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SUCESIÓN NUMÉRICA
Docente: Huamaní Pillaca Víctor
Email: [email protected]
http://victor-relacionesmetricas.blogspot.com/Blogger:
1. una sucesión numérica se caracteriza por tener como términos a los números , distribuidos y ordenados de acuerdo a una ley de formación.
Veamos:
1° 2° 3° 4°……… n°
1t 2t 3t 4t nt Término de una sucesión
Donde : nt Término general o enésimo termino.
Ejemplos:
2 3nt n -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; ….. 2
( ) 1nf n 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; ……
DEFINICIÓN .-una sucesión de números reales es una función f: N en R definida en el conjunto N = { 1 ; 2 ; 3 ; ….} de números naturales y que va formando valores en el conjunto R de los números reales.
1234
N Rt
1135
2 3nt n
1 2 3 4
1
3
5
N
2 3nt n t
- 1
Ejemplo 1
La sucesión para el cual : 22 1nt n
Los términos son: 1 ;7 ; 17 ; 31 ; …..
Ejemplo 2
La sucesión para el cual: 2
1nt n
Los términos son: 1 1 1
1; ; ; ;......4 9 16nt
Ejemplo 3
La sucesión para el cual: 3 1n
nt
Los términos son: 2 ; 8 ; 26 ; 80 ; ……..
Ejemplo 4
Es cribe el término enésimo o ley de formación de las sucesiones:
a) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; …..
b) 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….
c) – 6 ; - 1 ; 4 ; 9 ; 14 ; …..
d) 3 11 9
3; ; ; ;.....4 27 32
e) 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; ….. 2nnt
2
3
2n
nt
n
3 1nt n
5 2nt n 5 11nt n
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es una sucesión lineal de primer orden, en la cual fijado el primer término; cada término siguiente , a partir del segundo, se obtiene sumando al termino anterior un número llamado: diferencia o razón aritmético constante de la sucesión.
Ejemplo 1 :
Se tiene la sucesión :
3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ……
+2 +2 +2 +2
Es lineal y se denomina progresión aritmética, pues tiene su razón aritmético constante r = 2
Ejemplo 2
-2 ; - 5 ; - 8 ; - 11 ; ……… r = - 3
Ejemplo 3
3 ; 1 ; - 1 ; - 3 ; - 5 ; …. r = - 2
Cálculo del término enésimo de una P.A.
Sea la P.A:
1 2 3 4; ; ; ;.... nt t t t t+r +r +r
Se observa lo siguiente:
2 1t t r 3 1 2t t r
4 1 3t t r
1 ( 1)nt t n r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Donde:
1 :t:nt
Primer término
Último término, término general o enésimo término
n : número de términos
r : es la razón aritmético
Ejemplo 1
En cada caso encuentra la ley de formación:
a) 8 ; 3 ; - 2 ; - 7 ; - 12 ; … r = - 5 5 13nt n
b) - 18 ; - 15 ; - 12 ; - 9 ; …. 3 21nt n Ejemplo 2
En la P.A . encuentra la cantidad de términos:
9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; ….. ; 142
Desarrollo:
Sabemos que:
1 ( 1)nt t n r
142 = 9 + ( n – 1 ) 7
142 – = 9 + 7n - 7
142 - 2 = 7n
20 = n
Otra forma: ley de formación
7 2nt n 142 = 7n + 2 n = 20
Calculo de la suma de los términos de una P.A.
Se tiene la P.A.
1 2 3 4; ; ; ;.... nt t t t t
1 2 3 4 .... nS t t t t t Aplicaremos la siguiente fórmula:
Ejemplo 1
Encuentra la suma de los 20 primeros términos de las siguientes P.A:
a) 4 ; 7 ; 13 ; …..
1( )
2nt t n
S
Desarrollo:
1( )
2nt t n
S
Hallando el último término:
3 4nt n
20 3(20) 4t
20 64t (4 64)20
2S
680S
Ejemplo 2
Halla la suma de los 25 primeros términosEn la P.A.
7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….
Desarrollo:
Hallando el último término:
5 2nt n 25 5(25) 2t
25 127t (7 127)25
2S
1675S
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es la sucesión en la cual, dado un primer término diferente de cero, cada término que continúa a partir del segundo, se obtiene del inmediato anterior al Multiplicarlo por un número diferente de cero llamado cociente común o razón geométrica de la sucesión.
Ejemplo 1
2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; ….
3 3 3 3
-3 ; - 6 ; - 12 ; - 24 ; ….
Ejemplo 2
r = 3
r = 2
2 2 2
Término enésimo de una progresión geométrica
Se tiene la siguiente P.G:
5 ; 15 ; 45 ; 135 ; ….
3 3 3Se observa que:
12 5 3t
23 5 3t
34 5 3t ...
.
.
.
.
.
.1
1n
nt t r
Donde:
:nt Término enésimo.
1t : primer término
r : razón
n : número de términos.
Ejemplo 1
Encuentra el término 10 de la P.G. siguiente:
2 ; 8 ; 32 ; 128 ; ….
Desarrollo:
Sabemos :
11
nnt t r
1 2t , r = 4 y n = 10
10 110 2 4t
910 2 4t
Ejemplo 2
Halla el término enésimo de la P.G
1/3 ; 1 ; 3 ; 12 ; ……
Desarrollo:
11.33
nnt
Se tiene:
11
nnt t r
Ejemplo 3
Halla el término enésimo de la P.G
60 ; 15 ; 15/4 ; 18/8 ; …
Desarrollo:
Se tiene:
11
604
n
nt
Ejemplo 4
En una P.G. se tiene que el término 6 es 1/32 y r = 1/2. Halla el primer término.
Desarrollo:
11
nnt t r
6 1
1
1 1
32 2t
1
1 1
32 32t
1 1t
Suma de los términos de una P.A.
1.
1nt r t
Sr
Ejemplo 1
Halla la suma de los ocho términos de la siguiente P.G.
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; …
Desarrollo:
11
nnt t r
78 1.2t 8 128t
Entonces :
128 2 1
2 1S
S = 255