dr. ing. jorge e. alva hurtado
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SECCIÓN DE POSTGRADO
Dr. Ing. Jorge E. Alva Hurtado
PROBLEMAS DE INGENIERPROBLEMAS DE INGENIERÍÍA QUE A QUE INVOLUCRAN A LA DININVOLUCRAN A LA DINÁÁMICA DE SUELOSMICA DE SUELOS
Capítulo I
CIMENTACIÓN DE MAQUINAS
Maquinaria Reciprocante y RotativaOtras Maquinarias IndustrialesDesarrollo de la Era Espacial
EFECTOS DE EXPLOSIÓN NUCLEAR
Aplicaciones CivilesConstrucción de Protección
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE
Cimentaciones de EdificiosDeslizamientosPresas de Tierra
CONTENIDOCONTENIDO
HINCADO DE PILOTES
COMPACTACIÓN POR VIBRACIÓN
OTROS PROBLEMAS DE INGENIERÍA
DEFINICIÓN DE DINÁMICA DE SUELOS
INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
Suelo como cimentación de estructuras y terraplenes Suelo como material de construcciónDiseño de estructuras de retenciónSuelo en problemas especiales
Dinámica de Suelos parte de la Mecánica de Suelos que trata el comportamiento y respuesta del suelo durante la aplicación rápida de carga, uso de vibraciones para la mejora de propiedades y transmisión de ondas para evaluar las propiedades
CIMENTACICIMENTACIÓÓN DE MN DE MÁÁQUINASQUINAS
Maquinaria que produce vibraciones o fuerzas dinámicas desbalanceadas que se apoyan en un bloque de cimentación sobre el suelo
Si los movimientos son excesivos:
1. Imponen condiciones no soportables para el personal
2. Causan daño a la máquina o tuberías
3. Producen grandes asentamientos que impiden el funcionamiento
Es el problema mas frecuente en dinámica de suelos
Maquinaria Maquinaria ReciprocanteReciprocante y Rotativay Rotativa
Compresores y motores grandes ocasionan fuerzas dinámicas sinusoidales, que resultan en movimiento de la cimentación
Turbina bien diseñada origina fuerzas pequeñas que con el desgaste conduce a desbalance y fuerzas dinámicas
Otras Maquinarias Industriales Otras Maquinarias Industriales
Prensas, vibradores, las cargas pueden no ser sinusoidales o periódicas
Desarrollo de la Era EspacialDesarrollo de la Era Espacial
Cimentación adecuada para antenas de radar de gran precisión. Las fuerzas dinámicas ocurren conforme la antena se acelera o desacelera, en elevación o en azimut
Plataforma de encendido de las diversas etapas del cohete Saturno V en las Misiones Apolo
Verificar el comportamiento de los componentes precisos de guía, como los giroscopios. Deben conocerse las vibraciones ambientales del tráfico y de los microsismos, para minimizarlos o para aplicar las compensaciones adecuadas
EFECTOS DE EXPLOSIEFECTOS DE EXPLOSIÓÓN NUCLEARN NUCLEAR
El estudio de los problemas civiles y militares ocasionados por las explosiones atómicas, ha dado un mayor ímpetu a la dinámica de suelos
Aplicaciones CivilesAplicaciones Civiles
Las explosiones nucleares tienen potencial en las excavaciones rápidas de grandes masas de tierra: canales, puertos y cortes profundos y largos de carreteras y ferrocarriles
Se ha estudiado un nuevo Canal de Panamá
El costo de excavación con explosiones nucleares es mucho menor que el costo de una excavación convencional
ConstrucciConstruccióón de Proteccin de Proteccióónn
Las estructuras subterráneas de protección de bombas nucleares varían de personales hasta misiles balísticos intercontinentales
INGENIERINGENIERÍÍA SISMORRESISTENTEA SISMORRESISTENTE
Relación entre las condiciones del suelo y los daños durante terremotos. Especial atención después de los sismos de Chile de 1960, Alaska y Niigata en 1964. La construcción de Centrales Nucleares ha contribuido al conocimiento de la Dinámica de Suelos.
