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SEMINARIO DE MODELACIONMATEMATICA Y COMPUTACIONAL
“ELEMENTO FINITO Y DESCOMPOSICION DE
OPERADORES EN DINAMICA DE FLUIDOS”
L. Hector Juarez V.
Departamento de Matematicas
Universidad Autonoma Metropolitana-Iztapalapa
U. of Houston CIE-UNAM ITESM
Roland Glowinski Eduardo Ramos Ciro F. Flores
Tsorng Whay-Pan Guadalupe Huelsz
Guillermo Ovando
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1 Ecuaciones de Navier-Stokes
ρ
[∂u
∂t+ (u ·∇)u
]= ∇ · σ + ρf (Ec. momentum)
∂ρ
∂t+∇ · (ρu) = 0 (Ec. continuidad)
Usualmente se acoplan con:
1. Ecuacion de energıa (efectos termicos)
2. Ecuaciones de estado (fluidos compresibles)
Fluido Newtoniano Incompresible
Esfuerzos sobre S = presion termodinamica + esfuerzos viscosos
σ = −pI + µτ = −pI + µ(∇u + (∇u)t
)
ρ
[∂u
∂t+ (u ·∇)u
]= −∇p + µ4u + ρf (Ec. momentum)
∇ · u = 0 (Ec. continuidad)
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1.1 FORMULACION DE UN PROBLEMA SIMPLE
Ω
Γ
x
u n
Ecuaciones de Navier–Stokes
∂u
∂t− ν∆u + (u ·∇)u +
1
ρ∇p = 0 in Ω× (0, T ],
∇ · u = 0 in Ω× (0, T ],
u(0) = u0, in Ω
u = g(t) on Γ× (0, T )
u = velocidad del fluido. p = presion.
ν(> 0) = viscosidad. T > 0 es el tiempo final.
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Dificultades
1. Sistema de E.D.P.
2. Ecuaciones no lineales
3. Condicion de incompresibilidad
4. Sistemas de E.D.P. acopladas por medio de (a) el termino convec-
tivo, (b) la condicion de incompresibilidad, y, en ocasiones, condiciones
de frontera (σ · n = g)
Existen soluciones analiticas de estas ecuaciones solo para proble-
mas muy simples en donde usualmente la geometrıa es muy sen-
cilla.
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2 Metodos de Aproximacion Numerica
1. Diferencias finitas.
2. Elemento finito.
3. Volumen finito.
4. Elementos de frontera.
5. Metodos espectrales.
6. Metodos de MonteCarlo.
7. Lattice Boltzmann.
8. Metodos asintoticos.
9. Metodos de partıculas.
10. Metodos hıbridos.
entre otros.
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2.1 Formulacion Variacional o Debil
Para t > 0, encontrar u(t) ∈ Vg(t), p(t) ∈ L20(Ω), tales que
∫
Ω
∂u
∂t· v dx +
∫
Ω
(u ·∇)u · vdx− 1
ρ
∫
Ω
p∇ · v dx
+ν
∫
Ω
∇u : ∇v dx = 0, ∀ v ∈ V0,
∫
Ω
q∇ · u(t) dx = 0, ∀ q ∈ L2(Ω),
u(0) = u0, con ∇ · u0 = 0,
donde
Vg(t) = v | v ∈ H1(Ω)d, v = g(t) on Γ,V0 = H1
0 (Ω)d,
L20(Ω) = q | q ∈ L2(Ω),
∫
Ω
q dx = 0.
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2.2 Formulacion de Elemento Finito
Dividir Ω en un conjunto finito de elementos. Los mas simples son
triangulos en 2–D, y tetraedros en 3–D.
Triangulacion de un dominio Ω.
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Sobre cada elemento se aproximan las funciones del problema por medio
de polinomios.
Elemento de 1er. orden
Grados de libertad a, b, cu(x,y) = a x + b y + cP
Q
R
P Q
R
u(P)
u(Q)
u(R)
T
T
Aproximacion de u(x,y) sobre un triangulo T.
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Elementos de Orden Mayor
u(x,y) = a + a x + a y + a xy + a x + a y1 2 3
2 2 u(x,y) = a + a x + a y + a xy + a x + a y2 3 5
7
4 62 2
+ a x y + a xy + a x + a y2 2 3 31
8 9 10
4 65
3er. ORDEN2o. ORDEN
Aproximacion de los espacios de funciones Vg(t), H10 (Ω)2, L2(Ω), L2
0(Ω):
Vgh(t) = vh | vh ∈ (C0(Ω))2, vh|T ∈ P2 × P2, ∀T ∈ Th, vh|Γ = gh(t),V0h = vh | vh ∈ (C0(Ω))2, vh|T ∈ P2 × P2, ∀T ∈ Th, vh|Γ = 0,L2
h = qh | qh ∈ C0(Ω), qh|T ∈ P1, ∀T ∈ Th,L2
0h = qh | qh ∈ L2h,
∫
Ω
qh dx = 0;
Ps es el espacio de polinomios por tramos, continuos y de grado ≤ s.
