“LA INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN PARA FUNCIONES
LINEALES Y EL ÁREA BAJO LA CURVA”
UNA PROPUESTA EDUCATIVA COMPUTACIÓNAL
PARA ESTUDIANTES DE BACHILLERATO
TESINA
QUE PARA OBTENER EL DIPLOMA DE ESPECIALIZACIÓN EN
COMPUTACIÓN Y EDUCACIÓN
PRESENTA:
M. en C. HÉCTOR MANUEL AMAYA LEÓN
ASESOR:
MTRA. ESPERANZA MONTUFAR VÁZQUEZ
ENERO 2020
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD AJUSCO
2 | P á g i n a
Dedicado con todo cariño a mi madre Cecilia
León, y a mis sobrinos Christian Eric Dorantes
e Itzel Abigail Meza, quienes son una parte
importante en mi vida, aunque no estemos tanto
tiempo juntos como quisiera. Especial
agradecimiento a todas las personas que están
presentes en este momento de mi vida y que son
un motivo para seguir esforzándome.
3 | P á g i n a
INDICE
Introducción..................................................................................................................... 4 Planteamiento del problema ......................................................................................... 5 Justificación ..................................................................................................................... 7 Objetivo general ............................................................................................................. 8 Objetivos específicos de la propuesta .......................................................................... 8 Propuesta didáctica ........................................................................................................ 9 Diferencias entre el método convencional y la propuesta didáctica ..................... 10
Capítulo 1 Marco Referencial ............................................................................... 12
Teorias en las que se sustenta la propuesta ............................................................ 12 Adolescencia ............................................................................................................. 13 Constructivismo .......................................................................................................... 14 Las TIC’s en la educación .......................................................................................... 18
Capítulo 2 Manual de sugerencias didácticas .................................................. 20
Requerimientos .............................................................................................................. 21 Manual de sugerencias didácticas ............................................................................. 22 Áreas de rectángulos ................................................................................................. 24 Áreas de triángulos .................................................................................................... 29 Regiones Circulares ................................................................................................... 45 El programa computacional ........................................................................................ 55 Guía de Navegación .................................................................................................. 55 Rutinas .......................................................................................................................... 60 La representación gráfica de regiones triangulares ............................................ 60 Formación de integrales ......................................................................................... 63 Cálculo de Integrales.............................................................................................. 65 Memorama de equivalencias en Integrales ........................................................ 70 Registro de los resultados ........................................................................................... 72
Capítulo 3 Protocolo de Investigación ................................................................ 73
Introducción................................................................................................................... 73 Justificación ................................................................................................................... 74 Preguntas de investigación .......................................................................................... 74 Objetivo general de la investigación .......................................................................... 74 Objetivos específicos de la investigación .................................................................. 75 Hipótesis de investigación ............................................................................................ 75 Metodología de investigación ..................................................................................... 75 Población ....................................................................................................................... 76 Instrumento de evaluación .......................................................................................... 76 Tratamiento .................................................................................................................... 77 Variables ........................................................................................................................ 78 Diseño estadístico ......................................................................................................... 78 Ejemplo del análisis ....................................................................................................... 81 Decisión en el ejemplo del análisis ............................................................................. 84
Apéndice A ............................................................................................... 85
Referencias ................................................................................................................. 89
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Introducción
Actualmente el uso de las TIC’S en el ámbito educativo es una realidad, las
tecnologías de la información y la comunicación son herramientas necesarias
debido a que la vida cotidiana se desarrolla con el uso ya sea de computadoras,
teléfonos inteligentes o algún otro dispositivo de computo, los cuales se usan como
herramientas que permiten la conexión a la gran fuente de información,
comunicación y proveedora de servicios que es la Internet. Recientemente en
nuestro país han surgido diversas modalidades de estudios en línea, que además
de los contenidos convencionales, fomentan en el educando el uso de diferentes
aplicaciones usadas con una finalidad didáctica, además la educación
convencional también ha incorporado el uso de software computacional que se
integra con los contenidos educativos como una forma de desarrollar tareas que
se ajusta más a la realidad de los centros de trabajo e investigación.
Es por ello la necesidad de presentar propuestas didácticas que no solo fomenten
el uso de estas tecnologías, sino que también intenten innovar en la forma de
impartir las clases y usarlas para conceptualizar problemas con la riqueza que estas
nos proporcionan, ya que el uso de estas permite un dinamismo que antes el
pizarrón de clases no tenía. La presente propuesta posee esas características,
presenta los contenidos desde un enfoque centrado en el uso de software como
lo es GeoGebra y plantea actividades en el programa Authorware, esta forma de
enfrentar el problema permite una revisión a los contenidos convencionales, que
busca centrar la atención del estudiante en la resolución de problemas, a la par
que el mismo es capaz de visualizar las situaciones presentadas y darles significado
en la vida cotidiana.
En mi experiencia como asesor de estudiantes en línea, el uso del ordenador
muchas veces presenta un reto que los educandos ven con interés, y aquellos que
se aventuran en estas nuevas formas de aprendizaje desarrollan autonomía en su
estudio y enfrentan problemáticas educativas que enriquecen su desarrollo, son
estudiantes más independientes si cuentan con las secuencias didácticas
adecuadas. La presente propuesta pretende enfrentar a los interesados al estudio
cuasi autónomo de los contenidos que ella presenta.
5 | P á g i n a
Planteamiento del problema
Los temas de cálculo diferencial e integral son parte de los temas de estudio de los
currículos de los diferentes programas educativos en la república mexicana
pertenecientes a nivel medio superior, la forma convencional de abordar estos
temas es la impartición de las problemáticas referentes al Cálculo Diferencial y una
vez que el estudiante conoce el concepto de derivada se abordan los temas del
Cálculo Integral, esta presentación se explica por los primero y segundo teoremas
fundamentales del Cálculo1, los cuales relacionan ambos conceptos y establecen
a la Integral como operación inversa de la derivada. Este proceso hace que el
estudiante tenga a su disposición un gran número de funciones de las cuales
conoce su antiderivada, y de esta manera solo requiere de algunos
procedimientos o métodos para transportarlos a expresiones matemáticas que ya
reconoce, y así puede encontrar la integral de la mayoría de los problemas que se
le presentan, en teoría, esta metodología solo encuentra dificultades cuando no se
conoce la antiderivada de la función a integrar, sin embargo, en la práctica para
que el estudiante asimile estos conceptos requiere de un manejo de técnicas
matemáticas que son necesarias para lograr su objetivo, entre las que se
encuentran necesariamente la derivación y un buen manejo del álgebra
elemental (factorización, lenguaje algebraico, simbolización, suma y operaciones
con polinomios), a los que se van sumando otros conocimientos como son el
manejo de gráficas (ejes de coordenadas, coordenadas, ecuaciones de la recta,
ecuaciones de funciones, funciones trigonométricas) y el aprendizaje de nuevos
métodos pertenecientes a esta área de estudio.
1 Primer teorema fundamental del Cálculo: Dada una función � integrable sobre el intervalo
[ � , � ]definimos � sobre [ � , � ] por � ( � ) = ∫ �(�)���
�. Si � es continua en � ∈ ( � , � ),
entonces � es derivable en � y �′(�) = �(�).
Segundo teorema fundamental del Cálculo: Dada una función �(�) integrable en el
intervalo [�, �] y sea �(�) cualquier función primitiva de �, es decir �’(�) = �(�). Entonces
∫ �(�)�� = �(�) − �(�)�
�
6 | P á g i n a
Por otro lado, la integral de Riemann definida tiene un significado independiente
de la derivación, y es el de ver dicha integral como el área encerrada bajo un
conjunto de curvas, la cual según el proceso que conlleva la definición formal de
una integral, puede aproximarse utilizando rectángulos que tengan como altura un
punto dentro de la función, mientras más fina sea esta partición de rectángulos
más precisa será el área.
Cabe señalar que esta interpretación es parte fundamental en los textos que tratan
el tema de integral, y es uno de los temas que toca un curso convencional de
Cálculo Diferencial, sin embargo, se pretende usar el concepto de área bajo la
curva para desarrollar una secuencia didáctica que presente un primer
acercamiento al concepto de integral usando funciones lineales, para fija ideas de
los elementos que intervienen y la terminología utilizados en el Cálculo Integral en
los educandos, sin necesidad de hacer uso de las definiciones del Cálculo
Diferencial, ya que el concepto de integral definida, al poder visualizarse como el
área debajo de una curva, puede entenderse con ayuda de los conceptos vistos
desde los cursos elementales de secundaría, donde se tratan los temas de áreas
de diferentes regiones elementales, como son rectángulos, triángulos, círculos y
polígonos.
7 | P á g i n a
Justificación
El estudiante es enfrentado al cálculo de áreas desde los niveles básicos, aunque
muchos de estos problemas generalmente son tratados como retos extras para los
educandos más avanzados por las dificultades que se presentan en su resolución.
La propuesta computacional descrita en estas páginas muestra que es posible
abordar los principios fundamentales para la conceptualización de la integral de
Riemann con el cálculo de áreas de regiones triangulares y circulares, las cuales
son regiones que pueden acotarse por funciones lineales, dichos cálculos pueden
realizarse utilizando los conocimientos de álgebra y gráficos ya mencionados. La
forma en que está propuesta computacional afronta el problema, simplifica el
cálculo de áreas en los problemas mencionados, además de que es una excusa
para hallar una aplicación de las integrales, así como busca que el estudiante se
familiarice con los conceptos elementales y la simbología que se utiliza en los
problemas referentes al cálculo integral.
En este punto, es preciso señalar que el problema de cálculo de áreas es un
problema que puede despertar interés en los educandos, primero por ser uno de
los problemas elementales que están acostumbrados a tratar desde la instrucción
primaria, y la generalización y grado de complejidad en los problemas presentados
puede ser de su interés, segundo, el cálculo de áreas tiene diferentes aplicaciones
prácticas en diferentes sectores profesionales como puede ser la arquitectura, la
ingeniería industrial, o aquellas disciplinas que requieran el modelado de figuras
para crear envases u otro tipo de moldes o contenedores, también encuentra
significado en otras áreas de la matemática, como es la estadística y la
probabilidad, donde, en algunos problemas, se hace uso de áreas bajo la curva
de funciones especiales para calcular probabilidades.
