Minicurso
Teoría Avanzada enPolinomios Ortogonales Multivariados
(Quinta sesión)
Teresa E. Pérez
Departamento de Matemática AplicadaUniversidad de Granada (España)
e–mail: [email protected]
V EIBPOA – Encuentro Iberoamericano de polinomios ortogonalesy sus aplicaciones
Instituto de Matemáticas, UNAM del 8 al 12 de junio de 2015.
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Problemas abiertos
1 Aplicaciones
2 Problemas abiertosPolinomios ortogonales clásicos bivariados/multivariadosAnálogos a los clásicos de T. KoornwinderPolinomios de Krall en dos variablesModificación de UvarovPolinomios ortogonales de Sobolev en varias variablesRelaciones lineales entre OPS
3 Más...
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Problemas abiertos
1 Aplicaciones
2 Problemas abiertosPolinomios ortogonales clásicos bivariados/multivariadosAnálogos a los clásicos de T. KoornwinderPolinomios de Krall en dos variablesModificación de UvarovPolinomios ortogonales de Sobolev en varias variablesRelaciones lineales entre OPS
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Aplicaciones
Construcción de fórmulas de cubatura
Aproximación de funciones multivariadas: series de Fourier
Aproximación simultánea de funciones multivariadas y sus derivadas:productos escalares de Sobolev
Resolución numérica de EDP: métodos espectrales o de Galerkin
Problemas relacionados con sistemas cuánticos descritos por medio deHamiltonianos cuadráticos (en teoría cinética de gases, sistemasópticos, . . . )
Teoría de la señal
Descripción de frentes de onda y pantallas pixeladas
Reconstrucción de la forma de la córnea. Detección de aberraciones
Problemas relacionados con el pulido de superficies ópticas
Transformada de Radon atenuada: Tomografía computerizada (TC) ytomografía de emisión (PET)
...
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Problemas abiertos
1 Aplicaciones
2 Problemas abiertosPolinomios ortogonales clásicos bivariados/multivariadosAnálogos a los clásicos de T. KoornwinderPolinomios de Krall en dos variablesModificación de UvarovPolinomios ortogonales de Sobolev en varias variablesRelaciones lineales entre OPS
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Clásicos de Krall y Sheffer en dos variables (1967)
Estudio y clasificación de los polinomios ortogonales en dos variablessolución de la EDP
awxx + 2 bwxy + cwyy + dwx + ewy = λnw
a, b, c de grado ≤ 2,d, e de grado ≤ 1,λn ∈ R depende del grado total del polinomio solución
Generalización de la ecuación diferencial de Bochner en unavariable
σ(x) y′′ + ρ(x) y′ = λn y
con gradoσ ≤ 2, grado ρ ≤ 1, λn ∈ RGeneralización de la EDP de los polinomios de Hermite, Appell,bola en dos variables,...
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Clásicos de Krall y Sheffer en dos variables (1967)
Deducen nueve clases de polinomios ortogonales clásicos en dosvariables:
Productos de Hermite y/o Laguerre por Hermite y/o LaguerrePolinomios de AppellPolinomios sobre la bolaTres más asociadas a funcionales no definidos positivos
Las clases adicionales de P. K. Suetin (1999)
Obtiene seis clases más.Algunas son afínmente equivalentes a otras, pero suspropiedades son considerablemente distintas.
NO incluyen los productos de polinomios de Jacobi, pues λ dependede los grados parciales
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Suetin, pág. 130Por otra parte, el problema de la clasificación en detalle de todas lasecuaciones admisibles de segundo orden asociadas con polinomiosortogonales en dos variables continua esperando su solución.
Problema abiertoAnálisis de las seis clases adicionales de Suetin. Investigar en quéforma afectan los cambios de variable afín a las propiedades de lospolinomios ortogonales en dos variables.
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Clásicos bivariados (Fernández, Pérez, Piñar, 2005)
Un OPS Pnn es clásico sii existen matrices Λn tales que
L[Ptn] = Pt
n Λtn
dondeL[Pt
n] ≡ div(Φ∇Ptn) + Ψt∇Pt
n
con
Φ =
(a bc d
), gr(Φ) ≤ 2, Ψ =
(de
), gr(Ψ) ≤ 1, Ψ = Ψ− div Φ
L[Ptn] = a ∂xxPt
n + 2 b ∂xyPtn + c ∂yyPt
n + d ∂xPtn + e ∂yPt
n
Caso Krall y Sheffer: Λn = λn In+1
Incluye todos los productos tensoresExtensión de la definición: ejemplos nuevos
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Caracterizaciones
Son equivalentesEDP matricial
div(Φ∇Ptn) + Ψt∇Pt
n = Ptn Λt
n
Ecuación matricial de tipo Pearson
div(Φu) = Ψt u
Relación de estructura
Φ∇Ptn = (I2 ⊗ Pt
n+1)Fnn+1 + (I2 ⊗ Pt
n)Fnn + (I2 ⊗ Pt
n−1)Fnn−1
Ortogonalidad de los gradientes
〈u, (∇Ptm)tΦ∇Pt
n〉 = Knδn,m, n,m ≥ 1
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Problemas abiertos
Problema abiertoClasificar, salvo cambio de variable, todos los OPS clásicos en dosvariables, esto es, todos los OPS solución de una ecuación diferencialen derivadas parciales matricial de la forma anterior.
