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FORMAS DE EXPRESAR FUNCIONESBOOLEANASForma POS (Suma de productos)
Suma (OR) de término !rodu"to (AND)#$ormada !or %aria %aria&'e "om!'ementada ono
Forma POS (Producto de sumas)Produ"to (AND) de término uma (OR)$ormado !or %aria %aria&'e "om!'ementada ono
f(a,b,c) = a’bc + ab’c’+ abc + c
Términos
producto
f(a,b,c) = (a + b + c) (a +
b’ + c) (c’ + a)
Términossuma
Formas derepresentación
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FORMAS CANONICAS
• En una e!rei*n en $orma "an*ni"a# "ada %aria&'e a!are"e en
"ada termino
Mintermino: +ermino de!rodu"to en e' "ua' "ada %aria&'ea!are"e una o'a %e, en u $orma%erdadera o "om!'ementada!ero no am&a
Maxtermino: +ermino de umaen e' "ua' "ada %aria&'e a!are"euna o'a %e, en u $orma%erdadera o "om!'ementada#!ero no en am&a
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FORMAS CANONICAS
F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C) = M0.M2.M5
f(a,b,c) = A’B’C+A’BC+AB´C+ABC’+ABC = m1 + m3 + m5 +m6 + m7 Por teorema de Demor-an e !oi&'e
o&er%ar .ue/
1
m1’ = (A’B’C)’ = (A + B+ C’) = M1
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CON2ERSION EN+RE FORMASCANONICAS
Pasos/
3 E%a'uar en .ue %a'ore &inario e re!reenta 'a SOPetndar
SOPestánd
ar
POSestánd
ar
f(x,y,z) = x’y’z’+ x’yz +
x’yz’ + xy’z
f(x,y,z)=(x+y+z’)(x’+y+z)
(x’+y’+z)(x’+y’+z’)
5 Determinar 'o n6mero &inario no in"'uido en e'
!ao 3
f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z
000
011
101
0100 3 5 2
A' tenere 7 %aria&'e (# 1# ,) ern 8 () !oi&'e "om&ina"ione#i e o&er%a 'a anterior e!rei*n 'o n6mero $a'tante on/3#4#9#: ;;3# 3;;#33;#333
7 E"ri&ir 'o término uma e.ui%a'ente !ara 'o%a'ore en"ontrado en e' !ao 5 1 e!rear'o en POS
f(x,y,z) = (x + y + z’)(x’ + y + z)(x’ + y’
+ z)(x’ + y’ + z’)
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E
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SIMPLIFICACION DE CIRCUI+OSLO=ICOS
• Algebra booleana/
Buen "ono"imiento de 'a re-'a >a&i'idad !ara a!'i"ar 'a re-'a
• Mapas de arnag!/ Método de im!'i?"a"i*n -ra?"o Baado en teorema &oo'eano# !ero de ma1or $a"i'idad a'
uti'i,ar'o
• Mapas de arnag!/ Método de im!'i?"a"i*n ta&u'ar Dire"to# itemti"o 1 no im!orta e' numero de %aria&'e No 'o %amo a tratar en e' "uro
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SIMPLIFICACION POR AL=EBRABOOLEANA
Para 'a i-uiente ta&'a de %erdad en"uentre 'a do $orma
"an*ni"a# 'a SOP# e' POS 1 'a $orma no etndar m@nima Ademre!reénte'a en término de u im!'ementa"i*n en "om!uerta
S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc
S = (x+y+c)(x+y’+c’)(x’+y+c’)(x’+y’+c)
C = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc
C = (x’+y+c)(x+y’+c)(x+y+c’)(x+y+c)
POS
canónica
POScanónica
SOPcanónica
SOPcanónica
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SIMPLIFICACION POR AL=EBRABOOLEANA
Para ''e%ar 'a $orma "an*ni"a a una $orma no etndar im!'i?"ada e
ua a'-e&ra &oo'eana
S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc = c(x’y’+xy)+c’(x’y+xy’) = (x!y)’c + (x!y)c’ = (x ! y) ! c
C = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc + xyc = x’yc + xy’c + xy(c’ + c) + xyc +
xyc = yc(x’+x) + xc(y’+y) + xy = xy + yc +xc
Para u im!'ementa"i*n en !uerta '*-i"ae a!ro%e"a uno de 'o XOR de 'a uma
C = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc = xy(c+c’)+c(x’y+xy’)
= xy + c(x ! y)
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MAPAS DE ARNAU=>
• E una representación -r?"a de una ta&'a de %erdad# 1a .ue
muetra todo 'o !oi&'e %a'ore de 'a %aria&'e de entrada 1 'o%a'ore de a'ida de 'a re!e"ti%a "om&ina"i*n de entrada• Un ma!a de arnau- !uede ma!ear !oi&'e mintermino de una
$un"i*n &oo'eana de n %aria&'e• Para una $un"i*n &oo'eana de n %aria&'e# un ma!a de arnau-
er/
Si n es par/ Un "uadrado de Si n es impar/ Un re"tn-u'o de