Por otra parte, como ya se mencionó, uno de los problemas fundamentales del
Cálculo Integral es la visualización de los problemas de estudio, el educando
enfrenta problemas para graficar correctamente una región dada, lo que nos lleva
a la necesidad de que el estudiante sea capaz de expresar el concepto de función
en uno de sus registros de representación, que es el gráfico, así que para plantear
8 | P á g i n a
nuestra secuencia didáctica será necesario el uso del software GeoGebra, que
involucra la representación gráfica de funciones.
El otro gran problema que representa el adquirir conocimiento de Cálculo Integral,
es el manejo del álgebra elemental, requerido para la formalización y exactitud del
cálculo de las integrales, por tanto, nuestra secuencia didáctica está dirigida a
estudiantes de los últimos semestres de nivel medio superior que tengan
conocimiento de álgebra elemental. Esto debido a que el manejo de funciones
algebraicas, así como la familiarización de operaciones como son la sustitución y
evaluación de polinomios son indispensables para la secuencia en el cálculo de
integrales, es necesario que el estudiante posea madurez en el manejo de
expresiones algebraicas y aritméticas.
Objetivo general
Que el educando conceptualice la integral definida como el área bajo una
curva y realice cálculo de áreas triangulares.
Objetivos específicos de la propuesta
Que el estudiante conceptualice las integrales definidas como el área bajo
una curva.
Que el estudiante utilice el concepto de integral bajo la curva como un
tema independiente de la derivada.
Que el estudiante pueda realizar cálculos de áreas de regiones triangulares
y circulares.
Que el estudiante sea capaz de visualizar y representar gráficamente (vía
software) problemas que involucren el cálculo de áreas.
Que el educando utilice un software diseñado para el tema que le permita
reforzar los conceptos empleados en la primera parte de la propuesta.
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Propuesta didáctica
La propuesta didáctica utiliza el concepto de áreas de figuras como son
rectángulos, triangúlalos y regiones circulares para que los estudiantes
conceptualicen la Integral definida de Riemann, las cuales son regiones que
pueden acotarse por funciones lineales, una vez conseguido esto, deben usar
técnicas de solución de problemas de áreas empleando dichas integrales, para
aprender estas técnicas deben auxiliarse del software desarrollado para el tema y
pueden usar un programa como GeoGebra, el cual es un Programa Dinámico para
la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas que es de distribución libre y su
respectiva versión en línea se encuentra disponible en la página de la aplicación,
lo utilizará para la visualización de los ejercicios involucrados. Al finalizar la
secuencia se espera que el estudiante domine un método para el cálculo de áreas.
La población a la que va dirigida son adolescentes entre 17 y 19 años que tengan
conocimientos previos de álgebra y puedan representar gráficamente una función
en un eje de coordenadas, deben conocer los sistemas de coordenadas polares y
también es necesario que tengan nociones básicas sobre gráficas, así como el
concepto de simetría. Además, es necesario que conozcan el uso básico del
ordenador, ya que requerirán utilizar el software diseñado para la propuesta. No es
necesario que el estudiante tenga conocimientos previos ni de Cálculo diferencial,
ni de Cálculo Integral, pues esta secuencia presenta conceptos básicos de la
interpretación de algunas propiedades de las Integrales y tiene como objetivo dar
una interpretación a la simbología usada en los cursos de Integrales, así como
mostrar una técnica de resolución de problemas.
La propuesta computacional consiste en la resolución de 3 secuencias didácticas
que se resuelven de forma escrita, las cuales tienen como objetivo sentar los
antecedentes teóricos necesarios para mejorar la comprensión del tema, a saber:
Regiones rectangulares.
Regiones triangulares.
Regiones circulares.
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Así como se pretende que el estudiante desarrolle competencias para la resolución
de problemas, para lo cual se empleara el programa diseñado para este fin. A
saber, dichas competencias se desarrollan en 3 etapas:
Representación gráfica de situaciones que involucren el cálculo de áreas.
Formación de las integrales.
Resolución de integrales
Para realizar estas actividades, además del programa desarrollado, es necesario
que el estudiante utilice el software de GeoGebra. La aplicación desarrollada
contiene actividades que el educando puede realizar de manera autónoma y con
las cuales se pretende que el estudiante domine las competencias arriba
enunciadas, a través de los ejercicios prácticos que en ella se incluyen. Se
recomienda que las secuencias escritas sean guiadas por un asesor, quien debe
conocer el material que se presenta en los siguientes capítulos del presente
documento.
Diferencias entre el método convencional y la propuesta
didáctica
Existen varias diferencias entre la propuesta aquí presentada y el método
convencional, un primer grupo de diferencias se encuentra en la forma de abordar
los contenidos, mientras que el método convencional requiere el aprendizaje de
un extenso número de fórmulas derivadas del Cálculo Diferencial, así como un
largo proceso formativo que involucra la representación gráfica de los problemas
a conceptualizar, habilidad que muchos de los estudiantes no siempre llega a
desarrollar de forma completa cuando se presenta los contenidos del curso,
además de que también requiere la asimilación de otro grupo de métodos para
desarrollar las integrales, mientras que la propuesta busca conceptualizar las
integrales en base a elementos ya conocidos por el estudiante desde los primeros
grados de instrucción escolar, introduce a los estudiantes a la simbología
empleada usualmente para el cálculo de integrales y los elementos necesarios el
11 | P á g i n a
cálculo de las mismas, así como se enfoca en la comprensión de las propiedades
y fórmulas empleadas por métodos visuales a partir de problemáticas ya conocidas
por los estudiantes.
Otro grupo de diferencias se encuentra en la presentación de problemáticas
apegadas a la vida cotidiana de los estudiantes por parte de la propuesta
presentada, mientras que el método convencional frecuentemente utiliza
problemas simbólicos sin contexto, lo cual dificulta la transición de los ejemplos
presentadas a la realidad, y por tanto al uso práctico de los mismos.
Y finalmente el grupo de diferencias fundamentales del empleo de software
didáctico como eje básico de la secuencia didáctica, ya que esta requiere la
realización de actividades en un programa diseñado para formar las
competencias del cálculo de integrales de manera interactiva y autónoma por los
estudiantes, cuyo uso busca además de ser instructivo, ser lúdico, pues se presentan
problemas con el suficiente grado de complejidad para que el estudiante los
encuentre atractivos y desafiantes, mientras que el método convencional emplea
técnicas tediosas y procesos complejos antes de encontrar una aplicación
práctica de los temas expuestos.
Cabe mencionar que el proceso desarrollado por la propuesta, facilita la
representación gráfica de los problemas propuestos, ya que desde los primeros
ejemplos, el educando es capaz de trasladar los ejercicios a resolver a una
representación gráfica y encontrar las ecuaciones que delimitan las regiones
señaladas, esto gracias al software empleado para el desarrollo de las actividades,
mientras que los estudiantes que llevan el método convencional frecuentemente
encuentran problemas para realizar estar representaciones, pues es necesario
conocer técnicas de otras materias como puede ser la Geometría Analítica, y casi
nunca es posible utilizar software, pues las condiciones de los salones de clase
donde se recibe la instrucción no lo permiten.
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Capítulo 1
Marco Referencial
Teorías en las que se sustenta la propuesta
La propuesta computacional que aquí se presenta es un trabajo que reúne saberes
de distintas disciplinas, por un lado están los contenidos propios de la materia de
cálculo integral (limites inferiores, limites superiores, integrales, etc.) y los conceptos
de matemáticas como son álgebra, área, simetría, gráficas, cambio de
coordenadas, pero también se deben considerar aquellos temas correspondientes
al uso de las Tic’s como entornos de aprendizaje (en específico el ordenador,
GeoGebra y la aplicación desarrollada para realizar la instrucción) y por supuesto,
el enfoque pedagógico con el que se construyeron las actividades a desarrollar,
pues en ellas se hace uso de la teoría constructivista, en la cual el estudiante parte
de saberes ya asimilados, como son las áreas de rectángulos, triángulos y círculos
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para construir nuevo conocimiento que serán las integrales, además de que la
forma de aprendizaje del estudiante debe ser activa y requiere la participación de
un asesor que servirá de guía para que el estudiante logre responder con éxito los
problemas planteados en la propuesta. Además, se debe tener en cuenta la etapa
de desarrollo de la población a la que va dirigida la secuencia, la cuál es la
adolescencia, para con ello, poder plantear ejercicios que respondan a la
madurez de su desarrollo.
Adolescencia
Los métodos de enseñanza empleados con los estudiantes han variado a lo largo
del tiempo, las teorías pedagógicas que actualmente se emplean tienen como
objetivo desarrollar su creatividad, competencia, confianza, conexión, carácter,
cuidado y compasión basado en nuevos paradigmas que se basan en las
componentes positivas que hay alrededor de la juventud, el trabajo desarrollado
va dirigido a jóvenes entre 17 y 19 años de edad que cursan los primeros años de
bachillerato y que están viendo por primera vez el tema de Integrales.
En la etapa de la adolescencia se presentan cambios físicos y mentales, además
de que su entorno juega un papel determinante en su desarrollo. La adolescencia
es una de las mejores etapas de la vida en muchos sentidos, es una época de
cambios, de descubrimientos, de nuevas sensaciones y de nuevas experiencias, en
ella los adolescentes forjan amistades con las personas que más se sienten
identificados, etapa de los amores más intensos, de ganar independencia de los
padres, de experimentar y darse cuenta de lo que son capaces de hacer, época
de reflexiones, de idealismos, de poses, a veces época de incomprensión, se
empieza a tener conciencia del yo y de lo que se quiere. El adolescente empieza
a sentir preferencia por determinadas cosas, porque se identificamos con ellas y no
porque alguien más se las imponga.
