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LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DE
LAS MATEMÁTICAS
Jaime Eduardo Guzmán Moreno
432143
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS
DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA
Bogotá, Octubre de 2005.
LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DE
LAS MATEMÁTICAS
Jaime Eduardo Guzmán Moreno
432143
Director
Raúl Meléndez
Trabajo de Grado como requisito para optar al título de filosofó
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS
DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA
Bogotá, Noviembre de 2005.
LA POSICIÓN DE WITTGENSTEIN FRENTE A LA FUNDAMENTACIÓN DE
LAS MATEMÁTICAS
INDICE
CAPITULO 1: DEL ATOMISMO LÓGICO A LA GRAMÁTICA FILOSÓFICA
Pág. 1
CAPITULO 2: “ENDURECIMIENTO”: DE LA PROPOSICIÓN EMPÍRICA A LA
PROPOSICIÓN GRAMATICAL
Pág. 9
CAPITULO 3: PAPEL GRAMATICAL QUE PARA EL WITTGENSTEIN
TARDÍO JUEGAN LAS PROPOSICIONES MATEMÁTICAS
Pág. 18
CAPITULO 4: IMPLICACIONES DE SU TEORIA EN LA FILOSOFÍA DE LAS
MATEMÁTICAS
Pág. 30
INTRODUCCIÓN
El lugar privilegiado que se le ha concedido a la matemática culturalmente, y que de alguna
forma signa nuestra visión del mundo y de las ciencias de las que nos valemos para su
interpretación, no pocas veces ha sido confrontado. De hecho, la creación en la primera
mitad del siglo XIX de las geometrías no euclidianas significó en el campo de la filosofía
de las matemáticas una profunda crisis que tuvo importantes repercusiones en toda la teoría
del conocimiento humano.
La existencia de varios sistemas geométricos, aparentemente bien fundamentados desde el punto de vista de su lógica interna, hizo cuestionar lo que se entendía por “verdad” dentro del conocimiento.1
Pese a esto, en el marco del conocimiento humano en general, el ideal de la
matematización, legado de los presupuestos de la revolución científica y de la constitución
de la ciencia moderna como última fase de una ciencia que se considera plenamente
desarrollada, aun prevalece oculto bajo nociones como rigor, precisión y simplicidad.
Esto supone, que en el contorno del conocimiento científico la ciencia (cualquiera que ésta
sea) recurre a la cuantificación, al uso de conceptos cuantitativos, a la formalización o
expresión en un lenguaje formal libre de vaguedad y ambigüedad y a la axiomatización de
la teoría. Puntos estos que se orientan a la obtención de una aproximación a los hechos de la
naturaleza en términos de validez, exactitud y objetividad.
Las geometrías no-euclidianas y el descubrimiento de paradojas y contradicciones en el
seno del edificio matemático, que parecían afectar seriamente el uso de conceptos claves de
1FALK, M. introducción a la matemática contemporánea. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas y Estadística. Santafé de Bogotá, diciembre de 1992. p. 1.
esta bien autorizada ciencia suscitaron, a comienzos del siglo XX, uno de los más
importantes problemas de la filosofía de las matemáticas. La cuestión de fundamentar la
matemática sobre bases sólidas, que no dieran origen a contradicciones, dió lugar a
importantes desarrollos en lógica y en filosofía de la matemática asociados con nombres
famosos como los de Frege, Hilbert, Russell, Zermelo, Brouwer y Heyting.
La parcialmente exitosa utilización de la nueva lógica matemática en los primeros pasos de
estos proyectos fundacionistas, sirvió como inspiración y modelo para el trabajo en un
proyecto más ambicioso: el de fundar o reconstruir, haciendo uso de herramientas lógicas
de análisis, todo el conocimiento empírico a partir de lo inmediatamente dado en la
experiencia sensible.2 Sin embargo, Wittgenstein no sólo no participó de estos proyectos de
fundamentación sino que se opuso a ellos al considerarlos innecesarios y fuentes de
confusiones filosóficas, que había que aclarar y despejar:
¿Para qué necesita la matemática una fundamentación? La necesita tan poco, creo, como las proposiciones que tratan de objetos físicos o las que tratan de impresiones de los sentidos, necesitan un análisis. Aunque sí precisan, tanto las proposiciones matemáticas como las otras de una clarificación de su gramática.3
Para Wittgenstein muchos de los malentendidos filosóficos pueden solucionarse mediante
aclaraciones de tipo gramatical, en el sentido que da al termino “gramatical” en su
pensamiento tardío.
En efecto, para Wittgenstein, algunas de estas confusiones filosóficas surgen, en principio,
de atribuirle erróneamente una función descriptiva a las proposiciones matemáticas como si
ellas fuesen leyes de una realidad matemática abstracta o principios que describen
rasgos muy generales del mundo empírico.4 A estas confusiones nos podríamos ver
conducidos por las engañosas similitudes entre la gramática superficial de las proposiciones
matemáticas y la de las proposiciones empíricas o descriptivas. Estas similitudes podrían 2 Ver MELÉNDEZ, R. Gramática de las proposiciones matemáticas En: El pensamiento de L. Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 2001. p. 177. 3 WITTGESTEIN, L. Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Alianza Editorial. Madrid. 1987. VII, §, 319. 4 Ver MELÉNDEZ, R. Op. cit., p. 177.
ocultar importantes diferencias en los usos que damos a estos dos tipos de proposiciones.
La discutible asimilación de las primeras a las segundas conllevaría a extravíos en
diferentes teorías filosóficas sobre matemáticas, tal y como acaeció, según Wittgenstein,
con el platonismo o realismo matemático defendido por Frege, Gödel, Hardy, entre otros,
con el empirismo matemático representado por Mill o con el intuicionismo matemático de
Brouwer y Heyting.
Wittgenstein se opuso radicalmente la manera como estas tres teorías dan explicación del
significado y la función de las proposiciones matemáticas argumentando que la matemática
no es la descripción ni de un mundo abstracto, ni de rasgos generales del mundo, ni de las
construcciones mentales, sino que es una creación, una invención humana. El matemático
no descubre sino que inventa.
Así por ejemplo el teorema de Cantor sobre números transfinitos constituye un buen
ejemplo de una proposición matemática que puede interpretarse, y que seduce a ser
interpretada así, como un enunciado que describiría una realidad matemática diferente a la
del mundo físico, investigada mediante una actividad análoga a la de un explorador que
va descubriendo las rarezas y maravillas de una realidad abstracta, misteriosa y
difícilmente penetrable. Según Meléndez (2001), para Wittgenstein esta imagen hace parte
de la niebla metafísica, que él quiere disipar mediante sus clarificaciones gramaticales, que
impide ver claramente y lleva a interpretar erróneamente la actividad que lleva a cabo el
matemático, oscureciendo el sentido de sus pruebas y teoremas. De ahí que Wittgenstein
recomiende examinar detallada y cuidadosamente las demostraciones y lo que ellas dicen
evitando caer cautivos, debido a nuestra admiración y perplejidad, en ilusiones metafísicas.
Observando dicho propósito, y en el marco que brinda la filosofía tardía wittgensteniana en
lo referente a la naturaleza de las proposiciones matemáticas y la concepción general de
la actividad filosófica como una actividad gramatical, descriptiva y terapéutica, el
objetivo central que se desarrolla en este trabajo es la interpretación de la polémica tesis del
Wittgenstein tardío: el sentido de un teorema de la matemática está dado por su
demostración.
Presente en la discusión que celebra Wittgenstein en Observaciones acerca de los
Fundamentos de la Matemática alrededor del método de la diagonal de Cantor:
El método de la diagonal de Cantor no nos muestra un número irracional que sea diferente de todos los del sistema, pero da un sentido a la proposición matemática que dice que tal y tal número es diferente de todos los del sistema.5
Y que Meléndez (2001) interpreta como: “el sentido del teorema nos lo da su demostración
(antes o independiente de ella el teorema no tendría todavía un sentido claro) y no una
presunta referencia a, o una correspondencia con, un paraíso matemático ideal.”6
Para tal propósito se emprenden los siguientes pasos:
En primer lugar se discurre brevemente en el marco del Tractatus Logico-philosophicus y
de las Investigaciones Filosóficas, acerca de la concepción presente en cada uno de ellas
sobre la actividad filosófica, esto con el propósito de fijar y clarificar la postura de
Wittgenstein en lo concerniente a la gramática filosófica, abonando el terreno para abordar
los problemas filosóficos relacionados con la ciencia matemática.
Luego se emprende a la luz de su gramática filosófica la cuestión de la transición de la
proposición empírica a la gramatical ilustrad por Wittgenstein con la imagen de un
“endurecimiento”
Posteriormente se expone el papel gramatical que para el Wittgenstein tardío juegan las
proposiciones matemáticas en el desarrollo de una demostración y la cuestión del sentido.
5 ____________ . Op. cit. OFM II, § 29, p. 107. 6 Ver MELÉNDEZ, R. Op. cit., p. 184.
Para en ultimo lugar brindar algunas luces sobre las implicaciones de su teoría para la
filosofía de la matemática.
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WAISSMAN, F. Ludwing Wittgenstein y el Circulo de Viena. México: Fondo de Cultura
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1
1. DEL ATOMISMO LÓGICO A LA GRAMÁTICA FILOSÓFICA
(De la interpretación lógica del sentido a la pragmática)
En el pensamiento filosófico de Wittgenstein son claramente diferenciables dos etapas: una
primera corresponde al trabajo en las ideas del Tractatus, y una segunda que se inicia a
partir de 1929 y que descuella con las Investigaciones Filosóficas. Estas obras tienen su
correspondiente influencia posterior, la primera sobre el Circulo de Viena y la segunda
sobre la llamada filosofía del lenguaje ordinario. El Tractatus es una obra escrita en forma
de aforismos enumerados según el sistema decimal de clasificación1, que contiene siete
proposiciones fundamentales, de las cuales, las dos primeras:
1. El mundo es todo lo que acaece 1.1 Lo que acaece, el hecho, es la existencia de los hechos atómicos
2
Se refieren al mundo y a la realidad, mientras que las cuatro siguientes son el desarrollo de
su lógica y de su teoría del lenguaje, la última proposición, la conocida y oscura frase, “De
lo que no se puede hablar, mejor es callarse” 3 cierra el libro marcando el límite de lo que
se puede pensar y decir (la proposición).
En interpretación de Arregui (1984), el Tractatus es antes que nada, una obra
eminentemente crítica que tiene como una de sus nociones angulares la noción de sentido,
1“Los números decimales, en cuanto números de las proposiciones separadas, significan la importancía lógica de las proposiciones, el alcance que tienen en mi exposción. Las proposicones n.1, n.2, n.3, etc. son observaciones a la proposición are N.° n; las proposiciones n.m1, n.m2, etc. son observaciones a la proposición N.° n.m; y así susecivamante.” WITTGESTEIN, L. Tractatus Logico – Philosophicus. Introducción de Bertrand Russell. Versión española de Enrique Tieerno Galván. Alianza Editorial. Madrid. 1985. p. 35. 2 Ibid., p. 35. 3 Ibid., p. 203.
2
en tanto que ésta brinda el soporte necesario para dicha critica. Ella tiene como fin “trazar
unos límites al pensamiento, definiendo qué es lo pensable y qué lo impensable a través del
discernimiento entre lo que se puede decir y lo que no se puede decir.” 4 Precisar lo
expresable de lo inexpresable es distinguir lo impensable de lo pensable:
4. El pensamiento es la proposición con significado.5
Así, al considerar los límites del pensamiento a través de los del sentido, la filosofía
tractariana como intento por establecer los límites del pensamiento y del sentido, se
constituye en una critica del lenguaje.
Signo inequívoco de tal propósito es la composición misma del Tractatus donde la mayor
parte versa sobre lógica y lenguaje, y los párrafos iniciales que además de referirse al
mundo se refieren a una singular visión metafísica del mismo, que es común al
Wittgenstein tractariano como a Russell, a saber, la del atomismo lógico. Para éste el
mundo y el lenguaje tienen una misma estructura común o “forma lógica”. Por ser el
lenguaje el espejo del mundo, en él se refleja su naturaleza. Así, para Wittgenstein, el
mundo es la totalidad de los hechos y el lenguaje es la totalidad de las proposiciones, que
comparten una misma estructura lógica común.