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MAPAS DE ARNAU=>
• Lo ma!a de arnau- uti'i,an "*di-o -ra1 en 'a numera"i*n
de 'a "e'da# eto a"e .ue o'o "am&ie una o'a %aria&'eentre "e'da ad1a"ente
;0
31
34
;5
33
;2
37
36
ABC
00 01 1011
0
1
;1
33
30
;2
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;5
36
34
C AB
00
01
10
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0 1
A*+*
A*+
A**+*
A+*
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SOP EN MAPAS DE ARNAU=>Se di&ua e' ma!a 1 e "o'o"a un 3 en 'a "e'da .ue "orre!onden a'o mintérmino de 'a $un"i*n Si e tiene una $un"i*n SOP no
etndar# éta de&e "om!'etare 1 una %e, e"o eto e u&i"antodo 'o mintérmino en e' ma!a de arnau-
;0
31
34
35
33
;2
;7
;6
ABC
00 01 1011
0
1
0 1
4 5
3 2
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ABC
00 01 1011
0
1
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SOP EN MAPAS DE ARNAU=>
0 1
4 5
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12 13
8 9
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11 10
AB
CD00 01 1011
00
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3
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AB
CD00 01 1011
00
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SOP EN MAPAS DE ARNAU=>,-ué sucede cuando una .unción booleana no esta dada en.orma canónica/
Su!*n-ae .ue de da 'a i-uiente $un"i*n .ue no eta e"rita en$orma etndar/
Paso 01 Com!'etar a $orma "an*ni"a/
Paso " En"ontrar 'o mintermino (Aun.ue 'a !oi"i*n de 'o 3 e!uede dedu"ir a !artir 'a $orma "an*ni"a)
Paso # U&i"ar en e' ma!a
30 1
4 5
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ABC
00 01 1011
0
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POS EN MAPAS DE ARNAU=>E' !ro"edimiento "onite en di&uar e' ma!a 1 u&i"ar ; en 'a "e'da"orre!ondiente a 'o matérmino de 'a $un"i*n E ne"eario
"om!'etar 'o término "uando no etén en $orma etndar 1 'ue-oidenti?"ar 'o matérmino
;0 1
4 5
3 2
7
;6
ABC
00 01 1011
0
1
;
;
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POS EN MAPAS DE ARNAU=>
0 1
4 5
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12 13
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11 10
AB
CD00 01 1011
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;1
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3 2
;7 6
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;8 9
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;10
AB
CD00 01 1011
00
01
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11
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SIMPLIFICACION DE SOP POS
2eglas de simpli3cación/
• A-ru!ar "e'da ad1a"ente Se a-ru!an 3 (minterm) o ;(materm) de a"uerdo a' ti!o de $un"ione '*-i"a
• Lo -ru!o on !oten"ia de 5# e de"ir e &u"a unir 5# 4# 8(3 o ;) .ue etén en "e'da "one"uti%a
• Para en"ontrar 'a e"ua"i*n '*-i"a reu'tante de 'o ma!a
de arnau- e o&er%an 'a %aria&'e .ue no "am&iandentro de' -ru!o
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SIMPLIFICACION DE MAPAS DEARNAU=>
2eglas de simpli3cación/
• A-ru!ar "e'da ad1a"ente Se a-ru!an 3 (minterm) o ;(materm) de a"uerdo a' ti!o de $un"ione '*-i"a
• Lo -ru!o on !oten"ia de 5# e de"ir e &u"a unir 5# 4# 8(3 o ;) .ue etén en "e'da "one"uti%a
• Para en"ontrar 'a e"ua"i*n '*-i"a reu'tante de 'o ma!a
de arnau- e o&er%an 'a %aria&'e .ue no "am&iandentro de' -ru!o
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MINIMIACION USANDO MAPAS DEARNAU=>
Método general
3 Con%ierta 'a $un"i*n de'a e"ua"i*n a 'a $ormaPOS
5 Co'o.ue 'o 3 en 'a"e'da de' ma!a
a!ro!iada !ara "adatermino7 Cu&ra todo 'o 3 a'
di&uar 'a menor"antidad de "@r"u'o-rande# "on "ada 3in"'uido en a' menouno e"ri&a e'"orre!ondientetermino !ara "ada"ir"u'o
4 >a"er un OR de 'o
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MAPAS DE ARNAU=> DE DOS2ARIABLES
