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TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
TEMA25.Límites de funciones. Continuidad y discontinuidades.
Teorema de Bolzano. Ramas Infinitas
1. Introducción
La continuidad es una de las propiedades más importantes que definen a una función. Mu-
chos teoremas del análisis funcional se apoyan en la continuidad de las funciones. Concep-
tualmente una función es continua en un intervalo [a,b] si en está definida en cada punto del
intervalo y no se producen saltos en su representación.
La mayoría de las situaciones en la Naturaleza describen situaciones entre dos o más va-
riables que se relacionan por funciones de forma continua. Los fenómenos físicos desde un
punto de vista macroscópico siguen la mecánica Newtoniana, que es continua (así si empuja-
mos un cuerpo desde el reposo hasta una velocidad máxima este pasa por todas las velocida-
des reales que hay entre ambas).
Existen funciones en la Naturaleza que no son continuas, la mayoría de ellas son debidas a
cambios de contorno. Así por ejemplo el campo eléctrico creado por un conductor en función
de las distancia del centro no es continuo, pues en su interior es nulo y en la superficie es
0εσ
Para describir la continuidad previamente hay que describir el límite de una función en un
punto, que explica el comportamiento de dicha función en un entorno del punto. Los límites
en la naturaleza se utilizan para explicar el comportamiento en puntos inalcanzables, un ejem-
plo típico es el estudio de las propiedades termodinámicas en el cero absoluto (0K).
Históricamente el concepto de límite y continuidad recibieron una formulación precisa en
el siglo XIX especialmente realizados por Cauchy, y están estrechamente ligados al concepto
matemáticos del número real.
2. Límite de una función
2.1. Conceptos previos. Función real
Una función f, es una correspondencia entre D⊆ℝ y ℝ definida de la forma:
f: D → ℝ
x → y= f(x) y tal que ∀x∈D se cumple que f(x) es único.
La variable x se denomina independiente y el conjunto de todos los puntos x∈D se deno-
mina dominio de la función Dom(f). La variable y se denomina dependiente y el conjunto de
valores de y= f(x) se denomina recorrido, rec (f)={y∈ ℝ : f(x)=y, ∀x∈ ℝ }.
2.2. Definición de límites finitos.
Una función real f(x) se dice que tiene límite l∈ ℝ cuando x tiende a un valor a∈ ℝ, y se
denota como
lxfax
=→
)(lim si se cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<ε
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TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
Ejemplos de límites:
1) f(x)=c·x, xfax
)(lim =→
|c|·|x-a|<ε, luego tomando
En este caso f(a)= limax→
2) Si definimos ahora la función
0)(lim0
=→
xfx
de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero.
ahora a diferencia con
2.2.1. Límites lateral
En la definición de límite no hemos diferenciado entre la aproximación al punto x=a “por la
izquierda” (valores inferiores de a, x<a) o “por la derecha” (valores mayores de a, x>a). Vamos
a definir ahora de forma matemática los denominados límites later
Una función real f(x) se dice que tiene
quierda y se denota
lxfax
=−→
)(lim
Una función real f(x) se dice que tiene
cha y se denota
lxfax
=+→
)(lim
Ejemplo
=2
1)(
si
sixf
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Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
Conceptualmente implica que si definimos un entorno
de f alrededor de l (|f(x)-l|<ε) siempre podemos enco
trar un entorno de x=a (|x-a|<δ) donde los valores de la
imagen en el entorno de f antes definido.
En la mayoría de funciones los valores de los límites
coinciden con el valor de la función en dicho punto
(concepto que como veremos describe la continuidad),
pero existen funciones donde esto no ocurre como v
remos a continuación.
ac·= . Demostración ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ
, luego tomando δ<ε/|c| se cumple la desigualdad anterior.
)(lim xfa
Si definimos ahora la función
=
≠=
03
0·)(
xsi
xsixcxf podemos demostrar que
de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero.
con 1) f(0)=3≠ 0)(lim0
=→
xfx
Límites laterales
En la definición de límite no hemos diferenciado entre la aproximación al punto x=a “por la
izquierda” (valores inferiores de a, x<a) o “por la derecha” (valores mayores de a, x>a). Vamos
a definir ahora de forma matemática los denominados límites laterales.
