Dualidadadministrador

Principio del formularioValoracin de los usuarios:/115PobreEl mejorFinal del formulario"Bueno, Bonito y Barato"es la frase que resume la existencia de la dualidad. La minimizacin del gasto es equivalente a la maximizacin del beneficio: si se desea obtener lo mejor con lo que tengo, lo mejor es comprar lo que sea ms "econmico" pero que me de la mayor satisfaccin. La dualidad es una herramienta matemtica que enlaza los problemas de la minimizacin del gasto, y la maximizacin del beneficio (aplica para las situaciones ms comunes): al solo optimizar una vez, reduce el tiempo de solucin de problemas; permite evadir optimizaciones altamente complicadas, y llegar al mismo resultado por caminos ms sencillos (por ejemplo: si se desean las demandas marshallianas, pero es muy complicada la maximizacin de la utilidad, puede usarle la minimizacin, y mediante la dualidad llegar a lo que buscamos). El siguiente cuadro resume las relaciones entre los diferentes componentes de la minimazacin del gasto y maximizacin del beneficio.

La dualidad permite "dar vueltas" (encontrar todos los componentes partiendo de unos pocos), y las dos ms comunes son:Maximizacin Beneficios a Minimizacin del Gasto

1.Se maximiza la utilidad, obteniendo las demandas marshallianas.2.Se obtiene la utilidad indirecta al reemplazar las marshallianas en la funcin de utilidad.3.En la utilidad indirecta, cambiandoVporu, yeporw, se obtiene la funcin de gastoe.4.Mediante el lema de Shepard, se obtienen las demandas hicksianas.5.Se puede comprabar el resultado reemplazando la utilidad indirectaVen la utilidad constanteude las hicksianas, obteniendo nuevamente las marshallianas.Minimizacin del Gasto a Maximizacin Beneficios

A.Se minimiza el gasto, obteniendo las demandas hicksianas.B.Se obtiene la funcin de gasto al reemplazar las hicksianas en la restriccin presupuestaria (w=e).C.En la funcin de gasto, cambiandouporV, ywpore, se obtiene la utilidad indirectaV.D.Mediante la Identidad de Roy, se obtienen las demandas marshallianas.E.Se puede comprabar el resultado reemplazando la funcin de gastoeen el ingreso exgenowde las marshallianas, obteniendo nuevamente las hicksianas.

Para lograr comprender correctamente las "vueltas" es necesario ver un ejemplo.EjemploEn el siguiente ejemplo vamos a dar "una vuelta completa"utilizando la dualidad. Trabajaremos con una funcin de utilidad Cobb-Douglas en dos bienesxyy, con una restriccin presupuestaria walrasiana (lineal).De la Maximizacin de Beneficios a la Minimizacin del Gasto.1.En primer lugar, empezaremos con la maximizacin de la utilidad.

Obtenemos que:

"Dividiendo" las primeras dos condiciones, obtenemos una relacin entrey* yx*.

Y reemplazando en la ltima condicin, obtenemos las demandas marshallianas en funcin de w, y precios.

2.Reemplazando las marshallianas en la funcin de utilidad, obtenemos la utilidad indirecta.

3.Nuevamente utilizaremos el cuadro, y en este caso cruzamos del problema de la maximizacin de la utilidad, a la minimizacin del gasto. Para ello tomamos la utlidad indirecta, y reemplazamosVporu, ywpore, posteriormente despejamose,y de tal forma obtenemos el gasto ptimo.

4.Ahora utilizaremos el cuadro nuevamente: mediante el Lema de Shepard, obtenemos las demandas hicksianas.

Como hemos visto, slo tuvimos que realizar la maximizacin del gasto para obtener tanto las demandas hicksianas como las marshallianas, adems de las funciones de utilidad indirecta y de gasto.5.Ahora comprobemos la consistencia de nuestras hicksianas al pasar de ellas y de la utilidad indirecta, a las demandas marshallianas. ReemplazandoVporuen cada demanda hicksiana, obtenemos las demandas marshallianas respectivas.

De la Minimizacin del Gasto, a la Maximizacin de Beneficios.A.Ahora abordemos el problema desde la otra direccin: empecemos con la minimizacin del gasto.

Dividiendo las dos primeras condiciones, obtenemos una relacin entrey*yx*(la misma de la maximizacin del beneficio -ah se ve reflejada la dualidad de alguna forma-). Tal relacin se reemplaza en la ltima condicin para finalmente obtener las demandas hicksianas.

B.Ahora obtengamos el gasto utilizando las demandas hickisianas: las reemplazamos en la restriccin presupuestaria y cambiamoswpore.

C.Nuestro siguiente paso es obtener la utilidad indirecta: pasar de la minimizacin del gasto, a la maximizacin del beneficio.

D.Y para terminar esta "vuelta", obtenemos las demandas marshallianas de a utilidad indirecta, utilizando la identidad de Roy.

E.Finalmente comprobamos la consistencia de nuestras marshallianas: mediante ellas y la funcin de gasto obtenemos las hicksianas. Para ello reemplazamos la funcine(u,P) porwen cada demanda marshalliana, obtenemos las demandas hicksianas respectivas.

Bibliografa Varian. "La Eleccin (C.8)" enAnlisis MicroeconmicoEd. 3. Antoni Bosch Editor. Pg. 153. Mas-Colell, Whinston, Green. "Chapter 3: Classical Demand Theory" enMicroeconomic Theory. New York: Oxford University Press, 1995. Pg. 63.