Cimentaciones de EdificiosCimentaciones de Edificios
Cimentación de Centrales Nucleares en suelo, a diferencia de aquellas construidas en roca
Amplificación sísmica de edificaciones sobre suelo en relación a roca, tal como ocurrió en Caracas en 1967 y México en 1985
Pérdida de capacidad portante como resultado de licuación de suelos en Niigata, Japón en 1964
DeslizamientosDeslizamientos
Han ocurrido grandes deslizamientos durante terremotos. El de Turnagain en Alaska destruyó 75 casas y muchas vidas. En el lago Riñihue en Chile un deslizamiento involucró 30 millones de metros cúbicos. En Santa Tecla, El Salvador en el 2001 causó 600 muertos.
Presas de TierraPresas de Tierra
Análisis de licuación y flujoRespuesta dinámica de la presaAnálisis de deformaciones sísmicasMejoramiento de la cimentación
HINCADO DE PILOTESHINCADO DE PILOTES
Interpretación del hincado de pilotes con martillo
Teoría de la propagación de ondas
Máquinas vibratorias para el hincado de pilotes. Condición de resonancia
Posibles daños a edificaciones vecinas
COMPACTACICOMPACTACIÓÓN POR VIBRACIN POR VIBRACIÓÓNN
Rodillos vibratorios para compactar suelos
Alternativa de mejoramiento de suelo para licuación en comparación a vibroflotación o uso de pilotes
Métodos de laboratorio por vibración para determinar densidades máximas de suelos granulares
OTROS PROBLEMAS DE INGENIEROTROS PROBLEMAS DE INGENIERÍÍAA
Refracción sísmica para determinar la estratigrafía y propiedades del suelo
Efecto del tráfico en pavimentos y subrasantes
Daño a edificaciones por explosiones en canteras o excavaciones
DEFINICIDEFINICIÓÓN DE DINN DE DINÁÁMICA DE SUELOSMICA DE SUELOS
Problemas de ingeniería geotécnica que involucran aplicación rápida de carga
Evaluación de las propiedades esfuerzo-deformación del suelo aplicadas a carga dinámica
Técnicas para calcular o estimar el rol de las fuerzas de inercia presentes durante la carga dinámica
Procedimientos y experiencia para aplicar este conocimiento a la solución de problemas prácticos
SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTADLIBERTAD
Capítulo II
Comportamiento de sistemas con parámetros concentrados
La masa está concentrada en uno o más cuerpos rígidos y éstos están conectados por resortes y amortigüadores.
Sistemas de un grado de libertad
Tanque elevado de agua
Viga en cantilever
Un sistema de parámetros concentrados es lineal si la resistencia de los elementos que conectan las masas es proporcional al movimiento o a la velocidad de movimiento.
