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MECÁNICA DE FLUIDOS
GRUPO: Nº 02
ESTUDIANTES:
CALDERON BURGA LUIS EBERTH
DIAZ TAPIA JOSE FELIX.
ESTELA CORONEL ELDER.
ANA MARÍA DEL ROSARIO QUISPE PEÑA
PROFESOR:
ING. CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS
MECÁNICA de fluidos 1
ING
ENIERÍA CIVIL
INTRODUCCIÓN
En el presente informe denominado “Ecuación de masa, Ecuación de
continuidad” mostramos la recopilación de datos referidos a los principios
base de la ecuación de continuidad; así como su demostración y aplicación a
determinados casos en fluidos líquidos.
Como primer tema, en el presente trabajo hemos abarcado las definiciones
básicas de sistema y volumen de control, términos que serán mencionados
para la demostración de las ecuaciones mencionadas.
Posterior a estas definiciones de términos básicos se definirá matemáticamente
el principio de la conservación de la materia como base para luego deducir la
ecuación de la continuidad. Asimismo mediante relaciones diferenciales se
deduce la ecuación diferencial de la continuidad para una partícula y en una
vena liquida Asimismo para ambos temas se presentan ejercicios para un
mayor entendimiento del tema Esperamos que este informe sea de gran
utilidad, sabiendo que estos conceptos adquiridos serán trascendentales para
la asimilación y aprobación de otras áreas de la carrera; como además serán
de vital importancia en el análisis estructural y otras áreas de la ingeniería civil
que requiera de estos conocimientos
MECÁNICA de fluidos 2
ContenidoINTRODUCCIÓN................................................................................................2
1. OBJETIVOS..................................................................................................3
2. JUSTIFICACIÓN...........................................................................................3
3. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD...................................................................4
4. DEFINICIONES PREVIAS............................................................................4
4.1.1. Sistema:.............................................................................................4
4.1.2. Volumen de Control:.........................................................................5
4.1.2.1. Volumen de control no deformable...............................................5
4.1.2.2. Volumen de control deformable....................................................5
5. PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA MATERIA..............................6
6. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONTINUIDAD..........................................8
7. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA UNA VENA LÍQUIDA....................12
EJERCICIOS DE APLICACIÓN........................................................................15
MECÁNICA de fluidos 3
1. OBJETIVOS Definir la ecuación de continuidad y utilizarla para relacionar la masa, el
área y la velocidad de flujo entre dos puntos de un sistema de flujo de
fluido.
Establecer el principio de conservación de energía de la forma en que se
aplica a los sistemas de flujo de fluidos
2. JUSTIFICACIÓNEl presente trabajo es el resultado de la investigación hecha para comprender y
aprender mejor parte de los conocimientos de la ingeniería civil, y así nos sirva
más adelante para aplicar los conocimientos adquiridos de manera teórica en el
campo, al realizar diferentes obras hidráulicas de construcción. El tema a tratar
(Ecuación De Continuidad Y Principio De Cantidad De Movimiento), es vital
para sumergirnos en el complejo mundo de los fluidos e ir comprendiéndolo
poco a poco.
MECÁNICA de fluidos 4
3. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, y que
sirven para resolver numerosos problemas que se presentan en la práctica.
4. DEFINICIONES PREVIAS
4.1.1. Sistema:
El sistema se define como una porción fija de materia. Aunque su forma y su
tamaño pueden variar con el tiempo, lo esencial de la definición es que la masa
del material que comprende el sistema no se altere con el tiempo. Por ejemplo,
un sistema puede constar de cierta masa de agua encerrada en un recipiente
flexible. El agua puede pasar al estado de vapor por medio del calentamiento,
con un aumento considerable del volumen en cuestión. Mientras no se
produzca una transferencia de masa a través de las paredes del recipiente, no
se viola el concepto de sistema. El estado de un sistema es una condición
particular de éste, que puede especificarse por medición y observación.
Algunas propiedades del sistema están asociadas con un estado dado y, entre
ellas, se cuentan el volumen, la densidad, la presión y la temperatura. En última
instancia, se puede decir que el estado del sistema está determinado por la
MECÁNICA de fluidos 5
observación y medición de sus propiedades. Estas pueden dividirse en dos
grupos: las que por naturaleza son independientes de la cantidad de materia,
denominadas propiedades intensivas y las que, como el volumen y la masa,
dependen de la cantidad de materia en consideración y que se conocen como
propiedades extensivas.