Una función real f(x) se dice que tiene límite de valor l cuando x tiende hacia a
l si cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a) � |f(x)-l|<
Una función real f(x) se dice que tiene límite de valor l cuando x tiende hacia a
l si cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a,a+δ) � |f(x)-l|<
<
≥
0
0
xsi
xsi
1
2
2)(lim0
=−→
xfx
1)(lim0
=+→
xfx
2
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Conceptualmente implica que si definimos un entorno
) siempre podemos encon-
) donde los valores de la
imagen en el entorno de f antes definido.
En la mayoría de funciones los valores de los límites
coinciden con el valor de la función en dicho punto
(concepto que como veremos describe la continuidad),
donde esto no ocurre como ve-
� |c·x-c·a|<ε,
/|c| se cumple la desigualdad anterior.
podemos demostrar que
de igual forma que en 1) pues x en el entorno de cero no es cero. Pero
En la definición de límite no hemos diferenciado entre la aproximación al punto x=a “por la
izquierda” (valores inferiores de a, x<a) o “por la derecha” (valores mayores de a, x>a). Vamos
de valor l cuando x tiende hacia a por la iz-
l|<ε
x tiende hacia a por la dere-
l|<ε
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Proposición: la función real f(x) tiene límite en x=a si y sólo si existen los dos límites latera-
les y son iguales.
Demostración:
⇒ si se cumple que lxfax
=→
)(lim implica que ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<ε por lo
tanto se cumple en x∈(a-δ,a+δ) y por tanto en x∈(a-δ,a) y x∈(a,a+δ) y por tanto cumple
• ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=−→
)(lim
• ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a,a+δ) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=+→
)(lim
⇐ sean =−→
)(lim xfax
lxfax
=+→
)(lim , entonces se cumple:
• ∀ε>0 ∃ δ1>0: ∀x∈(a-δ1,a) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=−→
)(lim
• ∀ε>0 ∃ δ2>0: ∀x∈(a,a+δ2) � |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=+→
)(lim
Tomando δ=min{δ1, δ2} cumple ∀ε>0 ∃ δ>0: ∀x∈(a-δ,a+δ)� |f(x)-l|<ε por tanto lxfax
=→
)(lim
Explicación gráfica de la demostración
1+ε
1-ε
1-δ1
1+ε
1-ε
1+δ2
1-δ 1+δ
1+ε
1-ε
lxfax
=−→
)(lim
lxfax
=+→
)(lim
lxfax
=→
)(lim
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2.2.2. Propiedades de los límites
Proposición 1: si una función f(x) es real tiene límite en un punto x=a entonces la función
está acotada en un entorno de a.
Demostración: si se cumple lxfax
=→
)(lim � ∀ε>0 ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<ε, toman-
do ε=1, entonces ∃ δ>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l|<1 luego en (a-δ,a+δ) la función f(x) acotada
inferiormente por l-1 y superiormente por l+1.
Proposición 2: si una función f(x) tiene límite en un punto x=a este límite es único.
Demostración: lo haremos por reducción a lo absurdo: supongamos que tiene dos límites
l1≠l2, es decir
• 1)(lim lxfax
=→
� ∀ε>0 ∃ δ1>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l1|<ε
• 2)(lim lxfax
=→
� ∀ε>0 ∃ δ2>0: 0<|x-a|<δ2 � |f(x)-l2|<ε
Sea δ=min{δ1,δ2} en <|x-a|<δ �
<−
<−
εε|)(|
|)(|
2
1
lxf
lxf� |l1-l2|=|l1-f(x)-(l2-f(x)|≤|l1-f(x)|+ |l2-f(x)|<2ε
Se cumple así que |l1-l2|<2ε ∀ε >0 ⇔| l1-l2|=0, es decir l1=l2 que contradice la hipótesis.