M
(a) x
k
M
(b)x
kδ
FIGURA 2.1 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Resorte de extensión
(b) Modelo idealizado
M M
(a) Tanque real
FIGURA 2.2 TANQUE ELEVADO DE AGUA
Resorte de corte
(c) Viga real
M
M
M
Resorte de corte
(b) Aproximación de masas concentradas
FIGURA 2.3 VIGA EN CANTILIVER
VIBRACIONES LIBRESVIBRACIONES LIBRES
Ecuación de movimiento
0 kx xM =+&&
Solución
tMk cos B t M
ksen A x += A y B son constantes
Para que la masa se mueva xo para carga estática Fo = k xo
tMk cos xx 0=
PeríodokM 2 T π=
Frecuencia Mk
21 fn π
=
Frecuencia circularMk ω =
Tt 2 cos xt f 2 cos xωt cos xx 0n00 ππ ===
Energía
Vibración libre amortiguada
20
220 xM
21 xk
21 E ω==
0 kx x δ x M =++ &&&
kM 2 δcr =
crδδ D =
t)ωsen ωω D t ω (cos e xx 1
11
ωDt-0 +=
Decremento logarítmico
D2 π=Δ
FIGURA 2.4 VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
X0
-X0
x
X0e-wDt
-X0e-wDt
Punto de tangencia casi en en el punto de movimiento máximo
t
Solución para (x = = 0 para t = 0)
VIBRACIONES FORZADAS POR LA APLICACIVIBRACIONES FORZADAS POR LA APLICACIÓÓN N DE CARGAS PERIDE CARGAS PERIÓÓDICASDICAS
tΩsen P kx xδ xM o=++ &&&
x&
22
22
12
22
11
Dt ω-2
2
o
ωΩ D 4
ωΩ - 1
tωsen 1 - ωΩ 2D
ωΩ t ω cos
ωΩ 2D e tΩ cos
ωΩ2D - t Ωsen
ωΩ-1
kP
x
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
Amortiguamiento pequeño
2
Dt ω-
o
ωΩ - 1
tωsen ωΩe - t Ωsen
kP
x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
Movimiento libre
Movimiento forzado
Movimiento total
FIGURA 2.5 VIBRACIÓN FORZADA AMORTIGUADA
t
x
Vibración Forzada
22
22
2
2
o
ωΩ 4D
ωΩ 1
tΩ cos ωΩ 2D - t Ωsen
ωΩ - 1
kP
x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
22
22
o
ωΩ 4D
ωΩ 1
α) - t (Ωsen kP
x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
22 Ω - ωΩ ω 2D α tg =
Masa Excéntrica
Ωtsen LΩMe P 2=
22
22
ωΩ 4D
ωΩ 1
1 DLF
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
DLF kP x o
o =
5
3
4
2
1
00 0.5 1.0 1.5 2.0
FIGURA 2.6 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMIENTO
D = 0
D = 0.1
D = 0.2
0.60.5
0.4
0.3
X0
P0 / k
f / fn
(a) En Función de la fuerza de excitación
5
3
4
2
1
00 0.5 1.0 1.5 2.0
D = 0
D = 0.1
0.2
0.60.5
0.4
0.3
X0 MMel
f/fn
(b) Para el caso de masa desbalanceada
FIGURA 2.6 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMIENTO
1 2 4 6 8 10 12 14 150.8
0.7
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
01 2 4 6 8 10 12 14 15
0.8
0.7
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5 0.5
leMMX
ópkX 0
0
0 en resonancia
FIGURA 2.7 AMPLITUD ADIMENSIONAL DEL MOVIMENTO EN RESONANCIA
Rel
ació
n de
am
ortig
uam
ient
o cr
ítico
D
FIGURA 2.8 ÁNGULO DE FASE
180°
90°
0°0 1.0 2.0
ωΩ
D0.10.2
0.30.4
0.5
0.6
1.0
Áng
ulo
de fa
se, ∝
Tabla 2.1Propiedades de la Relación Factor de Carga Dinámica vs. Frecuencia
Fuerza Actuante
Respuesta adimensionalcuando f = 0
Respuesta adimensionalcuando f → ∞
Relación de frecuenciaresonante fr/fn
Respuesta adimensionalcuando f = fr