2.04 La totalidad de los hechos atómicos existentes es el mundo. 2.05 La totalidad de los hechos atómicos existentes determina también cuáles hechos atómicos no existen. 2.06 La existencia y no-existencia de los hechos atómicos es la realidad [...]. 2.063 La total realidad es el mundo.6 4.001 La totalidad de las proposiciones es el lenguaje.7
En el corpus tractariano los objetos o cosas son simples y forman parte de los hechos
atómicos o estados de cosas, entendiendo a éstos como la combinación o relación de
objetos o cosas. No obstante, según Wittgenstein, lo que puede conocerse de las cosas del
mundo es sólo lo que acaece, esto es, las asociaciones o relaciones de cosas y objetos: los
4 ARREGUI, J. Acción y sentido en Wittgenstein. Ediciones Universidad de Navarra, S. A. Pamplona 1984. 5 ____________ . Op. cit. TLP. p. 69. 6 Ibid., p. 43. 7 Ibid., p. 69.
3
hechos atómicos, o hechos simples y los hechos compuestos de simples, o simplemente
hechos, cuyo agregado constituye la realidad.
Según el Tractatus, el lenguaje asocia a las cosas del mundo, nombres, a los hechos
atómicos, proposiciones simples y a los hechos complejos, proposiciones compuestas,
teniendo el lenguaje la facultad de representar, como en un espejo, la realidad del mundo,
constituyéndose el lenguaje en imagen del mundo gracias a su capacidad pictórica, o
capacidad de representación o configuración (Abbildung). Cuando por medio de
proposiciones describe hechos, sus elementos “reproducen” y “representan” la misma
relación que establecen los objetos en los hechos atómicos, siendo lo que hace posible este
isomorfismo entre lenguaje y realidad, la participación en una misma figura lógica o
estructura común. La proposición -el signo con que expresamos el pensamiento- representa
un estado de cosas (un hecho atómico), si este estado de cosas se da efectivamente, la
proposición es verdadera, y el conjunto de todas ellas describe el mundo.
4. 26 La enumeración de todas las proposiciones elementales verdaderas describe el mundo completamente. El mundo está completamente descrito por la especificación de todas las proposiciones elementales más la indicación de cuáles son verdaderas y cuáles falsas. 8
Únicamente las proposiciones, y no los nombres, son significativas y revelan la forma
lógica de la realidad. De tal forma, mientras que los nombres tienen significado o referencia
(Bedeutung), las proposiciones tiene sentido (Sinn).
4. 121 [...] La proposición muestra la forma lógica de la realidad. La exhibe. 9
Para Wittgenstein, el sentido se da en las proposiciones, por ser éstas como flechas
orientadas a las cosas 10, éstas tienen sentido, aun en el caso de que sean falsas, dado que es
8 Ibid., p. 101. 9 Ibid., p. 87. 10 “El sentido es, pues, una relación de proposición a la realidad, distinta a la de la verdad.” ARREGUI, J. Op. cit., p. 31.
4
posible en el mundo y sólo describiendo lo que es posible puede una proposición tener
sentido.11
4.26 [...] El mundo está completamente descrito por la especificación de todas las proposiciones elementales más la indicación de cuáles son verdaderas y cuáles falsas.
4.27 Con relación a la existencia de n hechos atómicos hay
n
vn v
nK
0
posibilidades.
Es posible para todas las combinaciones de hechos atómicos existir, y a las otras no existir. 4.28 A estas combinaciones corresponde el mismo número de posibilidades de verdad - y de falsedad – de n proposiciones elementales. 4.3 La posibilidad de verdad de las proposiciones elementales significa las posibilidades y de no existencia de los hechos atómicos.12
Las proposiciones que no describen estados de cosas posibles, carecen de sentido,
dividiéndose ellas en dos clases: la primera comprende las tautologías13, que nada dicen
respecto del mundo, y sus negaciones, las contradicciones; las segundas comprenden
aquellas proposiciones que no comparten la figura lógica con la realidad que pretenden
representar. Y esto a su vez sucede de dos maneras: en razón de que esta mal construidas y
no figuran una combinación posible de objetos o en razón de que no se da a un signo un
sentido, erigiendo enunciados que contienen signos carentes de significado, porque apuntan
a objetos que trascienden el mundo, queriendo expresar lo inexpresable, como pasa con las
proposiciones sobre ética, con las metafísicas y aquellas que quieren esclarecer el sentido
del mundo.
6. 41 El sentido del mundo debe quedar fuera del mundo. En el mundo todo es como es y sucede como sucede: en él no hay ningún valor, y aunque lo hubiese no tendría ningún valor.
11 “La proposición tiene sentido, pues, en cuanto es verdadera o falsa, pero el sentido es independiente de la verdad o falsedad de hecho. Lo esencial para la proposición con sentido es poder ser verdadera y poder ser falsa. El sentido se encuentra en el ámbito de la posibilidad.” Ibid., p. 29. 12 ____________ . Op. cit. TLP. p. 101. 13 “Toda proposición significativa es necesariamente verdadera o falsa. Por ello, si una proposición es siempre verdadera, carecerá de sentido. [ ... ] Una proposición significativa ha de poder ser verdadera y ha de poder ser falsa (condición que como ya se ha dicho, que no cumplen las tautologías).” ARREGUI, J. Op. cit., p. 29 -30.
5
Si hay un valor que tenga valor, debe quedar fuera de todo lo que ocurre y de todo ser – así. Pues todo lo que ocurre y todo ser – así son casuales. Lo que lo hace no casual no puede quedar en el mundo, pues de otro modo sería a su vez casual. Debe quedar fuera del mundo. 6. 42 Por lo tanto, tampoco puede haber proposiciones de ética [...] 6. 421 Es claro que la ética no se puede expresar. La ética es trascendental. (Ética y estética son lo mismo).14
Justamente para el Wittgenstein de (TLP) sólo las proposiciones de las ciencias empíricas
tienen sentido, la lógica consta únicamente de tautologías y todas las proposiciones sobre
ética o metafísica son carentes de sentido. Así, el papel que tiene el análisis filosófico en
el primer Wittgenstein es el ejercicio que ayuda a esclarecer el sentido de las proposiciones
del lenguaje ordinario. Al punto que Wittgenstein declara a las proposiciones del lenguaje
filosófico como carentes de sentido, incluso las del propio TLP, las cuales una vez
comprendidas y aplicadas, deben descartarse como carentes de sentido. La cuestión del
sentido es retrotraída a la cuestión de la proposición significativa.15
La segunda etapa filosófica, aquella que permite hablar de un Wittgenstein tardío, se
polariza en torno a Investigaciones Filosóficas y algunos apuntes de obras que las preparan,
como Los cuadernos azul y marrón, donde Wittgenstein abandona la teoría especular del
lenguaje. De esta suerte, el lenguaje no refleja el mundo ni tiene como único objetivo
describir el mundo, sino que es una forma de conducta entre otras, con pluralidad de
funciones: describir, informar, ordenar, hacer conjeturas, contar historias, hacer teatro,
contar chistes, adivinar enigmas, etc., cada una de las cuales puede definirse como un juego
14 ____________ . Op. cit. TLP. p. 197. 15 “Si el sentido de la proposición no es su valor de verdad, sino la posibilidad de tenerlo, cabe mantener también que el sentido viene determinado por las condiciones de verdad, pues <<para poder decir: ‘p es verdadero (o falso)’ debo haber determinado en qué condiciones llamo verdadero a ‘p’ y con ello, apostilla Wittgenstein, determino el sentido de la proposición>> (t, 4 . 063).” ARREGUI, J. Op. cit., p. 30.
6
de lenguaje16 (Sprachspiel; language game). Para el Wittgenstein de las Investigaciones,
las proposiciones son significativas no porque sean figuras de la realidad, sino porque son
expresiones de estos juegos de lenguaje: los diversos y variados usos a que sirve el
lenguaje, que igual como pasa con los juegos, manifiestan como característica común un
cierto aire de familia que los asemeja, a saber, se someten a reglas, pero cada cual a las
suyas propias. Por esto, el significado hay que buscarlo, no en la verificabilidad de lo que
se dice, sino en el uso que se hace de las palabras, en la praxis vital humana:
El significado de una palabra es su uso en el lenguaje17 la proposición sólo tiene sentido a través del uso. 18
En definitiva, para Wittgenstein, es el contexto y el uso en tal contexto lo que da sentido a
las palabras. La mayoría de errores filosóficos provienen de confundir los contextos o de
juzgar un contexto por las reglas de otro (como en los juegos, las reglas se respetan;
cambiarlas es cambiar de juego). Todo el lenguaje consiste en multitud de juegos de
lenguaje, y el lenguaje correcto es aquel que observa el recto uso de las reglas. Pero toda
palabra tiene sentido, si es empleada correctamente en su contexto. El sentido lo dan las
reglas de uso, tal como, en el ajedrez, el sentido de cada una de las piezas lo dan las reglas
que describen sus movimientos.
En los escritos correspondientes a esta etapa Wittgenstein abandona la posición del
Tractatus, que enfoca el lenguaje como representación de la realidad, entendida desde la
perspectiva metafísica del atomismo lógico, para explicarlo ahora como un producto de la
conducta humana que debe interpretarse gramaticalmente, es decir, desde la perspectiva del
lenguaje en uso, desde la pragmática. De ahí que para este Wittgenstein los juegos de
lenguaje sean parte de una actividad humana o de una forma de vida.
16 "La palabra 'juego de lenguaje' debe (...) poner de relieve que el hablar un lenguaje es una actividad, una forma de vida" WITTGESTEIN, L. Investigaciones filosóficas. Colección Critica. Editorial Grijalbo. Barcelona. 1988. § 122. 17 Ibid., § 43. p. 61. 18 WITTGESTEIN, L. Sobre la certeza, trad. Joseph Lluís Prades y Vicent Raga, Gedisa, Barcelona, 1988. § 10. p. 13.
7
En el análisis del lenguaje y en la formación de conceptos de las Investigaciones Filosóficas, Wittgenstein utiliza la analogía o comparación: el lenguaje es como una "caja de herramientas", no hay un lenguaje sino "juegos" de lenguaje; la relación de semejanza de los juegos entre sí es como los "parecidos de familia” ... Los juegos de lenguaje (y sus reglas) son "ciegamente aceptados" y se fundan en "formas de vida aprobadas socialmente. 19
Con respecto al nuevo criterio de sentido, -el sentido de la proposición está dado por el
uso-, Arregui (1984) interpreta que lo que liga al lenguaje con la realidad, es su uso, y no ya
la figura lógica de la filosofía tractariana. Así “El lenguaje adquiere su significado en
cuanto que la actividad lingüística se entrelaza con la praxis vital humana. <<Una
expresión sólo tiene significado (Bedeutung) en medio del flujo de la vida>>, o como
escribe en Über Gewissheit, <<nuestro hablar adquiere su sentido (Sinn) a partir del resto
de nuestra conducta>> (ÜG, 229), e incluso afirma que <<la praxis da su sentido (Sinn) a
las palabras>> (CV, p. 85)” 20.
Muchos autores, entre ellos, Arregui y los citados por él,21 juzgan que no se interrumpe
una continuidad de base entre el primero y segundo Wittgenstein. La primera etapa
insistiría en la clarificación del lenguaje mediante el análisis de la estructura lógica oculta
de las frases del lenguaje ordinario; y la segunda, en descubrir y describir cuáles son los
juegos de lenguaje, esto es, los contextos, que suponen las diversas proposiciones, en lo que
Arregui interpreta apoyado en Pears: “como la vuelta sobre sí misma de la critica del
lenguaje que se había emprendido en el Tractatus contra la metafísica.”22 En ambos
casos, en opinión propia, desaparecen los problemas filosóficos; en la primera como
resultado de una actividad que consiste en aclarar las proposiciones a través de un lenguaje
19 VEGA, A. “Saber lo que pasa: lo particular. Apuntes sobre la semejanza entre las investigaciones filosóficas y las investigaciones estéticas desde Wittgenstein”. En: Textos, N.° 4 Revista de la Maestría de Historia y Teoría del Arte y la Arquitectura. Bogotá, 2000. p. 165. 20 ARREGUI, J. Op. cit., p. 128. 21 “En efecto, quien se acerca por primera vez a las distintas monografías existentes sobre Wittgenstein tiene la impresión de que se habla en ellas de autores distintos. Y no se trata sólo de la aparentemente profunda ruptura entre el Tractatus y las Philosophische Untersuchungen, que ha permitido que, durante cierto tiempo, se hablara de la existencia de dos filosofías en Wittgenstein, de las que la segunda hundiría sus raíces en la negación de la primera. La cuestión es mucho más de fondo; porque si la publicación de sus escritos del amplio interregno que media entre el Tractatus y las Investigaciones Filosóficas ha permitido revisar esa pretendida ruptura entre esas dos obras, descubriendo una continuidad tanto en el concepto de filosofía como en sus temas fundamentales, la disparidad de interpretaciones continúa.” Ibid., p. 17. 22 Ibid., p. 19.