4.1.2. Volumen de Control: El primer punto de análisis que debe presentarse es una definición de los tipos
de volumen, en los que se determinarán las características del flujo. Nos
referimos a los dos siguientes:
4.1.2.1. Volumen de control no deformable. Este tipo es un volumen fijo en el espacio, relacionado a un sistema de ejes
coordenados, que puede estar en movimiento, respecto a un sistema absoluto.
4.1.2.2. Volumen de control deformable. Se dice que un volumen de control es deformable, cuando parte de su
superficie, o toda ella, está en movimiento en un instante dado. Si la superficie
se mueve en tal forma que no la atraviese ninguna materia, el volumen de
control es un sistema. Cada tipo de volumen de control representa simplemente
una región de interés particular, en la cual estableceremos formas de las leyes
básicas.
El concepto de volumen de control no deformable, puede ilustrarse,
observando que el que se selecciona para estudiar el flujo en una tubería,
podría ser el volumen interno, comprendido entre dos puntos, a lo largo de su
longitud. El sistema de coordenadas de referencia podría ser cualquier sistema
fijo relacionado con el tubo.
MECÁNICA de fluidos 6
Un buen ejemplo de un volumen de control deformable es el de un balón que
se llena de aire por medio de un tubo. El balón no es un sistema, porque su
masa no es constante. La boquilla de entrada del balón es la única parte de la
superficie que no se deforma, cuando entra el aire
5. PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA MATERIA
“La masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado
dentro del flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale
del volumen”. Si el volumen que se estudia es de forma y magnitud constante
(volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido.
El principio de conservación de la materia o principio de conservación de la
masa, también se expresa como: “El aumento de masa, en un tiempo t, del
fluido contenido en un volumen dado, será igual a la suma de las masas del
fluido que entran a este volumen, disminuida de las que salen”
M 1=M II
M 1=masadel sistemaen eltiempo t ,
M II=masadel sistemaen eltiempo t+∆ t ,
Es decir la masa en el sistema permanece invariable:
m1=m2+ms−me
Donde:
m1=mt=masa enel volumende control enel instante“ t ”
m2=m (t+∆ t )=masa enel volumende controlen el“ t+∆ t ”
MECÁNICA de fluidos 7
me=masaque entraen el volumendecontrol en e l intervalo“∆ t ”
ms=masaquesale del volumendecontrol en elintervalo“∆ t ”
m(t)vc=m(t+∆ t)vc+∆mS−∆mE
Dividiendo entre ordenando y tomando límites cuando :
lim∆t
(m (t+∆ t )VC−m (t )VC∆ t )= lim
∆t→0(∆mE−∆mS
∆ t¿¿)¿¿
( dmdt
)VC
=dmdt
(mE−ms )
∂M∂ t
=QM
Donde:
( dmdt
)VC
=∂M∂ t
=¿Rapidez de variación de la masa contenida en el
volumen de control, y
dmdt
(mE−ms )=QM=Gastoocaudal neto demasa entrante en launidad de tiempo
Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y
que entra, sumadas algebraicamente; así, el principio de la materia, aplicado a
un volumen de control fijo completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa
de la forma siguiente: “La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de
frontera del volumen, en la unidad de tiempo ( ), más la rapidez de variación
de la masa contenida en el volumen ( ), es igual a cero”, matemáticamente
se expresa así:
QM+∂ M∂ t
=0(α)
Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño
diferencial, que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de
continuidad.
MECÁNICA de fluidos 8
6. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONTINUIDADLa ecuación de continuidad es una herramienta muy útil para el análisis de
fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos
casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el área transversal varía de
una sección del ducto a otra.
Es aplicable a problemas de flujo con potencial.