2a rel. de estructura (Marcellán, Branquinho, Petronilho, 1994)Una SPOM univariada es clásica si y sólo si
Pn(x) =P ′n+1(x)
n+ 1+ bn
P ′n(x)
n+ cn
P ′n−1(x)
n− 1, n ≥ 2, cn 6= 0
Problema abiertoExtender a dos variables la caracterización anterior.
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Semiclásicos en dos variables (Álvarez de Morales,Fernández, Pérez, Piñar, 2007)
u es semiclásico sidiv(Φu) = Ψt u
donde
Φ =
(a bc d
), Ψ =
(de
)grado Φ = p ≥ 0, grado Ψ = q ≥ 1
CaracterizacionesRelación de estructuraCuasi–ortogonalidad de los gradientesRelación difero–diferencial
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Problema abierto
u puede satisfacer más de una ecuación de tipo Pearson:
div(Φu) = Ψt u, Φ =
(a bc d
), Ψ =
(de
)
Problema abiertoDeterminar si una ecuación de tipo Pearson es minimal, en el sentidode cuándo los grados de las matrices coeficientes son mínimos.
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Análogos a los clásicos (Koornwinder 1975)
Class V
1 1x
1
1
y
Class V
1 1x
1
1
y
Class VI
1 1u
1
1
v
Class VI
1 1u
1
1
v
Class VII
x
y
Class I & II
1 1x
1
1
y
Class I & II
1 1x
1
1
y
Class III
0 1x
1
1
y
Class III
0 1x
1
1
y
Class IV
0 1x
1
y
Class IV
0 1x
1
y
Clases I & II: Polinomios sobre la bolaClase IV Polinomios de Appell
Clase V Producto tensor de polinomios de Jacobi
Clases II, III, IV y V generadas por una técnica especial
Fernández, Pérez, Piñar demostramos que todos son clásicos
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Técnica de Koornwinder (1975)
ω1(x) función peso en (a1, b1),
ω2(y) función peso en (a2, b2),
ρ(x) función positiva en (a1, b1) tal que
ρ(x) es un polinomio de grado ≤ 1, o
ρ2(x) es un polinomio de grado ≤ 2, y ω2(x) es simétrica.
p(k)n (x)n≥0 OPS asociada a ρ2k+1(x)ω1(x), k ≥ 0.
qn(x)n≥0 OPS asociada a ω2(x).
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Técnica de Koornwinder (1975)
Para 0 ≤ k ≤ n
Pn−k,k(x, y) = p(k)n−k(x) ρk(x) qk
( y
ρ(x)
)son polinomios de grado (total) n, ortogonales con respecto a
〈Pn−k,k, Pm−h,h〉 =
∫ΩPn−k,k(x, y)Pm−h,h(x, y)W (x, y) dx dy,
donde
W (x, y) = ω1(x)ω2
( y
ρ(x)
)en
Ω = (x, y) : a1 < x < b1, a2 ρ(x) < y < b2 ρ(x).
Si ρ(x) = 1, obtenemos el producto tensor de polinomios en unavariable.
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Problemas abiertos
Determinar una expresión explícita para el núcleo en dosvariables en términos de los núcleos de los polinomios en unavariable.
Relacionar el comportamiento asintótico de los núcleos
Estudiar la existencia y localización de los ceros del OPS en dosvariables en términos de los ceros de los polinomios univariadosque lo define
Cálculo de los coeficientes de las fórmulas de cubatura
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Problemas abiertos
Relaciones entre la simetría en una variable y la simetría central ocuasi–central de los pesos construidos por la técnica deKoornwinder.