Anteriormente el modelo que predominaba para analizar la situación de los
adolescentes se centraba en los conflictos que estos suelen atravesar. La toma de
riesgos que se realizan en esta etapa de la vida hacía que en el choque
generacional entre los adultos responsables y los adolescentes predominaran los
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aspectos negativos que conllevaban las problemáticas de los jóvenes, los nuevos
modelos sobre la juventud se han ido desarrollando a la par de las modernas teorías
pedagógicas y los descubrimientos de grandes psicólogos y profesionales de la
educación como Piaget y Vigotsky quienes buscan que el adolescente sea capaz
de desarrollarse y alcanzar sus metas.
La propuesta computacional que se plantea busca despertar el interés de la
población a la que va dirigida a través de actividades que presentan un reto en la
resolución de sus ejercicios, con la suficiente complejidad para que el estudiante
los encuentre desafiantes, se espera que los educandos sean capaces de
resolverlos de manera autónoma. Es necesario que el estudiante cuente con una
serie de conocimiento previos para ser candidato a la aplicación de la secuencia
(ver pág. 9), así como se considera el entorno en el que serán resueltos, pues el uso
de ordenadores es aceptado ya como uno de los nuevos entornos propicios para
el aprendizaje, además de que se plantean otras actividades que sirven como
complemento, ejemplo de ello es un juego de Memorama que permitirá al
estudiante jugar con el ordenador, lo cual tiene como propósito conseguir la
asimilación de las fórmulas más utilizadas en el desarrollo de la secuencia, es decir,
se busca que el estudiante no solo comprenda los temas tratados, sino que plantea
las actividades a resolver como retos que buscan ser interesantes y desafiantes
para la etapa de su desarrollo, sin dejar de ser lúdicos .
Constructivismo
El constructivismo es una teoría pedagógica actual que ofrece las mejores
características para ayudar a los jóvenes a obtener un aprendizaje significativo,
para el constructivismo el aprendizaje se obtiene cuando las estructuras mentales
se acomodan para resolver una situación que causa un desequilibrio cognitivo vea
(Schunk, 1997). Un estudiante al cual se le presenta un problema a resolver utiliza
sus conocimientos previos para poder resolver la nueva situación y se produce la
asimilación del nuevo concepto. Jean Piaget concibe la inteligencia como la
capacidad de adaptación al medio que nos rodea y esta adaptación se da
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precisamente en los mecanismos de acomodación y asimilación ante las
situaciones que se dan en el entorno del estudiante. En la propuesta didáctica se
construirá el significado del nuevo concepto presentado que es la integral y su
simbología, a partir de elementos que el estudiante ya conoce, como son las áreas
de rectángulos, triángulos o circunferencias.
La fundamentación matemática de las integrales se auxiliará del lenguaje
algebraico, así como de la visualización de las regiones presentadas para que el
estudiante interiorice ese concepto, por ejemplo, en la secuencia didáctica se
plantean problemas de tipo matemático en los cuales cada enunciado va
acompañado, además de una aplicación a una situación de la vida real, también
de una imagen que ilustra la situación.
Piaget realizó varias investigaciones sobre las estructuras cognitivas en el niño, las
cuales se van desarrollando a partir de sus experiencias, y pudo determinar 4
etapas que se dan en su desarrollo:
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Senso-motor (0-3 años)
Pre-concreto o preoperatorio (3-7 años)
Concreto (7-13 años)
Formal (13-19 años)
Cada etapa sirve de base para seguir desarrollando la etapa posterior, nosotros
consideraremos la etapa formal, la cual refiere a la etapa de la adolescencia,
como ya se mencionó, donde los jóvenes presentan varios cambios tanto físicos
como mentales, es en esta etapa cuando los jóvenes van desarrollando el
“pensamiento formal”, el cual refiere a la capacidad de razonar de un modo
hipotético y deductivo, es decir el desarrollo de las capacidades lógicas con
pensamientos abstractos se hace presente. La forma característica del
pensamiento formal conlleva a poder formular hipótesis para explicar un problema
nuevo para el sujeto, basándose en los datos que se obtienen en ese momento o
que se han obtenido anteriormente.
Por otra parte, el tipo de problemas planteados admiten una resolución vía la
aplicación de las fórmulas de áreas de figuras geométricas, aunque con
suficientemente grado de complejidad que le permitirá al estudiante comparar
estos procedimientos con el método planteado y reconocer las bondades de la
metodología empleada en la propuesta. Es decir, el estudiante es capaz de
conceptualizar los problemas y construir su conocimiento de la nueva simbología
presentada de manera natural a partir de situaciones que ya conoce. Así mismo
esos conocimientos servirán de base para construir su nuevo conocimiento y
empezar a utilizar la simbología nueva que se le presenta. La propuesta,
presentada en estas páginas, propone la resolución de 3 actividades que sentaran
las bases matemáticas del procedimiento empleado, el cual utiliza conceptos ya
conocidos por el estudiante desde niveles elementales, como son las áreas, pero
también hace uso de conocimientos como el álgebra que requieren de una
madurez de abstracción que se desarrolla en esta etapa de la vida, la propuesta
busca la asimilación de 3 competencias para la resolución de los problemas de
cálculo de integrales (representación de regiones triangulares, formación de
integrales y cálculo de integrales), para las cuales se les plantean un promedio de
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10 problemas donde las tareas a realizar les permitirá ganar confianza en la
resolución de problemas.
Las conductas de los adolescentes tienen varias componentes como se menciona
en (Schunk, 1997):
La capacidad para disociar factores y controlar las variables.
Atender a las causas principales de los fenómenos.
Diferenciar entre una demostración empírica, una hipótesis o una teoría.
Medios más eficaces para adquirir información y almacenarla en formas
simbólicas.
Utilizar estrategias falseadoras.
Preferencia por explicaciones simples en lugar de las explicaciones
complejas.
Funciones ejecutivas de orden superior: planeación, toma de decisiones y
flexibilidad al escoger estrategias para solucionar problemas.
Estrategias más complejas para la solución de problemas.
El adolescente utiliza estas estrategias para enfrentar los retos de la vida cotidiana,
o para realizar actividades que les permitan ser mejores intelectualmente y
físicamente, continuamente busca experimentar, aunque frecuentemente valora
más la recompensa que el riesgo. La incorporación de las tecnologías actuales
para la formación de los jóvenes debe proporcionarle retos, así mismo la
oportunidad de desarrollar su creatividad y mantenerlos interesados con las
problemáticas que se les presentan, vea (Castillo, 2008). Así que, en esta etapa de
su desarrollo, el alumno es capaz de manejar la simbología algebraica utilizada en
la propuesta con previa instrucción y es capaz de planear la forma en que dará
resolución a los problemas, también tendrá la madurez necesaria para asimilar la
simbología empleada en las actividades a resolver.
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Las TIC’s en la educación
La especie humana siempre ha enfrentado el mundo a través de la ayuda de
diferentes medios, es difícil encontrar algo en las comunidades que habitan las
personas que no esté mediada por sus inventos, para enfrentar el clima las personas
inventaron la ropa, las casas. Para andar, el calzado. Para ocupar una mayor parte
de día, aprendieron a manejar la electricidad. Para recorrer grandes distancias, los
automóviles, los barcos, los aviones. Para comunicarse han desarrollado diferentes
tecnologías que les permite hablar con personas que se encuentran a grandes
distancias. Para su educación crearon grandes edificios, acondicionados, muchas
veces, con los elementos necesarios para conseguir este fin. La escritura empleada
en los libros transmite ideas que ayuda a las personas a comprender temas que
maneja el colectivo humano. Muchas veces el hombre realiza inventos que a
simple vista pudieran no tener un fin práctico, sin embargo con el tiempo estos
inventos llegan a calar tanto en su uso y en la forma que la especie humana se
desenvuelve que es imposible ignorarlos, un ejemplo de esto son las computadoras,
originalmente se crearon con fines de ser utilizados en la industria militar, sin
embargo su utilidad y rápido crecimiento con la llegada de la red de Internet, la
cual actualmente es una de las formas de comunicación más importante así como
una gran fuente de información de acceso libre, ha revolucionado de forma
determinante instituciones tan antiguas como son los sistemas educativos
convencionales.
Es difícil encontrar una actividad humana actual que no requiera el empleo de
ordenadores, la brecha tecnológica se abre para diferenciar entre aquellos que
emplean la última tecnología y las personas que siguen haciendo las cosas de
manera artesanal. En el campo educativo esta brecha es aún más marcada pues
una de las finalidades de las instituciones educativas es vincularlos con el sector
productivo, el cual usa las computadoras de manera casi natural para
desempeñar muchas de sus actividades.
El sector industrial, el comercio, los servicios, las comunicaciones y la industria del
entretenimiento ha hecho grandes avances en su formas de producción gracias al
uso de las nuevas tecnologías, pero no solo eso, la vida cotidiana de las grandes
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ciudades se ha visto modificada en los últimos años por la era del Internet, de igual
forma los sectores educativos vieron necesaria la incorporación de estos medios a
sus prácticas educativas, en un principio para realizar tareas complejas y
actualmente como parte integral de las competencias a desarrollar en los
estudiantes, aunque también sirve como medio para diferentes formas educativas
que se han desarrollado como lo es la educación en línea.
En la propuesta computacional, como su nombre lo indica, el educando hará uso
del ordenador y un software desarrollado, este software tiene el fin específico de
ayudarle al estudiante a ganar destreza en la resolución de problemas de cálculo
de áreas de regiones triangulares, pero también tiene que usar otra de las Tic’s
empleadas en la resolución de problemas matemáticos, muy popular en los medios
educativos, esta aplicación es GeoGebra, la cual es una calculadora gráfica que
le permitirá al estudiante representar con éxito las regiones presentadas en los
problemas. GeoGebra es un software muy completo para la representación
gráfica de funciones, que también cuenta con una hoja de cálculo y un soporte
para realizar figuras geométricas tal y como si se utilizara regla y compas. Con estos
elementos se busca despertar el interés en el estudiante y utilizar al ordenador
como un medio que favorece el aprendizaje de los estudiantes.