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Funciones Base
Cada nodo de la malla tiene asociado una funcion base del elemento
finito. Por ejemplo, para el elemento lineal (de primer orden)
P
P 1i
j
Funcion base piramidal φi(Pj) = δij
u(x, y) ≈n∑
i=1
αj φj(x, y)
Objetivo: Determinar las αj ≈ u(Pj)
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Ejemplo sencillo
−ν ∆ u = f en Ω ⇐⇒ ν
∫
Ω
∇u · ∇v dx =
∫
Ω
f v dx ,∀ v ∈ H10 (Ω).
u = g en Γ .
Sea u =∑n
j=1 αjφj(x, y) =∑n0
j=1 αjφj(x, y)+∑n
j=n0+1 αjφj(x, y), donde
n = numero de nodos, y n0 = numero de nodos interiores. Entonces
n∑j=1
(ν
∫
Ω
∇φj · ∇φi dx
)αj =
∫
Ω
f φi dx , i = 1, ..., n0.
Es decir para i = 1, ..., n0
n0∑j=1
(ν
∫
Ω
∇φi · ∇φj dx
)αj =
∫
Ω
f φi dx−n∑
j=n0+1
(ν
∫
Ω
∇φi · ∇φj dx
)g(xj, yj) .
Este ultimo es un sistema de ecuaciones lineales de la forman0∑
j=1
aij αj = Fi , i = 1, ..., n0 ,
que se resuelve mediante un metodo directo o iterativo de tipo sparse
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Problema semi–discreto
Par t > 0 encontrar uh(t), y ph(t) tales que
∫
Ω
∂uh
∂t· v dx +
∫
Ω
(uh ·∇)uh · v dx
−1
ρ
∫
Ω
ph∇ · v dx + ν
∫
Ω
∇uh : ∇v dx = 0, ∀ v ∈ V0h,
∫
Ω
q∇ · uh(t)dx = 0, ∀ q ∈ L2h,
uh(0) = u0h, uh = gh on Γ.
Desde el punto de vista abstracto, el ultimo problema es un caso particular
de la siguiente clase de problemas de valores iniciales.
dϕ
dt+ A(ϕ, t) + B(ϕ, t) + C(ϕ, t) = 0, ϕ(0) = ϕ0,
donde los operadores A, B, y C pueden ser multivaluados.
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3 Integracion en el tiempo por Particion del Operador
Supongase que A, B, and C son lineales e independientes de t.
ϕ(t) = e−(A+B+C)tϕ0,
y tambien para ∆t(> 0) suficientemente pequeno
e−(A+B+C)∆t = e−C∆te−B∆te−A∆t + O(∆t2).
Las anteriores expresiones proporcionan el esquema de Particion del
Operador de Primer Orden (con tn = n∆t): Dado ϕ0 = ϕ0,
suponiendo n ≥ 0, ϕn conocido, calcular ϕn+1/3, ϕn+2/3, ϕn+1 por medio
de la solucion del problema de valores inciales:
dϕ/dt + A(ϕ, t) = 0 on (tn, tn+1), ϕ(tn) = ϕn; ϕn+1/3 = ϕ(tn+1),
dϕ/dt + B(ϕ, tn+1) = 0 on (tn, tn+1), ϕ(tn) = ϕn+1/3; ϕn+2/3 = ϕ(tn+1),
dϕ/dt + C(ϕ, tn+1) = 0 on (tn, tn+1), ϕ(tn) = ϕn+2/3; ϕn+1 = ϕ(tn+1).
Se puede obtber un esquema de segundo orden por medio de simetrizacion
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Particion del Operador para las ec. de Navier–Stokes
Dado u0 = u0h, y suponiendo conocido un para algun n ≥ 0.
1. Encontrar un+1/3 y pn+1/3 tales que
∫
Ω
un+1/3 − un
4t· v dx− 1
ρ
∫
Ω
pn+1/3∇ · v dx = 0, ∀ v ∈ V0h,∫
Ω
q∇ · un+1/3 dx = 0, ∀ q ∈ L2h,
u = gh on Γ
2. Encontrar un+2/3 = u(tn+1), donde u(t) es la solucion, sobre (tn, tn+1),
de
∫
Ω
∂u(t)
∂t· v dx +
∫
Ω
(un+1/3 ·∇)u(t) · v dx = 0 ∀v ∈ V n+1,−0h ,
u(tn) = un+1/3, and u(t) = gh(tn+1) on Γn+1
− × (tn, tn+1)
3. Finalmente, encontrar un+1 tal que
∫
Ω
un+1 − un+2/3
4t· v dx + ν
∫
Ω
∇un+1 : ∇v dx = 0, ∀ v ∈ V0h.
u = gh on Γ
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Analogıa con la forma diferencial de las ecuaciones integrales:
1. Se define un+1/3 y pn+1 como las soluciones en t = tn+1 de
∂u
∂t+
1
ρ∇p = 0, in Ω× (tn, tn+1),
∇ · u = 0, in Ω× (tn, tn+1),
u(tn) = un in Ω, u = g on ∂Ω,
2. Se define un+2/3 como la solucion en t = tn+1 de
∂u
∂t+ (un+1/3 ·∇)u = 0, in Ω× (tn, tn+1),
u(tn) = un+1/3 in Ω, u = g on ∂Ω−,
3. Finalmente, se define un+1 como la solucion en t = tn+1 de
∂u
∂t− ν4u = 0, in Ω× (tn, tn+1),
u(tn) = un+2/3 in Ω, u = g on ∂Ω.
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4 Ejemplos Numericos
1. Flujo uniforme con cilindro en rotacion
2. Flujo de bombeo mecanico
3. Transicion a turbulencia de un flujo oscilatorio
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Malla para flujo uniforme de izquierda a derecha
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Lineas de corriente α = V/U∞ = 0, 0.1, 0.5, 1.0, Re = 20
-2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
a b
dc
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Distribucion de presion sobre cilindro
0 50 100 150 200 250 300 350 400−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
degrees
Pre
ssur
e C
oeffi
cien
t
0.0
0.1
0.5
1.0
0.0
0.1
0.5
1.0
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Vorticidad sobre pared del cilindro
0 50 100 150 200 250 300 350 400−6
−4
−2
0
2
4
6
degrees
Vor
ticity
0.0
0.1
0.5
1.0
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Campos de velocidad en un ciclo, Re = 100
T = 50 T = 51
T = 52 T = 53
T = 54 T = 55
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Coeficiente de levante para α = 0.1, 0.5, 1.0
0 10 20 30 40 50 60 70−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Time
Lift
coef
f.0.1
0.5
1.0
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Flujo de bombeo para aplicaciones en MEMS
h
2a2h
U
Lω h
Figure 1: Computational domain
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ecc. = 0.5
ecc. = 0.75
ecc. = 1
ecc. = 1.25
ecc. = 1.425
ecc. = 1.5
Figure 2: Computational domain and meshes used to show the dependence
of mean flow rate vs. eccentricity. Dimensions of the domains: width =
8, length = 60, a = 1
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−30 −20 −10 0 10 20 30−4
−2
0
2
4ecc. = 0.75
−30 −20 −10 0 10 20 30−4
−2
0
2
4ecc. = 1.0
−30 −20 −10 0 10 20 30−4
−2
0
2
4ecc. = 1.25
Figure 3: Streamlines as a function of eccentricity
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0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055ecc. = 1.25
ecc.
U
Figure 4: Mean flow rate versus eccentricity
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Figure 5: Computational domain and mesh for the case 2h = 14.25
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s = 1.59
s = 1.25
s = 1.14
s = 1.92
s = 3.26
s = 2.81
s = 2.37
-20 -10 0 10 20
-6-4-202
-20 -10 0 10 20
-6-4-2024
-20 -10 0 10 20
-6-4-20246
-20 -10 0 10 20
-3.6
0.95
5.5
10
-20 -10 0 10 20
-2.7
2.9
8.4
14
-20 -10 0 10 20
-5
0
5
10
15
-20 -10 0 10 20
-5
0
5
10
15
20
Figure 6: Streamlines for different channel separations
![Page 29: SEMINARIO DE MODELACION¶ MATEMATICA Y COMPUTACIONAL¶ · 2006. 11. 10. · SEMINARIO DE MODELACION¶ MATEMATICA Y COMPUTACIONAL¶ \ELEMENTO FINITO Y DESCOMPOSICION DE¶ OPERADORES](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022053023/60537b2912130656f76a5ada/html5/thumbnails/29.jpg)
[]0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
U
h u [] 0 5 10 15 20 250
10
20
30
40
50
60
70
80
90
2hU
hu
Figure 7: (a) Velocity flow rate versus channel separation. (b) Mean flow
velocity versus channel separation.
100 200 300 400wa
10
20
30
40
U
U = 0.0976 wa ---->
Figure 8: Mean average velocity U as a function of speed of the cylinder
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Transition to Turbulence in an Oscillatory Flow
x
y
HE
A B L
Rigid boundary
Rigid boundary
Flow region
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5 10 15 20 25 30 35 40
−0.20
0.20.40.60.8
time
u
5 10 15 20 25 30 35 40−0.05
00.05
0.10.15
time
v
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.1
00.10.20.3
time
u
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.02
0.04
time
v
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.5
1
time
u
5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
time
v
R
R
R
δ
δ
δ
= 25
= 302
= 537
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R
R
Rδ
δ
δ= 25
= 302
= 537
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Oscillatory Flow. Rδ = 537
3.575e+02
3.359e+02
3.403e+02
3.074e+02
2.764e+02
2.125e+02
1.477e+02
1.480e+02
1.441e+02
2.432e+02