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Contenido 2. Transformaciones lineales

CAPITULO 2.Transformaciones

linealesEn este capítulo se estudia una clase especial de funciones llamadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de matemáticas. Las transformaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.

Contenido2.1. DEFINICION 2.2. Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo2.3. Representación matricial de una transformación lineal2.4. Isomorfismos2.5. Isometrías

2.1. DEFINICION

Fuente: ÁLGEBRA LINEAL. Stanley I. Grossman Página24 Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR Grupo de ÁLGEBRA LINEAL II S1 1er semestre 2012 Sede Socorro


DEFINICION 1. Transformación lineal Sea V y w espacios

vectoriales reales. Una transformación lineal t de v en w es una

función que asigna a cada vector v ∈ v un vector único tv ∈ v y

que satisface, para cada u y v en v y cada escalar α ,

T (u + v ) = tu + tv

Y

T (αv) = αtv

2.2. Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales.

Teorema 1. Sea t: v→w una transformación lineal. Entonces para

todos los vectores u, V , V 1 , V 2,…, V n. En v y todos los escalares α 1 ,α 2, …, α n .:

i. t (0) =0

ii. T (u - v ) = Tu – Tv

iii. T (α 1V 1+α 2V 2+¿…+αnV n .) = α 1T V 1+α2T V 2+¿…+αnT V n .

Nota: En la parte i. el 0 de la izquierda es el vector cero en v,

mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en w.



Teorema 2. Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con

base B = {V 1 , V 2,…, V n} Sean W 1 , W 2,…, W n n vectores en w. suponga

que T 1 y T 2 son dos transformaciones lineales de v en w tales que T 1V i= T 2V i = W i para toda i = 1, 2,…, n. Entonces para cualquier vector

v ∈ v, T 1V= T 2V ; es decir T 1= T 2.

Teorema 3. Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con

base B = {, V 1 , V 2,…, V n}. Sea w un espacio vectorial que contiene los vectores W 1 , W 2,…, W n. Entonces existe una transformación lineal única

t: v→w tal que T V i = W i para toda i = 1, 2,…, n.

DEFINICION 1. Núcleo e imagen de una transformación lineal Sean v y w dos espacios vectoriales y sea t: v→w una transformación lineal. Entonces

i. el núcleo de t, denotado por nut esta dado por

nut = {v ∈ v: Tv = 0

ii. la imagen de t, denotado por imagent, esta dada por

imagent = {W ∈w: W = T v para alguna v ∈ v }

Teorema 4. Si t: v→w es una transformación lineal. Entonces

i. nut es un subespacio de v.

ii. imagent es un subespacio de w.

DEFINICION 2. Nulidad y rango de una transformación lineal Si

t es una transformación lineal de v en w, entonces se define



Nulidad det = v (T ) = dim nut

Rango de t = ρ(T ) = dim imagent

2.3. Representación matricial de una transformación linealEn esta sección se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rn existe una matriz A de mxn tal que tX = AX para todo X ∈ Rn.

Pero todo esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz.

Teorema 1. Sea t:Rn→Rmuna transformación lineal. Entonces existe una matriz única de mxn, AT tal que

TX = ATX

Definición 1. Matriz de transformación La matriz AT en el

teorema 1 se llama matriz de transformación correspondiente a T o

representación matricial de T.

Teorema 2. Sea AT la matriz de transformación correspondiente a

la transformación lineal T. Entonces

i. imagent = imagen A = C AT

ii. ρ(T ) = ρ(AT )

iii. nut = N AT



iv. v (T ) = v (AT )

Teorema 3. Sean v un espacio vectorial de dimensión n, w un

espacio vectorial de dimensión m y t: v→w una transformación

lineal. Sean B1 = {V 1 , V 2,…, V n} una base para v y sea B2 = {W 1 , W 2,…, Wm} una base para w. entonces existe una matriz única AT de mxn tal que

(T X)B2 = AT (X )B1

Teorema 4. Sean v y w espacios vectoriales de dimensión finita

con dim v = n. Sean T: v→w una transformación lineal y sea AT una

representación matricial de t respecto a las bases B1 en v y B2 en w. Entonces

i. ρ(T ) = ρ(AT )

ii. v (T ) = v ( AT )

iii. v (T ) = ρ(T ) = n

Nota: i. y ii. Implica que ρ(AT ) y v ( AT ) son independientes de las bases B1 y B2.

Teorema 5. Sea T: Rn→Rmuna transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn→Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B1 a la base Sn en Rn y sea A2 la matriz de transición de B2 a la base Sm

en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces

AT = A2−1C A1

Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2



Sea T: R2→R2una transformación lineal con representación matricial AT

. Ahora se demostrara que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, llamadas expansiones, compresiones, reflexiones, y cortes.

Transformación Representación matricial de la transformación:AT

Expansión a lo largo del eje X(c 00 1), c>1

Expansión a lo largo de eje y(1 00 c ), c>1

Compresión a lo largo del eje X(c 00 1), 0<c>1

Compresión a lo largo de eje y(1 00 c ), 0<c>1

Reflexión respecto a la recta y =X (0 1

1 0)Reflexión respecto al eje X

(1 00 −1)

Reflexión respecto a y(−1 00 1)

Corte a lo largo del eje X(1 c0 1)

Corte a lo largo de eje y(1 0c 1)

Teorema 6. Toda matriz elemental E de 2x2 es uno de los siguientes:



i. la representación matricial de una expansión a lo largo del eje X o

y.

ii. la representación matricial de una comprensión a lo largo del eje X o y.

iii. la representación matricial de una reflexión respecto a la recta

y =X

iv. la representación matricial de un corte a lo largo del eje X o y.

v. la representación matricial de una reflexión respecto del eje X o y.

vi. el producto de la representación matricial de una reflexión respecto

al eje X o y y la representación matricial de una expansión o comprensión.