2.2.3. Álgebra de límites
Se cumplen las siguientes propiedades (sean 1)(lim lxfax
=→
, 2)(lim lxgax
=→
)
1. Suma y resta: 21)()(lim llxgxfax
+=+→
2. Producto 21·)()·(lim llxgxfax
=→
3. División:
2
1
)(
)(lim
l
l
xg
xf
ax=
→
Demostraciones: utilizaremos 1)(lim lxfax
=→
� ∀ε>0 ∃ δ1>0: 0<|x-a|<δ � |f(x)-l1|<ε y
2)(lim lxgax
=→
� ∀ε2>0 ∃ δ2>0: 0<|x-a|<δ2 � |g(x)-l2|<ε2
1. Tomando ∀ε>0 δ=min(δ1,δ2): |f(x)+g(x)-(l1+l2)|≤|f(x)-l1|+|g(x)-l2|<ε1+ε2=ε. Luego
cumple definición de 21)()(lim llxgxfax
+=+→
2. Al existir límite f(x) acotada por K superiormente en entorno de a (f(x)<a) Tomando
∀ε>0 δ=min(δ1,δ2): |f(x)·g(x)-(l1·l2)|=|f(x)·g(x)-f(x)l2+f(x)·l2-l1·l2|≤|f(x)|·|g(x)-
l2|+l2·|f(x)-l1|<K·ε2+l2·ε1=ε. Luego cumple definición de 21·)()·(lim llxgxfax
=→
3. Se cumple al existir limites que f(x)≤K1 y g(x)≥k2≠0 Tomando ∀ε>0 δ=min(δ1,δ2):
( )2
1
22
12211221
22
22
12
2
12
2
1
)(
)(lim
·
|·||·||)(||||)(|||
·
1
·
)()()()·()·()·(
)·(
)·()·(
)(
)(
l
l
xg
xf
lk
kKlxfklxgK
lk
lk
xgxfxgxflxglxf
lxg
lxglxf
l
l
xg
xf
ax=→=
+≤−+−≤
≤−+−
=−
=−
→ε
εε
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2.3. Límites Infinitos
2.3.1. Ampliación de ℝ.
Para definir los límites infinitos primero tenemos que describir el concepto de infinito, para
luego ampliar el conjunto de los números reales e incluir el infinito en este nuevo conjunto:
ℝ� = ℝ ∪ {∞, −∞} con ±∞ definidos de la siguiente forma -∞<x<∞ ∀x∈∈ ℝ (idea intuitiva)
Operaciones con ±∞
1) Suma y resta en ℝ�
• (x±∞)=±∞ +x=±∞ • x-(±∞) = ∓∞ • ∞ + ∞ = ∞ •-∞ − ∞ = −∞
Indeterminaciones: ∞ − ∞ y −∞ + ∞
2) Producto en ℝ� (suponemos x∈ ℝ+)
• x·(±∞) = ±∞ • -x·(±∞) = ∓∞ • (±∞)·(±∞) = ∞ • (±∞)·(∓∞) = −∞
Indeterminaciones: (±∞) · 0 y 0·(±∞)
3) Cociente en ℝ� (suponemos x∈ ℝ+)
• �
±�= 0 •
±�
�= ±∞ •
±�
��= ∓∞
Indeterminaciones: ±�
±� ,
�
�,
�
� para todo x∈ℝ�
4) Potencia en ℝ���
• si x>1 x∞=∞ y x
-∞=0 • si 0<x<1 x
∞=0 y x
-∞=∞
Indeterminaciones 0∞, 1
∞, 0
0, ∞0
2.3.2. Definiciones de límites infinitos
Definiciones:
1) Una función f(x) tiende a ∞ cuando x tiende hacia “a” y se denota ����→� �(�) = ∞ si
se cumple ∀M>0 ∃ δ>0 : x∈(a-δ,a+δ) → f(x)>M
2) Una función f(x) tiende a -∞ cuando x tiende hacia “a” y se denota ����→� �(�) = −∞
si se cumple ∀m<0 ∃ δ>0 : x∈(a-δ,a+δ) → f(x)<m
3) Una función f(x) tiende a “l” cuando x tiende hacia ∞ y se denota ����→� �(�) = � si
se cumple ∀ε>0 ∃ K>0 : x>K → |f(x)-l|<ε
4) Una función f(x) tiende a “l” cuando x tiende hacia -∞ y se denota ����→�� �(�) = � si
se cumple ∀ε>0 ∃ k<0 : x<k → |f(x)-l|<ε
5) Una función f(x) tiende a ∞ cuando x tiende hacia ∞ y se denota ����→� �(�) = ∞ si
se cumple ∀M>0 ∃ K>0 : x>K → f(x)>M
6) Una función f(x) tiende a -∞ cuando x tiende hacia ∞ y se denota ����→� �(�) = −∞
si se cumple ∀m<0 ∃ K>0 : x>K → f(x)<m
7) Una función f(x) tiende a ∞ cuando x tiende a -∞ y se denota ����→�� �(�) = ∞ si se
cumple ∀M>0 ∃ k<0 : x<k→ f(x)>M
