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Sistemas de control TI-2233
Miguel Rodríguez
4ª clase
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Sistemas de control Steady –state response• Definiciones importantes– Steady state response: respuesta a la forzadora o
respuesta en estado estacionario, es la salida del sistema después que pasan los efectos debido al cambio de estados ( transición) .
– Transient response : Respuesta de un sistema al impulso ó a un cambio de estado.
– Overshoot: cuando una señal excede su valor de estado estacionario. Sobrepico.
– Settling Time: Tiempo de estabilización.– Rise time: Tiempo en que una señal alcanza un
determinado valor.
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Sistemas de control Steady –state response
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Sistemas de control Step input
• Entradas de pruebas– La señal escalón (Step input)
– La transformada de Laplace:
00
01)()(
t
ttstu
ssU /1)(
dttfesF st
0
)()(
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Sistemas de control impulse input
• Entrada impulso
• Integremos el impulso en el tiempo
• La transformada de Laplace es:
)()( ttu
)()(
)()()()(
01)()(
00
00
tsdt
dt
tsdt
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dt
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1)( sU
![Page 6: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/6.jpg)
Sistemas de control Unit ramp input
• Entrada rampa
• La transformada de Laplace
0:0
0:)()(
t
tttrtu
2
1)()(s
sRsU
![Page 7: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/7.jpg)
Sistemas de control Unit ramp input
• Entrada parabólica
• La transformada de Laplace
0:0
0:)()( 2
2
t
ttptu
t
3
1)()(s
sPsU
![Page 8: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/8.jpg)
Sistemas de control Polynomial input
• Generalización de la entrada a través de un polinomio
;!
)(
;!!2
)(
0
2
210
p
i
i
i
p
p
i
tdtu
p
td
tdtddtu
0t
![Page 9: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/9.jpg)
Sistemas de control Sinusoidal input
• Señal sinusoidal
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Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta al escalón
– Solución en el tiempo
sas
KsY
as
KsG
1)()(
00
taea
K
a
Kty 0
00
)(
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Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta al escalón– Solución en el tiempo (Sistema de primer orden)
taea
K
a
Kty 0
00
)(
![Page 12: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/12.jpg)
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta al escalón– Valor en estado estacionario
0000
0
1)(lim
)(lim)(lim
a
K
sas
KsssY
tfssF
ss
ts
![Page 13: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/13.jpg)
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas• Respuesta a la rampa
– Teorema del valor final
– Solución en el tiempo (Tarea: comprobar la solución)
20
1)(
sas
KsY
0
20
0
1)(lim
ss sas
KsssY
taea
K
at
a
Kty 0
000
1)(
![Page 14: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/14.jpg)
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta sobre amortiguada, dado un sistema que
tiene 2 raíces reales en el denominador:
• Aplicamos un escalón a la entrada
))(()(
012
ss
K
asas
KsG
)(
1
)()(
1
)(
1
1)(
012
sss
K
sasas
KsY
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Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta sobre amortiguada
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Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta Críticamente amortiguada, las dos raíces
del denominador están en el mismo lugar
– Aplicando un escalón
2)()(
s
KsG
22
2
)()(
11
1
)()(
sss
K
ss
KsY
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Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta Críticamente amortiguada
]1[)(2
tt teeK
ty
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Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada; Asumiendo que el
sistema tiene raíces complejas
– Aplicando un escalón a la entrada
22222 )()(2))(()(
ws
K
wss
K
jwsjws
KsG
222222
22
)()(
)(1
1
)()(
wsws
s
sw
K
sws
KsY
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Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada: en el dominio del
tiempo
wtewtew
Kty tt sin)cos(1)(
22
)sin()(
1)(2/122
22
wte
w
w
w
Kty t
![Page 20: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/20.jpg)
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada• El denominador de la función de transferencia se
escribe normalmente de la siguiente manera:
• Donde es la relación de amortiguamiento y n es la frecuencia natural, siguiendo con nuestra notación tenemos que:
)(22 22222 wssss nn
222/ wy nn
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Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada• Relación de amortiguamiento
)(22 22222 wssss nn
10
![Page 22: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/22.jpg)
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden– Términos usados:
• Retardo (delay time) es el tiempo que necesita la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar el 50% de su valor final.
