Relacin funcionalDos variables x e y estn relacionadas funcionalmente cuandoconocida la primera se puede saber con exactitud el valor de la segunda.EjemploSi se deja caer una piedra, existe una frmula que nos permitecalcular exactamente, la altura a la que se encuentra en funcin deltiempo transcurrido.h =g t!.Relacin estadsticaDos variables x e y estn relacionadas estad"sticamente cuandoconocida la primera se puede estimar aproximadamente el valor de lasegunda.Ejemplos#ngresos y gastos de una familia.$roduccin y ventas de una fbrica.%astos en publicidad y beneficios de una empresa.Variable estadstica bidimensional&na variable bidimensionales una variable en la que cadaindividuo est definido por un par de caracteres,(X, Y).'stos dos caracteres son a su ve( variables estadsticas en las ques" existe relacin entre ellas, una de las dos variables es la variableindependiente y la otra variable dependiente.Distribuciones bidimensionalesSon aquellas enlas que a cada individuo le corresponden los valoresde dos variables, las representamos por el par )xi , yi *.Si representamos cadapar devalores comolas coordenadas deunpunto, el conjuntodetodos ellos se llama nubedepuntos o diagramade dispersin.Sobrelanubedepuntos puedetra(arseunarectaqueseajusteaellos lo mejor posible, llamada recta de regresin.Ejemplo+asnotasde,-alumnosdeunaclaseen.atemticasy/"sicasonlas siguientes0atem!ticas " # $ $ % & & ' ' ( )* )*+sica ) # " $ $ $ & $ & ' , )*+a covarian-a deunavariablebidimensional eslamediaaritm1ticade los productos de las desviaciones de cada una de las variables respectoa sus medias respectivas.+a covarian-a se representa por s./ o 0./.+a covarian-a indica el sentido de la correlacin entre las variablesSi 0./ 1 * la correlacin es directa.Si 0./ 2 * la correlacin es inversa.+a covarian-a presenta como inconveniente, el hecho de que suvalor depende de la escala elegida para los ejes.'sdecir,la covarian-a variarsi expresamoslaalturaenmetrosoencent"metros. 2ambi1nvariarsi el dineroloexpresamoseneurosoendlares.Ejemplos+asnotasde,-alumnosdeunaclaseen.atemticasy/"sicasonlas siguientes0atem!ticas " # $ $ % & & ' ' ( )* )*+sica ) # " $ $ $ & $ & ' , )*3allar la covarian-a de la distribucin..i /i .i3 /i" ) "# # ,$ " ($ $ )&% $ "*& $ "$& & #&' $ "(' & $"( ' %&)* , ,*)* )* )**'" &* $#)Despu1s de tabular los datos hallamos las medias aritm4ticas 0+os valores de dos variables 4 e 5 se distribuyen seg6n la tablasiguiente0Y5X * " $) " ) #" ) $ "# " % *3allar la covarian-a de la distribucin.'n primer lugar convertimos la tabla de doble entrada en tablasimple y calculamos las medias aritm1ticas..i /i fi .i3 fi /i3 fi .i3 /i 3 fi* ) " * " ** " ) * " ** # " * & *" ) ) " ) "" " $ ( ( )&" # % )* )% #*$ ) # )" # )"$ " " ( $ )&"* $* $) '&+a correlacin trata de establecer la relacin o dependencia queexiste entre las dos variables que intervienen en unadistribucinbidimensional .'sdecir,determinar si loscambiosenunadelasvariablesinfluyenen los cambios de la otra. 'n caso de que suceda, diremos que lasvariables estn correlacionadas o que hay correlacin entre ellas.6ipos de correlacin)7 8orrelacin directa+a correlacin directa se da cuando alaumentar una de las variablesla otra aumenta.+arectacorrespondientealanubedepuntos deladistribucinesuna recta creciente."7 8orrelacin inversa+a correlacin inversa se da cuando alaumentar una de las variablesla otra disminuye.+arectacorrespondientealanubedepuntos deladistribucinesuna recta decreciente.#7 8orrelacin nula+acorrelacin nulasedacuandono haydependenciadening6ntipoentre las variables.'nestecasosedicequelasvariablessonincorreladasylanubedepuntos tiene una forma redondeada.9rado de correlacin'l grado de correlacin indica la proximidad que hay entre lospuntos de la nube de puntos. Se pueden dar tres tipos0): 8orrelacin fuerte+acorrelacinserfuertecuantomscercaest1nlos puntosdelarecta.": 8orrelacin d4bil+acorrelacinserd1bil cuantomsseparadosest1nlospuntosdela recta.