Un modelo de depredación con densidad umbral de presas en el predador
Héctor Meneses Alcay y Eduardo González Olivares Grupo Ecologia Matemática, Instituto de Matemáticas Pontificia Universidad
Católica de Valparaíso [email protected], [email protected] ;http://ima.ucv.cl
En este trabajo analizamos un modelo predador – presa del tipo Gause con respuesta funcional de los depredadores del tipo Holling II y efecto Allee sobre los predadores. También consideramos la población de presas afectada por la inmigración o emigración.
El comportamiento del sistema es altamente dependiente de este efecto y además mostramos la existencia de un único ciclo límite.
Hacemos un estudio del modelo propuesto por Kent, el cual asume el efecto Allee sobre la población de depredadores y su comporta-miento está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.
y
Qhx
xPQ
td
yd
Qhx
yxQ
K
xxr
td
xd
1
11
y,P,h,Q,K,r donde 6
El sistema está definido en el primer cuadrante
22 }0y ,0 x/ )y,x( {
y los parámetros tienen los siguientes significados biológicos.
r es la tasa intrinseca de crecimiento de las presas
K capacidad de soporte del medio
es la tasa de inmigración o emigración
Q tasa de conversion en nuevos depredadores por consumo de presas
h tiempo de captura por cada presa encontrada
P promedio de busqueda del depredador
a = 1 / Qh es la cantidad de presas para alcanzar
la mitad de Q ( tasa de saturación media )
Los puntos de equilibrio del sistema son :
0;P
0;
1P Qh Qh
0;KP K
QhKQh
ry
eyxP
e
eee
11
xdonde; e
K sisóloysi0y Entonces e
El sistema no es del tipo Kolmogorov, excepto
cuando = 0
ycax
xp
td
yd
ax
yxq
K
x1r
td
xd
x
yc
ax
n-xp
td
yd
ax
yxq
K
x1r
td
xd
1
1
x
El sistema es topologicamente a :
y
LEMA 1
En orden a analizar el sistema y simplificar los calculos hacemos una reparametrización dada por la función
:
t,y,xr
K
au
,vq
rK,Ku,,
vu
donde
0K
au,v,uDdet
q
K
y se tiene
Es decir , es un difeomorfismo y el campo vectorial en el nuevo sistema de coordenadas es topologicamente equivalente al campo vectorial Y = o X y tiene
asociado un polinomio de tercer grado al sistema de ecuaciones diferenciales
vC-uBtd
vd
vuuu1Eutd
ud
:YE
A
donde,E yB,C,Aνcon 3
p
cK
a
p
c
p
cA
K
1Cand-1
r
pB;1
K
a;E
0,P E E 0,1P 1 0,P A A
CACC
Cvu ee
1EC
v
yu donde;P
e
ee
y los puntos de equilibrio son :
EA-v-EAuA-E-12u3a
cCuBvB
uav,uYD
211
11
on
La matriz Jacobiana es
Considerando en el sistema E > 0 , se tienen los siguientes resultados
LEMA 2
Principales resultados
invarianteregión una es
0;10/v,u conjunto El) a 2 vu
b ) Las soluciones son acotadas
LEMA 3
El punto P1=(1 , 0 ) es
a ) Un pun to silla si C < 1
b ) Un nodo atractor si C > 1, e implica la no existencia de un punto de equilibrio en el primer cuadrante
En lo que sigue consideraremos que C < 1 , y para simplificar haremos E = A > 0, esto quiere decir que la interacción entre las especies está afectada por el fenómeno de la inmigración
vC-uBdv
uvAuu1dt
du 2
dt
Y
C-uBBv
u-A-v-2AuA2-12u3v,uYD
es jacobiana matriz la22
Entonces tenemos el caso particular, con dos parámetros
Dados por el sistema
3C-14C,C y0,A-
:son equilibrio de puntos losy
LEMA 4 :e0, P punto El A sA
a ) Un punto de equilibrio atractor si y sólo si C > A > 1/ 2
b) Un punto de equilibrio repulsor si y sólo si C > A > 1 / 2
c ) Es un punto silla si y sólo si, A < 1 / 2 y A < C
o bien A > 1 / 2 y A > C
LEMA 5
La singularidad ( C , 4C( 1 – C ) 3) es un punto de equilibrio atractor si y sólo si A + 2 C2 – C > 0
LEMA 6
a ) Si ( C , 4C ( 1- C ) 3 es un punto de equilibrio repulsor no puede coexistir con ( - A , 0 ) repulsor , atractor o bien punto silla cuando A > C y A > 1 / 2
b ) Un punto de equilibrio repulsor rodeado de un
ciclo límite si y sólo si A + 2 C 2 – C < 0
LEMA 7
b ) ( - A , 0 ) es silla si A < C y A > 1 / 2 , entonces puede coexistir con
( C , ( 1 – C ) 3 ) cuando es un punto de equilibrio atractor
Cuando el punto ( - A , 0 ) es un punto silla , esto es , si A < C y A < 1 / 2 , la variedad estable W s de este punto determina una curva separatríz en el plano de fase que divide el comportamiento de las trayectorias
A = 0.6 ; C= 0.7
2
3
2 , si sóloy si
orden primer de débil focoun esC-14C,C punto El
CCA
TEOREMA 8
Consideremos ahora cuando hay emigración, es decir, si E < 0, y el sistema de ecuaciones diferenciales es :
vC-uBtd
vd
vuuu1Eutd
ud
:YE
A
donde,E yB,C,Aνcon 3
p
cK
a
p
c
p
cA
K
1Cand-1
r
pB;1
K
a;E
y los puntos de equilibrio son :
Es decir < 0, y graficamente se tiene:Isoclina predador
-0.2
-0.10
0.1
0.2
0.3
Predador
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1PresasEA
Pe= ( ue , ve )
C
Isoclina presas
Consideraremos - E < C < 1, en los otros casos el punto no trivial queda en el IV cuadrante
Principales resultados
LEMA 9
Los puntos de equilibrio P1( 1 , 0 ) y PE ( - E , 0 ) son puntos silla
LEMA 10 Sea um donde la isoclina de las presas tiene un máximo relativo, entonces :
a ) Si - E < C < um entonces Pe= ( ue , ve ) es repulsor
A=0.5 ; E=- 0.4 ; C = 0.5
A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.65
A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.7
b ) Si um < C < 1 entonces Pe= ( ue , ve ) es un
atractor local
c ) Si C = um, entonces Pe(ue, ve) es un foco débil de
primer orden.
A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.67982 = um