Determinar condiciones bajo las cuales los polinomiosortogonales bivariados construidos con la técnica de Koornwindera partir de funciones peso clásicas en una variable son clásicosen dos variables
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Polinomios de Krall en dos variables (Fernández,Pérez, Piñar, 2011)
Pnn≥0 un OPS asociado a u regular. Se dice Bochner–Krall si existe
LN [·] ≡N∑
h=1
h∑i=0
ah−i,i(x, y)∂h
∂xh−i∂yi,
y matrices Λn ∈Mn+1(R), n ≥ 0, tales que Hn Λtn = ΛnHn, y
LN [Ptn] = Pt
n Λtn
Teorema〈LN [p]u, q〉 = 〈LN [q]u, p〉,El orden del operador debe ser par
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Problemas abiertos
Para N = 2 y matriz escalar, recuperamos el caso de Krall & Sheffer
Problemas abiertosClasificar los OPS que son funciones propias de un operador decuarto orden asociado a una matriz escalar (operadores tipo Krally Sheffer) (Martínez, Piñar, 2015)
Estudiar los OPS en dos variables que son funciones propias deoperadores en derivadas parciales de cuarto orden asociados amatrices Λn en general
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Modificación de Uvarov
ξ1, ξ2, . . . , ξN ∈ Rd, N ≥ 1
Λ matriz N ×N semidefinida positivav perturbación de un funcional de momentos regular u
〈v, f g〉 = 〈u, f g〉+ (p(ξ1), p(ξ2), . . . , p(ξN )) Λ
q(ξ1)q(ξ2)
...q(ξN )
Resultados:
Condición necesaria y suficiente para la regularidad de vRelaciones explícitas entre los respectivos OPSs y los respectivosnúcleosAsintótica en casos particularesNuevas desigualdades para PO clásicos en una variable
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Modificación de Uvarov
2010 Fernández, Pérez, Piñar, Xu: Bola con masa en el origen
2010 Delgado, Fernández, Pérez, Piñar, Xu: Appell con masas enlos vértices
2012 Delgado, Fernández, Pérez, Piñar: Bola en R2 con masasigualmente espaciadas en el borde
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Modificación de Uvarov
Problemas abiertosSi u es semiclásico, demostrar que v lo es y relacionar lasecuaciones de tipo Pearson.
Encontrar un OPS asociado a una modificación de Uvarov de unfuncional clásico que sea solución de una EDP de cuarto ordencon matriz escalar (tipo Krall).
Conexiones entre las matrices–coeficientes de las relaciones atres términos
Relaciones entre los ceros
Modificaciones añadiendo masas a lo largo de aristas, fronteras,etc. de las regiones de ortogonalidad
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Polinomios ortogonales de Sobolev en varias variablesProductos escalares que involucran operadores de derivación
Año Bd EDP 2 orden Td Type en general2006 Xu Lee, Littlejohn2008 Xu2009 Piñar, Xu2010 Bracciali, Delgado,
Fernández,Peréz, Piñar
2011 Mello, Paschoa,Pérez, Piñar
2013 Delgado, Aktas, XuPérez, Piñar
Pérez,Piñar, Xu
Li, Xu (arXiv)2015 Dueñas, Garza,
Piñar
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Problemas abiertos
OPS, ceros, núcleos, asintótica, series de Fourier, EDPs, etc.,Productos de Sobolev continuos:
〈f, g〉S = 〈u, f g〉+ 〈v, (∇f)t(θ0 θ1
θ1 θ2
)∇g〉
Productos de tipo Sobolev
〈f, g〉S = 〈u, f g〉+∇f(ξ)t Λ∇g(ξ) = 〈u, f g〉+d∑
i,j=1
λi,j ∂if(ξ) ∂jg(ξ)
Productos de Sobolev discreto–continuos
〈f, g〉S = f(ξ) g(ξ) + λ 〈u, (∇f)t∇g〉
Otros operadores de derivación: divergencia, laplaciano, etc.
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Relaciones lineales entre OPS
Pnn≥0 y Qnn≥0 PS verificando Q0 = P0 y
Qn = Pn +Mn Pn−1, n ≥ 1,
donde Mn ∈Mrdn×rdn−1
ResultadosSi ambas son ortogonales =⇒ u = λ(x) v, con gr(λ(x)) ≤ 1.Además
o bien Qn ≡ Pn, n ≥ 0o bien el rango de Mn es máximo n ≥ 0
Si sólo una es ortogonal, determinar cuándo lo es la otraRelaciones entre familias adyacentes: Polinomios de Appell,producto de Jacobi, producto de Laguerre
Alfaro, Peña, Pérez, Rezola, 2014
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Problemas abiertos
Extensión de la definición de pares coherentes a varias variables
Relación con productos escalares de Sobolev
Estudiar las relaciones lineales para PS centralmente simétricos.Los polinomios sobre la bola unidad son centralmente simétricos,y satisfacen una relación lineal simétrica. ¿Qué relación existeentre ambos conceptos?
Estudiar relaciones lineales a tres o más términos entre dos PS.
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Problemas abiertos
1 Aplicaciones
2 Problemas abiertosPolinomios ortogonales clásicos bivariados/multivariadosAnálogos a los clásicos de T. KoornwinderPolinomios de Krall en dos variablesModificación de UvarovPolinomios ortogonales de Sobolev en varias variablesRelaciones lineales entre OPS
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Más...
Polinomios multivariados de variable discreta (Area, Godoy,Rodal, Universidade de Vigo)
q–polinomios de varias variables
Polinomios multivariados excepcionales (X–multivariados)
Multivariados matriciales
...
Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 29 / 30
Continuará...
Muchas gracias!
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