8) Una función f(x) tiende a -∞ cuando x tiende a -∞ y se denota ����→�� �(�) = −∞ si
se cumple ∀m<0 ∃ k<0 : x<k→ f(x)<m
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Interpretación gráfica
1) y 2) lim�→" #($) = ∞ y lim�→�" #($) = −∞
3) y 4) lim�→� #($) = 2 , lim�→�� #($) = −2
5) y 7) lim�→� #($) = ∞ y lim�→�� #($) = ∞ 6) y 8) lim�→� #($) = −∞ y lim�→�� #($) = −∞
Ejemplos analíticos:
• lim�→�"
|�|=∞ ∀M>0 tomamos δ<
"
' se cumple si x∈(-δ,δ) →f(x)>M
• lim�→� $(=∞ ∀M>0 tomamos K>)* se cumple si x>K →f(x)>M
• lim�→�"
�=0 ∀ε>0 tomamos M>
"
+ se cumple si x>M→ |f(x)-0|<ε
2.3.3. Resolución indeterminaciones
Caso 1: ∞∞∞∞-∞∞∞∞. Domina el que tienda a ∞ más rápido el orden de crecimiento de menor a mayor
en infinito es de la siguiente forma (donde > indica que domina su crecimiento en x�∞)
• log(x)> xn>k
x>x
x dentro de x
n crecimiento mayor cuanto mayor sea n y dentro de
kx mayor el crecimiento cuanto mayor k. Ej: ( ) ∞==+−
∞→∞→
x
x
x
xxx 2lim2)ln(lim
2
• En caso de que el crecimiento sea el mismo y no se pueda operar (raíces) se multi-
plica por el conjugado quedando una indeterminación del tipo ∞∞
. Ejemplo:
( ) ( ) ∞∞
=++−
−−=
++−
+−−=+−−
∞→∞→∞→ 2
2lim
2
)2(lim2lim
3333
3333
xxx
x
xxx
xxxxxx
xxx
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Caso 2: ∞/∞. Domina el que tienda a ∞ más rápido, pudiendo ocurrir:
a) Si domina el numerador límite es ±∞: ∞==∞∞
=−
∞→∞→ 44
2lim
32lim
xx
x x
x
x
x
b) Si domina numerador límite es 0: 02
1lim
2lim
2
2lim
333=
−=
−=
∞∞
=++−
−−∞→∞→∞→ xx
x
xxx
x
xxx
c) Si el crecimiento es el mismo, cociente coeficientes: 5
2
5
2lim
45
332lim
3
3
23
3
==+−+−
∞→∞→ x
x
xx
xx
xx
Caso 3: ∞·0 se transforma en ∞/∞: ∞=∞∞
=−
=∞=−∞→∞→ x
xx
xxx
xx
3lim0·
1)·3(lim
22
Caso 4: 0/0 se calcula factorizando por la raíz: 21
)1(lim
)1(
)1)(1(lim
0
0
1
1lim
11
2
1=
+=
−
−+==
−
−→→→
x
x
xx
x
x
xxx
Caso 5: k/0 factorizar denominador y tomar límites laterales (límite puede ser ±∞ o no existir):
•
∞==+−
+
−∞==+−
+
==+−
+=
−
+
+→
−→
→→
+
−
2·0
3
)1)(1(
2lim
2·0
3
)1)(1(
2lim
0
3
)1)(1(
2lim
1
2lim
1
1
121
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
xxNo existe
• ( )
( )∞=
∞==+
+
∞==++
==++
=++
+
+−→
−−→
→−→
+
−
2·0
3
)1(
3lim
2·0
2
)1(
3lim
0
2
)1(
3lim
12
3lim
221
221
2121
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
Caso 6: 1∞∞∞∞, 0
∞∞∞∞, ∞∞∞∞0, 0
0: se calcula tomando logaritmos a ambos lados:
∞
∞→=
−
+= 0
2lim
2
x
x xx
xl ,
( ) ( ) −∞=−∞∞=−=−−+=
−
+=
∞→∞→∞→)·()ln(2)ln(·lim)ln()2ln(·lim
2·lnlim)ln( 2
2xxxxxxx
xx
xxl
xxx → l=e
-∞=0
3. Funciones continuas.
3.1. Continuidad puntual.
Una función real f(x) es continua en un punto x=a cuando se cumple )()(lim afxfax
=→
.
Podemos hablar de continuidad lateral, siendo continua por la izquierda si )()(lim afxfax
=−→
y por la derecha si )()(lim afxfax
=+→
. Evidentemente para que la función sea continua en x=a
tiene que serlo por la izquierda y por la derecha.