Algunos tips/
• L'ene "ada "e'da "one' "orre!ondiente%a'or de F
• Di&ue 'o "@r"u'oa'rededor de 'o 3
ad1a"ente (=ru!ode 3# 5 o 4)• Lo "@r"u'o indi"an
o!ortunidad deo!timi,a"i*n (e!uede remo%er una%aria&'e)
• O&tener 'a $un"i*n ORde todo 'o término"ontenido en 'o"@r"u'o
xy
30
;1
2 3
0 1
0
1
3 ;
y ’
xy
30
;1
2 3
0 1
0
1 3 3
y ’ x
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MAPAS DE ARNAU=> DE +RES2ARIABLES
2ecuerde/ un Gma!-r?"amente "o'o"a 'omintermino uno !r*imo aotro o'o "uando e''odi?eren en una o'a %aria&'e
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MAPAS DE ARNAU=> DE +RES2ARIABLES
Algunos tips/• Lo "@r"u'o !ueden
"ru,ar 'o 'ado dere"o
o i,.uierdo# eto !or .ue'o ee on ad1a"ente• Lo "@r"u'o de&en tener
3# 5# 4 o 8 "e'da 7# H o: no on !ermitida
• Cuando e ''enan toda
'a "e'da 'a $un"i*n ei-ua' a 3
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MAPAS DE ARNAU=> DE +RES2ARIABLES
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MAPAS DE ARNAU=> DE +RES2ARIABLES
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MAPAS DE ARNAU=> DE 4 2ARIABLES
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MAPAS DE ARNAU=> DE 4 2ARIABLES
Algunos tips/• Lo Gma! de 4
%aria&'e i-uen e'mimo !rin"i!io/ Ad1a"en"ia
dere"ai,.uierda
Ad1a"en"iaarri&aa&ao
• Ad1a"en"ia im!'i"adi$eren"ia en una o'a%aria&'e/
Do 3 ad1a"entei-ni?"a .ue una%aria&'e !uede ere'iminada
Cuatro 3 ad1a"entei-ni?"a .ue 5%aria&'e !ueden er
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MAPAS DE ARNAU=> DE 4 2ARIABLES
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SIMPLIFICACION DE SOP
30
31
3
4
3
5
33 2
7
3
6
312 13
8
39
315
314
11 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
ABC DC B D B A D BC A DC B A f ++++=),,,(
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SIMPLIFICACION DE SOP
0
31
4
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33 2
37 6
312 13
3
8
3
9
315
314
3
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3
10
AB
CD00 01 1011
00
01
10
11
B A D A AC D A DC B A f +++=),,,(
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SIMPLIFICACION DE POS
0
;1
4 5
;3
;2
;7 6
;12 13
8 9
;15
;14
;
11 10
AB
CD00 01 1011
00
01
10
11
( )( )( )( ) D B AC B A D B A DC DC B A f +++++++=),,,(
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SIMPLIFICACION DE POS
;0
;1
;4 5
3 2
;7 6
;12 13
8
;
9
15
;14
;
11 10
AB
CD00 01 1011
00
01
10
11
( ) ( )( )( )( ) DC B A DC B D B A D B A DC A DC B A f +++++++++++=),,,(
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ES+ADOS DONJ+ CARE EN MAPAS A'-una %e"e e !rodu"en combinaciones de las ariablesde entrada 4ue no están de3nidas# e de"ir .ue no tienenun %a'or ai-nado !ara una "om&ina"i*n de entrada ene!e"i?"o Eta "om&ina"ione e mar"an "on una X 1 !uedentomar e' %a'or tanto de K3 * K; e-6n 'a uti'idad .ue !retenen 'a im!'i?"a"i*n de 'a $un"i*n '*-i"a
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ES+ADOS DONJ+ CARE EN MAPAS
30 1
4
X
5
33
X2
7 6
312 13
38 9
X15
314
311
310
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
0
;1
;
4
X
5
3
X2
;
7
;
6
12
;13
8
;9
X15 14
11 10
ABCD
00 01 1011
00
01
10
11
( )( ) B A DC DC B A f ++=),,,( D B D AC B DC B A f ++=),,,(
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CON2ERSION SOP POS
BD
AD
DC B ACD B A DC AB DC B A BCD A ABCD DC B A f +++++=),,,(
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CON2ERSION SOP POS
A+B
0 0 0 0
0
0
00 0 0
D
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CON2ERSION SOP POS
30 1
4 5
33
32
7 6
312 13
3
8 9
315
314
3
11
3
10
AB
CD00 01 1011
00
01
10
11
0
;1
;4
;5
3 2
;7
;6
12
;13
8
;
9
15 14
11 10
AB
CD00 01 1011
00
01
10
11
SOP POS
( )( ) B A DC DC B A f ++=),,,( D B D A AC C B DC B A f +++=),,,(
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PROCESO DE SIMPLIFICACION