Para obtenerla aplicamos el principio de la conservación de la materia, al
volumen de control diferencial mostrado en la fig, (de la dosdx ,dy ,dz¿
Volumen de control diferencial
Para demostrar el principio de conservación de la masa en el eje “y”
analizamos la siguiente figura
Elemento diferencial de fluido
En el eje “y”, en un instante de tiempo “dt”, por la cara ABCD, entra
una masa: ρ v ydzdt y por la cara EFGH, sale una masa:
MECÁNICA de fluidos 9
{ρ v y+( ∂ ρ v y
∂ y )dy }dxdzdtLuego el paralelepípedo considerado pierde, al pasar la masa de la cara ABCD
a la cara EFGH, la diferencia de masas que entran y que salen, asignándoles
una convención de signos a las masas que salen del volumen de control, como
positivas (+) y negativas (-) a las masas entrantes, luego, la masa perdida o
cantidad neta de masa que atraviesa estas caras será:
d m y=( ∂ρ v y
∂ y )dydxdzdtTrasladando “dt” al primer miembro, entonces tendremos: la cantidad neta de
masa que atraviesa las caras normales al eje “y”, en la unidad de tiempo,
también conocido como gasto másico
QM y=( ∂ ρ v y
∂ y )dydxdz……………….(I )
Por razonamiento similar, la cantidad neta de masa que atraviesan las caras
normales a los ejes “x” y “z”, son:
QM x=( ∂ρ vx
∂ x )dxdydz……………….(II )
QM z=( ∂ ρ v z
∂ z )dzdxdy……………….(III )
Por lo tanto la cantidad neta de masa que atraviesa las superficies de frontera
del volumen en la unidad de tiempo, o caudal de masa o gasto de masa (QM),
será:
QM=QM x+QM y
+QM z……………(IV )
Sustituyendo (I), (II) y (III) en (IV):
QM=( ∂ ρ v y
∂ y )dydxdz+( ∂ ρ v x
∂ x )dxdydz+( ∂ ρ v z
∂ z )dzdxdy…………(A)
MECÁNICA de fluidos 10
Ahora, finalmente calculemos la “rapidez de variación de la masa contenida en
el volumen de control diferencial
∂M∂ t
=∂( ρ∀)∂ t
Por lo tanto:
∂M∂ t
=∂ ρdxdydz∂ t
…… ..(B)
Sustituyendo (A) y (B) en (α):
( ∂ ρ v y
∂ y )dydxdz+( ∂ ρ vx
∂x )dxdydz+( ∂ρ vz
∂z )dzdxdy+ ∂ ( ρdxdydz )∂t
=0
Y puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la
ecuación anterior se puede simplificar y ordenando, resulta:
( ∂ ρ v x
∂ x )+( ∂ ρ v y
∂ y )+( ∂ ρ vz
∂z )+ ∂ ρ∂ t
=0
Los tres primeros sumandos de la ecuación anterior, representan el desarrollo
del producto escalar:
∇⃗⦁(ρ v⃗)
Por lo tanto, la expresión superior, se reduce a:
∇⃗⦁ ( ρ v⃗ )+ ∂ ρ∂t
=0…………….(β )
Donde (β), es la Ecuación Diferencial de Continuidad. La expresión (β),
también se puede expresar de la siguiente forma:
( ∇⃗ ρ )⦁ ( ∇⃗⦁ v⃗ ) ρ+ ∂ ρ∂ t
=0…………… (β ')
La expresión (β’), también es la Ecuación Diferencial de Continuidad, ha sido
obtenida después de aplicar las propiedades vectoriales; es decir (β) y (β’) son
dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad, que es la
general para un flujo compresible no permanente; admitiendo las siguientes
simplificaciones:
MECÁNICA de fluidos 11
Flujo compresible permanente
∂ ρ∂t
=0
Luego sustituyendo en (β), resulta:
∇⃗⦁ ( ρ v⃗ )=0
Flujo Incompresible no Permanente: ρ = Cte. Entonces:
∇⃗ ρ=0 y∂ρ∂ t
=0
Sustituyendo las relaciones arriba indicadas en (β’), resulta: Y
puesto que “ρ” es diferente de cero, entonces:
(ө)
Flujo Incompresible Permanente ρ = Cte y
∂ ρ∂ t = 0 Luego:
Sustituyendo las expresiones arriba indicadas en (β’):
Luego, análogamente al caso anterior, resulta: (ө)
“Por lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se
cumple que la divergencia de es cero”.
Un flujo se considera incompresible, si los cambios de densidad de un punto a
otro son despreciables; en caso contrario, el flujo es compresible. Los líquidos y
gases a bajas velocidades pueden ser considerados incompresibles. El flujo de
un gas con velocidades entre 60 y 90 m/s se puede considerar incompresible,
siempre que no exista intercambio de calor en el exterior.
7. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA UNA VENA LÍQUIDA
La vena líquida mostrada en la figura está limitada por su superficie de
contorno (que generalmente coincide con una frontera sólida, o por esta y una
MECÁNICA de fluidos 12
superficie libre) y por las secciones transversales (1) y (2), normales al eje que
une los centros de gravedad de todas las secciones. Las velocidades en cada
punto de una misma sección transversal poseen un valor medio “v”, que se
considera representativo de toda la sección y de dirección tangencial al eje de
la vena
Se considera el volumen elemental de líquido mostrado en la fig. , limitado por
la superficie de contorno, que envuelve a la vena líquida, así como por dos
secciones transversales normales al eje de la vena, separadas la distancia “ds”,
donde “s” representa la coordenada curvilínea siguiendo el eje de la vena.
Aplicando el principio de la conservación de la materia, al volumen elemental
en estudio:
Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del
volumen elemental en estudio, es:
QM=[ρVA+∂( ρVA)
∂ sds ]−ρVA
QM=[ ∂(ρVA )∂s
ds ]……………… (θ)
Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen elemental en
estudio, es:
∂M∂ t
=∂ ( ρ∀ )∂ t
=∂ ( ρAds )
∂ t
MECÁNICA de fluidos 13
Tomando extremos, resulta:
∂M∂ t
=∂ ( ρAds )
∂ t……………….(θθ)
El principio de conservación de la masa establece:
(θ )+(θθ )=0
Resultando:
[ ∂ (ρVA)∂s
ds]+ ∂ (ρAds )∂ t
=0
Sin cometer prácticamente error se puede aceptar, en la mayoría de los
casos, que la longitud “ds” del elemento de volumen considerado no
depende del tiempo. Este puede salir de la derivada del segundo término
de la ecuación anterior y simplificarse con el que aparece en el primero,
de lo cual resulta:
¿
Recordando que ρ, v, A; son funciones de “s” y “t”, al desarrollar las
derivadas parciales indicadas se obtiene:
ρA∂V∂ s
+ ρV∂ A∂ s
+VA ∂ ρ∂s
+ ρ∂ A∂t
+A∂ ρ∂ t
=0………… ..(c)
Como:
V=∂ S∂ t
Sustituyendo la última expresión en (c), resulta:
ρA∂V∂ S
+ dsdt
∂ A∂ s
+ dsdt
A∂ ρ∂s
+ρ∂ ρ∂ s
+A∂ ρ∂ t
=¿
Sacando factor común “ρ” del segundo y cuarto sumando y “A” del tercero y
quinto sumando de la ecuación anterior, y aplicando el concepto de diferencial
total de “A” y de “ρ”, al ser funciones ambas de “s” y “t”, resulta:
MECÁNICA de fluidos 14
ρA∂V∂ S
+ ρdAdt
+Adρdt
=0
Dividiendo esta última expresión entre, ρA, resulta:
∂V∂ S
+ 1A
dρdt
+ 1A
dρdt
=0……….(d )
La expresión (d), es la Ecuación de Continuidad para una vena líquida donde se produce un flujo no permanente y compresible.
Si el escurrimiento es permanente las derivadas con respecto a “t” que aparecen en la ecuación (b), se eliminan y esa misma ecuación se simplifica, en:
∂ ( ρVA )∂ S
=0
O, bien:
ρVA=Cte
Si además el fluido es incompresible:
VA = Cte. (ξ)
La expresión (ξ), significa que “el gasto que circula por cada sección de la vena líquida en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones transversales, tales como (1) y (2) de la misma vena líquida, se cumple que el gasto que circula por ellas es constante”:
Q=V 1 A1=V 2 A2
MECÁNICA de fluidos 15
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EJERCICIO NÚMERO 1: Determine las componentes de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre el codo de salida doble que ilustra la figura. El volumen del agua dentro del codo es de 1m^3 y la velocidad en el punto 1 de una presión de 25 kpa es de 5m/s. El flujo es permanente.
SOLUCIÓN
MECÁNICA de fluidos 16
Q1=V 1 A1
1° Si:
Q1=(5m /s)( π4 (0.5m)2)Q1=0.982m3/s
Q2=V 2 A2
Q2=(10m /s)( π4 (0.18m)2)Q2=0.254 m3/s
F1=4.91 KN
2º)- La fuerza de presión en el punto 1
F1=P1 A1
F1=25 KPa( π4 (0.5m)2)ΣF x=ρ(Q¿¿3V 3 cos45 °−Q 2V 2)¿
F x=1000 Kg /m3(0.728m3
s∗23.18
ms
cos 45 °−0.254m3
s∗10m /s)
F x=9,392 KN
ΣF y= ρQ3V 3 sen 45°−Q1V 1
W=W∀
F y=7.69 KN
4º Hallamos la resultante de las fuerzas.
