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Artículo solicitado por Suma en febrero de 2012 y aceptado en abril de 2012

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ueremos comenzar la sección de este númerofelicitando al equipo de dirección anterior de la

revista Suma+ por su dedicación a lo largo de estoscuatro años y por todo lo que han aportado a estapublicación durante este tiempo. De la misma forma,queremos desearle al nuevo equipo todo lo mejoren el camino que han comenzado y en el que, abuen seguro, sabrán realizar nuevas aportaciones yseguir aumentando la calidad que año tras año haido adquiriendo Suma+. en esta tarea, nos unimos aestos deseos intentando aportar nuestro granito dearena desde esta sección.

no podemos dejar pasar todos estos movimientosque se han producido en Suma+ para tratar precisa-mente eso… los movimientos y algunas aplicacionesy referencias TiC con los que se puedan enseñar yestudiar los mismos en el aula de matemáticas. Parael presente artículo nos hemos centrado en los mo-vimientos en el plano, dejando para otra ocasiónlos movimientos en el espacio.

en esta ocasión vamos a referenciar varios recursossobre los que daremos algunas pinceladas a modode introducción. el caso de no tratar una en con-creto es debido a que podemos encontrar muchasreferencias, tanto de aplicaciones como en internet,para esta temática. Hemos seleccionado tres que

Estudio de los movimientos

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pueden ser muy representativas y con las que secubre la temática completa. las tres referencias tie-nen una característica común y es que, dado queson aplicaciones basadas en HTML, Flash y Java,pueden ser utilizadas con sistemas Linux y Win-dows, ya que su ejecución no depende del sistemaoperativo que se esté utilizando. las aplicacionesque vamos a presentar en esta ocasión son las si-guientes.

Movimientos en el plano

Comenzamos con la primera de las aplicaciones quevamos a tratar que se denomina «Movimientos enel plano». este software fue creado por las profeso-ras Teresa ruiz Sánchez, Pilar Álvarez lópez-ro-mero y arantxa Cortabarría aguirre. además, en elaño 2003 recibió el premio a materiales educativosinteractivos del Ministerio de educación. este ma-terial está disponible en la siguiente dirección paraser utilizado directamente:

<http://www.ite.educacion.es/w3/eos/Materialeseduca-tivos/mem2003/movimientos/>

También puede ser descargado para utilizarlo en elaula sin necesidad de conexión a internet:

<http://descargas.pntic.mec.es/contenidos/premios_curriculares/2004/zip_2004/movimientos_plano.zip>

esta aplicación web nos ayuda a explicarlos conceptos básicos sobre transforma-ciones en el plano: traslaciones, giros, si-metrías, homotecias. Con ella también po-demos estudiar los frisos y las teselacionesdel plano. Todo ello de una manera inter-activa y muy visual.

Cuando accedemos a la aplicación segúnla primera dirección anteriormente citadanos encontramos con la pantalla que ob-servamos en la imagen 1.

en la parte inferior derecha de esa imagenobservamos que aparece la palabra inicio.a medida que vayamos avanzando en lasdistintas pantallas, en esa posición nosaparecerá el recorrido que vamos reali-zando de forma que no nos sintamos per-didos y sepamos en todo momento cómohemos llegado hasta el lugar en que nosencontramos.

Como podemos observar en la imagen1, la aplicación nos sirve para trabajarcon cada uno de los tipos de transforma-ciones planas: traslación, rotación, sime-tría axial, simetría central y homotecia.También aborda otros capítulos apartededicados a los frisos, los mosaicos y lassimetrías propias.

Simetría axial

el tratamiento de cada una de las trans-formaciones en el plano se trata a lo largode la aplicación siguiendo páginas y uncamino parecido. así, nosotros nos vamosa fijar en una de esas transformaciones,por ejemplo la simetría axial. Vamos a re-correr la aplicación de la mano de ella yvamos a observar que nos ofrece la mismapara su utilización en el aula, tanto comoprofesores como para nuestro alumnado.

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imagen 1. Pantalla inicial de Movimientos en el plano


eStudio de loS MoviMientoS en MAteMáticAS (1)

Si pulsamos sobre «simetría axial» nosaparece la pantalla que observamos en laimagen 2.

antes de adentrarnos en los puntos quese tratan en referencia a la simetría axial,vamos a llamar la atención sobre tres ca-racterísticas generales que aparecen en lapantalla que observamos en la imagen 2 yque son las siguientes:

A. en la parte superior derecha apareceel nombre de la aplicación que estamostratando.

B. en la parte superior de la pantalla apa-rece el botón inicio. en esta zona apare-cerán distintos botones con el recorridoque hemos realizado en cada momentopara llegar hasta la pantalla en la que nosencontremos actualmente, de forma quecon un único clic podamos regresar hastacualquier pantalla de las vistas en el reco-rrido realizado.