8
lógico ideal; y en la segunda, aclarando el significado recurriendo al uso y al contexto. En
el Tractatus desaparecen, porque el metafísico ha de percibir que usa palabras sin sentido
determinado y en las Investigaciones, porque se obliga al metafísico a usar sus palabras de
acuerdo con los contextos originarios del lenguaje común:
Cuando los filósofos usan una palabra - «conocimiento», «ser», «objeto», «yo», «proposición», «nombre»- y tratan de captar la esencia de la cosa, siempre se ha de preguntar: ¿Se usa efectivamente esta palabra de este modo en el lenguaje que tiene su tierra natal? 23
23 ____________ . Investigaciones filosóficas. Op. cit., § 116.
9
2. “ENDURECIMIENTO”: DE LA PROPOSICIÓN EMPÍRICA A LA PROPOSICIÓN GRAMATICAL
El hombre siempre ha buscado trascender lo dado, repercutiendo lo que tiene ante sí, al
imponer un orden a las cosas que forzosamente lo aleja de lo puramente empírico, al hacer
devenir la realidad en conceptos. De hecho la empresa humana de la ciencia recrea esto en
el paso que al interior de ella se da de los hechos sintéticos de la naturaleza a las
afirmaciones analíticas de la razón.
4.11 La totalidad de las proposiciones verdaderas es la ciencia natural total (o la totalidad de las ciencias naturales).24
Barajas (1993) identifica en relación a este pasaje del TLP el inconveniente de la perdida
del punto de partida, que trae consigo la dificultad posterior para explicar de manera
coherente el sentido y la naturaleza de dichas formaciones conceptuales.25 En declaraciones
a cerca de la ciencia y la filosofía Wittgenstein sostiene:
4.111 La filosofía no es una de las ciencias naturales. (La palabra <<filosofía>> debe significar algo que esté sobre o bajo, pero no junto a las ciencias naturales). 4.112 El objeto de la filosofía es la aclaración lógica del pensamiento. Filosofía no es una teoría, sino una actividad. Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones. El resultado de la filosofía no son <<proposiciones filosóficas>>, sino el esclarecer de las proposiciones. La filosofía debe esclarecer y delimitar con precisión los pensamientos que de otro modo serían, por así decirlo, opacos y confusos. 26
Que, de alguna forma, podría decirse, resumen la actitud de Wittgenstein frente al lenguaje
y la filosofía, erigiéndose en los inicios de su posterior empresa de clarificación gramatical.
24 ____________ . Op. cit. TLP. p. 85. 25 Ver BARAJAS, N. Monografía. Naturaleza y sentido de la proposición matemática en Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 1993. p. 5-6. 26 ____________ . Op. cit. TLP. p. 85.
10
Los problemas que surgen de una mal interpretación de nuestras formas lingüísticas tiene el carácter de lo profundo. Son profundas inquietudes; se enraízan tan profundamente en nosotros como las formas de nuestro lenguaje y su significado es tan grande como la importancia de nuestro lenguaje.- Preguntémonos: ¿Por qué sentimos como profundo un chiste gramatical? (Y ésta es por cierto la profundidad filosófica).27
En el marco que proporciona el pensamiento tardío de Wittgenstein la clásica distinción
entre proposiciones gramaticales y proposiciones empíricas, o si se quiere, entre
proposiciones de experiencia y esencia, que esta a la base del problema de la perdida del
punto de partida, mora en la distinción entre la naturaleza de los objetos a las que ellas
refieren, y en el uso que de ellas se hace, o lo que es lo mismo, en la función que ellas
desempeñan en el lenguaje.
Las normas de descripción son identificadas por Wittgenstein bajo el rótulo de
proposiciones gramaticales, diferenciándose éstas de las proposiciones descriptivas en
cuanto las segundas dan cuenta de lo descrito, mientras que una proposición gramatical da
cuenta del significado o uso de conceptos. En contraste las proposiciones empíricas refieren
al mundo y los fenómenos. Adoptando tanto una como la otra su carácter en virtud de la
función que desempeñe en el juego de lenguaje en el que opere, y no -como comúnmente
suele creerse- por su forma sintáctica o por razones de necesidad o contingencia.
En OFM la distinción entre proposiciones empíricas y gramaticales reposa en que las
primeras son aquellas que tienen como cometido una creencia, en concordancia con el leve
giro que da el pensamiento wittgensteiniano de las IF a Sobre la Certeza (SC) donde
introduce el concepto de creencias para denominar a las certezas prácticas, que configuran
un sistema 28, brindando un telón de fondo para nuestras prácticas 29. Así, mientras en IF
sobresale una distinción fuerte entre reglas y prácticas (y entre proposiciones empíricas y
proposiciones gramaticales), en SC esta distinción se hace menos transparente, al tenerse un
continuo con una cantidad de puntos intermedios, haciéndose la frontera o delimitación
entre proposiciones empíricas y gramaticales borrosa y fluctuante en el tiempo. 27 ____________ . Op. cit. IF. § 111. p.121. 28 ____________ . Op. cit. SC §§105, 108, 126, 140, 141, 142, 410. 29 Ibid., § 94.
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Wittgenstein desde IF ha instado, con la introducción del concepto de juego de lenguaje, a
que se debe ver el lenguaje como una actividad humana sumida en un conjunto de
prácticas, las cuales constituyen lo que él llamó una forma de vida, sostiene por un lado,
que hay reglas que rigen nuestras prácticas, y por otro, que estas reglas están sustentadas
por las prácticas mismas, con lo cual se hace claro que no tiene sentido hablar de una regla
sin referirnos a su aplicación, más aun, cuando se concibe el seguir la regla como una
actividad que remite a un uso estable, a una costumbre. En consecuencia desde el punto de
vista de las IF carece de sentido preguntar por el fundamento de la regla, dado que todo uso
significativo del lenguaje presupone el seguimiento de una regla.
Para Wittgenstein sobre las proposiciones gramaticales, se asienta el sentido, la verdad y
la falsedad de las proposiciones empíricas, en tanto con éstas se formulan las reglas de los
juegos de lenguaje. Y en tanto esa es su función, éstas no pueden ser verdaderas ni falsas,
puesto que expresan reglas que son el fundamento de toda verdad y falsedad (SC). Por
esto, y de forma sucinta, se puede decir: el sentido, la verdad y la falsedad de las
proposiciones empíricas reposa sobre las reglas que rigen su uso.
Ahora bien, por más que las proposiciones gramaticales no puedan ser ni verdaderas ni
falsas, ya que: 1° expresan reglas que son el fundamento de toda verdad y falsedad, y 2°
dado que su contraria carece de sentido, es decir, no es verdadera ni falsa, esto no implica
que ellas al carecer de sentido, sean vacías. Un claro ejemplo de ello lo proporciona la
proposición gramatical <<Hay objetos físicos>>, que carece de sentido, pero que está
supuesta en todas las proposiciones que hablan acerca de objetos físicos. 30
Para Wittgenstein las proposiciones gramaticales no forman parte del juego, no son
movidas en él, sino que están en el inicio, son reglas del juego. Adolecen de sentido porque
este se da en el uso del lenguaje, es decir, en el juego, en lo que se dice. En SC la distinción
entre proposiciones empíricas y proposiciones gramaticales, como ya antes se mencionó,
30 Ibid. §§ 35, 36.
12
se vuelve borrosa y fluctuante en el tiempo, así se da el caso de proposiciones empíricas
que se solidifican, que se endurecen entrando a funcionar como un canal para las
proposiciones empíricas que no están solidificadas haciéndolas fluir, dicha relación cambia
con el tiempo, de modo que las proposiciones que fluyen se solidifican y las sólidas se
fluidifican. 31
Metáfora que Wittgenstein emplea en relación al concepto de creencia, que es introducido
en su acepción técnica en SC, y del cual se sirve para designar certezas prácticas que
funcionan como reglas y que rigen nuestro actuar, cumpliendo el mismo papel que las
reglas. De hecho para Wittgenstein al igual que las reglas no son ningún tipo de estado
psicológico subjetivo, - discusión con Moore-, las creencias tampoco lo son, y en tanto es
así, coinciden con las reglas en el ser algo compartido y en el suponer una conducta regular.
Asimismo, éstas no tienen porque ser explícitas, pueden ser sencillamente algo que se
asiente como obvio, que nunca se cuestiona, y que quizá nunca siquiera se formula. 32
Carácter este que está estrechamente relacionado con el hecho de que en realidad no se las
aprende explícitamente. Con todo, para Wittgenstein las creencias adquiridas ciegamente
pueden ser descubiertas con posterioridad, 33 ya que las creencias, explícitas o no, se
muestran en nuestro actuar.
Que la creencia y su símil la regla configuren un sistema, se debe a que sirven como un
telón de fondo para nuestras prácticas:
Mis convicciones constituyen un sistema, un edificio.34 Cuando empezarnos a creer algo, lo que creemos no es una única proposición sino todo un sistema de proposiciones. (Se hace la luz poco a poco sobre el conjunto.)35 No me aferro a una proposición, sino a una red de proposiciones.36
31 Ibid. § 96. 32 Ibid. § 87. 33 Ibid. § 152. 34 Ibid. § 102. 35 Ibid. § 141. 36 Ibid. § 225.
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Como se ya indicó antes, este sistema de creencias forma una especie de mitología que
Wittgenstein denominó "imagen de mundo". Wittgenstein nos dice que no tenemos nuestra
"imagen de mundo" porque estemos convencidos de su corrección. Por el contrario, la
"imagen de mundo" es el trasfondo que nos viene dado, y sobre el cual distinguimos entre
lo verdadero y lo falso. 37 La concepción wittgesteiniana de la naturaleza y función de la
imagen de mundo parece revelarse resumida en el siguiente parágrafo de SC:
Las proposiciones que describen esta imagen del mundo podrían pertenecer a una suerte de mitología. Su función es semejante a la de las reglas del juego, y el juego también puede aprenderse de un modo puramente práctico, sin necesidad de reglas explícitas.38
Es de anotar, en relación con el punto anterior, que Wittgenstein compara nuestro sistema
de creencias con un río, cuyo cauce está formado por arena y roca sólida. La arena
corresponde a las creencias menos firmes, y la roca a las certezas inamovibles. Con esta
analogía se revela claro el hecho antes mencionado, que la distinción entre las creencias
más firmes y las menos firmes es borrosa y varía con el tiempo. Lo que en un momento era
roca sólida, se puede socavar con el tiempo, y lo que era arena, potencialmente puede
asentarse y solidificarse. Así mismo, se revela a nuestros ojos una de las característica más
básicas de las creencias como es el carecer de fundamentos, ya que no tienen otras
creencias anteriores (o más básicas) en las que asentarse.
En el fundamento de la creencia bien fundada se encuentra la creencia sin fundamentos. 39
Relacionando esto ultimo con la empresa terapéutica de esclarecimiento filosófico que
Wittgenstein abre entorno a la pregunta por naturaleza de las proposiciones matemáticas, se
facilita el entendimiento de las razones por las que Wittgenstein opta por marginarse de los
planteamientos propios a las escuelas de fundamentación:
¡¿Para qué necesita la matemática una fundamentación?!
37 Ibid. § 94. 38 Ibid. § 95. 39 Ibid. § 153.
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La necesita tan poco, creo, como las proposiciones que tratan de objetos físicos o las que tratan de impresiones de los sentidos, necesitan un análisis. Aunque sí precisan, tanto las proposiciones matemáticas como las otras, de una clarificación de su gramática.40
A esta segunda época de su pensamiento corresponde la tesis de que los problemas de la
filosofía tradicional no sólo derivan del mal uso del lenguaje, tal como conceptuaba en el
TLP, sino que más bien se deben a un “prejuicio contemplativo”, que lleva a considerar al
lenguaje en vez de utilizarlo.