3.2. Continuidad en un intervalo
Una función f(x) continua en un intervalo (a,b)⊆dom(f(x)) cuando lo es en todo punto del
intervalo, es decir ∀x0∈(a,b) )()(lim 00
xfxfxx
=→
.
Una función f(x) continua en un intervalo [a,b]⊆dom(f(x)) cuando lo es en todo punto del
intervalo (a,b), es decir ∀x0∈(a,b) )()(lim 00
xfxfxx
=→
y además continua por la derecha en
x=a y por la izquierda en x=b ( )()(lim afxfax
=+→
, )()(lim bfxfbx
=−→
)
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TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
Una función f(x) continua en un intervalo [a,b) ( o en (a,b]) cuando lo es en todo punto del
intervalo (a,b), es decir ∀x0∈(a,b) )()(lim 00
xfxfxx
=→
y además continua por la derecha en
x=a (por la izquierda en x=b).
3.3. Álgebra de funciones continuas.
Proposición: sean f(x) y g(x) funciones continuas en x=a entonces se cumple que (1)
(f±g)(x), (2) (f·g)(x), (3) (f/g)(x) son continuas en x=1.
Demostraciones:
1) ( ) ))(()()()(lim agfagafxgfax
+=+=+→
2) ( ) ))(·()()·()(·lim agfagafxgfax
==→
3) ( ) ))(/()(/)()(/lim agfagafxgfax
==→
Corolario 1: Podemos extender el planteamiento para la suma y/o producto de más de dos
funciones continuas en x=a: ∀ fi continuas en x=a → ∑=
n
i
i xf1
)( ∏=
n
i
i xf1
)( continua en x=a.
Corolario 2: Como f(x)=x continua en ℝ entonces toda función polinómica f(x)=an·xn+…+a0
es también continua en ℝ.
Corolario 3: Se cumple que el conjunto de las funciones continuas en D⊆ ℝ con las opera-
ciones suma y producto escalar, denotadas como (C0(D),+,·) es un subespacio de las funciones
reales definidas en D, ( F(D),+,·).
Demostración: tanto la suma como el producto (en particular por las funciones constantes)
es cerrado en las funciones continuas, por tanto es subespacio.
4. Propiedades de las funciones continuas en un punto.
4.1. Acotación de la función en torno al punto.
Proposición: si una función real f(x) es continua en un punto x=a entonces esta función
acotada en torno a este punto.
Demostración: aplicamos la definición de continuidad )()(lim afxfax
=→
, luego al existir el
límite tomando ε=1 ∃ δ>0: |x-a|<δ se cumple |f(x)-f(a)|<1, por tanto f(a)-1<f(x)<f(a)+1 en un
entrono de x=a, x∈(a-δ,a+δ).
4.2. Conservación del signo de la función en un entorno de un punto.
Proposición: sea f(x) una función continua en x=a, tal que f(a)≠0 entonces existe un entor-
no de x=a donde la función conserva el signo, es decir si f(a)>0 la función es positiva, y si f(a)<0
la función es negativa.
Demostración: veremos sólo el caso f(a)>0 pues el otro es equivalente. Por definición de
continuidad ∀ε>0 ∃ δ>0: x∈(a-δ,a+δ) → |f(x)-f(a)|<ε. Tomando el valor de ε=f(a)/2 se cumple:
x∈(a-δ,a+δ) → |f(x)-f(a)|<f(a)/2, luego f(a)-f(a)/2<f(x)<f(a)+f(a)/2, luego f(x)>0 en x∈(a-δ,a+δ).
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5. Propiedades de las funciones continuas.
5.1. Teorema de Bolzano
Teorema de Bolzano: sea f(x) una función continua en [a,b] y tal que f(a)·f(b)<0 (cambia de
signo) existe al menos un c∈(a,b) donde se cumple f(c)=0.
Demostración: supondremos que f(a)>0 y f(b)<0 (sino se demuestra de forma equivalente).
