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TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA
(Segunda parte)(Segunda parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
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2
INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
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1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOSY DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2.2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3.3. R.T. DEL ÁNGULO MITADR.T. DEL ÁNGULO MITAD
4.4. TEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL SENO
5.5. TEOREMA DEL COSENOTEOREMA DEL COSENO
6.6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE
HERONHERON
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4
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
P
B
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.
O B
BPsen
O B
s e nc o sO Bc o ss e nO B
O B
s e nO Ac o sA B
sencoscossensen
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.
O B
A NA M
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5
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
P
B
Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.
O B
BMO N
O B
NPO N
O B
O Pcos
O B
s e ns e nO Bc o sc o sO B
O B
s e nA Bc o sO A
sensencoscoscos
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6
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS(otra forma de deducir la fórmula)
cos
sensencoscos
2
sen
2
sen
2
sen
sen2
coscos2
sen
sensencoscos
sensencoscoscos
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7
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
tg
sensencoscos
sencoscossen
coscossensen
coscoscoscos
coscossencos
coscoscossen
tgtg1
tgtg
sencoscossensen
sensencoscoscos
tgtg1
tgtgtg
Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb
Simplifi-cando
cos
sen
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8
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen sen sencoscossen
1
sencoscossen
sencoscossen
cos cos sensencoscos
sensencoscos
sensencoscos
tg
tgtg1
tgtg
tgtg1
tgtg tg
tgtg1
tgtg
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9
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
sen
cos
tg
sen sencoscossen
cos sensencoscos
tg
tgtg1
tgtg
sencoscossen
sensencoscos
tgtg1
tgtg
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10
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
sen
cos
tg
2s e n sencoscossen
sensencoscos
tgtg1
tgtg
c o ss e n2
2c o s 22 sencos
2t g
2tg1
tg2
2s e n c o ss e n2
2c o s 22 sencos
2t g
2tg1
tg2
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11
R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
2c o s 22 sencos
t g
22 sensen1 2sen21
2sen2 2cos1
2sen2
2cos1 2
2cos1 s e n
2c o s 22 sencos 22 cos1cos 1cos2 2
2cos2 2cos1
2cos2
2cos1 2
2cos1 c o s
2cos1
2cos12
cos1
2sen
2
cos1
2cos
cos1
cos1
2tg
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1.1. Teorema del senoTeorema del seno
2.2. Teorema del cosenoTeorema del coseno
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13
TEOREMA DEL SENO
Los lados de un triángulo son proporcionales a
los senos de los
ángulos opuestos. Cs e n
c
Bs e n
b
As e n
a
El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.
BsenahAsenbh
C
C Bs e naAs e nb
Bs e n
b
As e n
a
Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:
BsenchCsenbh
A
A Bs e ncCs e nb Cs e n
c
Bs e n
b
hC
hA
C
BA
ab
c H
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:
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14
Medida de los ángulos en una circunferencia
Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
B
C
180º-
180º-
360º-(180º-180º-360º - 360º +
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15
Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales
Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales
180º
90º
Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.
Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.
Medida de los ángulos en una circunferencia
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16
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
R2Cs e n
c
Bs e n
b
As e n
a
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
As e n
a
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:
A
a
C
B
A’
R21
R2
º9 0s e n
R2
'As e n
a
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto).
R2'As e n
a
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17
Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo
hC
C
BA
ab
c H
La superficie del triángulo ABC es:chc
2
1S
En el triángulo AHC :
b
hAsen C Asenbh C
Sustituyendo en la primera expresión:
As e nbc2
1S
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18
Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
Por el Teorema del seno :
Sustituyendo en la primera expresión:
As e nbc2
1S
C
BA
ab
c
R
R2As e n
aR2
aAs e n
R2
abc
2
1S
R4
cbaS
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19
TEOREMA DEL COSENO
h
C
BA
ab
c Hm c-m
222 mcha
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
222 mcm2ch
2222 mcm2cmb
(en AHC)
2222 mcm2cmb
cm2cb 22
(Como en AHC m = b . cos A) Acoscb2cba 222
Bcosca2cab 222
Ccosba2bac 222
Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente
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20
A
C
cB
ba
C
B A
ba
c
222 cba
222 cba
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOClasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Acoscb2cba 222
Si A < 90º cos A >0
222 cba Si A = 90º cos A = 0
Si A > 90º cos A < 0
ab
c BA
C
( Teorema de Pitágoras )
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21
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón
Por el Tª del coseno
La superficie del triángulo ABC es: As e nbc2
1S
As e nbcS2
AsenbcS4 2222 Acos1bc 222
Acosbcbc 22222
cb2
acbAcos
222
22
22222222
cb4
acbbcbc
4
acbbc4222222
4
acbbc2acbbc2 222222
4
cbaacb 2222
hC
C
BA
ab
c H
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22
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón
Si a+b+c=2p
La superficie del triángulo ABC es: As e nbc2
1S
As e nbcS2 AsenbcS4 2222
4
cbacbaacbacb
...
b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....
4
bp2cp2ap2p2
bpcpapp4
2S bpcpapp cpbpappS
(p será el semiperímetro)
FÓRMULA FÓRMULA DE HERÓNDE HERÓNFÓRMULA FÓRMULA DE HERÓNDE HERÓN
hC
C
BA
ab
c H
4
cbaacb 2222
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23
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
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24
PÁGINAS WEB
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htmhttp://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyejhttp://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htmhttp://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTMhttp://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htmhttp://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htmhttp://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.htmlhttp://descartes.cnice.mecd.es/
http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm
http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm