![Page 1: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/1.jpg)
TRANSFORMADA DE LAPLACE Segundo teorema de traslación
Ejemplo:
calcular
![Page 2: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/2.jpg)
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
st
a
st st
a
e g t U t a dt
g t e U t a dt g t e U t a dt
∞−
∞− −
− =
− + − =
∫
∫ ∫
![Page 3: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/3.jpg)
Ejemplo: resolver EDO’s usando transformada de Laplace
Observemos que
Aplicando TL
a la edo original
Un poco de álgebra
Despejando
Y(s)
Necesitamos calcular tres
transformadas inversas de
Laplace
2
2 2
( 1)( 1)
1 1 1
s
s s
A B Cs
s s s
=+ +
+ ++ + +
1
1( ) , ( )
1
( ( ) ) ( ) ( )
t
s
F s f t es
L F s e f t U tπ π π
−
− −
= =+
= − −
![Page 4: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/4.jpg)
Identidades
trigonométricas
2
1 1
2
1
1( ) ,
1
1( ) ( ( )) ( ) sin( )
1
( ( ) ) ( ) ( )
s s
s
e F s es
f t L F s L ts
L F s e f t U t
π π
π π π
− −
− −
− −
=+
= = =+
= − −
2
1 1
2
1
( ) ,1
( ) ( ( )) ( ) cos( )1
( ( ) ) ( ) ( )
s s
s
se F s e
s
sf t L F s L t
s
L F s e f t U t
π π
π π π
− −
− −
− −
=+
= = =+
= − −
Finalmente
![Page 5: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/5.jpg)
Derivadas de Transformada de Laplace
Consideremos la derivada con respecto a s de la transformada de Laplace F(S) de f(t)
en consecuencia, tenemos que
( )
dF s
ds= −
donde F(s)=L(f(t))
Más generalmente
![Page 6: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/6.jpg)
Ejemplo:
Otro ejemplo: cálculo de transformada de Laplace
usando dos maneras diferentes
3 3
2
1( ) ( ( ) ) ( 3)
( 3)
t tL te L f t e F ss
= = − =−
2
1( ) ( ( )) ( )F s L f t L t
s= = =
33
2
( ) 1 1( )
3 ( 3)
tt dL e d
L teds d s s
= − = − = − −
![Page 7: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/7.jpg)
Ejemplo edo 2do orden coef ctes no
homogénea
( )
( )
2
2
2
2
2
2
22 2
( '') 16 ( ) (cos(4 ))
( ) (0) '(0) 16 ( )16
( ) 1 16 ( )16
16 ( ) 116
1( )
16 16
L x L x L t
ss X s sx x X s
s
ss X s X s
s
ss X s
s
sX s
s s
+ =
− − + =+
− + =+
+ = ++
= ++ +
Aplicando transf.
de Laplace y
propiedades
![Page 8: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/8.jpg)
( )( ) ( )
1 1 1 1
2 22 22 2
1 1( ) ( )
16 1616 16
s sx t L X s L L L
s ss s
− − − −
= = + = + + + + +
De esta forma:
Sabemos que k=4
Finalmente obtenemos la solución buscada, usando viejos “trucos”
algebraicos de multiplicar y dividir por el mismo número
![Page 9: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/9.jpg)
Convolución Convolución de la función f con la función g
es la función definida por
Ejemplo
Ejercicio: completar los cálculos de la integral
Propiedad: La convolución es conmutativa
es decir
![Page 10: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/10.jpg)
U(t-a)-U(t-b)
![Page 11: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/11.jpg)
Convolución de dos gaussianas
![Page 12: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/14.jpg)
Propiedades convolución
![Page 15: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/15.jpg)
Teorema de convolución
Para f(t) y g(t) continuas a trozos y de orden exponencial
( )1 ( ) ( )f g L F s G s−∗ = cuando
( )
( )
1
1
( ) ( )
( ) ( )
f t L F s
g t L G s
−
−
=
=
Versión “retro”:
El Teorema de convolución permite
calcular transf de Laplace inversas de
productos de funciones que dependen de la variable “s”
![Page 16: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/16.jpg)
( ) , ( ) sin( )tf t e g t t= =
Ejemplo: Calcular la transformada de una convolución de dos funciones
Otro ejemplo: calcular la transformada de inversa de Laplace de un
producto de dos funciones
( ) ( ) 0 0 01 1 1
22
0 0 0
a) ( ) ( ) 1 sin( ) sin( )1 1 1
( ) ( )11
b) ( ) ( ) sin( ) 1 sin( ) 1 cos( )
t t t
t t t
f g f g t d t d t d
L L L F s G s f gs ss s
g f g f t d d d t
τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ
− − −
∗ = − = ⋅ − = − = = ⋅ = = ∗ = ++ ∗ = − = ⋅ = = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
1
1
2 2
1 1( ) , 1 ( )
1 1( ) , sin ( )
1 1
F s L f ts s
G s L t g ts s
−
−
= = =
= = = + +
![Page 17: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/17.jpg)
( )1 1 1
2 2
0
0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
( 1)( 1) 1 1
sin( ) sin( ) ...
sin( )
sin( ) sin( ) ...
t
t
t
t
t t
L L L F s G s f t g ts s s s
e t e t d blablabla
e t
t e e d blablabla
τ
τ
τ τ
τ τ
− − −
−
= ⋅ = ⋅ = ∗ − + − +
∗ = − =
= ∗ =
∗ = =
∫
∫
Otro ejemplo del uso del Teorema de Convolución para el
cálculo de transformadas inversas de Laplace:
![Page 18: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/18.jpg)
Funciones periódicas
f(t):[0,infinito)�R, periódica de período T,
continua por trozos y de orden exponencial
![Page 19: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/19.jpg)
Demostración
La transf de Laplace se divide en dos integrales
Con el cambio de variables
Por consiguiente
Con un poco de algebrita podemos despejar la transformada deseada
![Page 20: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/20.jpg)
Ejemplo edo con fuerza externa
periódica
![Page 21: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/24.jpg)
Delta de Dirac
![Page 25: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/25.jpg)
DEFINIMOS LA FUNCION DELTA DE DIRAC COMO
SATISFACE
![Page 26: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/27.jpg)
Usando transformada de Laplace tenemos el problema algebraico
![Page 28: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/28.jpg)
Esto «apesta» a fracciones parciales
![Page 29: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/29.jpg)
Por el segundo teorema de traslación
![Page 30: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/30.jpg)
OTRO EJEMPLO
![Page 31: Segundo teorema de traslación Ejemplo: calcular · a la edo original Un poco de álgebra Despejando Y(s) Necesitamos calcular tres transformadas inversas de ... continua por trozos](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021521/5b3530637f8b9a330e8cf1d7/html5/thumbnails/31.jpg)