TEORÍA DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Prácticas de Física IProf. Jesús Cuevas MaraverDepartamento de Física Aplicada IEscuela Politécnica Superior
Medida e Incertidumbre• Toda ciencia experimental se basa en observaciones
cuantitativas que llamamos medidas• A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que
se traducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre asociada al resultado y que constituye una indicación cuantitativa de la calidad del mismo
Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades
¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nos indica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma!
Errores en las medidas físicas• Nos podemos hacer un par de preguntas respecto a nuestras
medidas:1) ¿Cómo de cerca está el valor real?
2) ¿Cómo de fiable es el resultado? Si volvemos a medir, ¿obtendremos el mismo resultado o parecido?
Exactitud (Proximidad)
Precisión (reproducibilidad)
Tipos de errores• Errores sistemáticos:
• Siempre tienen lugar en el mismo sentido.• Se deben a errores de calibración (error de cero), condiciones
experimentales no apropiadas, tendencias erróneas en el observador, etc.• Afectan a la exactitud de la medida.
• Errores accidentales:• Se dan en diferente cuantía y sentido cada vez.• Se deben a causas difíciles de controlar: fluctuaciones ambientales, fallos
de apreciación, etc.• Afectan a la precisión de la medida.
Ambos tipos de errores pueden darse simultáneamente
MEDIDAS DIRECTAS
Evaluación de la incertidumbre típica de una medida directa• Conlleva dos valoraciones diferentes:
• Incertidumbre tipo A• Tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las mismas condiciones.
Requiere de un análisis estadístico del conjunto de observaciones:
• Incertidumbre tipo B• Tiene en cuenta toda la información disponible acerca de la resolución del
instrumento de medida, especificaciones del fabricante, certificados de calibración…
• En las prácticas de laboratorio de Física I, a menos que en el guión de la práctica a realizar se indique otra cosa, se tomará
• Finalmente, la incertidumbre típica (combinada) será igual a
𝑢𝑐 (𝑥 )=√𝑢𝐴2 (𝑥 )+𝑢𝐵
2 (𝑥 )
Análisis estadístico• A partir de N observaciones independientes (x1,x2,x3,…xN), se
toma• El valor medio como resultado de la medida
• La desviación típica del valor medio como incertidumbre tipo A
• Si el número de medidas es menor que 10, podemos hacer la aproximación
Resolución de los aparatos de medida• Aparatos analógicos
• Se toma como resolución del instrumento la menor unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones)
• Aparatos digitales• Se toma como resolución una unidad del último dígito de lectura
δV=1 V
δT=0.1 ºC
Incertidumbre expandida• Define un intervalo en torno al resultado de la medición x en el
que se espera encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando
• Se define como
• k: Factor de cobertura. Nos proporciona el nivel de confianza del intervalo
• En general, tomaremos k=1
k=1 68.3 %k=2 95.4 %k=3 99.7 %
Incertidumbre relativa• Es el cociente entre la incertidumbre (típica, combinada o
expandida) y el resultado de la medida
• Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100 el resultado:• Por ejemplo si x=12 cm y u(x)=4 cm: ur(x)= 4/12=0,33=33%.
• No tiene unidades• Da información sobre la bondad de la medida
Ejemplos• Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un termómetro cuya
resolución es δT=1ºC
• Resultado de la medida (valor medio)
• Incertidumbre
• Resultado final
T1 T2 T3 T4 T5
64ºC 61ºC 65ºC 68ºC 65ºC
𝑢𝐴 (𝑇 )=𝑇𝑚𝑎𝑥−𝑇𝑚𝑖𝑛
6=68−61
6=1.2 ºC 𝑢𝐵 (𝑇 )=𝛿𝑇=1 ºC
𝑈 (𝑇 )=𝑢𝑐 (𝑇 )=√𝑢𝐴2 (𝑇 )+𝑢𝐵
2 (𝑇 )=1.56 ºC
𝑇=(64.6 ±1.6 ) ºC ;𝑢𝑟 (𝑇 )=2.5%
𝑇=∑𝑖=1
5
𝑇 𝑖
5=64.6 ºC
Ejemplos• Supongamos que medimos una longitud tres veces con una regla graduada
en milímetros (δL=1 mm)
• Resultado de la medida
• Incertidumbre
• Resultado final
L1 L2 L3
6.5 cm 6.5 cm 6.5 cm
𝑢𝐴 (𝐿 )=0cm 𝑢𝐵 (𝑇 )=𝛿𝐿=0.1cm 𝑈 (𝐿)=𝑢𝐵 (𝐿)=0.1 cm
𝐿=(6. 5±0 .1 ) cm ;𝑢𝑟 (𝐿 )=1.5%
𝐿=6. 5 cm
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Presentación de resultados• ¿Qué tienen de extraño estas frases?