C. en la parte inferior derecha apareceahora la lectura «inicio > simetría axial»que nos informa sobre el recorrido quehemos realizado en este momento. estalectura irá aumentando a medida que va-yamos adentrándonos en cualquiera de lasopciones que nos ofrece la aplicación.

Ya dentro de los contenidos propios quese refieren a la simetría axial y que apare-cen en la pantalla de la imagen 2, las op-ciones que en ella se nos ofrecen las tra-tamos en los siguientes puntos:

Qué es. la pantalla a la que accedemosdesde esta opción nos ofrece una defini-ción de la transformación que se esté tra-tando en ese momento junto con una ani-mación que apoya dicha definición. estadefinición se recorre paso a paso con bo-tones que sirven de guía. además, se re-coge a modo informativo alguna cuestiónque sería conveniente que el alumnadorecordara. Por otra parte también se apa-

rece alguna pregunta tipo test sobre la definiciónque se ha proporcionado y que el alumnado res-ponderá seleccionando la opción o las opcionesadecuadas.

Parámetros básicos. la pantalla a la que accedemosnos informa sobre los parámetros o elementos bá-sicos que se deben conocer para tener definida latransformación que se esté tratando. en este casoque nos ocupa, sería la recta con la que se define lasimetría axial. en esta pantalla también aparece al-guna pregunta tipo test sobre la información que seha ofrecido en relación a los parámetros básicos.

Propiedades. en esta parte de la aplicación se ofrecenlas propiedades de la transformación que se estéviendo en ese momento. estas propiedades van apa-reciendo una a una y el alumnado va haciendo unrecorrido por ellas. Cada propiedad se refuerza conuna animación que hace comprender mejor dichapropiedad.

Transformación inversa. en este caso se explica la tras-formación inversa de la que estemos aplicando enese momento. en la imagen 3 podemos observar lapantalla que aparece en este caso en la simetría axial.

en esa misma imagen observamos que en esa pan-talla aparece alguna pregunta tipo test en la que elalumnado podrá seleccionar la respuesta o las res-puestas adecuadas. además, tanto si son verdaderas

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imagen 2. Pantalla correspondiente a simetría axial


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como si no, posteriormente se explica a través deuna animación.

Geometría. Uno de los rasgos más destacados de estaaplicación es lo visual y atractiva que resulta para laexplicación y aprendizaje de los movimientos en elplano. en este caso nos encontramos en la partemás visual de todas. al adentrarnos en esta opciónaparece la pantalla que reproducimos en la imagen 4(pág. siguiente).

en esta parte se ofrece la posibilidad de poder apli-car la transformación seleccionada a distintas figuras.en cada una de las opciones vamos a poder elegirla disposición de los elementos básicos de la trans-formación seleccionada. en nuestro caso, dado queestamos tratando la simetría axial, las posibilidadesque nos van a ofrecer, por regla general, son si la

recta es exterior o no a la figura que que-remos transformar y si es vertical u hori-zontal. esas figuras que se nos indican enla pantalla de la imagen 4 son:

Puntos y rectas. en este caso la transforma-ción se aplica a elementos básicos delplano. Un ejemplo de esta trasformaciónla observamos en la parte superior iz-quierda de la imagen 5.

Figuras geométricas regulares. la transforma-ción se aplica a distintas figuras geomé-tricas regulares: circunferencia, triángulo,cuadrado, pentágono, hexágono y hexá-gono cóncavo. Un ejemplo de esta trans-formación la observamos en la parte su-perior derecha de la imagen 5.

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imagen 3. transformación inversa de una simetría axial y pregunta ofrecida



Figuras geométricas irregulares. en este casonos ofrecen hasta 6 figuras irregulares alas que poder aplicarle la transformacióngeométrica seleccionada. Un ejemplo deesta trasformación la observamos en laparte inferior izquierda de la imagen 5.

Otras figuras. en esta pantalla se ofrece laposibilidad de aplicar la transformación aotras figuras como una mariposa, unahoja... Un ejemplo de esta trasformaciónla observamos en la parte inferior derechade la imagen 5.

Composición de trasformaciones. en esta zonade la aplicación se muestra la transforma-ción que resultaría al aplicar dos trasfor-maciones como las que se están viendo.

