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Uso de modelos Mixed Logit en modelación de elecciones discretas
Marcela A. MunizagaRicardo Alvarez-DazianoUniversidad de Chile
Santiago, 19 April 2023
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Contenido de la Presentación
Correlación del término de errorAnálisis de Simulación
logverosimilitud y parámetrositeraciones y tiempo de convergenciadiferencias en modalidad predictiva
Análisis con datos realesequivalencia entre modelos capacidad de recuperar efectos de correlación
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Elección Discreta y Utilidad Aleatoria
Teoría de la Utilidad AleatoriaIndividuo maximiza su Utilidad, función de atributos de la alternativa y características de los individuos (Domencich y McFadden, 1975)Modelador no posee información completa del sistema
Hay componentes y atributos que se desconocen o no se pueden medir; aleatoriedad inherente a la naturaleza humana
ininin VU
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Elección Discreta (cont.)
Logit Multinomial MNL (McFadden, 1974)Supone errores iid Gumbel Expresión cerrada de la probabilidad de elección:
nCjjn
inin V
VP
)exp(
)exp(
KI2
2
2
2
00
0
0
00
No se puede asegurar con certeza qué alternativa será escogida
Supuestos sobre distribución de Modelo de elección específico (Ortúzar y Willumsen, 1994)
),,Pr()/Pr( ijCjVVCiP njnjnininnin
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¿Por qué usar algo distinto del MNL?
Correlación: Dependencia Heteroscedasticidad: Distinta varianza Dependencia probabilidades y parámetros inconsistentes, predicciones poco confiablesPropiedad de independencia de alternativas irrelevantes (patrones de sustitución constantes)Avances en computación y métodos numéricos permiten considerar modelos más generales
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Correlación del término de error
Motivación: el estudio de correlaciónFuentes de correlación: alternativas similares, alternativas con componente común, variaciones en los gustos, agregaciónModelos adecuados: Logit Jerárquico, Probit, Mixed Logit
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Logit Jerárquico
Agrupa las alternativas similares en nidosUi=Vi+i+j alt i nido jMatriz de covarianza:
correlación, homoscedasticidad
222
22
2
221
21
2
00
00
00
00
NL
222
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Probit
Ui=Vi+i i ~ Normal
Matriz de covarianza general, sujeto a restricciones de identificabilidad
Permite modelar correlación y heteroscedasticidad
2
11
1
2221
12121
JJJJ
JJ
J
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Modelo Mixed Logit
Se deriva de suponer
iid Gumbel, término aleatorio adicional que distribuye f(*) (Ben Akiva y Bolduc, 1996; McFadden y Train, 1997)
Si es iid Gumbel probabilidad condicional en
Por lo tanto, la probabilidad total es:
inininin VU
j
V
V
innjnjn
inin
e
eLiP
)()/(
dfLP inin *)/()(
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Modelo Mixed Logit (cont.)
Caso Particular (Modelo lineal de error compuesto):
inintin
V
int
in
inin
zxU
zin atributos relacionados con alternativa i e individuo n
PropiedadesML aproxima cualquier modelo de utilidad aleatoria (McFadden y Train, 1997): ML con parámetros distribuidos normal, aproxima a un Probit.
Razón de probabilidades depende de todo el conjunto de alternativas disponibles.
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Modelo Mixed Logit (cont.)
EstimaciónCondicional en *, se obtiene un valor Pin() tiene forma Logit. Proceso se repite R veces:
R
r
rinin P
RP
1
)(1~
Probabilidad Simulada de escoger la alternativaSe maximiza la log verosimilitud simulada
n Cj
jnjn
n
Pyl~
ln
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Modelos de elección (cont.)
Nested Mixed LogitBrownstone and Train (1999).
