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7/25/2019 Dynamic Robots

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Dinamica Lagrangiana de Robots Manipuladores

un acercamiento

Esteban Chavez-CondeUPGto Robotica

M&C de RobotsJunio 10

Esteban Chavez-Conde UPGto Robotica ()


M&C de Robots Junio 10 1 / 31
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Contenido

1 Dinamica Lagrangiana de Robots ManipuladoresEcuaciones Euler-LagrangeForma canonica de sistemas de segundo ordenModelado matematico de robots manipuladores



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ReferenciasLibros, tutoriales

Control de Movimiento de Robots Manipuladores

R. Kelly y V. Santibanez

Prentice Hall, 2003

Modeling and Control of Robot Manipulators

L. Sciavicco and B. Siciliano

Springer, 2003

Robotica

John J. Craig

Prentice Hall, 2006



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Dinamica Lagrangiana de Robots Manipuladores Ecuaciones Euler-Lagrange

Ecuaciones Euler-LagrangePreliminares

Las ecuaciones de movimiento de Lagrange, permiten obtener el modelomatematico de una clase amplia de sistemas a partir de la ecuacion

diferencial, d

dt

L

qi

L

qi=Qi (1)

donde qi, es la i-esima coordenada generalizada y qi su primera derivadacon respecto del tiempo, y Qi es la fuerza generalizada aplicada en lai-esima coordenada generalizada.

Esteban Chavez-Conde UPGto Robotica ()Dinamica Lagrangiana de Robots Manipuladores M&C de Robots Junio 10 4 / 31

Di i L i d R b M i l d E i E l L
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El Lagrangiano L del sistema, es definido como la diferencia entre laenerga cinetica T y la energa potencial V del sistema,

L= T V (2)

con T = 12

mvTv+ 12

TI, V =mgh (mas la energa potencial deelementos resortes existentes, V = 1

2kx2 o V = 1

2k2).


Di i L i d R b t M i l d E i E l L
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Si existen fuerzas disipativas, se puede utilizar el termino de disipacion deRayleigh. Estas, estan definidas para la i-esima coordenada generalizada,como,

D

qi(3)

donde, D es el termino de disipacion de Rayleigh, dado por,

D=1

2

n

i=0ci q

2

i

As, sustituyendo la ec.(3) en la ec.(1), la ecuacion de Lagrange puede serreescrita como,

d

dt

L

qi

L

qi+

D

qi=Qi (4)


Dinamica Lagrangiana de Robots Manipuladores Ecuaciones Euler Lagrange
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En la ec.(4) obtenida, es facil incluir fuerzas de perturbacion, por ejemplo,las fuerzas de friccion seca y las fuerzas producidas por un proceso decorte. La ec.(4) se puede reescribir como,

d

dt

L

qi

L

qi+

D

qi=Qi f cisign( qi) Fcortei (5)


Dinamica Lagrangiana de Robots Manipuladores Forma canonica de sistemas de segundo orden
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Forma canonica de sistemas de segundo ordenPreliminares

Para representar las ecuaciones del modelo dinamico de robotsmanipuladores de forma matricial, se utiliza la forma canonica de segundoorden,

D(q)q +C(q, q)q +G(q) =, (6)

donde D(q) es la matriz de inercias, C(q, q)q es la matriz de Coriolis yG(q) es la matriz de gravedad.

El vector de coordenadas articulares esta dado por q= [q1, . . . , q n]T, y elvector de pares en las uniones es = [1, . . . , n]

T.


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Forma canonica de sistemas de segundo ordenPreliminares

En la ec.(6) se pueden incluir facilmente las fuerzas de friccion y lasfuerzas de contacto del efector final del robot manipulador con el ambiente

(=JT

F). La ec.(6) puede reescribirse como,

D(q)q +C(q, q)q +G(q) =Ff(q) + JTF, (7)

siendo Ff(q) la fuerza de friccion viscosa y seca, es decir,

Ff =B(q) + Fcsign(q). El Jacobiano del manipulador es J y F lasfuerzas de contacto.


Dinamica Lagrangiana de Robots Manipuladores Modelado matematico de robots manipuladores
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Modelado matematico de robots manipuladoresRobot manipulador de 1GDL

Considere el robot manipulador de 1GDL mostrado en la Figura 1. Lacoordenada generalizada es q= y la fuerza generalizada es Q= .

Figura 1: Robot manipulador de 1GDL.