Respuesta adimensionalpara f << fro f >> fr
1 0
→ 0 → 1
2D21− 2D21
1
−
2D1D2
1
− 2D1D2
1
−
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
fnf1
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
fnf1
fnf
Sistema Masa Excéntrica
Carga escalón
Carga rampa
Pulso cuadrado
Carga sinusoidal de duración limitada
VIBRACIONES DEBIDAS A CARGAS VIBRACIONES DEBIDAS A CARGAS TRANSITORIASTRANSITORIAS
FIGURA 2.9 RESPUESTA A UNA CARGA ESCALÓN
x
P0k0
p2
t t
P
FIGURA 2.10 RESPUESTA A UNA CARGA RAMPA
tτ
P0
P 2
1
00 τ 2τ 3τ 4τ
310T
=τ 4T=τ
tiempo
k0
p
0P
Xk
2
1
00 1 2 3 4
τ/T
0
max
PkX
FIGURA 2.11 MÁXIMA RESPUESTA A UNA CARGA RAMPA
FIGURA 2.12 RESPUESTA A UNA CARGA PULSO
P0
P
0PkX
τ
2
1
0τ 2τ 3τ 4τ 5τ
T45=τ
t
4T=τ
FIGURA 2.13 MÁXIMA RESPUESTA A UNA CARGA PULSO
2
1
00 0.2 0.4 0.6 0.8
τ/T
0
max
PkX
FIGURA 2.14 AUMENTOS DE LA CONDICIÓN INICIAL DE REPOSO PARA FUERZAS SINUSOIDAL CON Ω = ω
0PkX
2ωtXmax =
ω2Tt =
2D1
2D1
(a) No - Amortiguado
t t
(b) Amortiguado
0PkX
P0
P
2.0
0PkXmax
1.5
1.0
0.5
00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Xmax durante vibraciones residuales
τ/T
Ω= πτ t
FIGURA 2.15 MÁXIMA RESPUESTA PARA PULSO SENO MEDIO
Xmax
Movimientos sinusoidales de cimentación
VIBRACIONES FORZADAS PRODUCIDAS POR VIBRACIONES FORZADAS PRODUCIDAS POR MOVIMIENTOS PERIMOVIMIENTOS PERIÓÓDICOS DE CIMENTACIDICOS DE CIMENTACIÓÓNN
sM- ky y yM &&&&& =++ δ
S = So sen Ωt Po → = -M So Ω2
DLF S y2
oo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω=ω
FIGURA 2.16 SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR CON MOVIMIENTO DE APOYO
M
x
y
s
Movimiento seno-verso
Espectro de respuesta
Varios pulsos de seno-verso
Dos movimientos superpuestos
Efecto del amortiguamiento
VIBRACIONES DEBIDAS A MOVIMIENTOS VIBRACIONES DEBIDAS A MOVIMIENTOS TRANSITORIOS DE CIMENTACITRANSITORIOS DE CIMENTACIÓÓNN
FIGURA 2.17 RESPUESTAS TÍPICAS A UN MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO (UN CICLO)
41=T
τ2
1
-1
0
1
00 1
1
2
1
0
0Ssy +
t/τ
21 2
1
-1
0
-2
1 1
2
1
-1
0
231
So
12
1 32
32
12
12
32
12
32
0Ssy +
0Ssy +
t /τ
2
1
0
FIGURA 2.18 CURVAS DE RESPUESTA PARA UN MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO (UN CICLO)
S
maxRY
1 2 3 4 τ/T0
1 2 3 40
2
1
0
2
1
0
oSmaxSY +
Ωω/T =τ
τ/T
oSmaxY
0 1 2 3 4
Frecuencia, cps.
FIGURA 2.19 LAMINA ESPECTRAL PARA GRAFICAR EL ESPECTRO DE RESPUESTA
500
250
100
50
2.5
5
2.5
1.0
0.5
0.25
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
1000 g
500 g250 g
100 g50 g
2.5 g
10 g
5.0 g
2.5 g
1.0 g
0.50 g0.25 g
0.10 g0.05 g
0.002
50
0.010 g0.005 g
0.001
0 0.0
005
0.025 g
Desplazamiento, pulg
Aceler
ación
, g’ s
5000 g2500 g
0.1 0.25 0.50 1.0 2.5 5.0 10 25 5.0 100 250 500 1000
500
250
100
50
25
10
5.0
2.5
1.0
10
Pseu
do –
Velo
cida
d, p
ulg/
seg.
FIGURA 2.20 ESPECTRO DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTO DE CIMENTACIÓN SENO VERSO
Frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad
Pseu
do –
Velo
cida
d, p
ulg/
seg.
