Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional La Rioja
Sistemas de Control Aplicado
Guía de Trabajos Prácticos y Actividades 2007
JTP: Ing. Juan Pablo Pedroni
Cronograma de Actividades Fecha Actividad
31-Mar Clase de Presentación. Introducción al Simulink. Resolución de Trabajo Práctico Nº 1, Parte 1: Modelado
14-Abr
Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 1, partes 2 a 4: Métodos prácticos de compensación, Control en cascada, Compensación de perturbación por adelanto de señal
21-Abr Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 2; Control de plantas inestables
28-Abr Clase Teórica: Elementos no lineales. Función descriptiva. Aplicación de elementos no lineales en control
05-May Clase Práctica: Resolución del Trabajo Práctico Nº 1, parte 3, aplicando elementos no lineales.
12-May Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 3: Aplicaciones de control digital
19-May Ausente por enfermedad
26-May Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 4: Aplicaciones de control digital
02-Jun Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 5: Aplicaciones de control digital
09-Jun Clase Práctica: Resolución de Trabajos Prácticos Nº 6 y Nº 7: Aplicaciones e control digital
16-Jun Clase Práctica: Resolución de Trabajo Práctico Nº 8: Control con actuador saturable
23-Jun Coloquio Integrador
Asistencia
Asistencia
Alumno Matrícula 31-
Mar 14-Abr
21-Abr
28-Abr
05-May
12-May
26-May
02-Jun
09-Jun
16-Jun
23-Jun
De la Fuente, Mauro
30-01394-2
A P P A A P P A P A T
Gómez, Mario R 30-1820
A P A P A A P T P P T
Kaliciñski, Matías 30-1486
P A A P A A P T P A T
Lobo, Gonzalo 30-1492
P A A P A T P P A T T
Orquera, Mariano 30-07014
P P P P T P P P A P P
Vilte, Víctor Julián 30-1504
A P P P A A P A P T T
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 4
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Trabajo Práctico Nº1
Tema 1. Modelado.-
1.1. Empleando Simulink, modelar la planta de tercer orden P(s)=1/(s+1)3 con un
compensador PID teórico:
0
1 ( )( ) ( ) ( )
t
d
i
de tu t K e t e d T
T dtτ τ
= + +
∫
esquematizar el modelo utilizado (diagrama en bloques de Simulink).
1.2. Usar compensador puramente proporcional y verificar el límite de estabilidad que
puede obtenerse por aplicación del diagrama de Nyquist de la planta (Klim)
>> P=tf(1,[1 3 3 1]) >> nyquist(P)
Incluya en su informe el lugar de Nyquist esquemático de la planta. Verifique en
Simulink la condición de oscilación calculada.
Aplicar lugar de raíces y volver a verificar el límite de estabilidad calculado. >> K=0:.1:10; >> rlocus(P,K)
Hallar el ajuste de ganancia proporcional que conduce a polos dominantes con factor de
amortiguamiento 0.707
Incluya en su informe el andar del lugar de raíces y los valores leídos en el mismo.
1.3. Emplear ahora un compensador PI y con ganancia proporcional K=1.25 analizar
el comportamiento de la respuesta al escalón en la variable de referencia para valores de
Ti ∈[0.5, 5].
Para ello se deberá realizar la tabla de sobrepasamiento porcentual y tiempo de
respuesta al 5%
Explicar mediante el lugar de raíces la inestabilidad que se observa para bajos valores
de Ti.
1.4. Completar el controlador PID con K=1.25; Ti=2.5s; y variar Td desde 0 hasta
obtener una respuesta transitoria aceptable. También en este caso tabular
1.5. Sustituir el derivador teórico por un derivador restringido Td s/(αTd s+1) y
comentar la influencia del valor del parámetro α>0 sobre la respuesta al escalón del
sistema a lazo cerrado y sobre la variable manipulada.
Ti (seg) Sobrep. (%) tr.5% (seg)
... ... ...
... ... ...
Td (seg) Sobrep. (%) tr.5% (seg)
... ... ...
... ... ...
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 5
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Tema 2. Métodos prácticos de compensación.
2.1. Una planta posee la respuesta al escalón dada por la Fig. 2.1. Calcular los
parámetros del controlador PI por las reglas de Chien, Hrones y Reswick (Apuntes pág.
20) midiendo Ke, Ta y Tr según el método de la Fig.1.22 de los Apuntes. Emplear las
reglas para respuesta oscilatoria al escalón de comando.
Fig. 2.1.
2.2. Siempre en base a la resp al escalón de la Fig. 2.1. identificar la constante de
tiempo equivalente Te del sistema y la ganancia Ke. (Apuntes pág 22 a 26).
Dimensionar un controlador PI para amortiguamiento 0.707.
2.3. Si la función de transferencia de la planta considerada es
1.5 0.5( )
(2 1)(3 1) (10 1)(20 1)P s
s s s s= ⋅
+ + + +
simular el comportamiento del sistema a lazo cerrado con los parámetros del
controlador PI calculados en los puntos 2.1 y 2.2. Comparar resultados. Discutir.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 6
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Tema 3. Control en cascada.