Actualmente, un sector importante de la educación está implementando nuevas
propuestas didácticas con ayuda de estos medios, pues facilitan que el estudiante
encuentre autonomía en su proceso de aprendizaje, así como minimizan la
presencia de instructores, ya que el estudiante es libre de experimentar por sí
mismo. El uso de las Tic’s permite que los estudiantes tengan laboratorios completos
para desarrollar nuevas formas de conocimiento que la instrucción convencional
no tenía. Es por ello la necesidad de que los profesionales de la educación
aprendan a explotar estos medios para beneficio de los educandos, como se
intenta en la presente propuesta.
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Capítulo 2
Manual de
sugerencias
didácticas
Introducción
La propuesta computacional presentada en estas páginas se dividen en dos
grandes etapas, la primera de ellas está formada por tres secuencias didácticas
que se resuelven de manera escrita, aunque también requieren el apoyo de
GeoGebra, el cual es un software de distribución libre utilizado en la enseñanza de
las matemáticas y la resolución de problemas matemáticos, y la segunda etapa
está conformada por una serie de rutinas integradas en un programa
computacional cuya resolución también requieren el apoyo de GeoGebra, ya que
con este último se podrán visualizar las regiones que están involucradas en los
problemas.
21 | P á g i n a
Este manual pretende servir de apoyo a los instructores de la propuesta
computacional, que impartan la misma con algún grupo de estudiantes
interesados en el tema. Contiene la descripción de las actividades, así como la
forma de implementarse, sus objetivos y algunas sugerencias didácticas, las cuales
ayudaran al instructor a cumplir los objetivos de la propuesta.
Presentamos entonces la organización de la propuesta:
Manual de sugerencias didácticas
Áreas de rectángulos
Áreas de triángulos
Regiones Circulares
Programa computacional
La representación gráfica de regiones triangulares
Formación de integrales
Cálculo de Integrales
Memorama de fórmulas Integrales
El lector encontrara, en el trascurso de la lectura, que los elementos que se utilizaron
para diseñar la secuencia son continuación de lo aprendido en los sistemas
elementales, pero conjuntados como se hizo en la siguiente secuencia, conforman
una herramienta potente para la resolución de problemas, y además sirven como
vehículo perfecto para la introducción de los conceptos básicos de las integrales.
Requerimientos
Para la primera parte de la instrucción.
Un instructor que conozca los contenidos de la secuencia y sea capaz de
conducir la instrucción que se plantea en la propuesta.
Las actividades propuestas para las áreas de rectángulos, áreas triangulares
y regiones circulares impresas, de preferencia un juego de copias por
alumno, estas actividades pueden imprimirse directamente del presente
manual de sugerencias didácticas.
22 | P á g i n a
Goma y lápiz.
Ordenadores con la aplicación de GeoGebra instalada, se recomienda un
ordenador por alumno, ya que en determinada parte de la instrucción el
alumno podrá experimentar con este nuevo entorno de aprendizaje.
GeoGebra es una aplicación de distribución libre en internet y puede
obtenerse una copia para ser instalada en los ordenadores, sin ningún costo,
desde la página de internet correspondiente a la aplicación
(https://www.geogebra.org › download). Aunque también es posible
encontrar una versión reciente en línea.
Para la segunda parte de la instrucción
Ordenadores. Esta propuesta requiere el uso de computadoras, es
recomendable contar con un ordenador por alumno.
El software correspondiente a la aplicación desarrollado para la instrucción.
Se debe instalar previamente en los equipos destinados para los alumnos.
El software de GeoGebra.
Un instructor, aunque la secuencia computacional puede resolverse de
manera autónoma, es recomendable la presencia de un instructor que
resuelva las dudas que pueden presentárseles a los educandos en el
desarrollo de la instrucción.
Manual de sugerencias Didácticas
Áreas de rectángulos
Descripción de la secuencia
La presente secuencia didáctica está diseñada para desarrollarse con papel y lápiz
y no necesita ninguna herramienta extra para su resolución, solo es necesario leerla
con atención y utilizar conocimientos previos para llenar los espacios en blanco.
Esta actividad sirve para presentar los símbolos básicos que están involucrados en
el cálculo de integrales, como son el símbolo de integral y el diferencial ��, así como
23 | P á g i n a
presenta una interpretación de las integrales como el área encerrada por una
región acotada por un conjunto de rectas. En ella se demuestran las primeras
propiedades de las integrales y se espera que el estudiante conozca la forma de
trabajo de las siguientes actividades que conforman esta parte de la instrucción.
Objetivos de la secuencia
Presentar la notación básica para el tratamiento de las integrales, así como sirve
de introducción al tema de estudio, busca indagar sobre los conocimientos previos
del estudiante para formar conocimiento nuevo, así como tiene presente la
mayoría de los elementos que se trataran en el tema.
Sugerencias didácticas
Para la resolución de dicha actividad, se recomienda imprimir el documento y
permitir que el estudiante intente llenar los espacios en blanco, una vez que el
estudiante ha hecho un primer intento, se recomienda que la actividad sea guiada
por un instructor y su resolución entre todo el grupo de educandos presentes, esto
con la finalidad de que todos los estudiantes participen en la construcción del
nuevo conocimiento.
También se sugiere que el instructor no de las respuestas de la actividad, pero
puede participar guiando a los educandos a la respuesta correcta, el instructor
debe reconocer las respuestas correctas, y animar a todos los presentes a participar
en la resolución de la secuencia.
El instructor puede organizar una sesión de dudas surgidas por la actividad e
intentar explicar las problemáticas que se resolverán en las siguientes partes de la
propuesta, las cuales son cálculo de áreas de regiones triangulares y circulares, y
problemas que involucren la combinación de esta.
A continuación, se presenta la transcripción de la actividad.
24 | P á g i n a
Áreas de rectángulos
Supongamos que tenemos un rectángulo formado por las rectas x=a y x=b de
altura 1,
¿Cuánto mide la base del rectángulo?
Considere un rectángulo de base b-a y altura 1
Definimos:
� �� = Á��� ��� ���á����� �� ���� � − � � ������ 1 =�
���
� �� =
�
���
25 | P á g i n a
El símbolo anterior se lee como: La integral desde x=a hasta b de d de x
Nota: Al estar definida ∫ ���
��� en términos del área, la posición de los ejes no
importa, basta que sea un rectángulo de base = �− � y altura = 1. Es decir, el
rectángulo puede estar ubicado en cualquier región del espacio.
Supongamos que tenemos un rectángulo de altura 3 ubicado entre las rectas x=a
y x=b
Note que podemos ver el área igual a la suma de 3 rectángulos entre las rectas
x=a y x=b y altura 1
26 | P á g i n a
Entonces
Á��� ��� ����á����� ����� � = � � � = � � �� ������ 3=
Por otro lado
Á��� ��� ����á����� ����� � = � � � = � � �� ������ 3=
3 Á��� ��� ���������� �� ���� � − � � �� ������ 1 = 3
Consideremos un rectángulo de altura arbitraria k (no necesariamente entero) y
de base b-a y definimos:
� � �� = Á��� ����� �� ����á����� �� ���� � − � � ������ ��
���
Nota: Al estar definida ∫ � ���
��� en términos del área, la posición de los ejes no
importa, basta que sea un rectángulo de base b-a y altura k. Es decir, el rectángulo
puede estar ubicado en cualquier región del espacio.
¿Cuál es la base del rectángulo?
¿Cuál es su altura?
Se tiene entonces que:
� � �� = Á��� ����� �� ����á����� �� ���� � − � � ������ ��
���
27 | P á g i n a
= (� − �)� = �(� − �) = �� ���
���
es decir:
� � �� = �� ���
���
�
���
Un ejemplo de un rectángulo de base b-a y altura k ubicado en alguna región del
espacio puede ser:
Problema 1
¿Qué significado gráfico le puede dar a ∫ � ���
���? Calculé la integral.
28 | P á g i n a
Problema 2
¿Cuál es el área del siguiente rectángulo? Expréselo como una integral.
Observación: Las áreas son siempre positivas, es decir todas las integrales
definidas son áreas positivas.
29 | P á g i n a
Áreas de triángulos
Descripción de la secuencia
La siguiente actividad requiere ser impresa para su resolución con lápiz y papel,
también requiere el uso de un ordenador por participante con el software de
GeoGebra previamente instalado, es la continuación de la actividad anterior y
busca generalizar los conceptos presentados por aquella, utiliza regiones
elementales como son regiones triangulares las cuales requieren un análisis más
sofisticado para definir la equivalencia de las integrales, también presenta la
resolución de un problema con ayuda de GeoGebra, así como una explicación
del uso de funciones del programa.
Objetivos de la secuencia
Profundizar en el estudio de las propiedades de las integrales, así como mostrar el
método que se empleara para la resolución de problemas de cálculo de áreas, los
ejemplos que muestra son el tipo de problemas que se enfrentaran en la propuesta.
Sugerencias didácticas
Se recomienda que los estudiantes realicen un primer intento para resolver la
actividad trabajando en equipos de 3 personas (esto debido a la complejidad de
esta), para lo cual es recomendable darles un tiempo aproximado de 30 minutos
antes de iniciar una actividad grupal guiada por el instructor para la resolución con
todos los participantes de la sesión.
Se recomienda que el instructor fomente la participación de todos los equipos
participantes, y que se abstenga de proporcionar respuestas concretas, pero que
guíe a los educandos a encontrar las respuestas correctas.
La resolución del problema puede ser presentada por el instructor, mientras motiva
a los estudiantes a realizar los trazos que plantea el problema, usando para ello el
ordenador que les fue proporcionado.
También es recomendable brindarles un tiempo de aproximadamente 15 minutos
a los educandos para que experimenten con el uso de GeoGebra.
30 | P á g i n a
Área de triángulos
Vamos a generalizar los conceptos vistos en la secuencia didáctica 1, supongamos
que tenemos una región en el espacio acotada por las funciones continuas � = �,
� = �, � = �(�) y � = �(�) y sea S igual al área delimitada por esta región.
Definimos
� [�(�) − �(�)]�� = ��
���
Nota: Esta definición no depende de la posición de los ejes � y �, basta con que la
curva esté acotada por las funciones continuas � = �, � = �, � = �(�) y � = �(�).