FR=√ (9.392 )2 (7.69 )2
FR=12.13KN
MECÁNICA de fluidos 17
V 3=Q2−Q1
A3
V 3=0.728m3/ s
( π4 (0.2m)2)V 3=23.18m / s
W=ρg∀
W=9.81m
s2∗1000
Kg
m3∗1m3
W=9.81 KN
−W+F y=1000 Kg /m3(0.728m3
s∗−23.18
mssen45 °−0.982
m3
s∗−5m /s)
F y=7.022 KN+4.91KN+9.81KN
EJERCICIO NÚMERO 2:
Una tubería de 180mm de diámetro transporta agua a razón de 0.09m3/s. La tubería se ramifica en dos de menor diámetro tal y como se indica en la figura, si la velocidad en el tubo de 60mm de diámetro es de 15 m/s ¿Cuál será la velocidad en la tubería de 120mmm de diámetro?
Q1=Q2+Q3→A1V 1=A2V 2+A3V 3𝑄1 = 𝑄2 + 𝑄3 →𝐴1𝑉1 + 𝐴2𝑉2 + 𝐴3𝑉3
𝑑1 = 180𝑚𝑚 = 0.18𝑚
𝑑2 = 120𝑚𝑚 = 0.12𝑚
𝐷1 = 60𝑚𝑚 = 0.06𝑚
SOLUCIÓN
Q3=A3V 3
MECÁNICA de fluidos 18
Calculo del:Q3
Q3=π d2
4×V 3
Q3=π (0.06m)2
4×15m /s
Q3=0.0424m3/s
Calculo del Q2:Q1=Q2+Q3
Q2=Q1−Q3
Q2=0.09m3/ s−0.0424m3/s
Q2=0.0476 m3/s
Para calcular la velocidad de la tubería de 120mm:
Q2=A2V 2
V 2=Q2
A2
V 2=Q2
π d2
4
V 2=0.0476m3/sπ (0.12m)2
4
V 2=4.21m /s
EJERCICIO NÚMERO 3:
La figura muestra una bifurcación de una tubería según los diámetros indicados. El agua escurre de izquierda a derecha , si la velocidad media en B es de 0.60 m/seg. Y en C es de 2.70m/seg. Calcular las velocidades en A y D y el gasto en cada ramal.
SOLUCIÓN:
Datos:
d A=0.15mV B=0.60msd B=0.30mV C=2.70
msdC=0.10mdD=0.05mPor Principio
MECÁNICA de fluidos 19
de Conservación de la masa:
QA=QB=QC+QD ………………(I )QA=QB………………(II ) Hallaremos Los
Caudales Con Los Datos Proporcionados:
QB=AB.V B…………………(1)
Hallaremos El Área De B:
AB=π (dB)
2
4
AB=π (0.30m)2
4
AB=0.071m2
RemplazandoABen (1):
QB=AB.V B
QB=0.071m2 (0.60 ) ms
QB=0.042m3
s
Hallaremos El Área De B:
AB=π (dB)
2
4
AB=π (0.30m)2
4
AB=0.071m2
RemplazandoABen (1):
QB=AB.V B
QB=0.071m2 (0.60 ) ms
MECÁNICA de fluidos 20
QB=0.042m3
s
Hallamos QC :
QC=AC .V C
AC=π (dC)
2
4
AC=0.0078m2
QC=0.0078m2(2.70ms )
QC=0.021m3
s
Calculamos Las Velocidades En A (de la ecuación I) :
AA=π (d A)
2
4
AA=0.018m2
QA=QB
AA .V A=0.042m3
s
0.018m2V A=0.042m3
s
V A=2.33ms
Para el cálculo de la velocidad en “D”
Se sabe que de la ecuación (I) :
QA=QB=QC+QD
MECÁNICA de fluidos 21
AA .V A=AC .V C+ AD .V D
Calculamos el área en “D”:
AD=π (dD)
2
4
AD=¿0.002 m2
Reemplazamos los datos:
MECÁNICA de fluidos 22
0.018m2X2.33m/s =0.0078m2(2.70ms ) +0.002m2XV D
V D=10.44ms