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EJEMPLO Una tienda departamental desea conocer los mínimos a pagar en pesos, de los
clientes que tienen tarjeta de crédito de la tienda. Se toma una muestra elegida
al azar de la base de datos del departamento de crédito y se obtuvieron los
siguientes datos:
960 2130 1190 1500 1750 1720 1020 1650 1970 820 1570 1580 1680 1830 1590 1230 1110 1530 1630 1910 1410 1710 1660 1370 1510 1300 1210 1480 2060 1290 950 1850 2020 1270 1300 1140 1430 1440 1160 1670
1080 1490 900 1780 1090 1390 1350 1870 1470 1490
Solución: 1. Determine en cuantas clases se van a resumir los datos. En este caso se van a resumir en 7 clases, como lo indica la actividad. 2. Se obtiene el valor máximo y el valor mínimo de los datos obtenidos en la muestra.
Actividades:
a. Resumir los datos en una tabla de distribución de frecuencias que contenga 7 clases.
b. Calcule las medidas de tendencia Central c. Calcule las medidas de dispersión d. Determine el Cuartil 1 y 3.
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3. Se calcula la Amplitud de clase:
La amplitud es de 190 $
4. Se elabora la Distribución de frecuencias: Se determinan los límites inferiores y superiores de clase. Considerando que
no hay indicaciones de que valor es el límite inferior de la primera clase, se
establece este límite, con el dato menor y se le suma la amplitud para
determinar el segundo límite inferior (820 + 190) = 1010, a este valor se le
suma la amplitud para determinar el límite inferior de la tercera clase (1010 +
190) = 1200, y así sucesivamente hasta determinar el resto de los límites
inferiores.
Amplitud = 190 $
5. Se realiza el conteo para determinar la Frecuencia Absoluta
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6. Para calcular las medidas de Tendencia central, iniciamos determinando las marcas de clase (Xi).
91521010820
2....
=+
=+
=sLiLXi
A la primera marca de clase (915)
se le suma la amplitud para
determinar la segunda (915 + 190
= 1105), a esta se le suma
nuevamente la amplitud para determinar la tercera y así sucesivamente hasta
calcular todas las marcas de clase.
Calculo de las medidas de tendencia central. 7.- Para Calcular la media aritmética
Se multiplica la Frecuencia por la marca de clase de todas las clases (Fi × Xi).
Se suma (Fi × Xi).
nXiFi
x ∑ ×= Se calcula la media sustituyendo en la fórmula:
Por lo tanto
pesosn
XiFix 4.1477
5073870
==×
= ∑
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7.- Para Calcular la mediana
Se determina la Frecuencia absoluta (Fa)
• Se localiza en que clase se encuentra la mediana con la fórmula:
2
1~
+=
nLocx
Ampfm
Cn
Lix ×−
+= 2~ Se calcula la media sustituyendo en la fórmula:
la mediana se encuentra en la posición 25.5 y esta
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localizada en la clase # 4.
8- Para Calcular la moda
Se localiza en que clase se
encuentra la moda. La moda se
localiza en clase que tiene la
frecuencia absoluta mayor.
Se calcula la moda sustituyendo en
la fórmula:
5.2522
11~ ===Locx
50 ++n
pesosx 148519012
192
50
1390~ =×−
+=
Ampdd
dLiModa ×
++=
21
1
pesosModa 7.151619024
41390 =×+
+=
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Calculo de las medidas de dispersión. 9. Para calcular la Varianza.
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A cada marca de clase se le resta la media aritmética: )( xXi −
Las diferencias se elevan al cuadrado:
Las diferencias elevadas al cuadrado se multiplican por Fi:
2)( xXi −
FixXi ×− 2)( Se sustituye en la fórmula
1)( 2
2
−
×−= ∑
nFixXi
S
10. Para calcular la desviación estándar.
varianza.
e sustituye en la fórmula:
Se saca la raíz cuadrada a la
S
Recuerde que la media es: pesosx 4.1477=
1−n)( 2 ×−
= ∑ FixXiS
pesosS 76.31845.610,101 == Por lo tanto la desviación estándar es:
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11. Para calcular el coeficiente de
e sustituye en la fórmula:
alculo de los Cuartiles.
Se localiza en que clas
variación.
S100×=
xCV S
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C
12. Para calcular el Cuartil 1
Se determina la Frecuencia absoluta (Fa)
e se encuentra el Cuartil 1 con la fórmula: 141Q
×=Loc
e dete sustituyendo en la fórmula:
.5 y esta localizada en la
lase # 3.
n
S rmina el Q1
el Cuartil 1 se encuentra en la
posición 12
c
Recuerde que la media es pesosx 4.1477=
Y la desviación estándar es: pesosS 76.318=
Por lo tanto el coeficiente de variación es: 58.2110076.318=×
El coeficiente de variación es de 21.58%
4.1477=CV
pesosQ 6.12351908
12001 =×+= 115.12 −
Ampfm
LiQ ×CLocQ −
+=11
5.12141 =×=QLoc 50
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13. Para calcular el Cuartil 3
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Se determina la Frecuencia absoluta (Fa)
Se localiza en que clase se encuentra el Cuartil 3 con la fórmula:
e determina el Q3 sustituyendo en la fórmula:
l Cuartil 3 se encuentra en la posición 37.5 y esta localizada en la clase # 5.
se de datos del departamento de ventas, obteniéndose los
iguientes datos:
7 9 9 4 11 6 8 8 10 8 7 5
S
e
EJEMPLO Una agencia de autos toma desea saber las ventas logradas por una muestra
de vendedores en el ultimo mes. Para tal efecto se tomo una muestra de 12
registros de la ba
s
343 ×=LocQn
Ampfm
CLocLiQ Q ×
−+= 3
3
5.37343QLoc 50
=×=
pesosQ 9.1610190101 =×+= 315.37 −1580
Actividades:
a. Calcule las medidas de tendencia Central b. Calcule las medidas de dispersión
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Ejemplos Paso a Paso http://www.cuautitlan.unam.mx
alculo de las medidas de tendencia central.
e e le número de datos.
e sustituye en la siguiente fórmula:
4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 10 11
iana
e ordenan los datos.
cuando n es par, se suman los dos
e sustituye en la formula
or lo tanto la Medina es 8 autos.