• Tiempo de subida (rise time) el tiempo que necesita la salida desde el 10% hasta el 90% del valor en estado estacionario.
• Tiempo de establecimiento (settling time) es el tiempo que se toma la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar un valor estacionario, normalmente a un 5% del valor de estado estacionario.
• Overshoot, Máximo rebasamiento, es la máxima diferencia entre el valor de estado estacionario y la transiente.
ioestacionar estado devalor
100%overshoot máximo
![Page 23: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/23.jpg)
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden–Máximo valor de overshoot. Derivamos la función y(t) e igualamos a cero.
– La solución depende del seno, y es para los valores:
– Los mínimos y máximos son definido por:
0sin)(
wtew
K
dt
tdy t
.,2,1,0,/ etciwit
wii ew
Kiy /1
22)1()(
![Page 24: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/24.jpg)
Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas
• Errores– El desempeño de un sistema es normalmente
evaluado en termino de el error entre lo demandado o requerido y la señal de salida.• Error en la medición
• Error en el modelado
• Interferencias del ruido
• Error de estado estacionario.
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Sistemas de control Tipos de Errores
• Error del sistema
• Ejemplos
)(
)()(
011
1
011
10 asasass
bsbsbsKsG
nn
nq
mm
m
![Page 26: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/26.jpg)
Sistemas de control Tipos de Errores
• Error de estado estacionario
– Ejemplo: Halle el error en estado estacionario, señal de entrada escalón.
)(sE
)2(
3)(0 s
sG
![Page 27: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/27.jpg)
Sistemas de control Tipos de Errores• Error de estado estacionario (entrada rampa)
• Tarea: realice la misma operación para una señal de entrada parabólica.
2
1)(s
sV
![Page 28: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/28.jpg)
Sistemas de control Tipos de Errores
• Error de estado estacionarioTipo de sistema Entrada escalón
unidadEntrada rampa
unidadEntrada parábola
unida
0
1 0
2 0 0
3 0 0 0
sK11
rK
1
aK1
![Page 29: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/29.jpg)
Sistemas de control Tipos de Errores
• Error transitorio:– Es el valor del error durante la respuesta del
transitorio. Y se puede hallar restándole al error del sistema el error de estado estacionario.
Error transitorio al escalón.
)(|)()()( 0 sssEsEsE sT
![Page 30: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/30.jpg)
Sistemas de control Tipos de Errores
• Perturbaciones (Disturbances):
)()(
1)(
)()( sN
KssV
Ks
KsY
![Page 31: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/31.jpg)
– Perturbaciones. Ejemplo:
• Hallar K y para que la salida del sistema sea críticamente amortiguada y el rechazo a perturbaciones de 1/10. Entradas escalón.
Sistemas de control Perturbaciones
40;400
;1,2
)()()1(
)()(
2
232
K
Knn
sNKsKss
ssV
Kss
KsY
![Page 32: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/32.jpg)
– Perturbaciones • A la salida:
Sistemas de control Perturbaciones
)()(
)()(
)()( sN
Ks
ssV
Ks
KsY
)(
1
s+ +
+
-
V(s) Y(s)
N(s)
![Page 33: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/33.jpg)
Sistemas de control Sensibilidad– Sensibilidad: Variación de la salida en función a
las variaciones en el tiempo del sistema o el control.
• Ejemplo: Señal de entrada Invariante en un sistema a lazo abierto.
)(/)(
)(/)(
sGsG
sYsYSYG
![Page 34: Sistemas de control TI-2233 Miguel Rodríguez 4ª clase](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022062500/5665b4641a28abb57c9121f8/html5/thumbnails/34.jpg)
Sistemas de control Sensibilidad– Sensibilidad a lazo cerrado
– Tarea: Hallar la sensibilidad de la salida debido a variaciones en la función de transferencia del control
)(
)(
)(
)(
sY
sG
sG
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22 )()(1
)(
)()(1
)()()()()(1)(
)(
)(
)()()(1
)()(
sHsG
sV
sHsG
sVsHsGsHsGsV
sG
sY
sVsHsG
sGsY
)(
)(
)(
)(
sY
sH
sH
sYSYG