Tema 1: Electrostática
* Ley de Coulomb y campo eléctrico.
- Ley de Coulomb- Concepto y definición de campo eléctrico* Distribuciones de carga.Aplicaciones- Dipolo- Hilo- Anillo- Disco* Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
Aplicaciones- Lámina- Cilindro- Esfera* Potencial eléctrico.
- Determinación del campo a partir del potencialAplicaciones- Dipolo- Esfera*Capacidad. Condensadores.
Aplicaciones- Condensador plano-paralelo- Condensador cilíndrico- Condensador esférico.- Asociación de condensadores* Dieléctricos.* Energía potencial electrostática.
Temas 21-24 Tipler
Temas 21 y 25 Alonso - Finn
Ley de Coulomb y campo eléctrico.
La atracción electrostática decuerpos cargados eléctricamente seconoce desde la antigua Grecia.
Se observó que tras frotar el ámbar
(elektron en griego), este material
atraía pequeños objetos.
Sabemos que hay dos clases de
carga, positiva y negativa (en el SI
se miden en coulomb, C).
Cualquier fragmento de materia
tiene aproximadamente cantidades
iguales de cada clase. Al cargarlo
(por frotamiento u otro
procedimiento) esa situación de
equilibrio se modifica.
Ley de Coulomb
Charles Coulomb (1736-1806)estudió cuantitativamente la fuerzaejercida por un cuerpo cargadosobre otro.
Los resultados de sus
observaciones conducen al
enunciado de la ley que lleva su
nombre.
Es análoga a la ley de la gravedad
por la dependencia con la
distancia, pero difiere en tanto en
cuanto esta interacción puede ser
atractiva o repulsiva según sea el
tipo de carga de los cuerpos.
Campo eléctrico
Como en el caso gravitatorio, para manejar esta interacción a distancia se introduce elconcepto de campo, en este caso eléctrico. La carga qi produce un campo E en todo punto delespacio, capaz de ejercer una fuerza sobre cualquier otra carga q0, y se define como:
(q0 pequeña)
Volviendo a la ley de Coulomb, se tiene
Su unidad en el SI es el Volt por metro (V/m)
Gráficamente, se pueden cuantificar a través de las
líneas de campo.
0q
FE
punto de campo P
posición de la fuente i
iP2iP
iiP r
r
kqE
Distribuciones de carga.Distribuciones discretas. Dipolo eléctrico.
El campo eléctrico asociado a una distribución de cargas puntuales es:
Caso relevante de este tipo de distribución es el dipolo electrico.
Se describe por su magnitud momento dipolar eléctrico p
Para puntos muy distantes (rp+≈ rp-≈ rp >> L), la expresión
aproximada del campo es
i i
iP2iP
iiPP r
r
kqEE
Lqp
P2P
P2P
P rr
qr
r
qkE
3P
5P
PPdip
r
p
r
rpr3kE
Distribuciones de carga.Distribuciones continuas.
Si los cuerpos cargados son extensos y no pueden manejarse como puntos, habremos dedividirlos en elementos de carga dq suficientemente pequeños.
El diferencial de campo a que cada dq da lugar es
donde r es la distancia desde el elemento
de carga al punto de campo. El campo neto se
obtiene mediante integración:
Según cuales sean las dimensiones relativas de los cuerpos cargados, hablaremos de
distribuciones de carga en línea, en superficie o en volumen.
rr
dqkEd
2
dqr
rkEdE
2
Se descompone el campo según x e y
Estas expresiones se integrarán a la
longitud L, esto es de x=x1 a x2.
Conviene cambiar de variable
lo que conduce a:
Para una línea muy larga se tendrá
Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Línea cargada uniformemente .
dcscydx;sen
yr 2
ps
p
2s
y
2s
2s
x
r
sendxkdE
r
cosdxkir
r
dxkdE
p
yx21y
k2E;0Eθ,0θ
12
p
y12
p
x cos-cosy
k-Ε;sen-sen
y
kΕ
Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Eje de un anillo cargado uniformemente.
En este caso, la simetría de la distribución permite concluir que el campo resultante ha de
estar dirigido según el eje.