Considere la siguiente región en el espacio:
31 | P á g i n a
La superficie S está acotada por las rectas x=a, x=b, y=0 y y=x, tenemos entonces
que
� [� − 0]�� = � ��� =�
���
��
���
Por otro lado, el área S la podemos ver como la mitad del cuadrado de lado b
menos la mitad del cuadrado de lado a.
Es decir
�=Á��� �� �������� �� ���� �
�−
Á��� ��� �������� �� ���� �
�=
��
�−
��
�
Así que:
� ��� =��
2−
��
2
�
���
32 | P á g i n a
Ahora considere la región del espacio acotada por las rectas � = �, � = �, � = �� +
� y � = 0, note que � y � pueden ser cualquier par de números reales.
Sin pérdida de generalidad podemos considerar esta región como
Tenemos entonces que:
� [�� + � − 0]�� = � (�� + �)���
���
�
���
= �
33 | P á g i n a
Notamos que podemos dividir S en dos regiones
Así que:
� (�� + �)���
���
= �� + ��
¿Qué coordenadas tiene el punto P?
34 | P á g i n a
¿Cuál es la recta que pasa por el punto P y es paralela al eje x?
¿Cuánto mide la base del rectángulo ��?
¿Cuánto mide su altura?
¿Cuánto mide el área ��?
Como en el primer ejemplo anterior vamos a visualizar la región ��como:
35 | P á g i n a
Donde ��es el área del rectángulo mayor que contiene parte de la recta � = �� +
� y �� es el rectángulo verde. Recordemos también que por definición de ecuación
de la recta se tiene que � = tan�.
¿Cuánto mide la base de ��?
¿Cuánto mide la altura de ��? Sugerencia, consideré el triángulo rectángulo que
comprende las regiones ��y �� y calculé su cateto opuesto.
¿Cuánto mide el área de ��?
¿Cuánto mide la base de ��?
¿Cuánto mide la altura de ��? Sugerencia, consideré el triángulo rectángulo que
comprende la región �� y calculé su cateto opuesto.
36 | P á g i n a
¿Cuánto mide el área de ��?
¿Cuánto mide el área S1?
Tenemos así que el área de la región S está dada por:
� (�� + �)���
���
= �
� (�� + �)���
���
= �� + ��
� (�� + �)���
���
= � ���
2−
��
2�+ �(� − �)
� (�� + �)���
���
= � � ����
���
+ � � ���
���
Así que:
∫ (�� + �)���
���= � ∫ ���
�
���+ � ∫ ��
�
��� para cualesquier m y c
reales.
37 | P á g i n a
Ejemplos de cálculos de áreas de triángulos
1. Calculé el área de la región sombreada de la siguiente figura:
Use el software de GeoGebra y el concepto de integral
Sugerencia: Note que la región tiene un eje de simetría con la recta x=2
Solución
Ingrese las coordenadas de los vértices:
� = (0,0)
� = (4,0)
� = (4,4)
� = (0,4)
38 | P á g i n a
Seleccione la opción de polígono en la barra de herramientas.
Y una los puntos con ayuda del ratón.
Trace el punto auxiliar � = (2,4).
39 | P á g i n a
Seleccione la herramienta de recta en la barra de herramientas.
Una los puntos A y C, después una los puntos B y D, después una los puntos A y E y
finalmente una los puntos E y B.
En la ventana derecha del programa (Vista Algebraica) aparecen las ecuaciones
de las rectas en el orden en que fueron introducidas.
Si tiene alguna duda de a que par de puntos le corresponde que ecuación de
recta, seleccione la opción Elige y Mueve en la barra de herramientas
40 | P á g i n a
Y señale dicha recta
Así la recta que pasa por los puntos � y � es:
−2� + � = 0
La recta que pasa por los puntos A y C es:
−� + � = 0
La recta que pasa por los puntos E y B es:
2� + � = 8
Y finalmente la recta que pasa por los puntos B y D es:
−� − � = −4
Finalmente ingrese las rectas
� = 0
� = 2
� = 4
41 | P á g i n a
Tal y como se muestra en la figura:
Despeje las ecuaciones en términos de y
42 | P á g i n a
Es decir, se tiene las regiones �� y �� como se muestra en la figura:
En términos de la integral tenemos que el área de la región del problema puede
calcularse como la suma de las regiones �� y ��:
� = �[(2�) − (�)]�� + � [(−2� + 8) − (−� + 4)]�
���
�
���
��
� = � ��� + � (−� + 4)���
���
�
���
Pero �� = ��, así que por simetría se tiene que:
� ��� = � (−� + 4)���
���
�
���
� = � ��� + � ������
���
�
���
43 | P á g i n a
� = 2� ����
���
Así que:
� = 2�2�
2−
0�
2�
� = 2�4
2− 0�
� = 2(2)
� = 4 ��
Ejercicio
Calculé la integral y demuestre que:
� ��� = � (−� + 4)���
���
�
���
44 | P á g i n a
Con lo hasta ahora aprendido, ¿se le ocurre otra forma en que se puede obtener
el área de la región señalada?
45 | P á g i n a
Regiones Circulares
Descripción de la secuencia
Esta secuencia debe resolverse con ayuda de lápiz y papel y con el programa
GeoGebra, por lo cual se recomienda hacer una impresión de esta y contar con
un ordenador que tenga el software instalado para su aplicación.
En la secuencia se presentan problemáticas nuevas, al extender el tipo de regiones
de las cuales puede hallarse el área por el método presentado, además de
generalizar el problema de cálculo de integrales, permite la combinación de
regiones triangulares y circulares, lo cual hace posible resolver una amplia gama
de problemas clásicos donde se bebe encontrar el área de regiones sombreadas.
Se presentan problemas que pueden encontrarse en la vida cotidiana.
Objetivo de la secuencia
Extender el tipo de problemas que pueden resolverse por la metodología
presentada. Permite que el estudiante utilice el método presentado para mejorar
la comprensión y dominio de este, además de que al finalizar la actividad será
capaz de resolver una amplia gama de problemas relativos al cálculo de áreas de
regiones sombreadas.
Sugerencias didácticas
Para la comprensión del tema es necesario que el estudiante conozca el manejo
de diferentes sistemas de coordenadas, en este caso las polares. El instructor puede
ahondar en dicho tema antes del inicio de la sesión para que el educando
comprenda y pueda resolver en su totalidad la secuencia.
El instructor debe guiar la resolución de la actividad permitiendo que todo el grupo
participe para encontrar las respuestas que completan la actividad.
Se puede resolver grupalmente el ejemplo planteado por la actividad para que los
estudiantes vean las posibilidades que presenta el método que están estudiando.
Se recomienda que se les permita hacer un intento a los estudiantes de la
resolución del ejercicio planteado
46 | P á g i n a
Regiones circulares
El campo de futbol del equipo América, el estadio Azteca, será utilizado para un
concierto de música, se ha planeado utilizar un escenario semicircular para poner
el escenario, y enfrente de él se cubrirá el césped con una lona para que los
visitantes no dañen el césped, ¿Cuál es el área que debe tener la lona?, ¿Si se
quisiera reemplazar todo él pasto debajo de la lona, cuántos metros cuadrados se
tendrían que pedir para darle mantenimiento a esa área?
A lo largo de esta sección se desarrollarán las nociones básicas para atacar este
tipo de problemas.
Considere la región sombreada:
47 | P á g i n a
¿Cómo podemos escribir el área encerrada entre los círculos de radio � = � y
radio � = �, y los ángulos � = � y � = � en términos de integrales?
Para contestar esta pregunta intentaremos simplificar el problema.
Sabemos que el área de un círculo de radio � = � está dada por � = ���
¿Cuál sería el área de medio circulo?
¿Cuál sería el área de un sector angular de � grados de longitud?
48 | P á g i n a
¿Cuál sería el área de un sector angular de �
� de longitud? Use regla de tres:
x→ �/4
��� → 2�
�
�/4=
���
2�
�
�/4=
��
2
� =�
4(��
2)
� =���
8
Considere un sector angular entre � ≤ � ≤ � ¿Cuál sería el ángulo comprendido
en este intervalo?
49 | P á g i n a
¿Cuál sería el área del sector angular encerrada por este intervalo? Use regla de
tres:
� → � − �
��� → 2�
Se tiene entonces que el área de un sector angular (x) es igual a
� =1
2�� � ��
�
���
� =1
2� ����
�
���
Volvamos a reconsiderar la situación original
Podemos considerar la siguiente situación:
= -
= -
50 | P á g i n a
Si representamos la primera área por
� =1
2� ����
�
���
Y la segunda área por
� =1
2� ����
�
���
Entonces él área buscada está dada por
Entonces el área de la región está dada por
Á��� =1
2� ����
�
���
−1
2� ����
�
���
O bien:
Á��� =��
2� ��
�
���
−��
2� ��
�
���
Á��� = (��
2−
��
2) � ��
�
���
Á��� = � (��
2−
��
2)��
�
���
Á��� = � [ � ���] ���
���
��
����
Á��� = � � ��� ���
���
��
����
51 | P á g i n a
Ejercicio
Se desea fabricar un lente formado por la intersección de dos semicírculos de radio
de 10 cm como se muestra en la siguiente figura.
¿Cuál será el área del molde que se empleará en su fabricación?
Solución
Abrimos GeoGebra y localizamos los puntos
� = (0,0)
� = (0,10)
� = (10,0)
52 | P á g i n a
Trazamos los círculos que tienen centro en � = (0,10) y pasa por el punto � = (0,0)
y el otro circulo que tiene centro en � = (10,0) y pasa por el punto � = (0,0)
Trazamos la recta
� = �
53 | P á g i n a
Trazamos las rectas
� = 10
� = 10
� = 0. Se tiene que:
Se tiene que:
= -
54 | P á g i n a
La primera área es un sector circular con radio � = 10, que va de � =�
�� a � = 2�,
así que el área está dada por:
�� =1
2� (10)���
��
���
��
=100
2� �� = 50�2�−
3
2��= 50(
�
2)
��
���
��
= 25�
Por otra parte, la región 2 está acotada por las rectas:
� = 0
� = 10
� = 10
� = �
�� = � (10− �)�� = 10� �� − � �����
���
��
���
��
���
=
10(10− 0) − �10�
2−
0�
2�= 10(10) −
100
2= 100− 50= 50
Entonces:
� = �� − �� = 25�− 50
Por simetría se tiene que el área de la región sombreada es
Á��� = 2� = 2(25�− 50) = 50�− 100= 57.079 ��
55 | P á g i n a
El programa computacional
Guía de Navegación
Al iniciarse el programa, este presenta una ventana de bienvenida, que le indica
al alumno que está a punto de iniciar sus actividades.