Según interpreta Meléndez (2001) de Wittgenstein, a la base de muchos de los problemas
filosóficos que suscita la matemática se encuentra la extensión arbitraria de una analogía
que sólo puede funcionar al nivel de las proposiciones descriptivas, que a llevado: 1° a la
formulación de objetos ideales, y 2° a la búsqueda de contenidos de significación que
revistan el carácter de verdades necesarias, que a su vez engendro las diferentes escuelas
de fundamentación de la matemática.
De acuerdo con el platonismo matemático, las proposiciones matemáticas, así como las proposiciones empíricas, tendrían un carácter descriptivo, pero las primeras no describirían el mundo físico, como las segundas, sino un mundo matemático, abstracto e ideal 41
Más aún, en opinión de este mismo autor, Wittgenstein asume en relación al problema de
la fundamentación de la matemática, una posición original anti-platonica y anti-realista, que
lo lleva a investigar la naturaleza de los objetos sobre los que las proposiciones
gramaticales o de esencia y las empíricas o de experiencia dicen tratar. Esto bajo el
principio:
la matemática no es la descripción de nuestro presunto conocimiento de un mundo abstracto, independiente, sino que es una creación, una invención humana. El matemático no descubre, como afirma Hardy, sino inventa. 42
40 ____________ . Op. cit. OFM VII, § 16, p. 319. 41 MELÉNDEZ, R. Gramática de las proposiciones matemáticas En: El pensamiento de L. Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 2001. p. 180 42 Ibid. p. 181.
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Esto lo lleva a concebir al lenguaje, en el que se confinan las proposiciones empíricas, las
gramaticales y las matemáticas como una parte importante de las proposiciones
gramaticales, a modo de una praxis y no como un proceso extraordinario del tipo que sea.
El lenguaje, quiero decir, remite a un modo de vida. Para definir el fenómeno del lenguaje hay que describir una praxis, no un proceso extraordinario del tipo que sea.43
Así, para el Wittgenstein de OFM, en relación a las proposiciones matemáticas, dirá que a
éstas les corresponde la determinación del sentido en oposición a una aplicación del
sentido.
Haga lo que haga, parece que hay que resaltar la diferencia entre determinación del sentido y aplicación del sentido.44
Y al rigor que tradicionalmente ha sido asociado a las construcciones matemáticas le
corresponde no más que el carácter de una aproximación a un ideal, que está dado por el
estilo de una matemática que se quiere seguir o que se pretende aplicar. Con lo que
Wittgenstein proscribe el halo sacro a la proposición matemática y, a cambio, con la mayor
crudeza identifica lo verdadero con el uso.
Lo que llamamos “inferencia lógica” es una transformación de una expresión. [...] existe también lo correcto y lo falso en el paso de una medida a otra, pero ¿con qué realidad concuerda aquí lo correcto? Seguramente con una conversión, o con un uso, o acaso con las necesidades prácticas.45
Más aun, para Wittgenstein, como ya antes se ha dicho, la distinción entre proposiciones
gramaticales y descriptivas recae en el uso que de ellas se hace, o dicho de forma general,
en la función que desempeñan en el lenguaje:
La proposición matemática posee la dignidad de una regla. Esto es verdadero por razón de que la matemática es lógica: se mueve en las reglas de nuestro lenguaje. Y eso es lo que le proporciona su peculiar solidez, su lugar privilegiado e inexpugnable.46
43 ____________ . Op. cit. OFM VI, § 34, p. 282. 44 Ibid. III, § 37, p. 138. 45 Ibid. I, § 9, p. 20. 46 Ibid. I, § 165, p. 74.
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Así la cuestión del papel que juegan las proposiciones matemáticas como instrumentos para
ordenar, configurar y entender la realidad está más allá de la simple instauración de
conexiones ideales que luego se nos escabullen al momento de pretender explicarlas,
centrándose ahora la cuestión en el uso que hacemos de las proposiciones de nuestro
lenguaje, y en el uso que dimana de su significado. 47
En las proposiciones descriptivas, su referirse a objetos, representar estados de cosas,
determina su naturaleza y función, función en la que el vínculo entre lenguaje y realidad se
instaura al nivel de la aplicación del sentido, o lo que es lo mismo, en la aplicación de los
contenidos que la proposición es capaz de expresar. Por otro lado, las proposiciones
conceptuales (las reglas gramaticales y las proposiciones matemáticas) al establecer las
pautas sobre las que accionan las proposiciones descriptivas, recalcando lo anteriormente
dicho, operan al nivel de la constitución o determinación del sentido, lo cual hace que ellas
sean, en lo esencial estipulaciones concernientes a la representación y expresión de hechos
de la naturaleza. La regla impone un uso y un ser.
<<El significado que pretende darse a la fórmula determina los pasos a seguir.>>48
Para Wittgenstein la proposición matemática cumple una función igual a la que tiene en el
lenguaje la proposición gramatical, no sin antes reconocer que las proposiciones de la
matemática son proposiciones de experiencia que han sido “inmovilizadas”en razón a unos
intereses teóricos.
Cualquier proposición de experiencia puede servir como regla si –como a una pieza de una máquina- se la verifica, inmoviliza, de modo que toda la representación gire ahora en torno a ella y ella se convierta en una parte del sistema de coordenadas e independiente de los hechos.49 Es como si hubiésemos endurecido la proposición de experiencia hasta convertirla en regla. Y lo que nos queda entonces no es una hipótesis verificable por la experiencia, sino un paradigma con el que se confronta y enjuicia la experiencia. O sea, un nuevo tipo de juicio.50
47 Ibid. I, § 13, p. 22. 48 Ibid. I, § 2, p. 16. 49 Ibid. VII, § 74, p. 370. 50 Ibid. VI, § 22, p. 273.
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El teorema nos proporciona nos proporciona a grandes rasgos un método para proceder con intenciones. Dice algo así como: ‘así es como tiene que ser’.51
La identificación de la proposición matemática con una regla hace que ésta sea
necesariamente estudiada en términos de su uso, o de su funcionamiento:
Las proposiciones ‘a=a’, ‘p q’, “La palabra ‘Bismarck’ tiene ocho letras”, “No existe el verde rosáceo”, son todas evidentes y proposiciones sobre la esencia: ¿qué tienen en común?. Cada una, obviamente, es de un tipo diferente y tiene un uso diferente.52
No obstante, el funcionamiento de la proposición matemática en modo alguno corresponde
a la descripción de hechos empíricos, aunque por su forma se esté invitado a creer que es
así:
Hay que reconocer que en la naturaleza no hay rectas, ni curvas continuas y diferenciables en todos sus puntos, ni cuerpos rígidos, ni gases ideales, ni colores o sonidos puros, ni péndulos, ni sistemas solares de masas puntuales con trayectorias sin rozamientos... Los objetos y los sistemas de los que trata la fisis transformada, la Física, los objetos y sistemas que son materia apta para el hacer matemático, se encuentran en una naturaleza transformada, se encuentran en el laboratorio, en la industria, en los aceleradores de partículas, en la ciudad. Una ley física que enlaza conceptos como presión, volumen, densidad, sólo es factible cuando se manejan gases ideales en un primer momento y números reales : gases ideales, números reales, elementos de una naturaleza transformada por la especie humana que se ponen en interrelación en ese enlazamiento y no por sumar G+P como indicaran Einstein y los empiristas y neo positivistas, sino en una interrelación conceptual, interrelación sólo factible por una transformación en la que interviene de modo sustancial la Matemática porque en ella muestra, por una parte, su carácter de imprescindible; por otra, su instrumentalización efectiva.53
Y el que la proposición matemática sea identificada con una regla hace que esta posea la
dignidad de una regla, y en tanto es así, es la expresión, según Peña (1993), resultado del
convencimiento que generan las proposiciones matemáticas en tanto actúan como
proposiciones gramaticales de los juegos de lenguaje matemáticos.
51 Ibid. V, § 39, p. 245. 52 Ibid. IV, § 39, p. 204. 53 DE LORENZO, J. Aportes epistemológicos del hacer matemático En: Revista Ideas y Valores. IV Coloquio internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia. Santafé de Bogotá, Agosto de 1993. p.82-83.
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3. PAPEL GRAMATICAL QUE PARA EL WITTGENSTEIN TARDÍO JUEGAN LAS PROPOSICIONES MATEMÁTICAS
Partiendo de los supuestos: 1° que no se interrumpe una continuidad de base entre la
primera y segunda filosofía de Wittgenstein y 2° que la primera etapa insistiría en la
clarificación del lenguaje mediante el análisis de la estructura lógica oculta de las frases del
lenguaje ordinario; y la segunda, en describir cuáles son los juegos de lenguaje y cómo se
comunican en ellos los conceptos. Es pertinente, con miras ha esclarecer el papel
gramatical que para el Wittgenstein tardío juegan las proposiciones matemáticas, iniciar
con la celebre afirmación tractariana: “La matemática es un método lógico.” 54, en tanto
ella revela de forma temprana un proyecto que Wittgenstein sólo consolida después de la
escritura de OFM, en donde aborda el problema de la inferencia y el del método de la
lógica. En interpretación de Peña (1993), dicha afirmación en manera alguna apunta a
sugerir que la matemática se derive de un conjunto de principios lógicos a la manera de
Frege o Russell, o de proposiciones lógicas. Más bien con esto se indica que es esencial en
ella un aspecto de la operación lógica fundamental, según la cual una proposición se deriva
de otra. Idea esta que explora Wittgenstein en OFM al preguntarse qué es el inferir.
Hay que clarificar en qué consiste propiamente el inferir. Se dirá, quizá, que consiste en la transición de un aserto a otro. [...] es una derivación de una sentencia a partir de otra de acuerdo a una regla; una comparación de ambas con un paradigma cualquiera que represente para nosotros el esquema del transito; o algo parecido. Esto puede suceder sobre el papel, oralmente o ‘en la cabeza’. –Pero la conclusión puede sacarse también expresando una proposición tras otra, sin transición alguna; o bien la transición consiste sólo en que decimos <<por tanto>>, o <<de ahí se sigue>>, o cosas parecidas... Hablamos de <<conclusión>> cuando la proposición inferida puede derivarse efectivamente de las premisas.55
Para Barajas (1993), en relación a lo que es el inferir, el énfasis puesto en OFM sobre el
carácter constructivo de la proposición matemática, más allá de ser un recurso
puramente explicativo, muestra un cambio de orientación respecto a la deducción
lógica y por ende a la demostración matemática, entendiendo a éstos como 54 ____________ . Op. cit., TLP. § (6. 2). p. 181. 55 ____________ . Op. cit., OFM. I, § 6. p. 19.
19
procedimientos conceptuales que son resultado de una construcción que determina y
establece el sentido de la proposición a partir de la práctica, de la elaboración y de la
regularidad de los procesos en que ella se ve inmersa; dicho en términos de Bouveresse
citado por Barajas:
Como el de los intuicionistas, el concepto de demostración que interviene en las consideraciones de Wittgenstein sobre lo que da a la proposición matemática su sentido y su importancia matemática no es el concepto exacto del lógico sino un concepto mucho más próximo a la práctica real del matemático y afectado del mismo género de indeterminación relativa.56
Asimismo, afirmaciones del Tractatus como: “Las proposiciones de la lógica son
tautologías” 57, “ Por consiguiente, las proposiciones de la lógica no dicen nada.” 58, “Las
proposiciones de la lógicas describen la armazón del mundo o, mejor, la representan. No
<<tratan >> de nada, presuponen que los nombres tienen significado, y las proposiciones
elementales, sentido; y ésta es su conexión con el mundo.” 59, “La matemática es un
método lógico. Las proposiciones de la matemática son ecuaciones, y, por consiguiente,
pseudo-proposiciones.” 60 y “La lógica del mundo, que en las proposiciones de la lógica
aparece en tautologías, aparece en matemáticas en ecuaciones.” 61, antes bien que ser
preludio de afirmaciones categóricas como: “El teorema nos proporciona a grandes
rasgos un método para proceder con intenciones. Dice algo así como: ‘así es como tiene
que ser’.” 62, o “El problema de hallar una solución matemática a un teorema podría
llamarse, con cierta justicia, el problema de dar sentido matemático a una fórmula” 63,
que encarnan la visión pragmática del sentido subyacente al segundo Wittgenstein,
descubren uno de los temas perennes de la segunda filosofía wittgensteniana, la profunda
56 BARAJAS, N. Monografía. Naturaleza y sentido de la proposición matemática en Wittgenstein. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía. Bogotá D. C., 1993. p. 21. 57 ____________ . Op. cit., TLP. § (6. 1). p. 169. 58 Ibid., § (6. 11). p. 169. 59 Ibid., § (6. 124). p. 177. 60 Ibid., § (6. 2). p. 181 -183. 61 Ibid., § (6. 22). p. 65. 62 ____________ . Op. cit., OFM. V, § 39. p. 245. 63 Ibid., V, § 42. p. 247.