Su magnitud se obtendrá operando
del modo siguiente
k
az
zQkE
r
zQkdq
r
zk
r
dqzkE
r
dqzk
r
z
r
dqkcos
r
dqkdE
2/322
333z
322z
Distribuciones de carga.Distribuciones continuas. Eje de un disco cargado uniformemente.
Pasamos así a una distribución de carga en superficie. Vamos a aprovechar el resultado
previo, y descomponemos el disco en anillos de
radio a y anchura da. Estos producen un
campo
La carga en dicho anillo es
e integrando a toda la superficie se llega a
Esta expresión se puede adaptar para escribir el campo generado por un plano infinito.
Bastaría con tomar b muy grande, lo que conduciría a:
k
az
zdQkEd
2/322
ada2dAdQ
kbz
z
z
zk2E
222
kz
zk2E
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
El flujo de un campo vectorial C a través de una superficie cerrada S se define como
donde n es el vector unitario normal a la superficie. Desde un punto de vista físico, el flujo
de un campo es proporcional a la
magnitud de las fuentes del campo
englobadas por la superficie.
Para el caso específico del campo eléctrico
dicha relación viene establecida por la
ley de Gauss.
SS
C AdCdAnC
S 0
encencn
S
E
QkQ4dAEAdE
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
La ley de Gauss equivale a la de Coulomb. Para probarlo, es necesario recurrir al
concepto de ángulo sólido, análogo tridimensional del común.
Se mide en esterorradianes, y es el mismo para
toda superficie que corte el cono dado.
Su magnitud es la superficie de la esfera de
radio unidad secada por el cono. Para el
cono de apertura máxima
mientras que al degenerar en una recta, se obtendría el valor mínimo, 0.
Vayamos a la expresión del flujo eléctrico, y consideremos una sola carga puntual
como fuente.
22 r
cosA
r
rnA
4r
r42
2
Si la carga se encuentra dentro de la superficie,
la apertura angular para abarcarla es la misma
que para la esfera unidad, lo que llevaría a:
Si la carga fuese externa, tomando pequeños conos se observaría que estos atraviesan
la superficie en dos ocasiones. Se tendrían dos contribuciones idénticas a la integral del
ángulo sólido, salvo porque la componente normal del campo a la entrada y la salida
de la superficie han de tener signos opuestos. Por ello, dichas contribuciones se anulan.
Resumiendo, se tiene:
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.
0
E
qkq4
o
enc
ext,jenc,i 0
iE
Q0
q
S s
2S
2E dkqr
cosdAkqAd·r
r
kq
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Lámina uniformemente cargada.
Esta distribución es simétrica respecto al plano Z.
Una traslación arbitraria según X o Y, no modifica
la distribución de cargas y, además cualquier eje
ortogonal al plano Z es también un elemento de
simetría, por lo cual:
Por ello, si se toma una superficie como la de la figura, la ley de Gauss simplifica
notablemente la resolución de este problema:
Para puntos externos al plano, el campo será:
Mientras que en su interior
)z(E)z(E;k)z(E)r(E
az,a2AdvQ;az,z2AdvQ
A)z(E2
V
enc
V
enc
E
kz
zak
a)az(E
00
kz
)az(E0
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Cilindro uniformemente cargado.
Para esta distribución una traslación arbitraria o un giro según el eje Z no altera la
distribución de cargas. Además cualquier eje ortogonal al Z es de simetría, por lo cual:
Nuevamente, al tomar una superficie como la
de la figura, la ley de Gauss simplifica
notablemente la resolución de este problema:
donde a es ahora el radio del cilindro cargado. Se llega así a que, en el interior:
Mientras que en el exterior
R)R(E)r(E
aR,LaQ;aR,LRdvQ
RL2)R(E
2enc
2
V
enc
E
R2
R)aR(E
0
RR2
a)aR(E
0
2
Ra
Flujo eléctrico. Ley de Gauss.Esfera uniformemente cargada.
Para este tipo de distribución, una rotación en torno a cualquier eje que pase por elcentro del sistema deja todo inalterado:
Las superficies de integración elegidas ahora
serán esferas concéntricas a la distribución:
con R radio de la distribución de carga.