C 1.- Para Calcular la media aritmética
Se suma el total de todos los datos y s divide entr
S
nx
x ∑=
autosx 67.79257810886114997==
n 12+++++++++++
=
2. Para Calcular la med
S
Considerando que estamos en el caso
datos centrales y se divide entre dos
S
autosMediana 888=
2+
=
P
3. Para Calcular la moda se obtiene el dato que se repite más veces
Por lo tanto la Moda es 8 autos.
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Ejemplos Paso a Paso http://www.cuautitlan.unam.mx
alculo de las medidas de dispersión.
para obtener las desviaciones.
s.
Se sustituye en la siguiente fórmula:
7 9 9 4 11 6 8 8 10 8 7 5
ecuerde que la media es
vari
e sustituye en la fórmula:
e d
e sustituye en la fórmula:
C
1.- Para Calcular la Varianza.
A cada dato se le resta la media aritmética
Las desviaciones se elevan al cuadrado.
Se suman las desviaciones cuadrática
1−
=)( 2
2 −∑n
S xx
R
2. Para calcular la desviación estándar.
Se saca la raíz cuadrada a la anza.
S
3. Para calcular el coeficient e variación.
S
autosx 67.712
==92
222222
2 08.4112
)67.75()67.77(...)67.79()67.79()67.77( autosS =−
−+−++−+−+−=
Por lo tanto la varianza es 2.02 autos2.
1−=
nS
)( 2−∑ xx
Por lo tanto la desviación estándar es: autosS 02.208.4 ==
100×=Sx
CV
Recuerde que la media es autosx 67.7= =
Por lo tanto el coeficiente de variación es:
Y la desviación estándar es: autosS 02.2
El coeficiente de variación es de
26.34% 34.2610067.7
CV 02.2=×=
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4. Para calcular el rango.
Se determina el dato mayor y el dato menor de los datos.
Ejemplos Paso a Paso http://www.cuautitlan.unam.mx
ir el banco le pago 16, 27, 10, 14, 8 y 6% de
terés anual, durante esos años.
ar el factor de crecimiento promedio correcto se utiliza la media
, 1.27, 1.10, 1.14, 1.08,
Por lo tanto la Media Geométrica es:
Se sustituye en la fórmula: mayorDatoR menorDato−=
Por lo tanto el rango es: autosR 7411 =−=
EJEMPLO El profesor Garibay abrió una cuenta de ahorros en el banco de la ilusión con
1000 pesos dejando que se acumulen los intereses durante seis años a
diferentes tasas, por lo que los factores de crecimiento resultaron ser: 1.16,
1.27, 1.10, 1.14, 1.08, 1.06, es dec
in
Para encontr
Actividad:
a. Calcular el factor de crecimiento promedio.
geométrica. x valoreslostodosdeproductoGM =.. xde Se sustituye en la fórmula:
En este caso los valores de x son: 1.16 1.06,
Por lo tanto la tasa de
correcta es de 13%
anual
interés promedio
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Ejemplos Paso a Paso http://www.cuautitlan.unam.mx
se venden en la
cafetería de la Facultad. Se obtuvieron los siguientes datos:
os datos como una
oblación.
as medidas más adecuadas son:
e di e le número de datos.
e sustituye en la siguiente fórmula:
EJEMPLO Se desea saber los precios que tienen las bebidas que
Considere l
Tipo de bebida Precio $ Botella agua 1/2 litro
itros
Té helado Nestea 12.0
7.5 10.0 Refresco en lata
Café Capuchino 15.0 Refresco 600 ml
1.5 l8.0
Botella agua 12.0 Café Americano 8.0 Vaso Leche Té de manzanilla
4.5 6.0
p
Actividad: Calcular la medida de tendencia central y de dispersión que considere más apropiada.
L
1.- Para Calcular la media aritmética
Se suma el total de todos los datos y s vide entr
S
Nx∑=μ
pesosN
22.99830.120.65.40.80.120.80.150.105.7
==++++++++
=μ
Por lo tanto la media es de 9.22 pesos.
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Ejemplos Paso a Paso http://www.cuautitlan.unam.mx
. Para Calcular la Desviación estándar
para obtener las desviaciones.
s.
Se sustituye en la siguiente fórmula:
7.5 10.0 15.0 8.0 12.0 8.0 4.5 6.0 12.0
2
A cada dato se le resta la media aritmética
Las desviaciones se elevan al cuadrado.
Se suman las desviaciones cuadrática
N
X∑ − 2)( μ =σ
Recuerde que la media es pesosx 22.9=
pesos13.39
==σ )22.912()22.96(...)22.915()22.910()22.95.7( 22222 −+−++−+−+−
Por lo tanto la desviación estándar es 3.13 pesos.