• La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente 65 millones de años y 3 días
• Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27 segundos• El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12 días, 3
horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas• El resultado de una medida debe expresarse con un número de
cifras que viene determinado por el valor de la incertidumbre• Por ejemplo, es absurdo dar como resultado
x=(1.2732345678534±0.035) m• Y tampoco tiene sentido:
L=(2.1389639±0.18653617) m
Redondeo• Norma
• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden inferior a la
incertidumbre
• La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:• Aumentándola en una unidad si la primera cifra descartada es mayor que 5• Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor que 5• Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las siguientes es mayor que 0, la
última cifra conservada se aumenta en una unidad• Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son 0, la última cifra conservada no
cambia si es par o se aumenta en una unidad si es impar (redondeo al par más próximo)
x=(1.2732345678534±0.035) m x=(1.273±0.035) m
L=(2.1389639±0.18653617) m L=(2.14±0.19) m
Observaciones• Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la
notación científica, esto es, en potencias de 10:
• En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se pueden suprimir:
Ejemplos
4.81343 ± 0.04661
132.2894 ± 2.8754
5127 ± 234
0.53781 ± 0.00996
30353 ± 2550
2.3486 ± 0.345
± 0.047
± 2.9
± 230
± 0.0100
± 2600
± 0.34
4.813
132.3
5130
0.5378
30400
2.35
MEDIDAS INDIRECTAS
Incertidumbre combinada de medidas indirectas
• Las medidas indirectas son magnitudes A que se calculan a partir de otras magnitudes (x,y,z) a partir de una fórmula A=f(x,y,z)
• En este caso, la incertidumbre típica combinada viene dada por
𝑢𝑐 ( 𝐴 )=√(𝜕 𝑓𝜕𝑥 )2
𝑢2 (𝑥 )+(𝜕 𝑓𝜕 𝑦 )2
𝑢2 ( 𝑦 )+( 𝜕 𝑓𝜕 𝑧 )2
𝑢2 (𝑧 )
Ejemplo sencillo• Calculamos el volumen de un paralelepípedo a partir de los valores obtenido de
las medidas de sus aristas
• Incertidumbre combinada
• Resultado
b
a c
a = 10,00 0,10 cmb = 25,0 2,0 cmc = 15,0 1,5 cm
V = a·b·c = 3750 cm3
𝑢𝑐 (𝑉 )=√(𝜕𝑉𝜕𝑎 )2
𝑢2 (𝑎 )+(𝜕𝑉𝜕𝑏 )2
𝑢2 (𝑏)+( 𝜕𝑉𝜕𝑐 )2
𝑢2 (𝑐 )
𝜕𝑉𝜕𝑎=𝑏·𝑐 𝜕𝑉
𝜕𝑏=𝑎 ·𝑐 𝜕𝑉𝜕𝑐 =𝑎 ·𝑏
uc(V)=481,69622 cm3
V = (3750 480) cm3
Observaciones• Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u
ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios.
• Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula.