3.1. Dada la planta en cascada 1 2( ) ( ) ( )P s P s P s= ⋅ identificar gráficamente las
ganancias y constantes de tiempo equivalentes de las plantas parciales, sobre las
respuestas al escalón de las Figs. 3.1. y 3.2.
Fig. 3.1.
Fig. 3.2.
3.2. Calcular el control en cascada, de acuerdo al siguiente esquema pero conociendo
analíticamente P1 y P2:
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 7
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
1 2 1 2
1.5 0.5( ) ; ( ) ; ( ) ( ) ( )
(2 1)(3 1) (10 1)(20 1)P s P s P s P s P s
s s s s= = = ⋅
+ + + +
_
_
d
C2 (PI) P1 (rápida) C1 (P) P2 (lenta)
y1(t) y2(t)
Fig. 3.3.
(De la perturbación por el momento decimos tan sólo que es medible). El controlador
del lazo interno debe ser proporcional con amortiguamiento óptimo. El lazo externo
debe contener un controlador PI para asegurar buena precisión.
Simular y comentar. Comparar con resultados anteriores.
3.3. En el punto precedente hemos calculado los controladores C1(s)=K1 y
C2(s)=K2(1+ 1/T2s);
como hemos realizado cálculos aproximativos, podemos mejorar más la respuesta
transitoria de la variable controlada y2(t) ajustando manualmente el valor de K2.
Comprobarlo.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 8
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
4. Compensación de perturbación por adelanto de señal.
Siempre sobre nuestra P(s), consideramos el problema de compensar la perturbación
D(s) que incide sobre P2(s). Ver diagrama en bloques de la Fig. 3.3.
4.1. Consideremos un control convencional de un solo lazo de realimentación como el
calculado en 2.2. Simulemos el comportamiento de la variable controlada y2(t) ante un
escalón de perturbación d(t)=u(t). Si bien el rechazo de perturbación es total (ya que el
controlador es PI), el transitorio resulta excesivamente prolongado.
4.2. Aplicamos el concepto de adelanto de señal, midiendo la perturbación y
adicionándola a través de una dinámica conveniente a la entrada de P1(s). Apuntes pag.
57 y ss.
El bloque de adelanto de perturbación debiera tener la f.t. negativa inversa de P1(s).
1
1( )
( )D
G sP s
= −
Como GD(s) no puede ser realizada, usamos una aproximación de P1(s) por constante
de tiempo equivalente y diseñamos una aproximación GDa(s) con un compensador de
adelanto-atraso de fase. Comparar resultados con el caso anterior, empleando una
realimentación exclusivamente estática y realimentación dinámica.-
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 9
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Material de Apoyo para los Alumnos
Tema 1
1.1 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 10
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1.2. Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 11
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
1.2 Archivo de ayuda .m
% Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 1 % Tema 1.2 % Ing. Juan Pablo Pedroni - Marzo 2007
close all; clear all; clc % La Función de Transferencia de lazo abierto de la planta es: P=tf(1,[1 3 3 1])
% La F de T de lazo cerrado es: P_lc=feedback(P,1,-1)
% El diagrama de Nyquist del sistema es: figure nyquist(P_lc)
% Ajustando los ejes... figure nyquist(P_lc);axis([-.16 -.01 -.02 .02])
% Vemos que el diagrama de Nyquist corta al eje real en -.14. Por lo
tanto, % el valor de K0=1/.142
% Para encontrar el valor de K0 que asegure psita=0.7 construímos el
Lugar % de Raíces del sistema. figure rlocus(P) sgrid(.707,[.2 .4 .6 .8 1 1.2 1.4])
% De donde K0=0.408
% Se puede comprobar haciendo: Ppsita=.408*P; Ppsita_lc=feedback(Ppsita,1,-1); figure step(Ppsita_lc) grid
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 12
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Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 13
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Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 14
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
1.3 Modelo en Simulinlk
1.3 Archivo de .m
% Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 1 % Tema 1.3 % Ing. Juan Pablo Pedroni - Marzo 2007
close all; clear all; clc
% La Función de Transferencia de lazo abierto de la planta es: P=tf(1,[1 3 3 1]);
% La función de Transferencia del Controlador PD es: K=1.25; Ti=[.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5];
% El siguiente paso consiste en multiplicar las F de T de la planta y
el % compensador para luego cerrar el lazo:
P_comp1_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(1) 0]))*P,1,-1); P_comp2_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(2) 0]))*P,1,-1); P_comp3_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(3) 0]))*P,1,-1); P_comp4_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(4) 0]))*P,1,-1); P_comp5_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(5) 0]))*P,1,-1); P_comp6_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(6) 0]))*P,1,-1);
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 15
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P_comp7_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(7) 0]))*P,1,-1); P_comp8_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(8) 0]))*P,1,-1); P_comp9_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(9) 0]))*P,1,-1); P_comp10_lc=feedback((K+tf(1,[Ti(10) 0]))*P,1,-1); % Finalmente se grafican las respuestas al escalón de los sistemas. figure step(P_comp1_lc) grid title('Resp al escalón del primer sistema')
figure step(P_comp2_lc,P_comp3_lc,P_comp4_lc,P_comp5_lc) grid title('Resp al escalón de los sistemas 2 al 5')
figure step(P_comp6_lc,P_comp7_lc,P_comp8_lc,P_comp9_lc,P_comp10_lc) grid title('Resp al escalón de los sistemas 6 al 10')
% La tabla se completa de la siguiente manera:
% Ti (seg)|Sobrep (%) |ts5%(seg) % .5 | ---- | ---- % 1 | 49.1 | 24.8 % 1.5 | 25.6 | 13.6 % 2 | 12.1 | 11.1 % 2.5 | 3.15 | 10.3 % 3 | 0 | 16.2 % 3.5 | 0 | 19.3 % 4 | 0 | 23 % 4.5 | 0 | 26.5 % 5 | 0 | 30.1
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 16
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1.4 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 17
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
1.4 Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 1 % Tema 1.4 % Ing. Juan Pablo Pedroni - Marzo 2007
close all; clear all; clc
% La Función de Transferencia de lazo abierto de la planta es: P=tf(1,[1 3 3 1]);
% La función de Transferencia del Controlador PD es: K=1.25; Ti=2.5; Td=[0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5];
% El siguiente paso consiste en multiplicar las F de T de la planta y
el % compensador para luego cerrar el lazo:
P_comp1_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(1) 0],1))*P,1,-1); P_comp2_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(2) 0],1))*P,1,-1); P_comp3_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(3) 0],1))*P,1,-1); P_comp4_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(4) 0],1))*P,1,-1); P_comp5_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(5) 0],1))*P,1,-1); P_comp6_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(6) 0],1))*P,1,-1); P_comp7_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(7) 0],1))*P,1,-1); P_comp8_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(8) 0],1))*P,1,-1); P_comp9_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(9) 0],1))*P,1,-1); P_comp10_lc=feedback((K+tf(1,[Ti 0])+tf([Td(10) 0],1))*P,1,-1);
% Finalmente se grafican las respuestas al escalón de los sistemas. figure step(P_comp1_lc,P_comp2_lc,P_comp3_lc,P_comp4_lc,P_comp5_lc) grid title('Resp al escalón de los sistemas 1 al 5')
figure
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 18
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
step(P_comp6_lc,P_comp7_lc,P_comp8_lc,P_comp9_lc,P_comp10_lc) grid title('Resp al escalón de los sistemas 6 al 10')
% La tabla se completa de la siguiente manera:
% Td (seg)|Sobrep (%) |ts5%(seg) % 0 | 3.15 | 11.1 % .5 | ---- | 11.5 % 1 | ---- | 10.8 % 1.5 | 0.04 | 10.4 % 2 | 0.41 | 10.5 % 2.5 | 3.15 | 10.8 % 3 | 0.86 | 16.2 % 3.5 | 1.3 | 11.1 % 4 | 1.7 | 11.5 % 4.5 | 2.06 | 18.6 % 5 | 2.38 | 20.8
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 19
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1.5. Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 20
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Tema 2
2.1 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 21
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Modelo para verificar la superficie de control
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 22
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
2.2 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 23
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
2.3 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 24
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Tema 3
3.2 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 25
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Tema 4
4.1 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº1 26
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
4.2 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº2 27
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Trabajo Práctico Nº2
Control de plantas inestables. Introducción a la suspensión magnética.
Tema 1. Problema y modelo asociado.-
Un cuerpo ferromagnético debe quedar suspendido en el espacio bajo un electroimán en
condiciones de equilibrio.
El peso del cuerpo es equilibrado por una fuerza magnética. Su
posición es medida mediante un sensor óptico. El sistema posee
características marcadamente no lineales:
Para una corriente de excitación constante, el campo magnético
generado es fuertemente inhomogéneo. Como consecuencia la
fuerza magnética sobre el cuerpo suspendido depende de la
distancia al electroimán. La fuerza crece al aproximarse el
cuerpo al electroimán ya que el entrehierro se reduce.
Manteniendo constante la distancia, la fuerza magnética es
aproximadamente proporcional al cuadrado de la corriente,
manifestándose efectos de saturación para altos valores de
inducción.
En las condiciones asociadas con el punto de trabajo X0, I0 se cumple:
0 0
m 0 0
ecuación de equilibrio eléctrico
f ( , ) ecuación de equilibrio mecánico
E I R
X I mg
=
= − (1)
Supuesta una perturbación alrededor del punto de trabajo, se tiene
0
0
0
;
;
;
E E e e E
I I i i i
X X x x x
= + = ∆
= + = ∆
= + = ∆
Las ecuaciones de equilibrio (1) se transforman en
2
0 0 2f ( , ) f ( , ) f
m m m
dE RI N
dt
d xX I X I mg m
dt
φ= +
= + ∆ = − +
(2)
En las (2), debemos calcular la variación del flujo magnético φ y de la fuerza magnética fm
alrededor del punto de equilibrio. Por lo que concierne al flujo nos valemos de las expresiones:
P=mg X
Cuerpoferromagnético
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº2 28
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0 0 0 0, ,X I X I
CE
d di dxN N N
dt i dt x dt
d di dxN L K
dt dt dt
φ φ φ
φ
∂ ∂= +
∂ ∂
= +
(3)
donde la variación de flujo concatenado se formula en función de la inductancia (L) por la variación
de corriente, y del coeficiente de fuerza contraelectromotriz (KCE) por la velocidad de
desplazamiento del cuerpo suspendido. Reemplazando en la primera de las (2) obtenemos:
0 0( )
y simplificando,
CE
CE
di dxE e R I i L K
dt dt
di dxe Ri L K
dt dt
+ = + + +
= + +
(4)
incluyéndose en R la resistencia interna de la fuente de tensión empleada.