Para el interior de esfera se tiene:
Y en el exterior
r)r(E)r(E
Rr,R3
4Q;Rr,r
3
4dvQ
r4)r(E
3enc
3
V
enc
2E
r3
r)Rr(E
0
rr3
R)Rr(E
20
3
Potencial eléctrico.
La fuerza eléctrica es conservativa y, al igual que en el caso de la gravitatoria, estopermite manejar una función energía potencial U asociada a ella. Para una variacióndiferencial dl en el lugar de aplicación de la fuerza sobre una carga puntual, dU vienedefinida por
Este incremento de energía es proporcional a la magnitud de la carga desplazada, al
igual que la fuerza eléctrica depende de la carga sobre la que se mide. Así como
introdujimos el campo eléctrico, definimos la función potencial eléctrico:
La unidad de potencial en el SI será J/C, que tiene
por nombre volt (V).
Consideremos el caso de una carga puntual.
Es habitual tomar como origen de potencial
un punto muy alejado del sistema. Entonces:
ldEqldFdU
a
b
b
a
ab ldEldEVVVldEq
dUdV
P0P2
0P2
0
Pr4
q
r
dr
4
qldr
r4
qVV
Potencial eléctrico.
r4
q)r(V
0
Vamos a aprovechar el ejemplo de la carga puntual para describir la representacióngráfica cuantitativa del potencial escalar.
Los campos escalares se representan
mediante curvas equiescalares. La
tasa de cambio de la magnitud
escalar entre dos superficies se fija.
En el caso del potencial eléctrico
de la carga puntual, las curvas
equipotenciales son esferas. Vemos
que estas superficies son normales
a las líneas de campo eléctrico.
Esto es así por la propia definición del
potencial: Eld,0dVsildEdV
dl
dVEdlEdlEldEdV tantancos
Potencial eléctrico. Determinación de E a partir de V.
Vamos a analizar con más detalle la definición del potencial eléctrico:
Para un desplazamiento arbitrario, la componente de E en dicha dirección es la derivada
direccional del potencial electrostático. Además, el máximo incremento de V seobservará
para un desplazamiento precisamente en la dirección del vector campo eléctrico, pero en
sentido opuesto a este. Matemáticamente, esos dos resultados se traducen en que el
campo eléctrico es, salvo por el sentido, el gradiente del potencial eléctrico.
VE
Podemos determinar las componentes del campo eléctrico, por ejemplo, en cartesianas,
si analizamos desplazamientos paralelos a los ejes X, Y y Z sucesivamente:
zyx
zzz
yyy
xxx
udz
dVu
dy
dVu
dx
dVE
dz
dVEdzEldEdV
dy
dVEdyEldEdV
dx
dVEdxEldEdV
Potencial eléctrico.Dipolo.
El potencial debido a un sistema de cargas puntuales, de acuerdo con el principio desuperposición, es:
donde ries la distancia desde la carga i-ésima hasta el punto de campo P.
Volvamos al caso de un dipolo eléctrico. La expresión exacta del potencial será:
La expresión asintótica para puntos de
campo muy distantes (respecto a la
distancia entre las cargas del dipolo) es:
i i0r4
qV
rr
rr
4
q
r4
q
r4
qV
000
30
dipr4
rpV
Potencial eléctrico.Esfera cargada uniformemente.
El potencial debido a una distribución continua de carga es:
donde r es la distancia desde el elemento de carga hasta el punto de campo P. Paradistribuciones de alta simetría, la integración directa del campo será más sencilla.Veámoslo para este caso ya estudiado. Recordemos:
Con el origen de potenciales en infinito,
evaluamos primero V fuera de la distribución:
Para el interior, se tendrá:
r4
dqV
0
rr3
R)Rr(E;r
3
r)Rr(E
20
3
0
P0
3
r2
0
3
Pr3
Rr
r3
R)Rr(V
P
2P
2
00
2
R
r 0R2
0
3
r
P
rR63
R
ldr3
rldr
r3
RldrE)Rr(V
PP
Capacidad. Condensadores.