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PROCESO DE SIMPLIFICACIONCOMPLE+O
MAPAS DE H 2ARIABLES 9
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MAPAS DE H 2ARIABLES 92ARIABLES
Lo ma!a de H 1 9 %aria&'e eiten !ero on di$@"i'e deminimi,ar
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MAPAS DE H 2ARIABLES
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MAPAS DE H 2ARIABLES• 2aria&'e/ A# B# C# D 1 E donde A MSB 1 E LSB• Se a"en 5 ma!a de 4 %aria&'e# donde un ma!a e !ara
una %aria&'e 1 e' otro e !ara 'a mima %aria&'e !ero"om!'ementada
30 1
4 5
33
32
7 6
312 13
38 9
315
314
311
310
BC
DE00 01 1011
00
01
10
11
30 1
4
35
33
32
7 6
312 13
38
39
315 14
311
310
BC
DE00 01 1011
00
01
10
11
A = 0 A = 1
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE H
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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE H2ARIABLES
Paso 0 Identi?"ar -ru!o "omune a am&o Ma!a
30 1
4 5
33
32
7 6
312 13
38 9
315
314
311
310
BC
DE
00 01 1011
00
01
10
11
30 1
4
35
33
32
7 6
312 13
38
39
315 14
311
310
BC
DE
00 01 1011
00
01
10
11
A = 0 A = 1
f(A,B,C,D,E) = BDE + …+CE +CD +BDE
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE H
-
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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE H2ARIABLES
Paso " Identi?"ar -ru!o en "ada ma!a .ue a-ru!en a 'o 3
$a'tante
30 1
4 5
33
32
7 6
312 13
38 9
315
314
311
310
BC
DE
00 01 1011
00
01
10
11
30 1
4
35
33
32
7 6
312 13
38
39
315 14
311
310
BC
DE
00 01 1011
00
01
10
11
A = 0 A = 1
f(A,B,C,D,E) = BDE ++CE +CD +BDE +ABD +ABC ABCDE
-
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MAPAS DE 9 2ARIABLES
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE 9
-
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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE 92ARIABLES
00 1
40
5
30
2
07
06
0
12 13
08 9
0
15
0
14
011
010
CDEF00 01 1011
00
01
10
11
00 1
4 5
03
02
70
6
0
12 13
08 9
15
0
14
011
010
CDEF00 01 1011
00
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CDEF
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10
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5
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02
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015
014
011
010
CDEF
00 01 1011
00
01
10
11
A=0 A=1
B=0
B=1
f(A,B,C,D,E,F)
-
8/20/2019 Soluciones funciones SOP y POS
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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE 9
-
8/20/2019 Soluciones funciones SOP y POS
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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE 92ARIABLES
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40
5
30
2
07
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CDEF
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CDEF
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CDEF
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07 6
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CDEF
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00
01
10
11
A=0 A=1
B=0
B=1
F D
CF A
F E B
BCE
E D B
F C B
F AC
E D A
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE 9
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8/20/2019 Soluciones funciones SOP y POS
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SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS DE 92ARIABLES
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CDEF
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CDEF
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CDEF
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CDEF
00 01 1011
00
01
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A=0 A=1
B=0
B=1
F D
CF A F E B
BCE
E D B F C B
F AC
E D A
DF C B A
DF C AB
DC B A