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Tema 2cCálculo de Antitransformadas
yModos Transitorios
Análisis Dinámico de Sistemas2º Ing. Telecomunicación
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Octubre de 2003 Análisis Dinámico de Sistemas (2º Teleco, EPSIG) 2 de 27
Cálculo de Antitransformadasmétodo directoUna posibilidad es el método directo...
El método directo es, a menudo complicado y farragoso
Casi siempre, las funciones F(s) sonexpresiones racionales (un polinomio dividido por otro)
lo que permite aplicar el método dedescomposición en fracciones simples
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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simples
tablas tablas tablas
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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simples
F(s) puede descomponerse en funciones Fi(s) dos tiposcuyas transformadas son conocidas:
se trata de descomponer la expresión racional F(s)en funciones más sencillas cuyas transformadas conocemos por tablas
raíces distintas raíces múltiples
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Aplicando la linealidad de la T. de Laplacese obtiene la expresión de f(t) como suma defunciones fi(t) conocidas
Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simples
tablas tablas tablas
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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces distintas
multiplicando por (s-pi)
evaluando en s=pi
de donde...
1
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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces distintas
Las fracciones resultantes tienen antitransformada conocida:
pudiendo obtenerse ya f(t) por linealidad de la T. de Laplace
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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces distintas (complejas)
aunque dos de las raíces sean complejas,no se trata de ningún caso especial.
Al aplicar Heaviside, nos van a quedardos coeficientes también conjugados (comprobarlo en casa):
En efecto, supongamos dos raíces complejas(siempre vienen en pares conjugados):
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Nota:
Agrupando las dos funciones básicas resultantes por parejasqueda siempre una función real...
Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces distintas (complejas)
Im
Re
...¡que tiene carácter oscilatorio!
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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces múltiples
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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces múltiples
Supongamos:
entonces... 0 0 0
0 0
0
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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces múltiples
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Ejemplo 1
EDL-CC?
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Ejemplo 1
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Ejemplo 1Aplicando Heaviside para las raíces s={0,-1,-3}
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Ejemplo 1simulación
EDL-CCy(t)
t
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Ejemplo 2
G(s)?
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Ejemplo 2
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Ejemplo 2Aplicando Heaviside para las raíces s={-1,-2(doble)}
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Ejemplo 2simulación
G(s)y(t)u(t)
t
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Ejemplo 3
Suponiendo que en t=0 el sistema está en equilibrioy que tanto u(0) como y(0) valen cero
a) obtener su función de transferenciab) obtener su respuesta temporal ante una señal de tipo impulso
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Ejemplo 3a) función de transferencia
para calcular la T. de Laplace de las derivadasdky/dtk, dku/dtk que aparecen en la EDL-CC utilizamos
0 (cond. iniciales nulas)
entonces...
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Ejemplo 3b) Respuesta impulsional
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G(s)y(t)
Ejemplo 3Simulación
+ + =
t
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Modos Transitorios
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Modos Transitorios
En general:
• Si pi es real da lugar a una exponencial- si σ > 0 será creciente y no acotada (inestable)- si σ < 0 será decreciente y tenderá a cero- Cuanto mayor sea |σ |, más rápido crece o decrece
• Si pi tiene parte imaginaria dará lugar a modos oscilatorios- crecientes y no acotados si σ > 0- decrecientes (tienden a cero) si σ < 0- cuanto mayor sea ω más frecuencia de oscilación- cuanto mayor sea |σ | más rápido tiende a cero (o a infinito si σ > 0)- La proporción entre σ y ω nos indica el “grado de oscilación”- Para sistemas estables:
� Si σ >>ω se hace cero antes de que le de tiempo a completar un ciclo (poco oscilatorio)� Si ω >>σ oscila muchas veces antes de tender a cero (muy oscilatorio)
Si expresamos la raíz pi como:
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Re
Im
Mapa de la Dinámica en el plano S
+rapidos(se atenúan + rápido)(tienden a cero + rápido)
+osc
ilato
rios
Semiplano derechoMODOS
INESTABLES(contienen e+σt)