#: 8orrelacin nula'l coeficiente de correlacin lineales el cociente entrela covarian-a y el producto de las desviaciones tpicas de ambasvariables.'l coeficiente de correlacin linealse expresa mediante la letra r.;ropiedades del coeficiente de correlacin): 'l coeficiente de correlacin no var"a al hacerlo la escala demedicin.'s decir, si expresamos la altura en metros o en cent"metros elcoeficiente de correlacin no var"a.": 'l signodelcoeficientedecorrelacin es el mismoqueel dela covarian-a.Si la covarian(a es positiva, la correlacin es directa.Si la covarian(a es negativa, la correlacin es inversa.Si la covarian(a es nula, no existe correlacin.#: 'l coeficiente de correlacin lineales un n6mero realcomprendido entre 7, y ,.DA+ en%onces ' $"o((&'&dd de gn" o(%en&endo un s o un "e0 en unso'o ens0o es de: P2A+B3 ? P2A3@P2B3 ? C>DA@C>DA ? E>DA+ o 'o .ue es 'om&smo+ e' jugdo"$"gn"%&eneEe#en%os*#o"('es2cu%"oses0cu%"o "e0es3 so("e DA c"%s d&s$on&('es en e' m!o1Ys& ho" cons&de"mos csos en 'os .ue ' cn%&dd de sucesosmu%umen%e e/c'u0en%es es m0o"+ %m(&8n se $'&c ' m&sm *4"mu' 0comen%d .ue se "esue'#e med&n%e un sum%o"& de 's $"o((&'&ddesdeocu""enc&decde#en%o1 Po"ejem$'o+ s& unjugdo"$ues%en "acas$""a 56$e"/7 /e "a mesa /e c&a-s+ en%onces $uede gn" e' $"em&o s& ene' 'n!m&en%ode'osdosddos'sum%o"&de'os$un%osdem(osddos es A 4 F 4 C 4 G 4 F= 2e#en%o E3+ ' $"o((&'&dd de o(%ene" un $un%je F=@F>F=@C>F=@F>F=@A>F=@F=?F=+ o'o.uees'om&smo+ e'jugdo" ' $os%"'e' cs&'' I&e'd en ' mes de c"$s %&enesu *#o"DA+ 0 se e' suceso B sc" un c"% de co"!ones 2K3 en ' $"&me"c"%deun("j&ng'escom$'e%+ 'ocu' %&eneun$"o((&'&dddeocu""enc&deDA1 Enes%ecso'osdossucesosnosonmu%umen%ee/c'u0en%esde' %odos&no.ue&n%e"ce$%nen%"es7+ $o".ueen'$"&me"c"% e/%"7d de un m!o $uede $"ece" ' menos un .ue es s 2A3 0s&mu'%)nemen%e %m(&8n es de co"!ones 2AK3+ es dec&"+ es $os&('e un&n%e"secc&4n en%"e e' suceso A 0 e' suceso B1 Po" %n%o+ s& un jugdo" $uedegn" un $"em&o s& en ' $"&me" c"% e/%"7d de un m!o $"ece un s oun c"% de co"!ones o m(os e#en%os' #e!+ en%onces ' $"o((&'&ddse c'cu' como: P2A+B35P2A6B3 ? P2A3@P2B35P2A6B3 ? C>DA@DA5DA? DA+ 0 .ue de' conjun%o %o%' de e#en%os .ue *#o"ecen 'ss$&"c&ones de' jugdo" 2C>DA@DA3 h0 .ue "es%" un %8"m&no 2DA3 .uejus%men%e "e9ne s&mu'%)nemen%e ' do('e cond&c&4n de se" un s 0 se" deco"!ones 2' c"% AK31Aho" en o%"o ejem$'o $ensemos en un jugdo" .ue e ua mesa /e &u"eta8&acesa hco'ocdoun*&ch' Co'o"Rojo0o%"*&ch'SegundDocen+ 0 $o" %n%o en es%e cso se A e' e#en%o de .ue ' (o' c&g encu'.u&e" n9me"o de co'o" Rojo 0 se B e' e#en%o de .ue ' (o' c&g encu'.u&e" n9me"o de ' Segund Docen+ e#en%os .ue no son mu%umen%ee/c'u0en%esen%"es7 $ues$e"*ec%men%eenunso'o'n!m&en%o'(o'$uede de%ene"se en un n9me"o .ue se "ojo 0 .ue dem)s $e"%ene!c'Segund Docen1 L $"o((&'&dd de .ue ocu"" A es de FL $o".ue h0FL@=>FL ? AC>FL1Es% g")*&c (sd en d&g"ms de ;enn mues%" e' cso de' jugdo" .ueen ' "u'e% *"nces 'e h $os%do un *&chCo'o" Rojo 2suceso A3+ o%"*&chSegund Docen 2suceso B3+ 0 o%" *&chTe"ce" Co'umn2suceso C31 Los%"esconjun%os$ueden&n%e"ce$%"en%"es7 $o".ue%&enen#"&os e#en%os .ue $ueden ocu""&" s&mu'%)nemen%e en un m&sm jugd1E' jugdo" c'cu'"7 mu0 m' su $"o((&'&dd de %"&un*o s& c"e0e" .ue %&ene su *#o" CA o$c&ones s&m$'emen%e '"eun&" %odos 'os e'emen%os de 'os%"es conjun%os: P 2:3 o P 2:QA3 ? P2A 0 :3 > P2A3 P"o((&'&dd Cond&c&on' S& A 0 : son dos e#en%os en S+ ' $"o((&'&dd de .ue ocu"" A ddo .ue ocu""&4 e' e#en%o : es ' $"o((&'&dd cond&c&on' de A ddo :+ 0 se deno%:A 0 : son dos e#en%os en S+ ' $"o((&'&dd de .ue ocu"" A ddo .ue ocu""&4 e' e#en%o : es ' $"o((&'&dd cond&c&on' de A ddo :+ 0 se deno%:P2A':3