100
500
250
100
2.5
1.0
0.1 0.25 0.5 1.0 2.5 5.0 10 25 50 100 250 500 1000
10
5
2.5
n = 4
n ∞
1.0
Aceler
ación
1000 g
100 g
50 g
25 g
10 g
5 g
0.5
0.25
0.1
2.5 g
1 g
0.1 g
0.01
0.6
0.001
Desplazamiento, pulgs
Seno verso Sn = 1 pulgadaF = 10 cps
5.0
5
2.5
1
0.1 g
FIGURA 2.22. ESPECTROS DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTOS DEL TERRENO SENO VERSO SUPERIMPUESTOS
Frecuencia natural de un sistema de un grado de libertad
Pseu
do –
Velo
cida
d, p
ulg/
seg.
1000
500
250100
50
25
10
5
2.5
1
0.5
0.25
0.01
0.0010.1
0.1
0.25
0.52.5
Desplazamiento, pulg.
1.0
Aceler
ación
, pulg
.
500
250
100
25
10
0.1 0.25 0.50 1.0 2.5 5 10 25 5.0 100 250 500 1000
50
5
2.5
1
FIGURA 2.21 DOS MOVIMIENTOS SENOVERSO SUPERIMPUESTOS
Respuesta al movimiento combinado del terreno
S dado por ec. 6.51 conS0 = pulg. F = 10 cps. n = 5
1 ciclos a 10 cps.
5 ciclos a 50 cps.
2πW
t
S
S0
Rango de frecuencias contenidas en el terremoto
Rango medioRango controlado por
desplazamiento
máxmáx SX &&&& =maxmax SY =
No amortiguado
Altamente amortiguado
Frecuencia natural (escala logarítmica)
Pseu
do-V
eloc
idad
Sv
(esc
ala
loga
rítm
ica)
Rango controlado por aceleración
FIGURA 2.23 CARACTERÍSTICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA PARA MOVIMIENTOS TRANSITORIOS DEL TERRENO CONTENIENDO MUCHAS FRECUENCIAS
5
6
4
2
00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
PERIODO-SEGUNDOS PERIODO-SEGUNDOS
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
10
5
6
4
2
0
S v-p
ie/s
eg
S v-p
ie/s
eg
FIGURA 2.24 ESPECTRO DE RESPUESTA DE SISMOS REALES
Espectro de Velocidad para el Sismo de Olympia, Washigton, 13 de Abril 1949
Componente S 80° W
Espectro de Velocidad para el Sismo de El Centro, 18 de Mayo 1940
Componente E-W
10
Capítulo IIISISTEMAS LINEALES DE VARIOS SISTEMAS LINEALES DE VARIOS
GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD
INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
Con un sistema de dos grados de libertad, la respuesta dinámica puede evaluarse por solución directa de las ecuaciones diferenciales. Para más grados de libertad es tedioso obtener soluciones directas, por lo que se utiliza el método de los modos.