Al pulsar sobre el botón verde este nos manda a una pantalla que le solicitara el
nombre al usuario.
56 | P á g i n a
Una vez ingresado el nombre, este nos dará saludará, y nos pedirá que le
indiquemos con que actividad vamos a empezar. Esta es la sección del menú
principal, es la principal pantalla de navegación del programa y nos permitirá
recorrer todas las secciones del programa.
El menú principal consta de 5 secciones, de las cuales 3 de ellas son actividades
didácticas, dichas actividades corresponden a cada una de las tres competencias
que la propuesta intenta desarrollar en el estudiante para que resuelva
exitosamente problemas de cálculo de áreas con integrales definidas.
La otra opción corresponde a un juego.
57 | P á g i n a
Y la última de ellas lanza la aplicación de GeoGebra.
Si ingresamos a la primera actividad: “Regiones triangulares”, esta nos mostrará el
objetivo de la actividad, y desde aquí nos permitirá lanzar GeoGebra ya que la
resolución de la actividad requiere su uso. Nos pedirá que confirmemos que
realizaremos la actividad.
El resto de las secciones del menú que corresponden a actividades o juegos nos
presentan solo el objetivo de estas.
58 | P á g i n a
Una vez dentro de cada actividad, este por lo general nos mostrará dos botones
en la parte inferior derecha de la actividad:
La opción de “Siguiente” nos mandará a la siguiente pregunta, y la opción de “Ir a
Resultados” dará por concluida la actividad y nos enviara a una pantalla dónde se
muestran los resultados del ejercicio realizado.
Dichas páginas de resultados contienen un enlacé hacia el Menú Principal el cual
no llevara de vuelta a la ventana de este.
59 | P á g i n a
Desde dónde podremos realizar la siguiente actividad o entrar a cualquiera de sus
secciones.
Note que en la parte inferior derecha de la pantalla el menú principal tiene dos
botones.
El primero de ellos, dice “Cambiar”, dicho botón nos servirá para ir a la pantalla
de bienvenida desde donde podremos modificar el nombre de usuario, tiene la
finalidad de volver a iniciar el programa sin necesidad de salir de él.
El segundo botón tiene la leyenda “salir” y precisamente nos servirá para salir del
programa.
60 | P á g i n a
Rutinas
La representación gráfica de regiones triangulares
Descripción de la actividad
Esta actividad consta de 10 ejercicios que se muestran de manera aleatoria,
aunque se presentaran solo 8 por intento. El ejercicio consiste en que el estudiante
con ayuda del software GeoGebra trace en un eje de coordenadas la región
presentada en la imagen, una vez trazada la imagen el alumno debe dividirla en
regiones de modo que se pueda formar una integral, tal como se muestra en los
ejemplos de la secuencia didáctica áreas triangulares. Hecho esto, el alumno debe
buscar en GeoGebra en el panel lateral izquierdo (región encerrada en rojo) las
ecuaciones correspondientes a las rectas trazadas,
61 | P á g i n a
Para continuar, el estudiante procederá a responder una pregunta de opción
múltiple que le pedirá especifique él número de subregiones que se forman y cuáles
son las rectas que las acotan.
Aunque esta sección cuente con retroalimentación inmediata, el conteo de
aciertos y errores se mostrará al finalizar la actividad. Esta sección solo tiene por
objetivo darle al estudiante y al asesor una forma de verificar el resultado de la
actividad.
Por otra parte, note que el enunciado del ejercicio da un ejemplo de problema
que puede presentarse en la vida cotidiana y para el cual podría aplicarse el
cálculo de las integrales correspondientes.
Como ayuda para que los educandos comprendan de manera clara que es lo que
les solicita la actividad, los primeros 4 ejercicios muestran en un video la solución
del problema, incluyendo el trazado de las rectas que acotan las regiones, aun así,
el estudiante debe repetir el ejercicio para determinar dichas ecuaciones.
62 | P á g i n a
A continuación, se muestra una imagen de lo presentado en el vídeo:
Objetivo de la actividad
Que el estudiante aprenda el trazado de imágenes sencillas con GeoGebra y que
identifique las rectas que acotan una región.
Sugerencias didácticas
Se recomienda que los estudiantes hayan desarrollado las secuencias didácticas
escritas previamente, por lo menos las 2 primeras de ellas. Ya que en ellas se
encuentran ejemplo del tipo de problemas presentados en esta actividad.
El educando debe observar los videos de solución de los cuatro primeros problemas
antes de proceder a intentarlos por el mismo. Pues en ellos se muestra el uso de las
herramientas de GeoGebra.
El instructor debe dar un tiempo para que los estudiantes practiquen el uso de
GeoGebra, aunque el uso de este es muy intuitivo, el educando debe familiarizarse
con el mismo.
El estudiante puede repetir varias veces la actividad, pues le presenta los elementos
necesarios para abordar los problemas planteados por la propuesta.
63 | P á g i n a
Formación de integrales
Descripción de la actividad
Esta actividad consta de 10 ejercicios presentados de manera aleatoria, los
ejercicios consisten en formar la integral que nos ayude a encontrar el área de la
región sombreada acotada por un conjunto de rectas.
El estudiante debe determinar a qué elemento de la integral pertenece cada
recta, , ecuación inferior en x, ecuación superior en x, función superior en �: g(x) y
función inferior en �: f(x), para realizar esta actividad no es necesario seguir un
orden específico en el llenado de esta, el estudiante recibe una retroalimentación
con cada intento, en caso de tener una respuesta errónea el sistema le permite
volver a intentar dar otra.
La actividad utiliza la funcionalidad de autocompletar, para poder ingresar texto
en el espacio correspondiente, en este caso las secciones señaladas en color rojo.
Además de que evalúa el desempeño del educando contabilizando el número de
aciertos y errores por problema presentado.
64 | P á g i n a
Objetivo de la actividad
La actividad busca que el estudiante sea capaz de formar integrales para su
correspondiente cálculo, si cuenta con las rectas que acotan una región triangular
sombreada. A través de la repetición de problemas similares busca que el
estudiante interiorice la metodología para formar integrales.
Sugerencias didácticas
Se sugiere que el estudiante desarrolle de manera independiente esta actividad,
pues la misma presenta todos los elementos necesarios para su resolución.
La solución del conjunto de preguntas planteadas, así como la repetición de esta
ayudara al estudiante a asimilar la metodología para formar integrales y facilitara
el análisis de las regiones de las cuales conozcan la ecuación de las rectas que la
delimitan, que lo llevara a formar integrales de forma asertiva.
65 | P á g i n a
Cálculo de Integrales
Descripción de la actividad
Esta actividad consta de 4 ejercicios diferentes, en cada problema se deben
calcular 2 integrales y por último se debe dar el área total representada por dichas
integrales, dando un total de 12 preguntas diferentes. Utiliza la función de
autocompletar para que el usuario introduzca las respuestas correctas.
Cada problema viene acompañado por un enunciado que permite que el
estudiante asocie el cálculo de las integrales a una situación de la vida cotidiana,
lo cual ayudara a la comprensión de los problemas y permite que el estudiante
pueda trasladar lo aprendido a situaciones que se presentan en la realidad.
Ejemplo:
66 | P á g i n a
Además del mencionado enunciado, cada ejercicio trae una figura que
representa las condiciones del problema a resolver.
Las integrales para resolver ya vienen enunciadas en el problema, y siguen el
formato de presentación de la secuencia didáctica, esto es, se forman
directamente a partir de las ecuaciones de las rectas que acotan el área
mencionada en el problema.
La rutina presenta ayudas para que el estudiante pueda calcular con éxito las
integrales y tiene dos modos de presentación.
El primer modo de presentación lo utiliza en las preguntas 1 a 3, donde el programa
además de dar las indicaciones correspondientes para que el estudiante pueda
resolver las integrales, enuncia las propiedades de las integrales a partir de las
67 | P á g i n a
cuales se puede concluir el siguiente paso. Estas ayudas se activan en un pequeño
pizarrón verde que aparece cuando el estudiante pulsa sobre un botón como el
siguiente:
Note que, en esta ventana, se dan las indicaciones para resolver la actividad (letras
rojas), lo cual se consigue si el estudiante pulsa sobre las letras que aparecen de
color rojo y responde con el número o la expresión algebraica correcta.
El otro modo de presentación se activa en los problemas 4 a 12, dónde el
programa, aunque presenta ayudas, estas intentan ser menores y busca que el
estudiante se centre en la resolución de los problemas de manera directa.
68 | P á g i n a
Dicha ventana presenta el pizarrón verde de área mayor para la resolución de los
problemas. El cálculo de las integrales se va efectuando de manera secuencial y
se mantienen los pasos en pantalla para que el estudiante pueda visualizar todo el
trabajo realizado en la resolución de cada problema.
De igual forma que la modalidad anterior, la resolución del problema se consigue
si el estudiante resuelve de manera correcta las operaciones aritméticas y
algebraicas, así como usa las propiedades de las integrales para completar los
espacios señalados en rojo.
69 | P á g i n a
Objetivo de la actividad
Esta actividad tiene por objetivo que el alumno interiorice el cálculo de integrales
a través de la resolución de problemas característicos que se le presentan.
Sugerencias didácticas
Esta actividad puede resolverse sin ayuda de un asesor ya que la rutina presenta
las ayudas y sugerencias necesarias para que el estudiante complete la tarea de
manera autónoma.