Los conductores tienen portadores de carga móviles, luego en una situación estática elcampo eléctrico en su interior debe anularse. Por tanto, el potencial es constante en unconductor.
La ley de Gauss muestra que no puede haber
cargas en desequilibrio en su interior. La carga
neta se localizará sobre la superficie.
Vamos a considerar un sistema formado por
un solo conductor (esférico por simplificar). La
carga Q se distribuirá uniformemente sobre su
superficie, lo que implicará:
La razón entre la carga y el potencial que adquiere
un conductor aislado es su capacidad
R4
QV
r4
Q)Rr(Vr
r4
Q)Rr(E
0
conductor
02
0
R4V
QC 0
Capacidad. Condensadores.
Es más común hablar de capacidad cuando nos referimos a condensadores. Uncondensador es un dispositivo formado por dos conductores (placas) que adquierencargas de igual magnitud y signo opuesto. El cociente entre la magnitud de la carga delas placas y la diferencia de potencial entre ellas es, al igual que en el caso delconductor aislado, constante para una geometría fija
La unidad de capacidad en el SI es el farad (F).
Esta unidad, desde un punto de vista práctico, es demasiado grande (una esferaconductora debería tener un radio R9·109 m para que su capacidad fuese unitaria), porlo que habitualmente se emplean sus submúltiplos, como el microfarad (1 F=10-6 F),el nanofarad (1 nF=10-9 F) y el picofarad (1 pF=10-12 F).
En la expresión de la capacidad de la esfera conductora, se ve que dimensionalmente lapermitividad del vacío
es un cociente entre capacidad y longitud.
V
QC
m/F10854,8 120
Capacidad. Condensadores.Condensador plano-paralelo.
En este tipo común de condensador, las placas son dos láminasmetálicas planas (delgadas) paralelas, separadas una distancia (d)mucho menor que las dimensiones que definen el área (A) de dichasplacas.
Entonces, las placas son, a efectos prácticos, asimilables a dos planoscargados muy extensos (indefinidos). El campo producido por taldistribución, vimos que es:
Superponiendo los efectos de las dos placas, se tiene que en la regiónentre placas:
Así pues, la capacidad del condensador de placas paralelas es:
kA2
Qk
2kk2E
00
A
Qd
A
Qdzldk
A
QVk
A
QE
0
dz
z 0
dz
z 00
0
0
0
0
d
A
A
Qd
Q
V
QC 0
0
Capacidad. Condensadores.Condensador cilíndrico.
En este caso las placas son dos cilindros
conductores coaxiales, uno de radio R1
y
otro de radio interno R2, ambos de
longitud L (L>>R1, R
2). Con esta
condición, las distribuciones de carga son
prácticamente cilindros indefinidos
cargados uniformemente en superficie.
De aquí derivamos la diferencia de
potencial entre las placas y la capacidad:
o la capacidad por metro
RRL2
Q)R(E
L
lQQ
Rl2)R(E
0enc
E
)R/Rln(
L2
V
QC⇒)R/Rln(
L2
Q
R
dR
L2
Qld·
RL2
QV
12
012
0
R
R0
R
R 0
2
1
2
1
)R/Rln(
2
V
L/Q
L
C
12
0
Capacidad. Condensadores.Condensador esférico.
Las placas son ahora dos esferas
conductoras concéntricas, la interior de
radio R1
y la exterior de radio interno R2.
Las cargas se distribuirán uniformemente
en superficie. En la zona intermedia:
De aquí pasamos a la diferencia de
potencial y la capacidad:
RR4
Q)RrR(E
20
21
12
210
R
R 210
12
2102
0
R
R2
0
RR
RR4
V
QC
RR4
RRQ
R
1
R
1
4
Q
R
dR
4
Qld·R
R4
QV
2
1
2
1
Capacidad. Condensadores.Asociaciones de condensadores.
Asociación en paralelo
De la definición de capacidad:
Asociación en serie
Y de la relación entre las tres magnitudes:
V)CC(QQQVCQ
VCQ2121
22
11
i ieq21eq C
1
C
1
C
1
C
1Q
C
QV
21
21
2
2
1
1
C
1
C
1QVVV
C
QV
C
QV
i
ieq
21eq
CCCC
Q
C
QV
Dieléctricos.