Ejemplo: densidad de una bola de acero
• Cálculo de la densidad:
Dm
El diámetro D se mide con un calibre cuya resolución es δD=0.01 cm
La masa m se mide con una balanza cuya resolución es δm=0.1 g
𝜌=6𝑚𝜋 𝐷3
Ejemplo: densidad de una bola de acero
• Se mide el diámetro 7 veces
• Valor medio del diámetro
• Incertidumbre
• Resultado
D1 (cm) D2 (cm) D3 (cm) D4 (cm) D5 (cm) D6 (cm) D7 (cm)
2.38 2.45 2.39 2.44 2.40 2.43 2.42
𝐷=∑𝑖=1
7
𝐷𝑖
7=2.4157cm
𝑢𝐴 (𝐷 )=𝐷𝑚𝑎𝑥−𝐷𝑚𝑖𝑛
6=2.45−2.38
6=0.011667 cm
𝑢𝐵 (𝐷 )=𝛿 𝐷=0.01cm 𝑢𝑐 (𝐷 )=√𝑢𝐴2 (𝐷 )+𝑢𝐵
2 (𝐷 )=0.01536 6cm
𝐷=(2 .416±0.015 ) cm
Ejemplo: densidad de una bola de acero
• Se realiza una única medida de la masa, obteniéndose
• En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de haber sido estimada la magnitud por una evaluación tipo B. Por tanto, la incertidumbre típica será igual a la resolución del instrumento
• Resultado
𝑚=57.7g
𝑢 (𝑚 )=𝑢𝐵 (𝑚 )=𝛿𝑚=0.1g
𝑚=(57.7±0.1 )g
Ejemplo: densidad de una bola de acero
• Calculamos la densidad
• Incertidumbre combinada
• Resultado final
𝜌=6𝑚𝜋 𝐷3=7.8170 g / cm
3
𝑢𝑐 (𝜌 )=√( 𝜕 𝜌𝜕𝑚 )2
𝑢2 (𝑚 )+( 𝜕 𝜌𝜕𝐷 )2
𝑢2 (𝐷 )
𝜕𝜌𝜕𝑚=
6𝜋 𝐷3
𝜕 𝜌𝜕𝐷=− 18𝑚
𝜋𝐷4
𝑢𝑐 (𝜌 )=0.1462g / cm3
𝜌=(7.82±0.15 ) g / cm 3
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
Cuándo no se necesita hacer una representación gráfica
• Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una distancia L=(100±1)m
• Para calcular v, 8 personas miden el tiempo que tarda en recorrer el coche la distancia L
• Los tiempos medidos por cada reloj son los siguientes:
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
(4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (4.0±0.1) s (3.8±0.1) s (4.1±0.1) s (4.2±0.1) s (3.9±0.1) s
L
Cuándo no se necesita hacer una representación gráfica
• Calculamos el valor medio del tiempo:
• Calculamos la incertidumbre del tiempo:
• Resultado:
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
(4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (4.0±0.1) s (3.7±0.1) s (4.1±0.1) s (4.2±0.1) s (3.8±0.1) s
𝑡=∑𝑖=1
8
𝑡𝑖8
=4. 075s
𝑢𝐴 (𝑡)=𝑡7−𝑡 56
≈0.0667 s 𝑢𝐵(𝑡)=𝛿𝑡=0.1 s
𝑈 (𝑡 )=𝑢𝑐 (𝑡 )=√𝑢𝐴2 (𝑡)+𝑢𝐵
2 (𝑡)=0.12s
𝑡=(4.08±0.12 ) s ;𝑢𝑟 (𝑡 )=2.9%
Cuándo no se necesita hacer una representación gráfica
• Calculamos la velocidad a partir de la fórmula:
• Incertidumbre combinada de la velocidad:
• Resultado final:
𝑣=𝐿𝑡 ≈24.5098 𝑠
𝑈 (𝑣 )=𝑢𝑐 (𝑣 )=√( 𝜕𝑣𝜕𝐿 )2
𝑢2(𝐿)+( 𝜕𝑣𝜕𝑡 )2
𝑢2(𝑡 )=√𝑢2(𝐿)𝑡2
+𝐿2𝑢2(𝑡)𝑡 4
=0.0017 𝑠
Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica
• Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una distancia L
• Para calcular v, 8 personas se sitúan en 8 puntos diferentes del recorrido situados a una distancia al origen Li y midiendo cada una (una sola vez) un tiempo ti
L=0 L1 L2 L3 L7 L8
t1 t2 t3 t7 t8
Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica
• Resultados de las medidas:
L=0 L1 L2 L3 L7 L8
t1 t2 t3 t7 t8
t (± 0.01 s) L (± 1 m)
0.51 12.5
1.01 25.0
1.57 37.5
2.10 50.0
2.47 62.5
3.06 75.0
3.55 87.5
4.14 100.0
Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica
• Sabemos que la distancia y el tiempo están relacionados a través de la relación lineal:
• Si se representan gráficamente los valores obtenidos, de modo que la distancia esté en el eje de ordenadas y los tiempos en el eje de abcisas, los puntos deben estar alineados
0 1 2 3 4 50
20
40
60
80
100
120
t(s)
L (m)
0 1 2 3 4 50
20
40
60
80
100
120
t(s)
L (m)
Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica
• Debido a los errores experimentales, los puntos no están perfectamente alineados
• Por ello, hay que encontrar la recta de mejor ajuste a esos puntos
• Se puede hacer manualmente o de forma matemática