Dividimos el intervalo en dos: [ ]1,2
, caba
a =
+ y [ ]bcb
ba,,
21=
+, si se cumple que
f(c1)=0 hemos demostrado el teorema, sino tomamos el intervalo donde los extremos cambien
el signo. Se vuelve a dividir el intervalo en el punto el punto medio, c2, si f(c2)=0 se cumple el
teorema siendo c=c2 y se termina el teorema. Si no volvemos a coger el intervalo con extremos
de diferente signo. Repetimos el procedimiento de forma paulatina pudiendo ocurrir:
1. Que en algún punto cn cumpla f(cn)=0 y entonces cumple el teorema.
2. No se anula nunca, con lo que construiremos intervalos encajados con extremos de di-
ferente signo y cada vez más pequeños (cada paso el intervalo mide la mitad del ante-
rior): [a,b] con f(a)·f(b)<0; [a1,b1] con f(a1)·f(b1)<0,…, [an,bn] con f(an)·f(bn)<0. El límite
de los intervalos encajados es un punto ∩[an,bn]=lim(an)=lim(bn)=c que cumple f(c)≤0 y
f(c) ≥0, luego f(c)=0.
Gráficamente:
5.2. Teorema del valor intermedio (Darboux)
Teorema de Darboux: Sea f una función real continua en [a,b] entonces f toma todos los
valores comprendidos ente f(a) y f(b). Es decir ∀ α∈ℝ con f(a)<α<f(b) o f(b)<α<f(a) se cumple
existe al menos un c∈(a,b) tal que f(c)=α.
Demostración: supongamos f(a)<α<f(b) (demostración equivalente si f(b)<α<f(a)). Defini-
mos la función g(x)=f(x)-α que será continua en [a,b] y se cumple g(a)=f(a)-α<0 y g(b)=f(b)-α>0
y por tanto g(x) cumple Bolzano, y por tanto ∃ c∈[a,b]: g(c)=f(c)-α=0, y por tanto f(c)=α.
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 10
TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
5.3. Teorema de acotación (Weierstrass)
Teorema de la acotación: Sea f(x) una función continua en [a,b] entonces f(x) acotado en
[a,b] y tiene un máximo y un mínimo. Es decir existen dos puntos c,d∈[a,b] tal que
f(c)=sup{f(x): x∈[a,b]} y f(d)=inf{f(x):x∈[a,b]}
Demostración: por reducción a lo absurdo, llamamos s=sup{f(x): x∈[a,b]} y supondremos
que no existe x∈[a,b] donde f(x)=s. Se cumple que la función )(
1)(
xfsxg
−= será continua
al no anularse el denominador y ser f(x) continua. Al ser continua g(x) acotada, y por tanto
∀x∈[a,b] donde g(x)<k → sk
sxfkxfs
<−<→<−
1)(
)(
1 en x∈[a,b], luego s no es el su-
premo será s-1/k y contradice la proposición, y por tanto el supremo se toma en x∈[a,b]. De
igual forma para el ínfimo.
6. Tipos de discontinuidades en una función.
Decimos que una función f(x) es discontinua en x0 ∈D si no es continua en dicho punto y
por tanto no cumple )()(lim 00
xfxfxx
=→
Existen varias clasificaciones de los tipos de discontinuidades de una función, una de las
más extendida es la siguiente:
1. Evitable: existe el límite cxfxx
=→
)(lim0
y no existe el f(x0) o el valor de f(x0)≠c. Se llama
así porque redefiniendo la función en x0 de la forma
=
≠=
0
0)()(
xxsic
xxsixfxf esta
se vuelve continua. Ejemplos:
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secund
TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
2. Discontinuidad de salto finito
rales.
3. Discontinuidad de salto infinito
laterales o los dos infin
7. Ramas infinitas. Asíntotas
Una asíntota es una recta a la que la función se acerca a ella sin llegar a tocar, coincidiendo
el comportamiento de la función con la recta en el infinito. Tres tipos de asíntotas:
a) Asíntota vertical: es una recta x=x
ple ±∞=+→
)(lim0
xfxx
infinito. Las asíntotas verticales son típicas de funciones con denominador, siendo las
asíntotas los valores que anulen el den
rador) y las funciones con logaritmo, siendo las asíntotas en este caso los valores que
anulen el argumento del logaritmo. Una función puede tener el número que se desee
de asíntotas verticales.