Pasando ahora a la variación de la fuerza magnética,
0 0 0 0, ,
f ff m m
m
X I X I
x ix i
∂ ∂∆ = ⋅ + ⋅
∂ ∂ (5)
por lo que la segunda de las (2) se reduce a:
2
2
2
22
2
1 f 1 fm m
ba
d xx i
dt m x m i
d xa x bi
dt
∂ ∂ = ⋅ + ⋅
∂ ∂
= +
(6)
En síntesis, nuestras ecuaciones dinámicas quedan reducidas al sistema:
2
2
20
CE
dx diK Ri L e
dt dt
d xa x bi
dt
+ + =
− − =
(7)
1.1. Deducir las funciones de transferencia ( ) ( )
e ( ) ( )
X s I s
E s E s.
1.2. Definir el diagrama de simulación en bloques de Simulink y verificar la inestabilidad de la
planta a lazo abierto para los siguientes valores de los parámetros
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº2 29
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
2 2
2
1
1Hy
1Vs
1s
1m/s A
CE
R
L
K
a
b
−
= Ω
=
=
=
=
1.3. Trazar el diagrama del lugar de raíces considerando E(s) como variable de comando y X(s)
como variable de salida, con controlador proporcional. Extraer conclusiones. Compararlas con
las que se deducen del diagrama de Nyquist de la planta.
Tema 2. Cálculo del controlador que estabiliza el sistema (Factorización coprima).
2.1. Empleando el método de la factorización coprima y el manejo de expresiones simbólicas de
Matlab calcular el controlador K(s) que estabiliza la operación del sistema. Consignar en el informe
de qué manera operan los comandos y funciones: syms, simplify, subs.
Realizar las operaciones intermedias empleando las funciones conv(.,.) y deconv(.,.). Incluir
en el informe la descripción de su manera de operar.
2.2. El controlador obtenido en el punto precedente (controlador de adelanto-atraso de fase)
estabiliza al sistema de lazo cerrado para un rango limitado de valores de ganancia. Determinar ese
rango aplicando lugar de raíces. Verificar con el diagrama de Nyquist del sistema a lazo abierto.
Comprobar el comportamiento temporal en Simulink.
Tema 3. Controlador para error nulo.
3.1. Defina el método que Ud. emplearía para calcular un controlador que incluya un factor PI
destinado a eliminar el error del sistema en estado de régimen. Compruebe la viabilidad de su
propuesta mediante Simulink, lugar de raíces y diagrama de Nyquist.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº2 30
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Material de Apoyo para los Alumnos
Tema 2
2.1 Modelo en Simulink
2.1 Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 2 % Tema 2.1 % Ing. Juan Pablo Pedroni - Abril 2007
close all; clear all; clc
syms L R Kce a2 b syms lambda;
s=(1-lambda)/lambda;
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº2 31
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
n=s^2-a2; m=L*s^3+R*s^2-a2*L*s+b*Kce*s-a2*R;
% Los parametros del sistema son: R=1; %[Ohm] L=1; %[Hy] Kce=1; %[Vs] a2=1; %[seg^-1] b=1; %[m/s^2A]
% Reemplazando los valores en los polinomios: n=subs(n); m=subs(m);
% A continuacion los multiplicamos por lambda^3;
n=collect(n*lambda^3); m=collect(m*lambda^3);
% Algoritmo de Euclides:
n=sym2poly(n); m=sym2poly(m); % Paso 1 [q1,r1]=deconv(n,m);
% usando ploy2sym y sym2poly se eliminan los ceros en el % termino de mayor orden q1=poly2sym(q1); q1=sym2poly(q1); r1=poly2sym(r1); r1=sym2poly(r1);
[q2,r2]=deconv(m,r1);
q2=poly2sym(q2); q2=sym2poly(q2); r2=poly2sym(r2); r2=sym2poly(r2);
[q3,r3]=deconv(r1,r2);
q3=poly2sym(q3); q3=sym2poly(q3); r3=poly2sym(r3); r3=sym2poly(r3);
% Paso 3: Sustitucion de atras hacia adelante:
x=([0 0 1]+conv(q2,q3))/r3; y=(-q1-[0 q3]-conv(q1,conv(q2,q3)))/r3;
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº2 32
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
% Sustitucion lambda por s
clear s; clear lambda;
syms s
lambda=1/(s+1);
X=x(1)*lambda^2+x(2)*lambda+x(3); Y=y(1)*lambda^2+y(2)*lambda+y(3);
X=simplify(X*(s+1)^2); Y=simple(Y*(s+1)^2);
K=simplify(X/Y); [Knum,Kden]=numden(K); Knum=sym2poly(Knum); Kden=sym2poly(Kden);
Kcomp=tf(Knum,Kden);
% La f de t de la planta es:
P=tf([1 0 -1],[1 1 -1]);
Pcomp=Kcomp*P; rlocus(Pcomp)
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº2 33
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Tema 2.2
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº3 34
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Trabajo Práctico Nº3
Aplicaciones de Control Digital.