0 1 2 3 4 50
20
40
60
80
100
120
t(s)
L (m)
Ajuste por mínimos cuadrados (regresión lineal)
• Permite obtener la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b) de la recta de mejor ajuste a partir de los datos experimentales {(x1, x2, … xn), (y1, y2, … yn)}
𝑚=𝑛∑
𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖 𝑦 𝑖−∑𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖
𝑛∑𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖2−(∑
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖)2
𝑏=∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖−𝑚∑𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖
𝑛
𝑢𝑐 (𝑚)=√ ∑𝑖=1
𝑛
( 𝑦 𝑖−𝑚𝑥𝑖−𝑏 )2
(𝑛−2)∑𝑖=1
𝑛
(𝑥¿¿ 𝑖❑−(∑𝑖=1𝑛
𝑥 𝑖)/𝑛)2¿
𝑢𝑐 (𝑏)=𝑢𝑐(𝑚)√∑𝑖=1𝑛
𝑥𝑖2
Ajuste por mínimos cuadrados (regresión lineal)
• El coeficiente de correlación (r) e una medida cuantitativa de la cercanía de los puntos experimentales a la recta de regresión
• |r|<1 y su signo coincide con el de m• Cuanto más cerca esté |r| de 1, mejor es el ajuste. Si |r|<0.9, los
puntos no se suelen ajustar a una recta. Por otro lado, |r|=1 es una indicación de la baja precisión de los aparatos de medida.
• Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9, redondeándola en su caso: r = 0.9996714 r = 0.9997
𝑟=𝑛∑
𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖 𝑦 𝑖−∑𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖
√[𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥𝑖2−(∑𝑖=1𝑛
𝑥 𝑖)2][𝑛∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖2−(∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖)2]
• Debe identificarse la fórmula matemática de nuestro problema con la recta de regresión
• Por tanto, la velocidad coincidirá con la pendiente, y la ordenada en el origen debe ser cero
• Aplicando las fórmulas de mínimos cuadrados se obtiene
¿Cómo se resuelve un problema usando la recta de mejor ajuste?
+0
Cómo debe hacerse una representación gráfica
Eje de ordenadas
(v. dependiente)
Puntos distribuidos por toda la gráfica
Barras de error
Eje de abcisas(v. independiente) Identificación
de los ejes
Escalasencilla
I (mA)1 2 3 4 5 6 7 8
V (102 mV)
12
13
14
15
16
17
El origen no tiene porqué ser el (0,0)
¡Nunca!(La gráfica debe
estar limpia)
Línea deajuste
Cómo no debe hacerse una representación gráfica
5.00000000 5.50000000 6.00000000 6.50000000 7.00000000 7.50000000 8.00000000 8.50000000 9.00000000 9.500000000
12.27
24.54
36.81
49.08
61.35
73.62
85.89
98.16
110.43
L
t
Espaciado absurdo en el eje
La leyenda sobra
Líneas o cuadrículas no necesarias
El espacio en blanco hace que los puntos estén en una región pequeña
Los puntos no deben unirse
No deben incluirse decimales salvo que sea necesario. Y menos en un número tan grande
Otra utilidad de la regresión lineal• Supongamos que estamos tomando las medidas de tiempos del
coche anterior, pero no sabemos si se está moviendo con velocidad constante () o aceleración constante ()
• Podemos hacer dos representaciones: una de L frente a t y otra de L frente a t2 y ver en cuál de ellas los puntos están más cercanos a una recta
• Esto se puede comprobar a ojo o de forma cuantitativa mediante el coeficiente de correlación
Otra utilidad de la regresión linealt (s) L (m)
2.47 12.5
3.49 25.0
4.22 37.5
4.92 50.0
5.47 62.5
6.09 75.0
6.50 87.5
6.99 100.0
t2 (s2) L (m)
6.1009 12.5
12.1801 25.0
17.8084 37.5
24.2064 50.0
29.9209 62.5
37.0881 75.0
42.2500 87.5
48.8601 100.0
2 3 4 5 6 70
102030405060708090
100
t (s)
L (m)
6 11 16 21 26 31 36 41 4610
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t2 (s2)
L (m)
𝑟=0.992
𝑟=0.9997Movimiento acelerado
𝑚=(2.046±0.020 )m / s2
𝑎= (4.092±0.040 )m / s2
𝒎=𝒂𝟐