VIBRACIVIBRACIÓÓN LIBRE DE SISTEMAS DE DOS N LIBRE DE SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD
Vibración Libre de Sistema no Amortiguado de 2 Masas
Vibración Libre Acoplada de Sistema no Amortiguado de 1 Masa
Vibraciones Libres con Amortiguamiento
1 Dos masas, cada una con un grado de libertad
2a Una masa, con dos grados de libertad independientes
2b Una masa, con dos gradosde libertad acoplados
FIGURA 3.1. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD
FIGURA 3.3. PATRÓN DE DISTORSIÓN PARA MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN (EJEMPLO 3.1)
FIGURA 3.2. EDIFICIO DE DOS PISOS CON COLUMNAS QUE RESISTEN MOMENTOS
X1
M2
K2
K1
M1
X2
Modo FundamentalSegundo Modo
0 1 2 -1 0 + 1 2 A2
A1
A2
A1
A2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
FIGURA 3.4. MOVIMIENTO DE LA MASA SUPERIOR EN EL EJEMPLO 3.1
1.0
0
-1.0
0.4
0
-0.4
1.0
0
-1.0
-0.171 Xo cos 1.62
tKM
π21
1.171 Xo cos 0.618 tMK
tMK
Movimiento Resultante
VIBRACIONES DE SISTEMAS FORZADOS DEVIBRACIONES DE SISTEMAS FORZADOS DE2 GDL POR CARGAS PERI2 GDL POR CARGAS PERIÓÓDICASDICAS
Vibraciones Forzadas Acopladas de Sistema no Amortiguado de una Masa
Vibración Forzada Acoplada de Sistema de una Masa Amortiguada
FIGURA 3.5. SISTEMA CON MOVIMIENTOS HORIZONTAL Y CABECEO ACOPLADOS
L
ky
I0
θ
δy
Ke , δe
Z Y
CG
FIGURA 3.7 FRECUENCIAS NATURALES EN EL EJEMPLO 3.2
FIGURA 3.6 GRÁFICO PARA DETERMINAR LAS DOS FRECUENCIAS NATURALES ACOPLADAS
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
θωωy
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
15.0
10.0
5.0
0
0.4
0.50.60.70.80.9
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
1.00
0.60
0.80
0.40
0.20
0
0.9 0.8
0.4
0.70.60.5
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
θ
θ
ωωy
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
θ
θ
ωωy
II0
Aco
plad
o In
ferio
r
Frecuencia cps
Hor
izon
tal
Aco
plad
o S
uper
ior
5 10 15 20
Cab
eceo
II0
Yc
-Pie
s
x ce
YD
-P
ies
YD
13’
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.1
0
- 0.04
- 0.06
- 0.08- 0.10
XC
0.08
0.06
0.04
0.02
0
- 0.02
- 0.04
- 0.06
- 0.08
- 0.1
16’
C
DZ
Y
X
- 0.02
YC
En C Xc = (8.5) θ = 0.0483 (cos 37.9t - cos 1.09 t) en piesYc = Y + 16 (θ) = 0.1199 cos 37.9t - 0.0199 cos 1.09 t en pies
En D XD = XcYD = Y = 0.0291 cos 37.9 t + 0.0709 cos 1.09 t en pies
FIGURA 3.8. MOVIMIENTOS EN EL EJEMPLO 3.2
FIGURA 3.9. FUERZAS APLICADAS AL SISTEMA CON MOVIMIENTOS ACOPLADOS
(a) Fuerzas Aplicadas
Z
• CG
•
(b) Fuerzas y Momentos Equivalentes
P
T
•
Yoθo
ωθ ωy ωθωy
ωyθ
FIGURA 3.10. NATURALEZA GENERAL DE LAS CURVAS DEL FACTOR DE CARGA DINÁMICA DE MOVIMIENTOS ACOPLADOS
Ω Ω
ωyθI
II ωyθI
ωyθII
Po = 4525 lbs. a 30 cps
FIGURA 3.11. FUERZA APLICADA Y MOVIMIENTO RESULTANTE EJEMPLO 3.3
Movimiento en C (en 10-4 pulg) en el momento que la fuerza es máxima hacia arribaDebido a movimiento horizontal
Debido a cabeceo
Movimiento resultante
Debido a movimiento vertical
Debido a cabeceo
5.29 8.79
7.50
4.67
Z
8.5’
16’CG
3.5’
ANANÁÁLISIS MODAL DE SISTEMAS DE VARIOS LISIS MODAL DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTADGRADOS DE LIBERTAD
Conceptos Básicos
Aplicación a Problemas Sísmicos
Para Fuerzas Aplicadas a las Masas
Para Movimiento de la Cimentación
Respuesta de Sistema 2 GDL por Superposición Modal
FIGURA 1: IMPORTANCIA RELATIVA DE TRASLACIÓN Y CABECEO DE BLOQUE DE CIMENTACIÓN RECTANGULAR (L/B=2) EN LA SUPERFICIE DE CUERPO ELÁSTICO (ν = 0.35)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
05 10 150
ω/ωy
LH
ωYθωY
I
ωθ
ωY
ωYθωY
II
θo. Hyo
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
LH
FIGURA 2. EFECTO DE LA FRECUENCIA HORIZONTAL RESONANTE EN LA RESPUESTA DE UN BLOQUE DE CIMENTACIÓN RECTANGULAR (I / IO = 2) SUJETO A CABECEO
3
1≈LH
2
1
0
3
2
1
0
ωYθωY
I
ωYθωθ
II
ωY ωθ
ωωθ
ωY ωθ
θ. HYo
estático
0 0.5 1.0 1.5 2.0
Capítulo IV
PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDASN DE ONDAS
INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
Estudio de la propagación de ondas en semiespacios infinitos homogéneos o estratificados, así como en barras de longitud finita.