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g g p p


La energa cinetica del sistema es por lo tanto,

T =1

2ml2cq

2 +1

2Iq2 (10)

Y la energa potencial es,

V =mglc(1 cos(q)) (11)

Ahora bien, el Lagrangiano (L=T V) esta dado por,

L=1

2ml2cq

2 +1

2Iq2 mglc(1 cos(q)) (12)


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g g


Considerando la friccion viscosa debido al rodamiento, la funcion dedisipacion de Rayleigh es,

D=1

2cq2 (13)

La ecuacion de Lagrange del sistema esta dada por,

d

dt

L

q

L

q +

D

q =Q (14)

Si se considera la friccion seca se incluye en la ecuacion anterior, quedando

de la siguiente forma:

d

dt

L

q

L

q +

D

q =Q Fcsign( q) (15)


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Ahora, las operaciones correspondientes resultan,

d

dt

L

q

= (I+ml2c )q,

L

q = mgl sin(q),

D

q = cq

Finalmente, el modelo matematico del robot manipulador de 1GDL estadado por,

(I+ml2c )q+cq+mgl sin(q) = Fcsign( q) (16)


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Considere el robot industrial FANUC

R

M-6iB de 6GDL que se muestra enla Figura 2a. Este robot es un mecanismo serial y un dibujo esquematicoque considera el segundo y tercer grado de libertad se muestra en laFigura 2b.

Figura 2: (a) Robot industrial FANUC R M-6iB y (b) dibujo esquematico delmecanismo serial considerando2GDL.


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Las coordenadas generalizadas del sistema estan dadas por el vectorq= [q1 q2]T = [1 2]

T, y las fuerzas generalizadas, son Q1=1 yQ2=2. Los centros de masa de los eslabones esta localizados en lassiguientes coordenadas:

x1=lc1cos(q1), y1=lc1sin(q1),x2=L1cos(q1) +lc2cos(q1+q2), y2=L1sin(q1) +lc2sin(q1+q2)

Y los vectores de velocidad v de sus centros de masa estan dados por,

v1= x1

y1

= lc1q1sin(q1)

lc1q1cos(q1)

(17)

v2 =

x2y2

=

L1q1sin(q1) lc2( q1+ q1)sin(q1+q2)

L1q1cos(q1) +lc2( q1+ q1)cos(q1+q2)

(18)


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La energa cinetica del sistema es por lo tanto,

T =1

2m1v

T1 v1+

1

2m2v

T2 v2+

1

2I1q

2

1+1

2I2( q1+ q2)

2 (19)

Por lo quevT

1

v1es,vT1v1=l

2

c1 q12 sin2(q1) +l

2

c1q2

1cos2(q1) =l

2

c1q2

1 (20)

Y vT2v2 es,

v

T

2v2 = L2

1 q12

sin2

(q1) + 2L1q1sin(q1)lc2( q1+ q1)sin(q1+q2)+l2c2( q1+ q2)

2 sin2(q1+q2) +L2

1q21

cos2(q1)

+2L1q1cos(q1)lc2( q1+ q2)cos(q1+q2) +l2

c2( q1+ q2)2 cos2(q1+q2)

= L21

q21

+ 2L1lc2( q2

1+ q1q2)cos(q2) +l

2

c2( q1+ q2)2 (21)


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La energa potencial del sistema esta dada por,V1 = m1glc1(1 + sin(q1)), (22)

V2 = m1gL1(1 + sin(q1)) +m2glc2(1 + sin(q1+q2)), (23)

(24)

Ahora bien, el Lagrangiano (L=T V) esta dado por,

L = 1

2m1l

2

c1q2

1+

1

2m2[L

2

1q21

+ 2L1lc2( q2

1+ q1q2)cos(q2) +l

2

c2( q1+ q2)2]

m1glc1(1 sin(q1)) m1gL1(1 sin(q1)) m2glc2(1 sin(q1+q2))

= 12

m1l2

c1q2

1+1

2m2L

2

1q21

+m2L1lc2q2

1cos(q2) +m2L1lc2q1q2cos(q2)

+1

2m2l

2

c2q2

1+m2l

2

c2q1q2+1

2m2l

2

c2q2

2 m1glc1(1 + sin(q1))

m1gL1(1 + sin(q1)) m2glc2(1 + sin(q1+q2)) (25)


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Considerando la friccion viscosa debido a los rodamientos, la funcion dedisipacion de Rayleigh es,

D=1

2[c1q

2

1+c2q2

2] (26)

Las ecuaciones Euler-Lagrange del sistema, considerando la friccion secaen cada union, estan dadas por,

d

dt L

q1 L

q1+

D

q1=Q1 Fc1sign( q1) (27)

d

dt

L

q2

L

q2+

D

q2=Q2 Fc2sign( q2) (28)


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Finalmente, el modelo matematico del robot manipulador de 2GDL estadada por,

d11q1+d12q2+ 2hq1q2+hq2

2+c1q1+1 = 1 Fc1sign( q1), (29)

d21q1+d22q2 hq2

1+c2q2+1 = 2 Fc2sign( q2), (30)

conh = m2L1lc2sin 2,

d11 = m1l2

c1+ m2(L2

1+ l2

c2+ 2L1lc2cos 2) +I1+ I2,

d12 = m2l2

c2+ m2L1lc2cos 2+ I2,

d21 = d12,

d22 = m2lc2+ I2,

y

1 = (m1lc1+ m2L1)gcos(q1) +m2lc2gcos(q1+ q2),

2 = m2lc2gcos(q1+ q2).