Es necesario que el alumno tenga conocimientos solidos de aritmética y algebra,
tal como lo establecen los requisitos para ser candidato al estudio de esta
secuencia, pues empleara en varios de los pasos presentados por la actividad esos
conocimientos, en particular usara operaciones con exponentes, resolución de
fracciones, divisiones y sumas algebraicas, así como leyes de los signos.
Dicha actividad no se presenta en formato aleatorio, ya que debido a su extensión
puede ser resuelta en dos o tres intentos y el alumno puede continuarla a partir del
problema en el cual se quedó.
Se recomienda que el alumno resuelva todos los problemas que se le presentan en
el ejercicio y al finalizar el mismo intente resolverlos con ayuda de papel y lápiz para
reforzar lo aprendido.
70 | P á g i n a
Memorama de equivalencias en Integrales
Descripción de la actividad
La actividad es el clásico juego de memorama, en el cual se deben voltear dos
tarjetas por cada tiro y verificar si estas hacen par, es un juego diseñado para un
solo jugador, y los pares a formar son equivalencias de propiedades de las
integrales. El juego contiene las 7 equivalencias más usuales que se presentan en
la resolución de problemas de cálculo de áreas de regiones triangulares.
Es una forma lúdica de familiarizarse con las propiedades básicas de las integrales
que se desarrollan a lo largo de la propuesta. Este juego contabiliza el número de
intentos que se realizaron para completar la tarea.
No tiene un límite de intentos, ni tampoco cuenta con un tiempo de resolución de
la actividad.
71 | P á g i n a
Objetivo de la actividad
Esta actividad permite que el estudiante tenga presentes las equivalencias y
propiedades más importantes que se desarrollan a lo largo de la propuesta de una
manera divertida.
Sugerencias didácticas
Esta actividad debe desarrollarla el estudiante de manera autónoma.
La repetición de esta facilitará la asimilación de los conceptos presentado y
proporcionaran al estudiante un momento de relajación que le permitirá continuar
con las actividades con interés.
El instructor puede darles un tiempo determinado para realizar la actividad si
considera que el estudiante ha superado el reto.
72 | P á g i n a
Registro de los resultados
El programa didáctico está diseñado para llevar un registro de los resultados de los
educandos, el cual se imprime una vez que el estudiante entra a la sección de
resultados de la aplicación en cada rutina. Dicho registro se almacena en el disco
duro de la computadora que este ejecutando el programa, la ruta para
encontrarlo siempre será C:\Prueba\prueba.txt. Esta carpeta se crea
automáticamente una vez iniciado el programa y la aplicación sobre escribe en el
archivo para evitar la pérdida de los datos.
Este archivo prueba.txt contiene los resultados de cada actividad, contabilizando
el número de aciertos y errores. Cada apartado se compone del nombre del
educando, el número de la actividad, la fecha y hora de realización y el número
de aciertos y errores tal y como se visualizan en las ventanas correspondientes del
programa al finalizar cada actividad.
Este archivo le permitirá al asesor o tutor un mayor control sobre las actividades y
ejercicios realizados por los estudiantes y permitirá la depuración del software si así
se amerita.
73 | P á g i n a
Capítulo 3
Protocolo de
investigación
Introducción
El presente protocolo es una guía para realizar una investigación sobre la propuesta
didáctica “La Integral definida de Riemann para funciones lineales y el área bajo
la curva”, esta propuesta presenta los conceptos y la simbología usados en el
cálculo de integrales definidas y requiere una investigación que verifique el
cumplimiento de sus objetivos, a saber, la asimilación del concepto de integral
como área bajo la curva y el cálculo de áreas de regiones triangulares. Esto
conllevará a la realización de ajustes y mejoras que permitan que la propuesta
cumpla de forma eficaz los objetivos planteados y depurar el proceso de
enseñanza-aprendizaje que ayude a los educandos en la comprensión de los
conceptos presentados en la misma
74 | P á g i n a
Justificación
La presente investigación busca conocer la eficacia de la propuesta
computacional “La integral definida de Riemann para funciones lineales y el área
bajo la curva”, lo cual llevará a la mejora de la misma y el desarrollo de las
actividades pertinentes que ayuden a mejorar el proceso de enseñanza-
aprendizaje, así como permitirá la depuración del software que se desarrolló para
la asimilación de los conceptos, así como los procesos involucrados en la
evaluación de las actividades a realizar, lo cual podría ayudar a la impartición de
este método en aulas que estén interesadas en el aprendizaje de este método de
resolución de problemas de áreas bajo la curva con el uso de integrales definidas.
Preguntas de investigación
¿Qué grado de asimilación tendrán los estudiantes del concepto de
integrales visto como área bajo la curva, si los estudiantes usan la propuesta
didáctica presentada, comparado con otro grupo de estudiantes que curso
un curso convencional?
¿La propuesta didáctica permite al estudiante resolver de forma eficaz
problemas que involucren el cálculo de áreas triangulares?
Objetivo general de la investigación
Indagar sobre el grado de asimilación de los estudiantes con el método
presentado por la propuesta didáctica para la resolución de áreas
triangulares haciendo un estudio comparativo con estudiantes que han
recibido una instrucción convencional.
75 | P á g i n a
Objetivos específicos de la investigación
Para asegurarnos de cumplir con el objetivo general de la investigación se prestará
atención a las 3 etapas para la resolución de problemas de cálculo de integrales,
tal como en la propuesta computacional, y se verifica la asimilación de estas, a
saber: representación de la región triangular, formación de las integrales y cálculo
de la integral.
Analizar la eficacia del estudiante en la representación de regiones
triangulares.
Conocer el grado de habilidad del estudiante para formar integrales.
Comprobar que el educando sea capaz de resolver integrales definidas.
Hipótesis de investigación
La propuesta computacional mejora el grado de asimilación del tema integrales
definidas de Riemman como área bajo la curva con respecto al método
convencional.
Metodología de investigación
La investigación comparará el promedio de los resultados obtenidos por dos
poblaciones de estudiantes, mediante la aplicación de un examen que se
resolverá con lápiz y papel y ayuda del ordenador para graficar, a los cuales se les
presentaran problemas que busquen conocer su habilidad en 3 áreas que son
necesarias para la resolución de problemas de cálculo de áreas bajo la curva,
76 | P á g i n a
Población
La primera población estará conformada por 16 estudiantes que estén cursando o
hayan cursado el 5 semestre de un bachillerato con sistema escolarizado y tengan
una edad entre 17 y 19 años y hallan recibido un curso convencional de Cálculo
Integral, el cual por lo general se imparte en dicho semestre del bachillerato y tiene
como antecedente un curso de Cálculo Diferencial, la selección de estudiantes
debe ser aleatoria y provenientes de la misma institución académica con el mismo
maestro.
La segunda población consistirá de 16 estudiantes entre 17 y 19 años de edad que
hayan recibido la instrucción presentada por la propuesta computacional y no
hayan recibido previamente un curso de Cálculo Integral impartido por alguna
institución académica, sin embargo dichos estudiantes deben haber sido
seleccionados para recibir la instrucción basada en la propuesta, es decir deben
contar con los conocimientos previos requeridos como son: haber tomado un curso
de álgebra general y conocer el tema de representación de ecuaciones por medio
de gráficas, la elección de estos estudiantes debe ser al azar.
Instrumento de evaluación
El instrumento de evaluación es un cuestionario de 10 preguntas que consta de las
siguientes competencias a evaluar:
Representación gráfica de la región triangular (3 ejercicios)
Formación de las integrales (3 ejercicios)
Cálculo de la integral (4 ejercicios).
Dicho cuestionario de evaluación se puede ver en el Apéndice A.
La calificación se obtendrá sumando el número de acierto de cada pregunta,
cada acierto vale un punto y el valor final será un número entre 0 y 10. El tiempo de
aplicación debe ser a lo más de 2 horas.
77 | P á g i n a
Tratamiento
Tratamiento I
El primer grupo habrá cursado un curso convencional de Cálculo Integral y se les
aplicara una prueba escrita, la cual le permitirá decidir entre el uso del software
GeoGebra u otro software de su preferencia o papel y lápiz para realizar la
representación gráfica, a los estudiantes se le aplicara el cuestionario de
evaluación.
Tratamiento II
El segundo grupo habrá recibido la instrucción basada en la propuesta
computacional y se le aplicará el mismo ejercicio de evaluación consistente de 10
preguntas dividido como se menciona en la sección Instrumento de evaluación,
solo que en su caso se le pedirá la representación gráfica por medio del uso del
software de GeoGebra.
Condiciones en las que se trabajara
Los estudiantes realizaran la prueba, cada grupo por separado, no se permitirá la
comunicación entre ellos y pueden hacer uso del ordenador y algún software para
graficar como GeoGebra u otro que se encuentre disponible en la red de Internet,
esto para el grupo 1, el grupo 2 usara el software de GeoGebra obligatoriamente.
El uso del ordenador será exclusivo para los problemas que requieren la
representación gráfica del problema, cualquier otro uso del ordenador conlleva la
cancelación de la prueba y que se seleccione otro estudiante para dicho grupo.
Cada acierto equivale a un punto en el cuestionario, no se aceptan respuestas
incompletas.
78 | P á g i n a
Variables
Número de aciertos y número de errores generados en la prueba de evaluación.
Número de aciertos y número de errores generados por los estudiantes en el
transcurso del desarrollo de las actividades en el reporte generado por el software
de instrucción propuesto para el grupo 2.
Saberes previos de los estudiantes, de ser posible conocer el desempeño
académico de los estudiantes en los cursos que sean requerimientos previos para
aplicar la instrucción y/o en el curso de Cálculo Integral para los estudiantes del
grupo 1.
Diseño estadístico
Con objeto de averiguar si existe una diferencia significativa en el desempeño de
ambos grupos de trabajo, a las pruebas realizadas por los estudiantes se les aplicará
la prueba t-student con un nivel de confianza del 95% de que efectivamente existe
una diferencia significativa.