En un material dieléctrico o aislante, a diferencia de un conductor, no se dispone de
portadores de carga capaces de desplazarse libremente bajo la acción de un campo.
Vemos abajo el efecto de un campo eléctrico para sustancias no conductoras, bien
apolares (izquierda) o polares.
En cualquiera de los dos casos, el resultado es el mismo: las cargas positivas tienden
a desplazarse siguiendo el campo, mientras las negativas lo tienden a hacer en el
sentido inverso: las moléculas se polarizan en la dirección del campo.
Dieléctricos.
Vamos a analizar la influencia de su presencia en los
fenómenos eléctricos. Consideramos para ello una
situación sencilla, un condensador plano-paralelo y
estudiaremos de forma semicuantitativa las variaciones
que se producen en este sistema.
En las proximidades de las placas, aparece una
concentración relativa de cargas en exceso del tipo
opuesto al de la placa. Esto se traduce, para una carga
fija en las placas, en una disminución de la intensidad
del campo dentro del condensador:
donde es la
constante dieléctrica
del material.
0E
E
Dieléctricos.
Si seguimos apoyándonos en el condensador planoparalelo, constatamos que la
disminución del la intensidad del campo implica una menor diferencia de potencial
entre las placas:
Esto, en la práctica, representa un incremento en la capacidad del condensador:
Siendo más específicos, para el caso concreto del condensador plano:
donde , producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio,
es la permitividad del dieléctrico. Cuando operemos con materiales aislantes, las
expresiones que veníamos manejando hasta ahora se habrán de modificar, de manera
que la permitividad del medio aparecerá en lugar de la del vacío. Así, por ejemplo, la
ley de Gauss se expresará como:
00der
izq
VdEdlEV
0
0
CV
Q
V
QC
d
A
d
ACC 0
0
enc
S
QAdE
Energía potencial electrostática.
La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que se
invierte en transportar dichas cargas desde posiciones muy distantes entre sí hasta sus
posiciones finales en el sistema.
Para dos cargas, supuesta fija la carga 1, el trabajo para llevar la 2 hasta su posición es:
Si se añade otra carga al sistema, el trabajo adicional será:
El trabajo neto para juntar las tres cargas es:
120
12222
r4
qq)r(VqW
230
2
130
13333
r4
q
r4
qq)r(VqW
332211
230
2
130
13
230
3
120
12
130
3
120
21
230
32
130
31
120
21
VqVqVq2
1
r4
q
r4
2
1
r4
q
r4
2
1
r4
q
r4
2
1
r4
r4
r4
qqW
Energía potencial electrostática.
La energía potencial electrostática U de un sistema de n cargas puntuales,
generalizando, es:
Para una distribución continua de carga, operaríamos del modo que ya hemos puesto
en práctica previamente:
Para una distribución de carga en volumen se tendría
Si fuese en superficie
Este tipo de distribución aparece, en particular, para medios conductores. Entonces
donde la suma se extiende ahora a los cuerpos conductores con cargas Qjy potenciales
Vj.
n
1iiiVq
2
1U
Vdq2
1U
ondistribuciV
dvV2
1U
óndistribuciS
dAV2
1U
j
jjj S
jjj
S
QV2
1dAV
2
1dAV
2
1U
jóndistribuci
Energía potencial electrostática.
Un condensador es un dispositivo que entra dentro de estas situaciones. Teniendo en
cuenta las características específicas de estos sistemas podremos escribir:
Tomemos la última expresión en el caso del condensador plano-paralelo
La energía aparece como producto del volumen del condensador (Ad) por cierta
expresión que tiene magnitud de energía por unidad de volumen. No lo probaremos,
pero, de hecho, la energía electrostática de un sistema se puede evaluar
alternativamente como integral de dicha densidad de energía:
C
Q
2
1VC
2
1VQ
2
1)Q(VQV
2
1QV
2
1U
22
21
j
jjrcondensado ∑
)Ad(E2
1Ed
d
A
2
1VC
2
1U 222
espacioeltodo
2dvE2
1U