20
oposición al realismo matemático de Russell. Al considerar que al igual que las
proposiciones lógicas no dicen nada, las proposiciones matemáticas tampoco dicen nada,
nada acerca del mundo, como tampoco representan objetos ni estados de cosas, como creía
Russell.
Así pues, para el joven Wittgenstein las proposiciones matemáticas no son enunciados
sobre objetos matemáticos, ni es interés de la matemática investigarlos. Antes bien, y muy
a pesar de carecer de contenido cognoscitivo, las proposiciones matemáticas son
susceptibles de ser usadas para diferenciar estados de cosas en el mundo, dado que estas,
según interpreta Peña (1993), expresan normas y reglas eventualmente susceptibles de ser
aplicadas en la descripción de la realidad.
Lo que, visto desde la óptica de OFM, se traduce en que la proposición matemática más que
ser una descriptora de la realidad, análogamente a las proposiciones empíricas, es y se
fundamenta en una técnica, aunque no la describe, desempeñando el papel de la regla al
proporcionar el entramado para una posible descripción.
La proposición se basa en una técnica. Y, si quieres, en los hechos físicos y psicológicos que hacen posible esa técnica. Pero no por eso su sentido consiste en expresar esas condiciones. Lo contrario de aquella proposición, ‘12 pulgadas = 1 pie’, no dice que los instrumentos con los que medimos no sen suficientemente rígidos, o que todos nosotros no contemos y calculemos del mismo modo. La proposición se basa en una técnica, pero no la describe.64 La proposición desempeña el típico (pero no por ello simple) papel de la regla. ... Quien conoce una proposición matemática no por ello conoce algo ya. ... Quien conoce una proposición matemática, no por ello conoce algo ya. O sea, la proposición matemática sólo ha de proporcionar el entramado para una descripción.65
Y en tanto regla es, en primer lugar, fruto de un modo de uso, que en principio estuvo al
nivel de las proposiciones empíricas, y fue endurecida en regla a través de su tránsito por
otras reglas y, en segundo lugar, es la encargada de determinar y fijar un camino, resultado
del convencimiento que generan las proposiciones matemáticas, en virtud de actuar como
proposiciones gramaticales en ciertos juegos de lenguaje. 64Ibid. VII, § 1. p. 299 – 300. 65Ibid. VII, § 1. p. 300 - 301.
21
La proposición matemática es una regla –producida según reglas- que determina y fija un camino. La proposición matemática viene a ser, entonces, una proposición de la gramática, referente a las transformaciones de signos; muestra las conexiones que consideramos rígidas. La regla así considerada no expresa una entidad preexistente a la gramática a la cual pertenece. ...al contrario que las proposiciones descriptivas, las proposiciones matemáticas desempeñan en determinados juegos de lenguaje el papel de reglas de representación. ... El pedestal, sobre el que para nosotros está la matemática, lo ha conseguido ésta gracias al papel concreto que sus proposiciones desempeñan en nuestros juegos de lenguaje.66
Que Wittgenstein permita a las proposiciones matemáticas la actuación de reglas
gramaticales aboga por el reconocimiento de algunas formas de autoridad que configuran
los lineamientos generales para de una manera u otra poder juzgar o hablar con sentido
acerca de los hechos de la realidad. Esto no es más que otra forma de plantear que aquello
a partir de lo cual se determina lo que es verdadero o falso no puede ser en modo alguno ni
verdadero, ni falso. Tesis esta (también expuesta en SC) que constituye un claro
cuestionamiento al intuicionismo matemático, en cuanto riñe con la tradicionalmente
indiscutida afirmación, de que la matemática se cimentaban en alguna clase de intuición.
¿No sucede que mientras se piensa que no puede ser de otro modo, se sacan conclusiones lógicas’
Esto significa ciertamente: mientras esto y esto no se pone en absoluto en cuestión.
Los pasos que no se ponen en cuestión son conclusiones lógicas. Pero no es que no se les ponga en cuestión porque ‘corresponden con certeza a la verdad’ –o por cosas semejantes-, sino que esto es precisamente lo que se llama ‘pensar’, ‘hablar’, ‘inferir’, ‘argumentar’. No se trata aquí en absoluto de una correspondencia cualquiera de lo dicho con la realidad; más bien la lógica está antes de una correspondencia así, a saber, en el sentido en el que la determinación del método de medida está antes de la correlación o falsedad de una medida dada.67
Igual que la proposición: esta habitación tiene 16 pies de larga, no se volvería falsa si surgiera la confusión en los patrones de medida y en el medir. Su sentido, no su verdad, se basa en el proceso regular de las mediciones.68
Si bien esta discusión se encuentra a la raíz de las críticas de Wittgenstein a Russell, en
tanto el punto central de esta discusión está, según cita Barajas (1993) de Bouveresse, en
66Ibid. VII, § 6. p. 306. 67 Ibid. I, § 156. p. 71-72. 68 Ibid. III, § 75. p. 165.
22
que: “una proposición debe tener un sentido antes de que sepamos si ella es verdadera o
falsa. (WLC 1932 -1935. p. 195)”69 , evoca uno de los planteamientos más fuertes de
Wittgenstein en filosofía de las matemáticas: las proposiciones gramaticales y las
proposiciones matemáticas al establecer las pautas sobre las que accionan las proposiciones
descriptivas o de experiencia, operan al nivel de la constitución o determinación del
sentido, lo cual hace que ellas sean en lo esencial estipulaciones concernientes a la
representación y expresión de hechos de la naturaleza. De ahí, según Barajas (1993), que
“El problema del sentido de la proposición matemática es algo que de cualquier modo esta
resuelto, pero esto es así, solo en tanto que no depende de la proposición en cuestión.”70, ya
que ella no tiene contenido proposicional, lo cual se constituye en razón suficiente para
poder diferenciar la validez de las proposiciones de la ciencia con respecto a las de la
matemática. Hecho este ultimo que denuncia la fidelidad de Wittgenstein desde TLP a
OFM a la idea que las propiedades estructurales comunes al lenguaje y a la realidad no
pueden en todo rigor ser descritas en las proposiciones, sino solamente mostradas en el uso
o en la practica del lenguaje.
En lo que se refiere a la proposición matemática demostrada, en OFM ésta es el producto
de la aceptación incondicional de una cadena, de una figura urdida a partir de definiciones,
proposiciones axiomáticas y otras proposiciones matemáticas demostradas, que en los
juegos matemáticos son llamadas más comúnmente teoremas.
La demostración -podríamos decir- es una figura en uno de cuyos extremos hay ciertas proposiciones y en el otro una proposición (a la que llamamos ‘demostrada’).
Podría decirse, como descripción de una figura así: que en ella la proposición ... se sigue de ... Esta es una forma de describir un patrón, ...71
Decir <<Esta proposición se sigue de aquélla>> es aceptar una regla. La aceptación se produce sobre la base de la demostración. Es decir, considero aceptable esta cadena (esta
69 BOUVERESSE. Le pays des Possibles. Wittgenstein, les mathématiques et le monde réel. Citado por : BARAJAS, N., Op. cit. p. 22. 70 Ver BARAJAS, N. Ibid., p. 22 – 23. 71 ____________ . Op. cit., OFM. I, § 28. p. 28.
23
figura) como demostración. ... esto no es más que la expresión de una aceptación incondicional. ...72
¿Y cómo se manifiesta, entonces, que la demostración me obliga? Precisamente en que prosigo de tal y tal modo, en que me niego a seguir otro camino.73
Acerca de las proposiciones axiomáticas, en la tradición intuicionista de la matemática,
éstas tiene el rol de ser proposiciones matemáticas que no necesitan ser demostradas para
convencer, dado que son evidentes y gracias a que se encuentran a la base del edificio
matemático. Concepción esta que Wittgenstein critica puesto que cuando se propone una de
ellas, aún no está determinado en general el modo de aplicación de esa proposición, ni su
sentido, aunque, si se dice de ella que es evidente, ya se ha elegido, sin saberlo, un modo
especifico de aplicación de la proposición. Sobre este punto ya habrá tiempo de volver
cuando se discurra alrededor de lo qué es el inferir y la lógica.
En cuanto a los teoremas de la matemáticas, éstos vienen a ser una especie particular de
proposiciones matemáticas que se encuentran ocultas bajo la difusa segmentación realizada
por Wittgenstein entre proposiciones gramaticales y matemáticas, mostrándose sólo en
cuanto tales en el procedimiento de demostración. El papel gramatical que tiene para
Wittgenstein la proposición demostrada consiste en que “La proposición demostrada por la
demostración sirve como regla, o sea, como paradigma.” 74. Asimismo la demostración no
sólo induce a dirigirnos por esa regla, sino que muestra cómo hemos de dirigirnos por ella.
Según palabras de Wittgenstein esto es: “la proposición matemática ha de mostrarnos lo
que tiene SENTIDO que se diga.” 75 De lo cual se tiene que la pregunta por el sentido de
un teorema de la matemática remite ineludiblemente al concepto de demostración.
la demostración no investiga la esencia de ambas figuras, sino que manifiesta aquello que, a partir de ahora, voy a considerar perteneciente a la esencia de las figuras. –Lo que pertenece a la esencia lo deposito entre los paradigmas del lenguaje.
El matemático produce esencia.76
72 Ibid. I, § 33. p. 29. 73 Ibid. I, § 34. p. 29. 74 Ibid. III, § 28. p. 134. 75 Ibid. III, § 28. p. 135. 76 Ibid. I, § 32. p. 29.
24
En OFM el tema de la demostración se establece en uno de sus tópicos medulares, en tanto
procedimiento esencial al servicio de la matemática. De hecho en esta obra son explícitas
las alusiones a la importancia de tal procedimiento en cuanto es la figura que nos
convence 77 de la legitimidad de un determinado procedimiento, o del resultado de una
determinada inferencia. Esto pone de manifiesto el doble carácter que para Wittgenstein
sintetiza la demostración matemática: el de una instrucción para el uso de una regla, y el de
justificación de su uso al ofrecer el cómo y porqué puede ser usada, es decir, tiene la
función de fijar el significado. Igualmente, la demostración muestra una nueva conexión
que proporciona un nuevo concepto, en cuanto crea o es un nuevo signo.
¿Cómo muestra alguien que comprende una proposición matemática? Aplicándola, por ejemplo, ¿Y no lo muestra también demostrándola?
Quiero decir: la demostración me muestra una nueva conexión, por ello me proporciona también un nuevo concepto.78
Dicho de otra manera la demostración es parte de una institución79, haciendo parte del
sistema de practicas, del juego en el que se usan las proposiciones que la dotan de
sentido. Luego la demostración es un distingo de la proposición. Viniendo a ser un
pliegue a un determinado uso de los signos.
La equiparación de 252 y 625 me proporciona, podría decirse, un nuevo concepto. Y la demostración muestra cómo se explica esa igualdad. <<Proporcionar un nuevo concepto>> sólo puede significar introducir un nuevo uso conceptual, una nueva praxis.80
En el mismo sentido, la demostración más que ser sus fundamentos más las reglas de
inferencia, es una nueva construcción, un nuevo modelo. Con esta concepción de la
demostración matemática lo que ansía Wittgenstein es realzar la idea de que el matemático
produce siempre nuevas reglas cuando mediante el uso de las ecuaciones y transiciones
inferenciales construye nuevas vías conceptuales y amplía el conjunto de las antiguas.
77 Ibid. I, § 63. p. 39. 78 Ibid. V, § 48. p. 248. 79 Ibid. II, § 36. p. 138. 80 Ibid. IV, § 70. p. 362.
25
Justamente el concepto que crea la demostración puede ser un nuevo concepto de inferencia
o del adecuado inferir.