Tema 1. Enunciado, modelización.-
Un actuador lineal constituido por un motor de corriente continua acoplado a un reductor y
posteriormente a un tornillo de precisión (Fig.1), sirve para regular la apertura y cierre de la ventana
de intercambio con el exterior, perteneciente a la planta piloto experimental de un invernadero de
ambiente controlado (ver Fig.2). Nuestro problema consiste en diseñar el controlador digital del
actuador, para lo cual necesitamos formular su modelo matemático.
MOTOR ENCODER REDUCTOR TORNILLO+TUERCA
I E accionamiento
comando posición
Fig. 1. Actuador lineal
Fig. 2. Planta piloto de un invernadero.
El encoder, montado directamente sobre el eje del motor posee una resolución de 512 pulsos por
revolución. La relación de reducción es de 4:1 y el paso del tornillo es de 4 mm.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº3 35
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Los parámetros eléctricos del motor son:
Resistencia R=0.7 Ω
Inductancia L=220 µHy
Cte. del motor K=42 mVs/rad
Los parámetros mecánicos, reducidos al eje del motor son:
Momento de inercia J=2.6 ⋅10-5
Nms2/rad
Fricción viscosa B=9.5 ⋅10-6
Nms/rad
Cupla elástica Te=0.07 Nm/rad
En estos últimos parámetros, se encuentran incluidos los valores propios del rotor del motor como
asimismo los valores reflejados correspondientes a la carga mecánica.
1.1. Determinar la función de transferencia entre la tensión aplicada E(s) y el ángulo rotado θ(s)
por el eje del motor.
1.2. Determinar la función de transferencia entre la tensión aplicada E(s) y el desplazamiento D(s)
del actuador lineal.
1.3. ¿A cuántos milímetros de avance equivale 1 pulso de encoder?
1.4. El diseño mecánico impone al tornillo una carrera máxima de ±20 mm. ¿Qué precisión de
posicionamiento (expresada en milímetros) se obtiene operando con un controlador de 8 bits?
¿Y con uno de 12 bits? ¿Y si elevamos la precisión a 16 bits?
1.5. Empleando Simulink analizar el funcionamiento del actuador. (Modelo lineal, encoder,
convertidor A/D). Suponer que el tornillo de salida sea perfecto (sin juego, ni rozamientos).
1.6. ¿Porqué se necesita un circuito contador para calcular el ángulo rotado? ¿Cómo influye el
período de muestreo que adoptemos para nuestro sistema?
Este problema aplicativo será continuado en sucesivos trabajos prácticos.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº3 36
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Material de Apoyo para los Alumnos
Tema 1 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº4 37
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Trabajo Práctico Nº4
Aplicaciones de Control Digital.
Tema 2. Diseño del controlador digital.-
Tras buscar un poco, hemos encontrado un resorte más blando para la ventana de nuestro
invernadero.
Los parámetros del motor y la carga quedan entonces como:
Resistencia R=0.7 Ω
Inductancia L=220 µHy
Cte. del motor K=42 mVs/rad
Momento de inercia J=2.6 ⋅10-5
Nms2/rad
Fricción viscosa B=9.5 ⋅10-6
Nms/rad
Cupla elástica Te=0.02 Nm/rad
2.1. Determinar la función de transferencia del motor cargado, que para nosotros constituye la
planta a controlar. Calcular los valores de los polos y ceros.
2.2. Determinar la respuesta en frecuencia de la planta y seleccionar una frecuencia de muestreo
adecuada para aplicar el método de diseño simplificado en el plano s.
2.3. Determinar los parámetros del controlador continuo necesarios para lograr una respuesta
sobreamortiguada (ζ=1) con error de régimen nulo.
2.4. Trazar el lugar de raíces del sistema compensado y hallar la posición de los polos de lazo
cerrado.
2.5. ¿Puede mejorarse la respuesta variando algún parámetro del controlador?
2.6. Calcular el controlador discreto aplicando las transformaciones correspondientes.
2.7. Simular el sistema discreto.
2.8. Si por un error constructivo, la frecuencia de muestreo fuera 5 veces menor que la
seleccionada, ¿cómo influiría en el funcionamiento del sistema?
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº4 38
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Material de Apoyo para los Alumnos
Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº4 39
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 4
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº4 40
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
% Ing. Juan Pablo Pedroni - Mayo 2007
close all; clear all; clc %% Parámetros del sistema
R=.7; L=220e-6; K=0.042; J=2.6e-5; Bb=9.5e-6; Ce=0.02; n=4; p=4/(2*pi);
%% Ecuaciones de Estado:
A=[-R/L -K/L 0; K/J -Bb/J -Ce/J; 0 1 0]; B=[1/L 0 0]'; C= [0 0 1]; % No consideramos la reducción ni el tornillo D=0;
motor_ss=ss(A,B,C,D,'statename','i','w','q','inputname','e','outputname','qm')
;
[num_aux,den_aux]=ss2tf(A,B,C,D); %% Función de transferencia del motor: num=K; den=[J*L Bb*L+R*J Ce*L+R*Bb+K*K Ce*R];
motor=zpk(tf(num,den));
%% Respuesta en Frecuencia % figure % bode(motor) % grid
%% Diseño simplificado en s % Trabajando con la F de T y el diagrama de Bode vemos que: fmin=2*3082/2/pi;
%Entonces fmin=5000; T=1/fmin;
% para respetar el criterio de diseño simplificado.