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El modelo dinamico expresado en la forma canonica de segundo ordenqueda como,

D(q)q +C(q, q)q +G(q) = Ff(q), (31)

donde, q= [q1 q2]T

, = [1 2]T

,

y

D(q) = d11 d12d21 d22

, C(q, q) = hq2 hq2+hq1hq1 0

,G(q) =

1(q1)2(q2)

Ff(q) =

c1q1+Fc1sign( q1)c2q2+Fc2sign( q2)

.


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Modelado matematico de robots manipuladoresMano robotica de 4GDL

Considere la mano robotica de cuatro dedos realizada en el CentroAeroespacial Aleman (DLR) mostrada en la Figura 3a. La mano completatiene 13GDL. En la Figura 3b se muestra un dibujo esquematico de unamano robotica de dos dedos de 4GDL (tiene 2GDL por cada dedo).

Figura 3: (a) Mano robotica del DLR Alemania y (b) dibujo esquematico de una manorobotica de dos dedos.


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Figura 4: Robot manipulador cilndrico de 3GDL.


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Modelado matematico de robots manipuladoresRobot cartesiano de 3GDL

Considere el robot cartesiano de 3GDL mostrado en la Figura 5, utilizadopara operaciones de corte con laser.

Figura 5: Aplicacion de un robot cartesiano de 3GDL para corte con laser en defensas de

automoviles.Esteban Chavez-Conde UPGto Robotica ()Dinamica Lagrangiana de Robots Manipuladores M&C de Robots Junio 10 24 / 31

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Figura 6: Partes de la maquina de corte.


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Las ecuaciones de movimiento del robot cartesiano se pueden plantearconsiderando la Figura 7.

Figura 7: Robot cartesiano de 3GDL.


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Modelado matematico de robots manipuladoresRobot manipulador tipo SCARA de 3GDL

Considere el robot industrial tipo SCARA de la marca KUKA R KR5-R350de 4GDL que se muestra en la Figura 8a. Este robot es un mecanismoserial y un dibujo esquematico que considera los primeros tres grados delibertad se muestra en la Figura 8b.

Figura 8: (a) Robot industrial tipo SCARA de la marca KUKA R KR5-R350 y (b)dibujo esquematico del mecanismo serial considerando3GDL.


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Modelado matematico de robots manipuladoresRobot manipulador tipo antropomorfico de 3GDL

Considere el robot industrial del tipo antropomorfico de la marca KUKA R

KR6 de 6GDL que se muestra en la Figura 9a. Este robot es unmecanismo serial y un dibujo esquematico que considera los primeros tresgrados de libertad se muestra en la Figura 9b.

Figura 9: (a) Robot industrial tipo antropomorfico de la marca KUKA R KR6 y (b)dibujo esquematico del mecanismo serial considerando3GDL.


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Modelado matematico de robots manipuladoresRobot manipulador tipo antropomorfico de 5GDL

Considere el robot industrial del tipo antropomorfico de la marcaMitsubishi R RV-2AJ de 5GDL que se muestra en la Figura 10a. Esterobot es un mecanismo serial y un dibujo esquematico que considera loscinco grados de libertad se muestra en la Figura 10b.

Figura 10: (a) Robot industrial tipo antropomorfico de la marca Mitsubishi R RV-2AJ y(b) dibujo esquematico del mecanismo serial con 5GDL.



M d l d i d b i l d
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Modelado matematico de robots manipuladoresRobot manipulador con mecanismo paralelogramo

Considere el robot industrial ABB R IRB 1400 de 6GDL que se muestra enla Figura 11a. Este robot tiene un mecanismo paralelogramo de cincobarras en su segundo y tercer grado de libertad, como se muestra en eldibujo esquematico de la Figura 11b.

Figura 11: (a) Robot industrial ABB R IRB 1400 y (b) dibujo esquematico delmecanismo paralelogramo con sus actuadores respectivos en la base y considerando

2GDL.Esteban Chavez-Conde UPGto Robotica ()Dinamica Lagrangiana de Robots Manipuladores M&C de Robots Junio 10 30 / 31


M d l d i d b i l d
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Modelado matematico de robots manipuladoresRobot manipulador con actuadores en la base

Considere el robot didactico ESCORBOT R ER-4u de 5GDL que semuestra en la Figura 12. Los actuadores de los primeros cuatro grados delibertad estan colocados en la base, y utilizan mecanismos con bandadentada para la transmision de movimiento.

Figura 12: Robot ESCORBOT R ER-4u para fines educativos.

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