Teorema 7. Sea T: R2→R2una transformación lineal tal que su

representación matricial es invertible. Entonces T se puede obtener como una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.

2.4. IsomorfismosEn esta sección se introduce una terminología importante y después se demuestra un teorema que dice que todos los espacios vectoriales de n dimensión son “en esencia” el mismo.

Definición 1. Transformación uno a uno Sea T: v→w es una

transformación lineal; entonces T es uno a uno, escrito 1-1, si

T V 1 = T V 2 implica que V 1 = V 2



Es decir, T 1-1 si y sólo si todo vector W en la imagen de T es la

imagen de exactamente un vector en v.

Nota: Una transformación 1-1 se llama también inyectiva.

Teorema 1. Sea T: v→w una transformación lineal. Entonces T

es 1-1 si y sólo si nut = {0}.

Definición 2. Transformación sobre Sea T: v→w una

transformación lineal. Entonces se dice que T es sobre w o

simplemente sobre, si para todo W ∈w existes al menos una v ∈ v

Tal que T V = W . Es decir, T es sobre w si y sólo si imagen T = W .

Teorema 2. Sea T: v→w una transformación lineal y suponga que

dimv = n

i. si T es 1-1 entonces T es sobre.

ii. si T es sobre, entonces T es 1-1.

Teorema 3. Sea T: v→w una transformación lineal, suponga que

dimv = n y dim w = m. Entonces

i. si n>m, T no es 1-1.

ii. si m>n, T no es sobre.

Definición 3. Isomorfismo Sea T: v→w una transformación

lineal. Entonces T es un isomorfismo si t es 1-1 y sobre.

Nota: Una trasformación que es 1-1 y sobre se llama biyectiva.



Definición 4. Espacios vectoriales isomorfos Se dice que los

espacios vectoriales v y w son isomorfos si existe un isomorfismo T de v sobre w. En este caso se escribe v ≅w.

Teorema 4. Teorema de resumen Sea A una matriz de nxn; entonces las 11 afirmaciones siguientes son equivalentes, es decir, cada una implica las otras 10 (de manera que si una es cierta, todas son ciertas):

i. A es invertible.

ii. la única solución al sistema homogéneo AX = 0 es la solución trivial (X = 0).

iii. el sistema AX = b tiene una solución única para todo n-vector b.

iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad I n de nxn.

v. A se puede escribir como un producto de matrices elementales.

vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.

vii. Los renglones (y columnas) de A son linealmente independientes.

viii. detA ≠ 0.

ix. v(A) = 0.

x. ρ(A) =n.

xi. La transformación lineal T de Rnen Rn definida por tX = AX es un isomorfismo.

Teorema 5. Sea T: v→w un isomorfismo:

i. Si V 1 , V 2,…, V n generan a v, entonces T V 1 , T V 2 ,…, T V n generan a w.



ii. Si V 1 , V 2,…, V n son linealmente independientes en v, entonces T V 1 , T V 2 ,…, T V n son linealmente independientes en w.

iii. si {V 1 , V 2,…, V n} es una base en v, entonces {V 1 , V 2,…, V n} es una

base en w.

iv. si v tiene dimensión finita, entonces w tiene dimensión finita y

dimv = dimw.

Teorema 5. Sean T: vyw dos espacios reales de dimensión finita

con dimv = dimw. Entonces v ≅w.

2.5. IsometríasEn esta sección se describe un tipo especial de transformación lineal entre espacios vectoriales. Se comienza con un resultado sumamente útil.

Teorema 1. Sea A una matriz de mxn con elementos reales, entonces para cualesquiera dos vectores X ∈Rn y y ∈Rm;

(AX)•y = X•( Aty)

Definición 1. Isometría Una transformación lineal T de Rn→Rn se llama una isometría si para cada X enRn

|T X| = |X|

Teorema 2. Sea T una isometría de Rn→Rn y suponga que X y y están en Rn. Entonces

TX•ty = X•y



Esto es, una isometría en Rn preserva el producto escalar.

Teorema 3. Una transformación lineal T: Rn→Rn es una isometría si

y sólo si la representación matricial de T es ortogonal.

Teorema 4. Sea T: R2→R2 es una isometría. Entonces T es

i. una transformación de rotación

o bien

ii. una reflexión respecto al eje X seguida de una transformación de rotación.

Teorema 5. Sea T: Rn→Rn es una isometría. Entonces

i. u1 , u2,…, un es un conjunto ortogonal, entonces T u1 , T u2 ,…, T un es un conjunto ortogonal.

ii. T es un isomorfismo.

Definición 2. Isometría vyw dos espacios vectoriales reales (o

complejos) con producto interno y sea T: v→w una transformación

lineal. Entonces T es una isometría si para todo v ∈ v ‖V‖V =‖T V‖W

Teorema 6. Sea T: v→w una isometría. Entonces para todo V 1 , y V 2 ,en v

(TV 1 ,, TV 2 ,) = (V 1 ,V 2)

Es decir, una isometría preserva los productos internos.



La demostración del Teorema 6 es idéntica a la prueba del

Teorema 2 con productos internos en v y w en lugar de producto escalar en Rn.

Definición 3. Espacios vectoriales isométricamente isomorfos

Se dice que dos espacios vectoriales v y w con el mismo conjunto de escalares son isométricamente isomorfos si existe una

trasformación lineal T: v→w que sea tanto isometría como isomorfismo.

Teorema 7. Cualesquiera dos espacios reales de dimensión n con producto interno son isométricamente isomorfos.


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