% Planteamos un compensador PI. Para que el integrador cancele el polo más % lento hacemos Ti=1/8.653; %Ti=T1
% aplicamos ahora la técnica del lugar de raíces con la F de T del sistema % Comp + Motor a lazo abierto para encontrar el valor de Kp
CompMot=tf([Ti 1],[Ti 0])*motor;
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº4 41
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
% % figure % % rlocus(CompMot);sgrid
% De donde obtenemos: Kp=0.867;
%% La F de T del compensador es: numc=Kp*[Ti 1]; denc=[Ti 0]; comp=tf(numc,denc);
%% Cálculo de Controlador Discreto aplicando la transformación de Tustin
Kz=c2d(comp,T,'tustin')
% % r1=Kp*(T/(2*Ti)+1); % % r0=Kp*(T-2*Ti)/(2*Ti); % % % % numz=[r1 r0]; % % denz=[1 -1]; % % Kz=tf(numz,denz,T)
%% Comprobaciones % Rta al escalón del sistema con controlador PI analógico
CompMotorLC=feedback(CompMot,1,-1)
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº5 42
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Trabajo Práctico Nº5
Aplicaciones de Control Digital.
Tema 3. Comparación de métodos de diseño.
Para el motor cargado del T.P. N°4, se ha decidido abaratar el diseño, empleando una frecuencia de
muestreo de 100 Hz (que puede ser generada a partir de la línea de alimentación).
3.1. Determinar la influencia del dispositivo de muestreo y retención en la respuesta del sistema
con controlador continuo diseñado en el TP N°4. Simular.
3.2. Rediseñar para la frecuencia de muestreo 100 Hz el controlador digital calculado por el
método simplificado del TP N°4. Simular.
3.3. Calcular por el método completo en el plano s el controlador discreto para 100 Hz. Simular.
3.4. Comparar las respuestas al escalón obtenidas en los puntos precedentes. Comentar.
3.5. Incluir cuantificadores y convertidores digitales en el lazo de control, como asimismo el efecto
producido por el número de bits c on que opera el microprocesador que implementa el
controlador. Analizar las curvas de respuesta de ángulo, desplazamiento lineal y corriente del
motor en respuesta a un escalón de 1024 pulsos en la variable de comando. Comentar.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº5 43
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Material de Apoyo para los Alumnos
Tema 3
3.1 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº5 44
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
3.2 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº5 45
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3.2 Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 5
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº5 46
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% Ing. Juan Pablo Pedroni - Junio 2007
close all; clear all; clc
%% 3.2
% El controlador en s calculado con anterioridad es: Ki=1; Ti=0.115;
C=tf(Ki*[Ti 1],[Ti 0]);
T=0.01;
K=c2d(C,T,'tustin');
%% 3.3
% La F de T de la planta en s es: Gs=tf(3,conv([324e-6 1],conv([10.89e-3 1],[0.115 1])));
% La F de T en z: GhGz=c2d(Gs,T,'zoh');
% El siguiente paso es obtener la F de T de z en s utilizando la % transformada Tustin
Gts=zpk(d2c(GhGz,'tustin')); % % figure % % rlocus(Gts),sgrid;
%% Controlador PI: Elegimos: Ti=1/8.69; Kp=0.7;
Cs=tf(Kp*[Ti 1],[Ti 0]);
Kz=c2d(Cs,T,'tustin')
3.4 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº5 47
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº5 48
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3.5 Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº6 49
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Trabajo Práctico Nº6
Aplicaciones de Control Digital.
Tema 4. Diseño en el plano z.
Para el motor cargado del T.P. N°4, trabajando a la frecuencia de muestreo de 100 Hz, se procede a
diseñar el controlador en el plano z empleando el método de compensación.
4.1. Verificar por simulación que el modelo discreto
2
0.1936( )
1.12 0.3136w
M zz z
=− +
posee un tiempo de respuesta cercano a tr5%=0.087 seg, sin sobrepasamiento.
4.2. Diseñar por el método directo en z el controlador correspondiente al modelo del punto 4.1.
Analizar la respuesta temporal de la variable controlada (ángulo girado) y de la variable manipulada
(salida del controlador). Comentar las particularidades observadas. Evaluar la energía de actuación
correspondiente al intervalo [0, 2.5s].
4.3. Tomamos ahora en cuenta el cero dominante de la planta en el plano z y asimismo el retardo
originado por el polo en z =0 en nuestro modelo de referencia. Verificar por simulación el
tiempo de respuesta al 5% para el modelo:
( )2
0.12187 ( 0.8126)( )
1.06 0.2809w
zM z
z z z
+=
− +
4.4. Calcular por el método directo en z el controlador correspondiente al modelo precedente.
Analizar la respuesta temporal de la variable controlada (ángulo girado) y de la variable manipulada
(salida del controlador). Evaluar la energía de actuación correspondiente al intervalo [0, 2.5s].
Comparar con los valores obtenidos en 4.2. Comentar.
4.5. ¿Cuál es el concepto subyacente a la formulación de los modelos 4.1. y 4.3.? Explicar.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº6 50
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Material de Apoyo para los Alumnos
Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº6 51
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº6 52
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Archivo .m % Universidad Tecnológica de La Rioja % Sistemas de Control Aplicado % Trabajo Práctico Nº 6
% Ing. Juan Pablo Pedroni - Junio 2007
close all; clear all; clc
%% 4.1 % La F de T en z es: T=1/100; Mwz=tf(0.1936,[1 -1.12 0.3136],T); % figure % step(Mwz)
%% 4.2 Gs=tf([3],[4.086e-7 0.0013 0.1268 1]);
% La F de T en z, con s&h es: GhGz=zpk(c2d(Gs,T,'zoh'));
% El compensador calculado por el modelo sin ceros es: Kz=1/GhGz*Mwz/(1-Mwz);
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº6 53
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
% La respuesta a lazo cerrado es: % % figure % % step(feedback(Kz*GhGz,1,-1))
%% 4.3 % La F de T en z del modelo de referencia teniendo en cuenta el cero % dominante es:
Mw2z=tf(0.12187*[1 0.8126],conv([1 0],[1 -1.06 0.2809]),T); % % figure % % step(Mw2z)
%% 4.4 % El compensador calculado por el modelo sin ceros es: K2z=1/GhGz*Mw2z/(1-Mw2z);
% La respuesta a lazo cerrado es: % % figure % % step(feedback(K2z*GhGz,1,-1))
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº7 54
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Trabajo Práctico Nº7
Aplicaciones de Control Digital.
Tema 5. Diseño con Dos Grados de Libertad.
Siempre con referencia al motor cargado del T.P. N°4, trabajando a la frecuencia de muestreo de
100 Hz, se procede a diseñar un controlador y prefiltro para realizar rechazo de perturbación y
adecuar la respuesta al escalón de comando a un modelo especificado.
5.1. La perturbación aparece como una cupla originada por el viento al soplar contra la ventana.
Incluir el efecto perturbador en el modelo Simulink del motor cargado.
5.2. Suponer que el controlador digital implementado es el Proporcional Integrador simple
diseñado para frecuencia de muestreo 100 Hz:
( ) ( )00.73 0.92
( ) ; 1/100 seg1 1
z C z rK z T
z z
− −= = =
− −
Mediante sucesivas simulaciones, ajustar los valores de ganancia C y posición del cero r0 del
controlado hasta obtener una respuesta pico de 8 rad y un tiempo de rechazo de 0.14 seg para la
variable controlada θ como respuesta a un escalón unitario de cupla perturbadora. Formar una tabla
de valores de C y r0 hasta encontrar el mejor ajuste
5.3. Dejamos fijos los valores de que acabamos de calcular y registramos la respuesta a un
escalón en la variable de referencia. Indicar los valores de sobrepasamiento porcentual y
tiempo de respuesta obtenidos.
5.4. El diseño si bien resulta satisfactorio desde el punto de vista del rechazo de la perturbación,
dista mucho de serlo para la respuesta al comando. Por lo tanto procedemos a diseñar un
prefiltro ( )w
G z para que la respuesta al comando corresponda al modelo ( )w
M z :
( )wG z ( )K z ( )HG G z W
1W Y
–
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
Hw w
H
Y z K z G G zM z G z
W z K z G G z
⋅= =
+ ⋅
Calcular la función de transferencia discreta del prefiltro ( )w
G z correspondiente al modelo
empleado en el trabajo práctico precedente,
( )2
0.12187 ( 0.8126)( )
1.06 0.2809w
zM z
z z z
+=
− +
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado -Trabajo Práctico Nº7 55
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Comparar la respuesta al escalón de comando sin prefiltro, con la respuesta de ( )w
G z al escalón y
con la respuesta del sistema completo compensado, todo en un mismo gráfico.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 56
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Trabajo Práctico Nº8
Control con actuador saturable.
Sistema a controlar.
En un proceso químico se tiene un tanque de reacción en el que se combinan dos componentes
líquidos A y B para formar un producto C también líquido. Si bien los fluidos A y B llegan
calientes al tanque, como la reacción es endotérmica, resulta necesario suministrar calor adicional
para mantener la temperatura del tanque en el valor correspondiente al máximo rendimiento de
producto C. Esa energía térmica adicional es proporcionada por un serpentín de vapor que rodea al
tanque de reacción y cuyo caudal es regulado por una válvula lineal, comandada por un controlador
dotado de un sensor para medir la temperatura en el interior del tanque de reacción.
El sistema es operado alrededor de un valor nominal de temperatura θ0 =75°C, estableciéndose para
el punto de funcionamiento una apertura de la válvula de vapor AV =50%, tomándose por
convención que una apertura relativa AR =1 corresponderá a la válvula totalmente abierta (100%),
mientras que AR = –1 corresponderá a la válvula totalmente cerrada.
La función de transferencia correspondiente a la variación de la temperatura en el tanque alrededor
del valor nominal provocada por una variación de la apertura relativa de la válvula posee la
siguiente expresión:
10 C/1apert.( )
con 20 seg; 150 seg( ) 1
mT sGG
mR
Ks K e
T TA s Ts
θ − = °=
= =+
El tiempo muerto puede considerarse asociado al retardo de transporte del flujo de vapor, mientras
que el comportamiento del tanque es caracterizado como un sistema de primer orden.