...la matemática es una ABIGARRADA mezcal de técnicas demostrativas . –Y en ello se basa su múltiple aplicabilidad y su importancia.81
...el matemático inventa siempre nuevas formas de representación . Unas estimuladas por necesidades prácticas; otras, por necesidades estéticas, y varias otras aún.82
El matemático es un inventor, no un descubridor.83
Ahora bien, dado que comúnmente se ha sugerido la posibilidad de que la demostración
matemática se encuentre cimentada en la evidencia de las proposiciones que le sirven de
punto de partida y en el rigor lógico, resulta conveniente explorar en aras de la temática que
nos ocupa, algunas de las observaciones wittgenstenianas relativas a la evidencia y
esencialmente a la lógica. Para empezar, Wittgenstein se interesa por el fenómeno de la
captación inmediata, no como fenómeno psíquico particular, sino como fenómeno de la
acción humana. Por ello registra que el hecho de aceptar una proposición como evidente, a
la manera de una noción común o un axioma, podría equivaler a eximirla de toda
responsabilidad frente a la experiencia y a adoptar su carácter de regla:
Los axiomas de la geometría tiene también el carácter de convencionalismos sobre el lenguaje en que queremos descubrir los objetos espaciales. Son reglas de sintaxis. Las reglas de sintaxis no tratan de nada, sino que solamente son formularios.84
Asimismo dice, como ya se planteó antes, acerca de las proposiciones axiomáticas, que
cuando se propone una de ellas, aún no está determinado en general el modo de aplicación
de esa proposición, ni su sentido, aunque si se indica de ella que es evidente, ya se ha
favorecido sin saberlo un modo específico de aplicación de la proposición. En esta
orientación, lo que transforma a una proposición en proposición matemática no es el que
nos resulte evidente, sino el que se deje valer su evidencia.
81 Ibid. III, § 46. p. 145. 82 Ibid. I, § 167. p. 74. 83 Ibid. I, § 167. p. 74. 84 WAISSMAN, F. Ludwig Wittgenstein y el Circulo de Viena. México: Fondo de Cultura Económica, 1973. p. 56
26
La naturaleza y el sentido de los enunciados de la matemática dependen, mucho más de lo que estemos dispuestos a aceptar en un primer momento, de esa función, pues sólo a través suyo podemos evaluar y con ello acceder a una comprensión de la matemática y de la lógica que va mucho más allá de la fijación de una estructura -formal- capaz de representar el orden esencial e inmanente de los hechos de la naturaleza. 85
En cuanto a la demostración matemática entendida como procedimiento de inferencia,
Wittgenstein señala que existe la inclinación a creer que la demostración lógica posee una
fuerza probatoria especial, absoluta, que emana de la certidumbre de las leyes lógicas
fundamentales y de las leyes lógicas de inferencia. No obstante, según apunta él, las
proposiciones demostradas no son más ciertas que lo que es la correcta aplicación de las
leyes de inferencia. Lo cual tiene profundas implicaciones en el campo de la lógica,
máxime si se tiene en cuenta que lo que ha de ser estimado como prueba suficiente de un
enunciado está en la esfera de la lógica, así como de hecho pertenece a ésta todo lo que
describe un juego del lenguaje.
Aceptar la demostración: puede aceptársela como paradigma de la figura que surge cuando estas reglas se aplican correctamente a determinadas figuras. Puede aceptársela como correcta derivación de una regla de inferencia. O como una correcta derivación de una correcta proposición empírica; o como correcta derivación de una proposición empírica de la que no se sabe si es verdadera o falsa.86
Asimismo, anota Wittgenstein, con frecuencia se cree que inferir es una actividad peculiar,
una práctica en el medio del entendimiento, un develar, de donde surge después la
deducción, sin embargo no hay nada oculto en esta práctica, es sencillamente el desenlace
de una sentencia a partir de otra de acuerdo con una regla, la comparación de ambas con un
modelo cualquiera que esté fijado como el esquema de tránsito.
en qué consiste propiamente el inferir. ... consiste en la transición de un aserto a otro. ... es una derivación de una sentencia a partir de otra de acuerdo a una regla; una comparación de ambas con un paradigma cualquiera que represente para nosotros el esquema del tránsito; o algo parecido. Esto puede suceder sobre el papel, oralmente o ‘en la cabeza’.87
La demostración es un modelo de un determinado resultar, que sirve de objeto de comparación (patrón) para transformaciones reales.88
85 BARAJAS, N. Op. cit., p. 7 - 8. 86 ____________ . Op. cit., OFM. III, § 37. p. 138. 87 Ibid. I, § 6. p. 19. 88 Ibid. III, § 24. p. 132.
27
Lo que se llama inferencia lógica no es más que una transformación de una expresión,
como lo es la conversión de una patrón de medida a otro, pudiendo darse en este paso lo
correcto y lo falso, aunque la realidad con la que armoniza, en este caso, lo correcto, es una
conversión, un uso, o una necesidad práctica. Mientras se conciba que no puede ser de otra
forma, se infieren conclusiones lógicas. A ellas, no se les pone reparo pues son
conclusiones lógicas; sin embargo, el que no se les ponga reparo no se debe a que
correspondan con certeza a la realidad, sino porque esto es precisamente lo que se llama
pensar, inferir, argumentar.
Lo que llamamos ‘inferencia lógica’ es una transformación de una expresión. ...
existe también lo correcto y lo falso en el paso de una medida a otra; pero ¿con qué realidad concuerda aquí lo correcto? Seguramente con una conversión, o con un uso, o acaso con las necesidades practicas. 89
<<Pero ¿no debe seguirse, por ejemplo, ‘fa’ de ‘(x). fx’, cuando ‘(x). fx’ se entiende tal como nosotros lo entendemos?>> -Y ¿cómo se manifiesta ese como nosotros lo entendemos? ¿No mediante la práctica habitual de su uso? Y quizá también mediante ciertos gestos – y cosas similares. Pero es como si la palabra <<todos>>, cuando nosotros la pronunciamos, tuviera aún algo adherido; algo con lo que un uso diferente resultara incompatible; a saber, el significado. <<¡‘Todos’ quiere decir: todos!>>, ...
Se aprende el significado de <<todos>> aprendiendo que ‘fa’ se sigue de ‘(x).f(x)’. –Las prácticas que ejercitan el uso de esta palabra, que enseñan su significado, se orientan siempre a impedir que pueda producirse una excepción.90
Con respecto a las leyes lógicas, según Wittgenstein, éstas pueden tomarse como expresión
de rutinas de pensar, pero también del hábito de pensar, al reflejar ellas cómo piensan los
seres humanos y a qué llaman ellos pensar. Sin embargo, la coincidencia de los seres
humanos, que es supuesto en el suceso de la lógica, no es una coincidencia de opiniones y
mucho menos aún sobre cuestiones de lógica.
Las leyes lógicas son ciertamente expresiones de ‘hábitos de pensar’, pero también del hábito de pensar. Esto es, puede decirse que muestran: cómo piensan los seres humanos y a qué llaman los seres humanos <<pensar>>.91
Las proposiciones de la lógica son ‘leyes del pensamiento’, ‘ya que expresan la esencia del pensar humano’, pero más correctamente: ya que expresan, o muestran, la esencia, la técnica del pensar. Muestran lo que es el pensar, o también modos del pensar.92
89 Ibid. I, § 9. p. 20. 90 Ibid. I, § 10. p. 21. 91 Ibid. I, § 131. p. 65. 92 Ibid. I, § 133. p. 66.
28
Puede decirse que la lógica muestra lo que nosotros entendemos por <<proposición>> y por <<lenguaje>>.93
Luego, tanto las proposiciones de la lógica como las de la matemática son convalidadas en
los juegos y acuerdos que les son propios, en tanto que se les aplican técnicas de
transformación enunciativa, en concordancia con el conjunto de reglas que constituyen el
respectivo método de cálculo y no gracias a una estructura del pensar común a toda la
humanidad.
La coincidencia de los seres humanos al calcular no es una coincidencia de opiniones o convicciones. ¿Podría decirse: <<Al calcular, las reglas te parecen inexorables; sientes que sólo puedes hacer eso y no otra cosa, si quieres seguir la regla>>? <<Tal como yo veo la regla, lo que ella reclama es esto. >> No depende de mi estado de ánimo.94
Ahora bien puesto que la matemática está constituida por una gran variedad de técnicas,
para Wittgenstein no tiene sentido privilegiar una de ellas, como lo es la lógica, pues con
ello sólo se consigue una inadecuada estandarización de métodos.
Así pues y en definitiva, 1° no es de extrañar que Wittgenstein se hubiese sustraído del
debate relativo a la fundamentación de las matemáticas. 2° las proposiciones matemáticas
en cuanto funcionan como proposiciones gramaticales operan en la determinación del
sentido de las proposiciones empíricas que contienen conceptos matemáticos, careciendo
las primeras de sentido empírico por razón de estar al inicio de los juegos matemáticos. 3°
El teorema o la proposición matemática demostrada adopta su sentido de la aceptación que
proporciona el ser inferido a partir de reglas, la proposición matemática muestra lo que
tiene sentido que se diga. Y 4° la proposición demostrada sirve ahora como un nuevo
paradigma para enjuiciar la realidad, en tanto ella ha sido endurecida hasta convertirse en
regla.
93 Ibid. I, § 131. p. 66. 94Ibid. IV, § 30. p. 279- 280.
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30
4. IMPLICACIONES DE SU TEORÍA EN LA FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS
El estudio de los problemas epistemológicos que han suscitado las matemáticas a lo largo
de su devenir histórico, pueden ser compendiados básicamente en: 1) el estudio del razonar
matemático, 2) la fundamentación de la ciencia matemática y 3) la cuestión de qué tipo de
entidad son los objetos matemáticos. En relación al primero, debe decirse, que desde sus
orígenes el razonamiento matemático ha guardado cierta distancia con el clásico
razonamiento de la lógica aristotélica. Descartes y J. Stuart Mil, y antes Bacon 95, pusieron
de relieve en su momento la esterilidad científica del razonamiento silogístico frente a la
riqueza y rigor del razonamiento matemático. Kant también reconoció el atasco de la
lógica, para él cerrada y acabada, en comparación con el conocimiento que aportaban las
matemáticas y en particular su método. Los epistemologos aprenden de los matemáticos,
que existen otras formas de razonamiento distintas a las de la lógica aristotélica, verbo y
gracia, el razonamiento por recursividad o inducción matemática. No obstante, lo que más
ha favorecido la reflexión filosófica sobre las matemáticas ha sido el estudio de sus propios
fundamentos, en la llamada “crisis de fundamentos de las matemáticas”.
95 “Bacon anuncia un nuevo modo de encarar la realidad, lo que no significa romper en todo con el pasado. Al contrario: busca con éxito aquí y allá el aprovechar lo aprovechable del pretérito. El tono polémico de su filosofar, la proclamada ruptura, concéntrase en torno de la doctrina de Aristóteles, quien a la sazón era reconocido como modelo, en el llamado renacimiento aristotélico. Para Bacon, el pensador de Estagira es la mejor y máxima expresión de los errores que alientan en la filosofía de la época. Ya en sus años de juventud, rememora, según testimonio de su secretario privado W. Rawley: “Mientras residía en la Universidad, a los dieciséis años aproximadamente, como su señoría tuvo a bien comunicarme, empezó primero a desagradarle la filosofía de Aristóteles: no por la falta de méritos del autor, a quien siempre asignaría grandes cualidades, sino por lo infructuoso de su método, ya que era una filosofía (como solía decir su señoría) sólo buena para debates y disputas, pero estéril para producir obras en provecho de la vida humana, idea con la que continuó hasta el día de su muerte” BACON, F. Instauratio magna * Novun organum * Nueva Atlántida. Estudio introductivo y análisis de las obras por: Francisco Larroyo. Editorial Porrúa, S. A. México. 1991. p. XVII – XVIII.
31
Antes de esta mencionada época –como ya se dijo antes- tradicionalmente se tenía como
afirmación indiscutida que las matemáticas se cimentaban en alguna clase de intuición.
Ejerciendo tal intuición matemática la tarea fundamental de captación básica del objeto, sea
el número, o el punto, la línea o la figura: dado que los objetos matemáticos se presentan
como tales a un entendimiento humano que es capaz de conocerlos y estudiarlos, como si se
tratara, de algún modo, de formas platónicas preexistentes e independientes. Estas
intuiciones se concretaban deductivamente en axiomas, postulados, definiciones y
teoremas.