Ui=Vi+i+j i ~ iid Gumbel j ~ NormalMatriz de covarianza:
correlación, heteroscedasticidad
222
22
22
222
221
21
21
221
00
00
00
00
ML
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Análisis de Simulación
Objetivo: estudiar los modelos en un caso en que se cumplen todos los supuestosMetodología:
atributos según base de datos realse asume ciertos parámetros de gustose genera las componentes determinística y aleatoria de la función de utilidadse calcula la elección de acuerdo a máx Use calibra los modelos con la base generadaestímulo de políticas
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Análisis de Simulación
Uso del simulador en modalidad predictivaPredicciones con los modelos calibrados
¿En qué nos podemos fijar?Diferencias entre parámetros conocidos y calibradosDiferencias entre predicciones del simulador (realidad virtual) y predicciones modeladas
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Influencia del Nº Repeticiones
4000 Observaciones4 alternativasCorrelación: 0,5 (Nido con dos alternativas)Dimensión: 3
Probit (Nº de alternativas - 1)ML (Estructura homsc. anidada: 1 componente común + 2 términos independientes)
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Influencia del Nº Repeticiones
Parámetro de Correlación : Probit
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 250 500 750 1000
Nº Rep
Upper Limit
Parameter
Lower Limit
Real
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Influencia del Nº Repeticiones
Parámetro de Correlación : MLR
-6
-4.5
-3
-1.5
0
1.5
3
4.5
6
0 250 500 750 1000
Nº Rep
Upper Limit
Parameter
Lower Limit
Real
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Influencia del Nº Repeticiones
Parámetro de Correlación : MLH
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 250 500 750 1000
Nº Rep
Upper Limit
Parameter
Lower Limit
Real
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Influencia del Nº Repeticiones
log verosimilitud
-1.056
-1.052
-1.048
-1.044
-1.04
0 250 500 750 1000
Nº Rep
l( )
Probit
ML H
ML R
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Influencia del Nº Repeticiones
Diferencias en modalidad predictiva
0
3
6
9
12
15
18
0 250 500 750 1000
Nº Rep
2
Probit
ML H
ML R
Base
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Influencia del Nº Repeticiones
Iteraciones and tiempo de convergencia
0
3
6
9
12
15
0 250 500 750 1000
Nº Rep
Iter
atio
ns Probit
ML H
ML R
0
100
200
300
400
500
600
700
0 250 500 750 1000
Nº RepT
ime
for co
nver
genc
e
Probit
ML H
ML R
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Caso: alternativas correlacionadas
Síntesis8000 Observaciones / = 0,5 / He & HoMejor verosimilitud para MLML: recupera adecuadamente todos los parámetrosProbit: importante subestimación de la correlación LJ: efectos de escala, al usar datos heteroscedásticos NL – Probit – ML: buen nivel de respuestaMNL: pobre nivel de respuesta en comparación con ML y LJ
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Datos reales
Contexto: Corredor Las Condes - Centro, RP 9 alternativas, se incluye combinaciones
auto chofer, auto acompañante, taxi colectivo, metro, bus, auto chofer-metro, auto acompañante -metro, taxi colectivo-metro, bus-metro
697 observaciones
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Datos reales
Estructura anidada 1
Transporte Público
Bus Taxi Metro
Taxi Metro
Bus Metro
Auto Chofer
Auto Acomp
ACh Metro
AAc Metro
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Datos reales: Estructura 1
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Datos reales
Estructura anidada 2
Transporte Público
Bus Taxi Metro
Taxi Metro
Bus Metro
Auto Chofer
Auto Acomp
AChMetro
AAcMetro
Auto
![Page 27: Uso de modelos Mixed Logit en modelación de elecciones discretas](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062321/56812a7f550346895d8e0e2d/html5/thumbnails/27.jpg)
Datos reales: estructura 2
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Síntesis y Discusión
ML es un modelo útil, flexible y aplicable La estructura de covarianza se deduce de la especificación y debe ser debidamente justificada Nested Mixed Logit no es equivalente al LJProbit aparece como un modelo costoso y muestra dificultades para recoger correlación