Tarea 1: Diseñar un controlador PI continuo para la planta en cuestión y simularlo teniendo en
cuenta el efecto de saturación de la apertura de la válvula, que se produce cuando ésta llega a los
extremos de su rango de operación. Observar las diferencias entre el funcionamiento lineal (para
comandos en el rango de ±2°C de variación de temperatura) y el funcionamiento no lineal (para
grandes señales) donde se manifiesta el efecto de saturación. Comentar los resultados de las
simulaciones.
Tarea 2: Calcular el controlador discreto correspondiente al punto precedente, para una frecuencia
de muestreo de 50 Hz. Verificar el comportamiento para pequeñas y grandes señales de comando.
Tarea 3: Emplear técnicas de anti-reset windup tanto en el caso continuo, como en el discreto,
diseñando los controladores y llevando a cabo las simulaciones correspondientes. Comentar los
resultados.
♦
Notas.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 57
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El controlador continuo diseñado por medio de diagrama de Nyquist, y con ganancia ajustada por
simulación para 12% de sobrepasamiento es:
1
( ) 0.45 1150
K ss
= +
Discretizando K(s) para período de muestreo Ts=1/50 seg se obtiene
0.9999
( ) 0.450031
zK z
z
−=
−
Atención: K(s) debe ser llevado a la forma de ceros y polos antes de aplicar la conversión
c2d()para determinar la forma discreta.
En la página siguiente se incluyen todos los diagramas de simulación.
Para la aplicación de anti-reset windup a la versión continua, recordar los esquemas del Capítulo 1,
punto 1.7.2. El valor de la constante de tiempo de seguimiento Tt lo estimamos en 25 seg.
¿Porqué?
Para la versión discreta recordamos el pseudocódigo desarrollado en el Capítulo 4, apartado 4.3.:
En nuestro caso es h=1/50 seg, Ti=150 seg, Tt=25 seg, Td=0. Observar la realización del integrador:
1 ( / ). ( / ).( )k k P i k t
I I K h T e h T u v+ = + + −
“Cálculo de coeficientes del controlador
bi=Kp*h/Ti “ganancia de integración
ad=Td/(Td+N*h) “ganancia derivativa
bd=Kp*N*Td/(Td+N*h) “ganancia derivativa
ao=h/Tt “ganancia de seguimiento (tracking)
“Cambio de parámetros sin sacudidas
I=I+Kpviejo*(bviejo*r-y)-Kp*(b*r-y) “invariancia de P+I
“Algoritmo de control
r=adin(ch1) “ingresar variable de referencia desde ch1
y=adin(ch2) “ingresar variable del proceso desde ch2
P=Kp*(b*r-y) “acción Proporcional
D=ad*D-bd*(y-yviejo) “acción Derivativa
v=P+I+D “salida temporal para acción antiwindup¿
u=sat(v,umin,umax) “simula saturación del actuador
daout(u,ch3) “sacar variable de control u por ch3
I=I+bi*(r-y)+ao*(u-v) “actualiza Integrador con antiwindup
yviejo=y “actualiza variable de proceso vieja
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 58
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e
I(k+1) I(k)
vu
vu
-K-
h/Tt
-K-
h/Ti
Zero-Order
Hold1
Zero-Order
Hold
Valvula
z
1
Unit Delay
Transport
Delay3
Transport
Delay2
Transport
Delay1
Transport
Delay
10
150s+1
Transfer Fcn4
10
150s+1
Transfer Fcn3
10
150s+1
Transfer Fcn2
150s+1
150s
Transfer Fcn1
10
150s+1
Transfer FcnTemp
ref.
Scope7
Scope6
Scope5
Scope4
Scope3
Scope2
Scope1
Scope
Saturation2
Saturation1
Saturation
Modelo1
Modelo
0.45
Kp1
0.45
Kp 1
s
Integrator
0.45
Gain
zeros(z)
(z-1)
Discrete
Zero-Pole
1/25
1/Tt
-K-
1/Ti
Se muestran todas las implementaciones en un único diagrama a fin de facilitar las comparaciones.
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 59
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La figura siguiente muestra la temperatura en el tanque de reacción (variable controlada) en las
diferentes realizaciones.
0 500 1000 15000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo (seg)
incre
mento
de
tem
pera
tura
en e
l ta
nque (
°C)
Control continuo
con saturación Control discreto con saturación
Respuesta con anti-reset.
Los casos continuo y discreto
se confunden
Escalón de comando
Temp. ref. + 7.5°C
♦
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 60
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Material de Apoyo para los Alumnos
Modelo en Simulink
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 61
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Material de Apoyo para las Clases
Modelos en Simulink
Ciclo Límite
Huelgo
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 62
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Precarga
Relay
Saturación
Zona Muerta
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 63
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Influencia de las no linealidades
Corriente:
Tensión:
Cátedra de Sistemas de Control Aplicado –Sistemas No Lineales 64
UTN Fac. Reg. La Rioja - Año Académico 2007
Posición:
Modulación por Ancho de Pulso