Con el arribo del s. XIX, se logran grandes desarrollos en el campo de las matemáticas, la
lógica y la filosofía de las mismas, traducidos en los aportes de Cantor con su teoría de
conjuntos, los trabajos de Boole y de De Morgan, y el inicio de la empresa de Frege de
fundamentación de la lógica en la aritmética. No obstante, por esta época la aparición,
hacia 1825, de las llamadas geometrías no- euclídeas en manos de insignes matemáticos
como Lobachevsky, Gauss, Riemann, entre otros, exigieron un cambio de visión
matemática, desde la cual ahora se hace más adecuado pensar que las teorías matemáticas y
los objetos matemáticos son obra de la mente. Surge así la concepción moderna de las
matemáticas.
La existencia de varios sistemas geométricos, aparentemente bien fundamentados desde el punto de vista de su lógica interna, hizo cuestionar lo que se entendía por “verdad” dentro del conocimiento.96
A consecuencia de esto, la importancia dada a los sistemas deductivos basados en la
intuición de primeros principios, da espacio a la necesidad de justificar por qué se opta por
ciertos axiomas en vez de otros. Sobreviene a la noción de objeto matemático, como
fundamental, la de estructuras matemáticas con propiedades formales. Por esta misma
época los axiomas fueron organizados en sistemas y se buscó un lenguaje que los expresara
con todo rigor, lo cual inauguró toda una serie de intentos de formalización y
axiomatización de todas las teorías matemáticas fundamentales.
96 FALK, M. Op. cit., p. 1.
32
Ahora en lugar de la intuición y la evidencia, características tradicionales de los axiomas,
en la usanza matemática anterior, se cambia la mirada hacia considerar fundamentales las
nuevas propiedades de los sistemas formales axiomáticos: consistencia, independencia,
completud, decidibilidad y satisfacibilidad. El estudio y la búsqueda de los nuevos
fundamentos de la matemática da lugar a la lógica matemática, fruto del enorme esfuerzo
que supusieron, para el desarrollo de la nueva matemática, los trabajos sobre teoría de
conjuntos, en la que se basaba la fundamentación de la matemáticas. La teoría de conjuntos
amenazada por la denominada <<crisis de los fundamentos>>, engendrada por la
aparición de contradicciones en el seno de la misma teoría.
Las geometrías no-euclidianas, la paradoja de Burali-Forti (1897) y la formulada por
Russell (1901) pusieron de manifiesto la relatividad del conocimiento, la inconsistencia de
la teoría de conjuntos de Cantor y la de las clases de Frege, respectivamente.
Carta de Frege a Russell (22 de junio de 1902) [...] <<Su descubrimiento de la contradicción [paradoja] me produjo la mayor sorpresa, incluso, yo diría, la mayor consternación, porque ha hecho tambalear los cimientos sobre los que yo intentaba construir la aritmética. [...] Tengo que reflexionar nuevamente sobre la cuestión. Es una cuestión muy seria desde que, con la pérdida de mi Regla V, parece desvanecerse no sólo la fundamentación de mi aritmética, sino también la única fundamentación posible de la aritmética. [...] El segundo volumen de mis Grundgesetze está próximo a aparecer. No cabe duda de que tendré que añadir un apéndice en donde su descubrimiento se tenga en cuenta.97
Estos hechos parecían afectar seriamente el uso de conceptos claves de esta bien autorizada
ciencia, instaurándose a comienzos del siglo XX en uno de los más importantes problemas
de la filosofía de las matemáticas. Es así como la duda acerca de la solidez de los
fundamentos matemáticos motivó tres vías de investigación: el logicismo, el intuicionismo
y el formalismo.
97 BETH, E. W. Las paradojas de la lógica, Cuadernos Teorema, Universidad de Valencia, Valencia 1975, p. 71.
33
En interpretación de Meléndez (2001), la en parte exitosa utilización de la nueva lógica
matemática proveniente de los primeros pasos de estos proyectos fundacionistas, sirvió
como inspiración y modelo para el trabajo en un proyecto más ambicioso: el de fundar o
reconstruir haciendo uso de herramientas lógicas de análisis, todo el conocimiento empírico
a partir de lo inmediatamente dado en la experiencia sensible. No obstante, advierte este
mismo autor, Wittgenstein no sólo no participó de estos proyectos de fundamentación sino
que se opuso a ellos al considerarlos innecesarios y fuentes de confusiones filosóficas, que
había que aclarar y despejar. Así pues para el Wittgenstein tardío la matemática demanda
tan poco de una fundamentación como las proposiciones que versan sobre objetos físicos o
las que versan acerca de impresiones sensoriales; más bien lo que ellas necesitan es una
clarificación de su gramática.
Pese a haberse interesado en su juventud por el problema de los fundamentos, tal y como lo
muestra su trashumar por el atomismo lógico, en el que la metáfora de la "imagen" designa
la función que desempeña el lenguaje en el conocimiento del mundo, la evolución de su
pensamiento prontamente lo llevó a su concepción tardía acerca de los fundamentos,
derivada de la concepción pragmática del lenguaje donde la metáfora del "juego de
lenguaje" se realiza como representación icónica de una "forma de vida". No obstante, si
bien pueden considerarse el TLP y las IF como definitorias de dos épocas distintas en el
pensamiento de Wittgenstein, éstas desde el punto de vista de su enfoque y en relación al
lenguaje, connotan una continuidad que distingue a la segunda época con un concepto clave
como es el de juego de lenguaje.
En relación con este concepto que Wittgenstein introdujo y que manejó en sus lecciones de
los años treinta, inicialmente en conexión a la idea de "cálculo"98 , él hace recaer la
98 “Pero cuando aprendemos el significado de una palabra, con frecuencia se nos da únicamente una regla, la definición ostensiva. ¿Cómo es que comprendemos entonces la palabra con esta definición? ¿Adivinamos las otras reglas?. Pensemos en el caso de un niños que aprende palabras de la manera siguiente: le mostramos objetos y decimos al mismo tiempo palabras. –Pero. ¿Cuál es aquí el criterio de la comprensión?. Por su puesto, que las aplique correctamente. ¿Adivina las reglas?. En realidad nos preguntaremos si debemos llamar en absoluto”definiciones” a este señalamiento y pronunciación de palabras. Pero el juego del lenguaje es todavía muy sencillo y la definición ostensiva tiene en él un papel diferente al que tiene en
34
posibilidad de hablar de las diferentes conformaciones de estos juegos de lenguaje, que a su
vez utiliza para distinguir los distintos modos gramaticales (el llamado nivel de la
gramática superficial y de la profunda). Esto le permite advertir la existencia, a nivel de la
gramática profunda, de innumerables tipos de proposiciones.99 Las reglas de esa gramática
profunda no deben ser malentendidas como si ellas regularan el curso mismo de esos
juegos, sino comprendidas en el sentido de articular sólo la operación del comprender que
sigue al hacer y que ha sido entrenado, ejercitado. No regulan pues comportamientos.
Wittgenstein emplea el concepto de juego de lenguaje para aclarar además los fenómenos
de la comunicación verbal en referencia a un modelo simplificado de juego de lenguaje que
le sirve de esquema para establecer comparaciones. Gracias a este peculiar método de
análisis de esos fenómenos verbales, Wittgenstein puede trascender y rechazar la actitud
filosófica general y tradicional sobre el lenguaje, que considera al fenómeno del lenguaje
escuetamente como un objeto de estudio e instrumento o medio de comunicación. Es lo que
se ha dado en llamar el “giro lingüístico” 100 o el “cambio de marcha”101 en filosofía, que
ha hecho del lenguaje, no meramente un objeto de estudio como instrumento o medio de
comunicación, sino el medio mismo en que ocurre el conocimiento.
De manera similar a como la gramática de un lenguaje se registra y comienza a existir cuando los hombres ya han hablado ese lenguaje durante mucho tiempo, los juegos primitivos se juegan sin que sus reglas se hayan codificado y aun sin que una sola de sus reglas haya sido formulada. Consideremos los juegos y el lenguaje desde el punto de vista de un juego que procede acuerdo con reglas. Es decir, comparamos al lenguaje con un procedimiento de ese tipo. 102
Es un aspecto muy importante de esta nueva concepción, la función que asigna a esos
juegos de lenguaje: funcionan como objetos de comparación o como esquemas 103, tanto
juegos lingüísticos más desarrollados. [...] ” ____________ . Op. cit.,Gramática Filosófica I, § 26. p. 115-117. 99 “En el uso de una palabra se podría distinguir una ‘gramtica superficial’ de una ‘gramatica profunda’”. ____________ . Op. cit., IF. § 664. p. 397. 100 RORTY, R. El giro lingüístico. Paidos / ICE UAB. Barcelona 1990. 101 FERRATER, J. Cambio de marcha en filosofía. Alianza. Madrid. 1984. 102 ____________ . Op. cit.,Gramática Filosófica I, § 26. p. 117-119. 103 ____________ . Op. cit., IF. § 73 p. 93 – 95.
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en lo que concierne a los modos de ver el mundo como a los modos de vida en él. Pero para
ello es preciso que el lenguaje usado sea comprendido mediante una reconstrucción de su
praxis vital. Esto es, se trata de observar el fenómeno del uso del lenguaje en referencia a
los elementos vitales de un interacción sujeta a ciertas reglas y no en una visión abstracta en
la que sólo se atiende a los signos empleados y su sintaxis (como en el TLP).
Nuestros claros y simples juegos de lenguaje no son estudios preparatorios para una futura reglamentación del lenguaje –como si fueran primeras aproximaciones, sin consideración de la fricción y de la resistencia del aire. Los juegos del lenguaje están más bien ahí como objetos de comparación que deben arrojar luz sobre las condiciones de nuestro lenguaje por vía de semejanza y desemejanza. 104
Esa meta-observación no seguirá ya el programa logicista dictado en el TLP, tampoco
busca explicar causalmente los fenómenos del uso del lenguaje, sino sencillamente quiere
describir. 105 Incluso sería un obstáculo a la crítica filosófica del lenguaje ese querer lograr
una explicación, es decir, intentar comprender la realidad a partir de presupuestos lógico-
teóricos como se hace en ese modelo causal. Por eso afirmaba: “Cuando creemos que
hemos de encontrar en el lenguaje real ese orden, el ideal, quedamos descontentos con
lo que en la vida ordinaria se llama <<proposición>>, <<palabra>>, <<signo>>.” 106
En lugar de una observación sujeta al esquema de explicación jerarquizada en inferencias
deductivas, lo que Wittgenstein propugna aquí es un total giro epistemológico. Abandonar
todo el esquema o modelo tradicional basado en el potencial analítico y deductivo de la
mente y buscar un modo de acercamiento a la comprensión de la realidad muy similar al
programa husserliano: "A las cosas mismas". Es decir, se renuncia totalmente a las
pretensiones de reconstrucción lógica, elaborando una sintaxis de lenguajes exactos o
formalizados, así como también a utilizar tal reconstrucción con la finalidad terapéutica de
eliminar los falsos problemas de la metafísica, ética o religión.
104 Ibid., IF. § 130. p. 131. 105 “Hay que dejar de lado toda explicación, y en su lugar debe estar sólo la descripción.” Ibid., IF. § 105. p. 121. 106 Ibid., IF. § 105. p.121.
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Así, el Wittgenstein tardío no se dedica, al examen o fundamentación de la matemática
como había hecho en su juventud, siguiendo el sendero trazado por su antiguo maestro
Russell, sino que sigue la ruta abierta por Moore, de quien fuera alumno y al que había
sucedido en Cambridge, bajo la destina volver a los fenómenos vistos sencillamente, sin
más prejuicios y filtros lógicos. Rechazando el esquema de explicación seguido en la
matemática y en la ciencia natural como esquema universal.
Signo inequívoco de este propósito es ofrecido por Wittgenstein en sus Lectures on the
foundations of mathematics (Cambridge 1939) donde, como objetivo primordial esta el
responder a las distintas escuelas de fundamentación de la matemática, y sobre todo a la
corriente logicista, en cabeza de Frege y Russell. Si bien, es menester tener siempre
presente que este texto es una compilación de las notas de clase tomadas por sus estudiantes
de Cambridge en el año de 1939, este texto y en especial la Lecture I brinda una clara
síntesis y articulación de las ideas y planteamientos directrices del pensamiento de
Wittgenstein en lo concerniente a la filosofía de las matemáticas, y su posición acerca de
los intentos de fundamentación de la misma.