Para realizar dicho análisis primero se comprobará la Igualdad de Varianzas
Poblacionales:
Se tiene que verificar que las varianzas poblacionales (�� ) son iguales para lo cual
se utiliza la distribución F de Fisher y la prueba para la diferencia entre dos varianzas
poblacionales, donde:
La hipótesis de investigación es:
�′�:��� ≠ ��
� las varianzas son diferentes.
Y la hipótesis nula es:
�′�: ��� = ��
� las varianzas son iguales.
79 | P á g i n a
�′� es verdadera si:
�´=��
�
��� < ����,���
= �(15,15) con � = 0.05 en una cola
Con los grados de libertad dados por:
��� = �� − 1 y ��� = �� − 1
Una vez realizada esta prueba se sigue el procedimiento de la prueba t-Student:
Si el estadístico cae dentro del intervalo dado por la distribución t-student, se
acepta la hipótesis �� en caso contrario se rechaza.
donde
con:
����� : Media muestral de la población del grupo 1.
�����: Media muestral de la población del grupo 2.
�� : El número de elementos de la población del grupo 1.
�� : El número de elementos de la población del grupo 2.
��� : La varianza de la población del grupo 1.
��� : La varianza de la población del grupo 2.
Recordemos que la media muestral se obtiene con la siguiente fórmula:
��=∑ ��
����
�
� =�����− ��
���
��̂�
��+
�
��
� =̂ �(�� − 1)��
� + (�� − 1)���
�� + �� − 2
80 | P á g i n a
Donde los �� ��� �= 1, … , 10 son las calificaciones obtenidas por cada grupo, y
además la varianza se calcula con la fórmula:
�� =∑ (��− ��)��
���
� − 1
Los grados de libertad están dados por la formula
� = �� + �� − 2
La hipótesis de trabajo �� es que el grado de aprovechamiento del grupo 2 es
mayor que el del grupo 1
��: �� < ��
Entonces probaremos la negación de ��, conocida como ��.
La negación es que el grado de aprovechamiento del grupo 1 es mayor o igual que el del grupo 2.
��:�� ≥ ��
Para realizarlo:
Se procede a calcular las medias.
Se calculan las varianzas muestrales.
Se verifica que las varianzas poblacionales (�� ) son iguales con ayuda de la
distribución F de Fisher.
Continuando con la prueba de la distribución t-student si las varianzas son iguales,
se calcula �.̂
Se calcula el estadístico �.
Se calculan los grados de libertad.
Se realiza la comparación del intervalo.
81 | P á g i n a
Ejemplo del análisis
Como un ejemplo de cómo se hace el análisis del presente estudio, se toma un
ejemplo ficticio del desarrollo de la investigación, en nuestro ejemplo se obtuvieron
las calificaciones de los dos grupos muestra que poseen las características
mencionadas previamente, después de aplicarles el instrumento de evaluación, se
obtuvieron los siguientes resultados:
Método convencional
(Grupo 1)
Propuesta computacional
(Grupo 2)
7 8
8 10
7 9
8 10
8 9
6 8
9 9
6 9
8 10
7 9
10 7
9 8
8 9
8 8
6 7
8 8
Primero calculemos la media y varianza de ambos grupos:
La media aritmética del grupo 1 es igual a:
������=
7+ 8+ 7+ 8+ 8+ 6+ 9+ 6+ 8+ 7+ 10+ 9+ 8+ 8+ 6+ 8
16=
123
16= �.����
82 | P á g i n a
Y la varianza muestral del grupo 1 es de:
��� =
(7− 7.6875)� + (8− 7.6875)�+(7− 7.6875)�+(8− 7.6875)� + (8− 7.6875)�
15+ ⋯
+ ⋯(6− 7.6875)� + (9− 7.6875)�+(6− 7.6875)�+(8− 7.6875)� + (7− 7.6875)� + (10− 7.6875)�
15+ ⋯
+ ⋯(9− 7.6875)2 + (8− 7.6875)2+(8− 7.6875)2+(6− 7.6875)2 + (8− 7.6875)2
15=
19.4375
15
��� = �.������
La media aritmética del grupo 2 es igual a:
������=
8+ 10+ 9+ 10+ 9+ 8+ 9+ 9+ 10+ 9+ 7+ 8+ 9+ 8+ 7+ 8
10=
138
16= �.���
Y la desviación estándar de este grupo es de:
��� =
(8− 8.625)� + (10− 8.625)�+(9− 8.625)�+(10− 8.625)� + (9− 8.625)�
15+ ⋯
+ ⋯(8− 8.625)� + (9− 8.625)�+(9− 8.625)�+(10− 8.625)� + (9− 8.625)� + (7− 8.75)�
15+ ⋯
+ ⋯(8− 8.625)2 + (9− 8.625)2+(8− 8.625)2+(7− 8.625)2 + (8− 8.625)2
15=
13.75
15= 0.916�
��� = �.����
Ahora veamos que las varianzas poblacionales son iguales:
La hipótesis es:
�′�:��� ≠ ��
� las varianzas son diferentes.
Y la hipótesis nula es:
�′�: ��� = ��
� las varianzas son iguales.
�′� es verdadera si:
�′ =��
�
��� < �(���, ���) con � = 0.05 en una cola
Como �� = � − 1, se tiene que:
��� = 16− 1 = 15 y ��� = 16− 1 = 15
83 | P á g i n a
De tablas sabemos que �(15,15) con � = 0.05 en una cola es de �(15,15) = 2.40
Como:
�′ =�.����� ̅
�.��� ̅= 1.4136����< 2.40
Concluimos con 95% de confiabilidad que las varianzas muestrales son iguales.
Ahora probaremos que el grado de aprovechamiento del grupo 1 es menor que el
grado de aprovechamiento del grupo 2.
La hipótesis es:
Se procede a probar la negación que es que el grado de aprovechamiento del
grupo 1 es mayor o igual que el del grupo 2.
��:�� ≥ ��
Se calcula �:̂
� =̂ �(15)(1.29583�) + (15)(0.916 )̅
16+ 16− 2= 1.0517
Y ahora calculamos el estadístico:
� =7.6875− 8.625
(1.0517)��
��+
�
��
= −2.5212
Los grados de libertad son:
� = 16+ 16− 2= 30
��: �� < �� el grado de aprovechamiento del grupo 2 es mayor que el del grupo 1.
84 | P á g i n a
Se tiene la siguiente gráfica de la distribución t-student con 30 grados de libertad
De tablas sabemos que si el estadístico t es mayor que -1.697260887 se acepta la
hipótesis ��
Como el estadístico −2.5212< −1.697260887 se rechaza la hipótesis �� y se acepta
��. Es decir, el grado de aprovechamiento del grupo 2 es mayor o igual que el del
grupo 1.
Decisión en el ejemplo del análisis
Con el 95% de confianza podemos decir que el grado de aprendizaje del grupo 2
(Propuesta computacional) es mayor que la del grupo 1 (Método convencional)
esto quiere decir que la propuesta computacional “La integral de Riemann para
funciones lineales y el área bajo la curva” tuvo éxito y es útil para ayudar a los
estudiantes a asimilar los conceptos y la simbología usada en el Cálculo Integral y
les muestra un método para el cálculo de áreas bajo la curva, es decir la propuesta
cumple los objetivos planteados.
85 | P á g i n a
Apéndice A Ejercicios de evaluación
1. Se desea pintar la parte superior de un llavero como se muestra en la figura.
Observe que es un triángulo equilátero dividido a la mitad horizontalmente.
Encuentre las rectas que delimitan la figura y sus intervalos correspondientes en el
eje x de modo que sea posible formar dos integrales que nos ayuden a calcular su
área. El vértice inferior izquierdo debe de estar en el origen.
2. Una joven piensa hacer un adorno para su falda con el diseño que se muestra
en la siguiente figura. Encuentre las rectas que delimitan las 2 regiones que se
necesitan para formar las integrales que nos ayudaran a calcular su área y los
intervalos en el eje x. Note que el segundo cuadrado esta inclinado un ángulo de
45°. El vértice inferior izquierdo del cuadrado horizontal debe estar colocado en el
origen y el punto de intersección de ambos cuadrados tiene como coordenadas
� = (4.14,10).
86 | P á g i n a
3. Una estudiante piensa hacer el siguiente diseño en una tarjeta, encuentre las
rectas que acotan las 2 regiones necesarias para formar las integrales que nos
ayudaran a encontrar el área de la figura, y los intervalos en el eje x. Note que la
diagonal principal está dividida en 3 partes iguales. El vértice inferior del rectángulo
debe estar en el origen. Las coordenadas de los puntos � y � son: � = (2.67,1) y
� = (5.33, 2)
4. Forme la integral para encontrar el área de la siguiente región:
87 | P á g i n a
7. Forme la integral para encontrar el área de la siguiente región:
5. Forme la integral para encontrar el área de la siguiente región:
7. Encuentre el valor de la siguiente integral:
�[(3� − 2) − (2� + 7)]
�
���
��
88 | P á g i n a
8. Encuentre el valor de la siguiente integral:
� [(8� + 3) − (−2� + 4)]��
�
���
9. Encuentre el valor de la siguiente integral:
� [(4� + 1) − (2� − 2)]
�
����
��
10. Encuentre el valor de la siguiente integral:
�[(4) − (4� − 8)]
�
���
��
89 | P á g i n a
Referencias Apostol, T. M. (2007). Calculus, Volumen 1, One-variable Calculus, with an
Introduction to Linear Álgebra. John Wiley & Sons.
Castillo, S. (2008). Propuesta pedagógica basada en el constructivismo para el uso
óptimo de las Tic en la enseñanaza y aprendizaje de las matemáticas.
Relime vol. 11. no. 2.
Feo, R. (2010). Orientaciones básicas para el diseño de estrategias didácticas.
Granville, W. A. (1980). Cálculo diferencial e integral. DF: Limusa.
Parra, D. M. (2003). Manual de estrategias de enseñanza/aprendizaje.
Schunk, D. H. (1997). Teorías del aprendizaje. Pearson education.
Spiegel, M. R. (1991). Estadística. McGraw-Hill Interamericana.
Wofle, C. R. (s.f.). Using Authorware Professional for developing coursewsare.
Behavior Research Methods, Instruments, & Computers.