de X2 es 1.8 (9/5).

También se tiene opciones de Zoom In (ampliar) en la cual se puede ampliar el área de la solución óptima, el Zoom Out (reducir) en el cual se reduce y se puede ver toda la gráfica y no solo el área que vincula la solución óptima y la opción de Print Graph, que permite imprimir la gráfica correspondiente.

Finalmente. para el trabajo de fin de semestre es necesario conocer que existen programas que ayudan a la resolución de un MPL, se pueden elegir entre los programas que se explicaron en este manual u acceder a otros, que por lógica siguen el mismo algoritmo de resolución.

BIBLIOGRAFÍA

• Chapra, Steven y Canale, Raymond Métodos Numéricos para Ingenieros – Mac Graw Hill 1988. • Chediak, F. Investigación de Operaciones Volumen I. 2005. • Eppen, Gould y Schmidt Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa 3Ed, Editorial

Prentice Hall 1996. • Hiller, F. & Lieberman, G. Introducción a la Investigación de Operaciones. 8Ed, Editorial McGraw

Hill. 2000. • Taha, H. Investigación de Operaciones. 7Ed. Editorial Prentice Hall 2004. • Wayne Winston – Investigación de Operaciones – 4Ed, Editorial Thomson. 2005. • Apuntes de Investigación Operativa I – Ing. Juan Carlos Ignacio – Facultad de Ingeniería UMSA.

2000.



Este manual fue elaborado por mi persona Ing. Jhonny Flores Flores, actualmente soy Docente de la EMI en la Carrera de Ingeniería

Comercial, una de las asignaturas que dicto en Comercial es Investigación Operativa I que es una asignatura de 5to semestre, y

esta guía esta dirigida para los estudiantes que cursan dicha asignatura, ya sea en la carrera de Comercial u otras carreras

similares que llevan la asignatura, además para mostrar lo útil que es manejar los distintos software y la interpretación en la solución de estos modelos, considerando las opciones más importante que tiene cada uno de los software mencionados, además de recordar que la

aplicación de la Investigación Operativa tiene el campo grande.

Cualquier consulta de la aplicación de la asignatura o uso de estos programas pueden llamar a mi persona al celular 73085970.

Ingeniería Comercial – Escuela Militar de Ingeniería 2009

e scu ela m ilitar de in gen iería ingenier ía com er cia l

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