En la Lecture I Wittgenstein buscando la toma de distancia de los planteamiento de Frege
y Russell, formula un tópico y dos directrices de su critica. El primero consiste en que él en
ningún momento se propone otra fundamentación, y como directrices de su critica están:
1.° que esta no se adelantará desde el punto de vista de un matemático de oficio o de
alguien con un gran conocimiento de matemáticas, sino desde el conocimiento que brindan
las matemáticas escolares, y 2.° que como filósofo lo que él podría decir serian solo
“profecías”. Que es otra de las enigmáticas y oscuras afirmaciones a las cuales Wittgenstein
ya nos tiene habituados.
I am proposing to talk about the foundations of mathematics. An important problem arises from the subject itself: How can I - or anyone who is not a mathematician - talk about this? What right has a philosopher to talk about mathematics? One might say : From what I have learned at school - my knowledge of elementary mathematics - I know something about what can be done in the higher branches of the subjects.
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I can as a philosopher know that Professor Hardy can never get such -and- such a result or must get such-and such a result.107
No obstante, Wittgenstein parece no inclinase en desarrollo de su critica por ninguna de
estas dos directrices, sino, que más bien, basa su empresa en el estudio de las palabras de
acuerdo con los contextos originarios del lenguaje común: “Knowing our everyday
language –this is one reason why I can talk about them.”108 - Conocer el lenguaje
ordinario esta es la única razón por la que puedo hablar de ellas-. Cambiando su
tentativa a una empresa pragmática, al indagar por el uso que se hace de los términos y los
enunciados matemáticos en el contexto del lenguaje ordinario. Cuestión esta que se
constituye en sí misma en una critica a los intentos de fundamentación de la aritmética.
Para ello Wittgenstein se plantea algunas estrategias y propósitos que le habrán de servir
para tal fin: primero, no interferir con el trabajo de los matemáticos; segundo no proponer
nuevos cálculos, sino nuevas interpretaciones de aquellos; tercero no brindar una nueva
interpretación, sino tratar las interpretaciones; cuarto producir una nueva interpretación, no
para mostrar que es la correcta, sino para mostrar que ella y la anterior son igualmente
arbitrarias.
I am going to avoid it at all costs; will be not important not to interfere with the mathematicians. I must not make a calculation and say, “That’s the result; not what Turing say it is.” Suppose it ever did happen – it would have nothing to do whit the foundations of mathematics. […] I am, may occasionally produce new interpretations, not in order to suggest they are right, but in order to show that the old interpretation and the new are equally arbitrary. I will only invent a new interpretation to put side by with an old one and say, “Here, choose, take your pick.” I will only make gas to expel old gas.109
Wittgenstein rechaza el programa logicista de fundamentación de las matemáticas de
Russell, sobre el supuesto de que no se gana nada con reducir las matemáticas a la lógica,
107 Wittgenstein’s Lectures on the Foundations of Mathematics. Cambridge, 1939. From the notes of R.G. Bosanquet, Norman Malcon, Rush Rhees, and Yorick Smythies. Edited by Cora Diamond. The University of Chicago Press. Chicago and London. 1976. Lecture I. p. 13. 108 Ibid. p. 14. 109 Ibid., p. 13 – 14.
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por muy riguroso que fuese el sistema lógico escogido, pues los reparos que se le formulan
a la verdad necesaria atribuida a las proposiciones matemáticas son extensivos a las
proposiciones de la lógica, y mas aún, cuando es perfectamente concebible una sociedad
humana en la que no exista un cálculo, en el sentido nuestro, ni un medir, en el mismo
sentido al nuestro.
“I only make gas to expel old gas” ésta es la tarea que Wittgenstein se propone. Si bien va a
intentar presentar una interpretación de los cálculos matemáticos, él no está preocupado
por ellos, sino por las interpretaciones que se han dado de los mismos. No intenta en ningún
momento creerse en la posesión de la interpretación correcta. Más que ello se ocupa de los
malentendidos (misunderstandings) y rompecabezas (puzzles) que se dan en el lenguaje
ordinario en relación a palabras y conceptos tales como: prueba, numero, series, orden,
entre otras.
I can as a philosopher talk about mathematics because I will only deal with puzzles which arise from the words of our ordinary everyday language, such as “proof”, “number”, “series”, “order”, etc.110
Pues, como es de anotar, para Wittgenstein el resultado de la filosofía no son las
proposiciones filosóficas, sino la clarificación de las proposiciones, la elucidación. Y la
filosofía es una actividad elucidante, por medio de la cual las proposiciones llegan a ser
claras:
El objeto de la filosofía es la aclaración lógica del pensamiento. Filosofía no es una teoría, sino una actividad. Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones. El resultado de la filosofía no son <<proposiciones filosóficas>>, sino el esclarecimiento de las proposiciones. Las filosofía debe esclarecer y delimitar con precisión los pensamientos que de otro modo serían, por así decirlo, opacos y confusos.111 No queremos refinar o complementar de maneras inauditas el sistema de reglas para el empleo de nuestras palabras. Pues la claridad a la que aspiramos es en verdad completa. Pero esto sólo quiere decir que los problemas filosóficos deben desaparecer completamente.112
110 Ibid., p.14 111 ____________ . Op. cit., TLP. § (4. 112), p. 85. 112 ____________ . Op. cit., IF. § 133 p. 133.
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De ahí que para Wittgenstein todas las cuestiones que se pueden plantear, también se
pueden responder y que una cuestión que no se pueda responder, en rigor no puede ni
siquiera ser planteada y si se formula es una pregunta ilegítima, pues esconde una
confusión lingüística que debe ser aclarada.
En lo referente a la filosofía de las matemáticas, la tarea que emprende Wittgenstein en las
Lectures, en desarrollo de su empresa de clarificación gramatical, es en primer lugar la
clasificación de los malentendidos que son objeto de estudio de esta debido a las
perplejidades que ellos generan. Distinguiendo dos tipos esenciales de malentendidos: 1°
asimilar (tomar como una sola) expresiones con distintas funciones y 2° hablar de cosas
distintas bajo el mismo esquema. Él intenta mostrar que a la raíz de la perplejidad, del
desconcierto que producen los malentendidos no se halla ningún misterio, ni ninguna razón
para desconcertarse; que el desconcierto, por lo general, vendrá de hacer una analogía
incorrecta.
I hill have to stress the differences between things, where ordinarily the similarities are stressed, […]113
La estrategia que sigue Wittgenstein en las Lectures para identificar los lugares en los que
se dan las identificaciones o las analogías injustificadas, es examinar cada uno de los
puentes que se suelen construir entre discursos diferentes intentando mostrar que estos
están quebrados. En IF Wittgenstein afronta esta misma tarea a partir de la formulación
según la cual, los problemas filosóficos no son problemas empíricos, aún cuando es un
error frecuente pensar que lo son.
La filosofía es una lucha contra el embrujo de nuestro entendimiento por medio de nuestro lenguaje. 114
Este foco de errores se explica, según Wittgenstein, por la forma en que aquellos se
expresan. “La característica de una pregunta metafísica está en que expresamos una falta de
113 Wittgenstein’s Lectures. Op. cit., p. 15. 114 ____________ . Op. cit., IF. § 109. p.123.
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claridad acerca de la gramática de las palabras en la forma de una pregunta
científica.”115 Por esta razón la primera regla de procedimiento en una investigación de
una proposición metafísica es destruir la similitud externa entre ella y una proposición de
experiencia.116 La confusión en la que incurrimos en una pregunta metafísica consiste en
considerar un problema filosófico como si concerniese a un hecho del mundo en lugar de
una cuestión de expresión (si concerniese a un hecho del mundo tendría, en principio, una
solución). Pues para Wittgenstein una declaración metafísica siempre obedece a una falta
de claridad acerca de la gramática profunda de alguna oración.
Como arriba se señalo, la forma de una expresión metafísica la hace parecer como si fuera
una proposición empírica, tratándose de una proposición gramatical o conceptual. En
terminología de Wittgenstein “lo esencial de la metafísica es que destruye la distinción
entre la investigación factual y la conceptual.”117 Pues sólo atendiendo a la gramática
profunda de una proposición podemos determinar si ella es empírica o gramatical. Así el
papel de la gramática profunda radica en la diferenciación entre sentido y sin sentido. Pues
según Wittgenstein, en una proposición de índole gramatical, como “todas las varillas
tienen longitud”, aunque, en virtud de su gramática superficial parezca ser una
generalización empírica, esta misma, vista desde su gramática profunda; más que
proporcionarnos información sobre las varillas, enuncia una regla que gobierna el uso de la
palabra varilla.
Bajo esta concepción el meollo del asunto de la clarificación gramatical está en el despejar
la niebla metafísica que confunde al metafísico haciéndole creer que existen problemas
filosóficos donde no hay más que confusión de palabras. Pues según Wittgenstein los
problemas filosóficos tienen su origen en las confusiones lingüísticas que se producen
cuando el lenguaje es desviado de su uso común. A esto refiere Wittgenstein cuando alude
115 ____________ . Cuaderno Azul, p. 65. 116 Ibid., p .88. 117 ____________ . Zettel, Ed. Univ. Nac. Autónoma de México, 1985 (segunda edición castellana), 458
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que los problemas filosóficos no deben ser resueltos, sino disueltos, lo que se consigue
“examinando el funcionamiento de nuestro lenguaje.”118
Volviendo al tema de las Lectures on the foundations of mathematics Wittgenstein
dinamiza el estudio del uso del lenguaje al distinguir entre los malentendidos relacionados
con objetos matemáticos, aquellos que considera interesantes de aquellos que no. Para
Wittgenstein los malentendidos que nos sorprenden van a ser claves, en tanto los va a
utilizar en sus explicaciones, pero según nos dice, no van a ser estos en los que centrará su
interés. Su lucha será principalmente con los casos en que el malentendido parece ser lo
único que da interés a un determinado cálculo. Wittgenstein afirma que hay cálculos que
no parecen tener sentido más allá del encanto (charm) que les da el malentendido.
Wittgenstein en las Lectures distingue los distintos tipos de malentendidos, mostrando que
a la raíz del desconcierto que producen, no hay ningún misterio, ninguna razón para
desconcertarse, y que el desconcierto, por lo general, vendrá de hacer una analogía
incorrecta. Al caer en alguna de estas dos tentaciones: 1.° Asimilar (tomar como una sola)
expresiones con distintas funciones. 2.° Hablar de cosas distintas bajo el mismo esquema.
En su intento por denunciar los lugares en los cuales se dan identificaciones injustificadas
(y como estas dan razón de los malentendidos), Wittgenstein va a señalar las diferencias
cruciales que suelen ser omitidas, intentando –como ya se dijo antes- examinar cada uno de
esos puentes que solemos construir entre conceptos, para hacernos ver que están rotos.
Volviendo al tema de los malentendidos interesantes, Wittgenstein se acoge a su estudio
para mostrar como éstos en ocasiones son iguales a los segundos (a los no interesantes),
actividad con la que espera deshacer los malentendidos y mostrar que algunos de los
problemas a los que se enfrenta la filosofía de la matemática no son tales.
The misunderstandings we are going to deal with are misunderstandings without which the calculus would never have been invented, being of no other use, where the interest is centered entirely on the words which accompany the piece of mathematics you make. 119
118 ____________ . Op. cit., IF. § 47.
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En conclusión, considero que la interpretación wittgensteniana de la filosofía sirve y
seguirá sirviendo de base para el acotamiento y auto cuestionamiento que, desde diversas
corrientes, se ha venido realizado a esta disciplina desde la segunda mitad del siglo pasado.
Así mismo, en el ámbito de la filosofía de la matemática y la discusión sobre los
fundamentos de la matemática, las aportaciones de Wittgenstein tienen igual valor que el
que tiene la demostración del teorema de Gödel sobre la lógica. Cuestionar los ensayos
fundacionistas y su pretensión de constituirse en sistemas matemáticos totales y abarcativos
es un triunfo del pensamiento procedimental sobre el exclusivamente teórico. Luego, no
hay por que molestarse en dilucidar qué es la matemática, más bien debe ser una
preocupación de la humanidad en general, el por qué existe entre nosotros una matemática,
una concepción particular de ella, y un ideal de su lugar y función. 120
119 Wittgenstein’s Lectures. Op. cit., p. 16-17. 120 ____________ . Philosophical Remarks. The University of Chicago Press. 1975. p.319, 323.