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Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
Discontinuidad de salto finito: el límite en x0 no existe por ser distintos los límites lat
Discontinuidad de salto infinito: el límite en x0 no existe por ser uno de los dos límites
infinitos.
finitas. Asíntotas
Una asíntota es una recta a la que la función se acerca a ella sin llegar a tocar, coincidiendo
el comportamiento de la función con la recta en el infinito. Tres tipos de asíntotas:
: es una recta x=x0 y ocurre en los puntos de la función donde se cu
y/o ±∞=+→
)(lim0
xfxx
, es decir tiene una discontinuidad de salto
infinito. Las asíntotas verticales son típicas de funciones con denominador, siendo las
asíntotas los valores que anulen el denominar (a no ser que también anulen el num
rador) y las funciones con logaritmo, siendo las asíntotas en este caso los valores que
anulen el argumento del logaritmo. Una función puede tener el número que se desee
cales. Ejemplos:
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Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
no existe por ser distintos los límites late-
no existe por ser uno de los dos límites
Una asíntota es una recta a la que la función se acerca a ella sin llegar a tocar, coincidiendo
el comportamiento de la función con la recta en el infinito. Tres tipos de asíntotas:
ntos de la función donde se cum-
, es decir tiene una discontinuidad de salto
infinito. Las asíntotas verticales son típicas de funciones con denominador, siendo las
ominar (a no ser que también anulen el nume-
rador) y las funciones con logaritmo, siendo las asíntotas en este caso los valores que
anulen el argumento del logaritmo. Una función puede tener el número que se desee
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secund
TEMA 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
b) Asíntotas horizontales
1)(lim axfx
=∞→
(asíntota y=a
ción puede tener dos asíntotas, aunque generalmente el límite suele ser
tiene asíntota horizontal es única. Veamos un ejemplo con dos asíntotas:
c) Asíntota Oblicua: son de la forma y=mx+n con m
ta oblicua cuando al tender a
En la práctica ocurre cuando
para el límite a -∞, pudiendo tener así hasta dos asíntotas oblicuas, aunque lo normal
si tiene es que sea la misma para
8. Contexto con secundaria.
La continuidad se aborda de forma intuitiva en 3º y 4º de la ESO a partir de gráficas y fu
ciones definidas a trozos, aunque en el currículo no incluye el concepto de límite
En bachillerato, en las dos ramas, es
nuidad, así como los teoremas vistos en el tema. Es además la continuidad y los límites una
prueba recurrente en la PAU.
y=|
)(3
3
+
+=x
xxf
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Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
tales: son de la forma y=a. La función tiene asíntota si se cumple que
(asíntota y=a1) y/o 2)(lim axfx
=−∞→
(asíntota y=a2). Por tanto una fu
ción puede tener dos asíntotas, aunque generalmente el límite suele ser
tiene asíntota horizontal es única. Veamos un ejemplo con dos asíntotas:
: son de la forma y=mx+n con m≠0. Una función f(x) tiene una asínt
ta oblicua cuando al tender a ∞ y/0 a -∞ la gráfica de esta función tien
En la práctica ocurre cuando x
xfm
x
)(lim
∞→= ∈ℝ*
y mxx
xfn
x−=
∞→
)(lim
, pudiendo tener así hasta dos asíntotas oblicuas, aunque lo normal
si tiene es que sea la misma para ±∞. Veamos un ejemplo con dos asíntotas oblicuas
Contexto con secundaria.
La continuidad se aborda de forma intuitiva en 3º y 4º de la ESO a partir de gráficas y fu
ciones definidas a trozos, aunque en el currículo no incluye el concepto de límite
dos ramas, es donde se trabajan los conceptos de límite y de cont
nuidad, así como los teoremas vistos en el tema. Es además la continuidad y los límites una
|2
1
+
+
1)(lim −=−∞→
xfx
1)(lim =→∞
xfx
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Límites de funciones. Continuidad y discontinuidad. Bolzano. Ramas infinitas
: son de la forma y=a. La función tiene asíntota si se cumple que
). Por tanto una fun-
ción puede tener dos asíntotas, aunque generalmente el límite suele ser el mismo y si
tiene asíntota horizontal es única. Veamos un ejemplo con dos asíntotas:
0. Una función f(x) tiene una asínto-
la gráfica de esta función tiende al de la recta.
mx∈ℝ y lo mismo
, pudiendo tener así hasta dos asíntotas oblicuas, aunque lo normal
on dos asíntotas oblicuas
La continuidad se aborda de forma intuitiva en 3º y 4º de la ESO a partir de gráficas y fun-
ciones definidas a trozos, aunque en el currículo no incluye el concepto de límite.
donde se trabajan los conceptos de límite y de conti-
nuidad, así como los teoremas vistos en el tema. Es además la continuidad y los límites una