Se presentan los fundamentos de propagación de ondas que se requieren para el manejo de los conceptos que se tratan en la dinámica de suelos.
PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDAS EN UN MEDIO INFINITON DE ONDAS EN UN MEDIO INFINITO
Ondas de compresión o primarias
Ondas cortantes o secundarias
FIGURA 4.1. ESFUERZOS ACTUANDO SOBRE UN ELEMENTO PEQUEÑO
Z
)z( xzxz Δ∂
∂+ zττ
τxy
X )( xxx
x Δ∂∂
+σσ
τxz
)( yyxy Δ∂
∂+ ττxy
Y
zΔxσ
yΔ
xΔ
FIGURA 4.2. NATURALEZA DE LOS DESPLAZAMIENTOS DE LAS PARTÍCULAS DE UN SUELO DURANTE EL PASO DE a) ONDAS DE COMPRESIÓN P, b) ONDAS CORTANTES S, c) ONDAS RAYLEIGH R Y d) ONDAS LOVE L
(a) (b)
(c) (d)
PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDAS EN UN MEDIO N DE ONDAS EN UN MEDIO SEMISEMI--INFINTOINFINTO
Ondas Rayleigh
Ondas Love
FIGURA 4.3. SISTEMA DE COORDENADAS EN UN SEMIESPACIO ELÁSTICO
Porción de semiespacio elástico
Frente de ondasSuperficie
Z
X
Y
FIGURA 4.4. RELACIÓN ENTRE VS, VP, y VR CON ν
Relación de Poisson, ν
Ondas P
Ondas S
Ondas R
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
5
4
3
2
1
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.55
4
3
2
1
0
ρ GVa
lore
s de
vv v s
=
Amplitud a la prof. z
Amplitud en la superficie
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Componente horizontal
Componente vertical
ν = 0.25
ν = 0.33
ν = 0.40
ν = 0.50
ν = 0.25ν = 0.33
ν = 0.40ν = 0.50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
[ ](z)W
[ ](z)U
FIGURA 4.5. RELACIÓN DE LA AMPLITUD DE LAS ONDAS RAYLEIGH VS LA PROFUNDIDAD (Ref. 1)
Prof
undi
dad
Long
itud
de o
nda
z L R
Longitud = Velocidad de ondafrecuencia
FIGURA 4.6. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA LONGITUD DE ONDA
Amplitud
Tiempo
A
Onda P Onda S Onda R
(+ en la dirección de propagación)
Movimiento menor
(+ hacia abajo)
(a)
(b)
Mov. mayor
W
t
t
u
1
1
FIGURA 4.7. SISTEMA DE ONDAS ORIGINADAS POR LA EXCITACIÓN EN UN PUNTO DE LA SUPERFICIE DE UN MEDIO IDEALIZADO (Ref. 1)
PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDAS EN UN MEDIO N DE ONDAS EN UN MEDIO ESTRATIFICADOESTRATIFICADO
Ondas llegan a las superficies de contacto de dos estratos con propiedades diferentes.