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imagen 4. Pantalla de Geometría

imagen 5. trasformación aplicada a distintas figuras


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en nuestro caso dos simetrías axiales. enla imagen 6 podemos ver la pantalla queaparece. Dependiendo de la posición enla que se encuentren las rectas de cadauna de las simetrías aplicadas nos puederesultar una traslación o un giro como seobserva en dicha imagen. además, el re-sultado se muestra como una animaciónen la que se observa perfectamente el re-sultado de la composición.

Invariantes y puntos dobles. aquí la aplicaciónnos conduce a una pantalla en la que seprofundiza un poco más en el conoci-miento del movimiento que se esté estu-diando. en este caso, como observamosen la imagen 7, se aporta informaciónguiada y visual sobre algunas figuras ypuntos que no varían tras aplicarle el mo-vimiento estudiado. en nuestro caso, lasimetría axial.

Definición. en esta zona de la aplicación seofrece una definición formal del movi-miento en cuestión como una funcióntransformadora del plano.

Ecuaciones. en esta parte se trata el movi-miento desde el punto de vista analítico,indicando las ecuaciones del mismo. enla imagen 8 observamos la zona corres-pondiente a la simetría axial.

Frisos

Todos los puntos que hemos desarrolladopara la simetría axial coinciden con lospuntos que desarrolla la aplicación paracada una de las transformaciones delplano. Si volvemos a la pantalla de la apli-cación que veíamos en la imagen 1, en suúltima línea aparecía una zona especial de-dicada a las simetrías propias, los frisos ylos mosaicos. Cada una de estas tres zonasda acceso a pantallas similares a las quevamos a ver ahora.

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imagen 7. Algunas figuras invariantes por la simetría axial

imagen 8. ecuaciones de la simetría axial

imagen 6. composición de dos simetrías axiales



nosotros nos vamos a centrar en los fri-sos. Si pulsamos sobre esta opción aparecela pantalla que vemos en la imagen 9.

aquí observamos tres opciones distintasque son la definición, la construcción y laidentificación. Cada una de ellas la trata-mos a continuación:

Definición. en esta zona de la aplicaciónse nos muestra la definición de un frisocomo observamos en la pantalla de laimagen 10. además, nos ofrece una pan-talla interactiva que nos muestra la formade conseguir un friso a través de aplicaruno o más movimientos. Solamente de-beremos seleccionar en la zona inferiorde esa pantalla el tipo o tipos de movi-mientos que deseamos aplicar para con-seguir uno.

Construcción. en esta zona de la aplicaciónaparecen distintos frisos construidos y po-demos interactuar con la pantalla de formaque se nos muestre cómo ha sido cons-truido paso a paso. en la pantalla que apa-rece en la imagen 11 observamos la cons-trucción de uno de estos frisos. Solamentedeberemos seleccionar en la parte superiorde la pantalla el friso que nos gusta y, unavez colocado en la parte inferior de lamisma, nos mostrará la forma de gene-rarlo, es decir, los movimientos que hansido necesarios.

Identificación. Ya en la parte de identifica-ción nos aparece la pantalla que observa-mos en la imagen 12. allí podemos selec-cionar una de las imágenes que apareceen la zona superior y en la zona inferiornos indicarán la forma de identificar losmovimientos que se necesitan realizar paraconstruir ese friso.

Como hemos comprobado, esta aplica-ción es bastante completa y supone unrecurso excelente para la explicación y elestudio de los diferentes movimientos enel plano. es recomendable utilizarla a par-

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imagen 9. estudio de frisos

imagen 10. definición de un friso

imagen 11. construcción de un friso


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<[email protected]>CEP de Sevilla

tir de tercero de la eSo, sacándole unmayor rendimiento a la parte visual en loscursos más inferiores.

Concluimos esta primera parte del estudiode los movimientos en el plano confec-cionando la correspondiente ficha educa-

tivo-técnica de esta aplicación.

nombre Movimientos en el plano

Sistema cualquier sistema operativo. no necesita plugin de Flash.

descarga directamente en la red:<http://www.ite.educacion.es/w3/eos/Materialeseducativos/mem2003/movimientos>descarga:<http://descargas.pntic.mec.es/contenidos/premios_curriculares/2004/zip_2004/movimientos_plano.zip>

licencia libre uso en educación

contenido transformaciones en el plano: movimientos, homotecia, frisos y mosaicos.

nivel A partir de 3º de eSo

Metodología Aplicación para utilizar en la enseñanza de los mivimientos y para la práctica por parte del alumnado.en esta última parte es aconsejable el uso de forma individual.

Ficha educativo-técnica

imagen 12. identificación de un friso


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