Ley de Snell
Plano vertical de incidencia
Rayo incidente Plano perpendicular al rayo incidente
SV
E
SH
S
s
FIGURA 4.8. COMPONENTES SV Y SH DE UNA ONDA CORTANTE S (Ref. 2)
P Pθθ
θ1SV
Pθ
θ1
SV
SV
P
θcr
SV
θcr
SV
FIGURA 4.9. REFLEXIÓN EN LA SUPERFICIE DE UNA ONDA INCIDENTE P
FIGURA 4.10. REFLEXIÓN DE UNA ONDA INCIDENTE SV EN UNA SUPERFICIE LIBRE
FIGURA 4.11. REFLEXIÓN HORIZONTAL DE UNA ONDA P CUANDO UNA ONDA SV INCIDE CON UN ÁNGULO CRÍTICO
FIGURA 4.12. ÁNGULO DE INCIDENCIA CRÍTICO PARA LAS ONDAS SV, EN FUNCIÓN DE LA RELACIÓN DE POISSON ν
40
θcr
30
20
10
00.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
Para ondas SV
d = 0
d d d
θ = 0°
a a a
d
θ = 20°
θ = 30° θ = 34°d Superficie
Superficie
θ = 30° 16’a
d d
a a
d
a
d
a
a
θ = 37° θ = 37° 1/2
θ = 85°
θ = 40° θ = 45°
θ = 75°θ = 63°θ = 50°
Superficie
adaSup.
dadd
aa
θ = 90°
FIGURA 4.13. DESPLAZAMIENTOS (AMPLITUD Y DIRECCIÓN) DE UNA PARTÍCULA SUPERFICIAL PRODUCIDOS POR UNA ONDA SV QUE TIENE UN ÁNGULO DE INCIDENCIA θ (Ref. 2).
rayo
rayo rayo
rayo
rayo
rayo
rayo rayo rayo
rayo rayo rayorayo
FIGURA 4.14. INCIDENCIA Y REFLEXIÓN DE UNA ONDA SH
θ θ
SH SH
FIGURA 4.15. DISTRIBUCIÓN DE ONDAS ELÁSTICAS EN LA INTERFASE DE DOS MEDIOS ELÁSTICOS
(a) Onda incidente P (b) Onda incidente SV c) Onda incidente SH
P-P1PP-SV1
Medio 1
Medio 2
P-P2
P-SV2
e ff
SV-SV1SV SH SH-SH1
a a
b bb
ba SV-P1
SH-SH2
P1, vP1, vS1
P2, vP2 , vS2
SV-SV2f
b
e
SV-P2
S2V
fsen
P2V
esen
S1V
bsen
P1V
asen===
FIGURA 4.16: REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN MÚLTIPLE DE ONDAS EN UN SISTEMA ESTRATIGRÁFICO (Ref. 1)
Punto de excitación
P1, vP1 , vS1
P2, vP2 , vS2
P3, vP3 , vS3
P4, vP4 , vS4
(P)
(P -
S)(P
–P 1
)
(P –P
2 )(P –
P2 )
PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDAS EN BARRASN DE ONDAS EN BARRAS
FIGURA 4.17. FUERZAS ACTUADO SOBRE UN ELEMENTO DE UNA BARRA CONTÍNUA
x
σ
u
Área A
x
x
xxΔ
∂∂
+σσ
FIGURA 4.18. DESPLAZAMIENTOS OBSERVADOS EN LOS TIEMPOS t1 y t2, PARA UN FUNCIÓN DEL TIPO SEÑALADO POR LA EC. 2-5
Movimiento observado en el tiempo t1
Movimiento observado en el tiempo t2
t1 t2
u
x
x
VL (t2–t1)
Figura 4.19. PRIMEROS TRES MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN DE UNA BARRA CON UN EXTREMO FIJO Y EL OTRO LIBRE
( a )
( b )
x
A4
)(nsenAu 12
x1 4 ==
l
π
)(nsenAu 32
x342 ==
l
π
)(nsenAu2
x543 5==
l
π
A4
A4
l