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Proyecto de Cálculo DiferencialRazón de Cambio
UN FARO EN LA PLAYA
Paralelo: 14
Yesenia Bustos
Alfredo Andrade
Andrés Fernández
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1. Fundamento teórico
Razón de Cambio
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya
variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una
cantidad que varía con respecto del tiempo t.
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo)
como el límite de esta razón promedio cuando. Es decir, la razón de
cambio instantánea de Q es:
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de
cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada
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La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos
que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la
función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a
lo largo de la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el
punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva
trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta
tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa
ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si
Q es decreciente en el instante t si
Razones de cambio relacionadas
Si una variable ‘y’ depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se
denomina razón de cambio con respecto al tiempo, o solo razón de
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cambio. Por su puesto, si ’y’ mide la distancia, entonces la razón de
cambio se llama velocidad.
Gráfico de POSICIÓN vs. TIEMPO
Puede ser que, en lugar de conocer a ‘y’ de manera explícita en
términos de ‘t’, conozcamos una relación entre ‘y’ y otra variable ‘x’, y
que también conozcamos acerca de dx/dt. Aun podemos ser capaces de
encontrar dy/dt, ya que dy/dt y dx/dt son razones de cambio
relacionadas. (PURCELL, VARBERG, & RIGDON, 2007)
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de
razones relacionadas, se calcula la rapidez con que cambia una
cantidad en términos de la razón de cambio de otra(s) cantidad(es).
Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas:
1. De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situación
planteada.
2. Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las
cantidades por determinar que varían con el tiempo.
Velocidad
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3. Analizar el enunciado del problema y distinguir cuales razones de
cambio se conocen y cuál es la razón de cambio que se requiere.
4. Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones
de cambio están dadas o han de determinarse.
5. Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos
miembros de la ecuación obtenida en (4), con respecto al tiempo
t, con el fin de obtener la ecuación de razones relacionadas.
6. Sustituir en la ecuación resultante del punto (5), todos los valores
conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de
deducir (despejar) la razón de cambio requerida. (Nota: Es hasta
en este momento, que se hacen las sustituciones de acuerdo con
los datos del problema). (M.Sc. Sharay, 2005)
2. Aplicación Industrial
Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está
presente en la vida diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre
específico o sin reflexionar sobre las acciones realizadas. Ya que
vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico,
resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de
modelos matemáticos.
Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre,
puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a
crecer, o permanecer estacionaria. También la población de un país
varía con el correr del tiempo y la variación depende básicamente de la
cantidad de nacimientos y de muertes.
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Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues
estos nos permitirán extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por
ejemplo, en el caso de consumo de energía eléctrica como función del
tiempo, cuándo se produce un aumento repentino, lo que indica la
necesidad de aumentar la capacidad eléctrica; si estamos analizando la
evolución de una enfermedad a través del tiempo podremos saber
cuándo se está propagando con mayor rapidez y así reforzar las
medidas sanitarias necesarias. (Micheloud, 2010)
3. Maqueta demostrativa:
Ejercicio:
La luz del faro, que se encuentra 1 kilómetro alejado de una playa recta, gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa cuando pasa por el punto que se encuentra a ½ kilómetros del punto que está enfrente del faro?
Las medidas de la maqueta son a escala por lo tanto estas son las verdaderas medidas:
DATOS:
Problema Maqueta
1 Km 30cm
½ Km 15cm
2 rev/min 1/25 rev/seg 12/5 rev/min
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Problema:
Tanθ=x
dθdt
=2∗2∗¿ 4rad/min
1
cos2θ*dθdt
=dxdt
En: x=1/2 Km
θ=tan−1 12
1
cos2θ=5/4
dxdt
=544
Aproximadamente es: 15.71 km/min
Maqueta:
Tanθ=x30
dθdt
=125
∗2∗¿ 245
rad/min
1
cos2θ*dθdt
=dxdt
En: x=15 cm
θ=tan−1(1/2)
1
cos2θ=5/4
dxdt
=
54∗24
5=6
Aproximadamente es: 18.85 cm/min
18.85*60 seg .1min.
=1.128 cm /se
Fotos:
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4. Conclusiones
Si una variable ‘y’ depende del tiempo ‘t’, entonces su derivada
dy/dt se denomina razón de cambio
La razón de cambio es la forma en que va cambiando la variable
con respecto a otra.
Se puede decir que el concepto más general de la razón de
cambio instantáneo se puede relacionar con el concepto de la
velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme. Pues la razón de
cambio instantáneo es una razón de cambio de la distancia
respecto al tiempo.
La derivada es la razón de cambio de una curva, que puede estar
creciendo si es que la pendiente de la recta es positiva o
decreciendo si la pendiente de la recta es negativa.
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Cuando tenemos dos incógnitas relacionadas que puede ser ‘x’ y
‘y’ aun podemos ser capaces de encontrar dy/dt y dx/dt, ya que
son razones de cambio relacionadas.
Sin duda alguna la razón de cambio está presente en la vida
diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o
sin reflexionar sobre las acciones realizadas. Ya que vivimos en
un mundo físico, social, político, económico, biológico, resulta
importante poder describir y medir estos cambios a través de
modelos matemáticos.
Bibliografía
M.Sc. Sharay, M. R. (2005). Instituto Tecnológico de Costa Rica. Recuperado el 26 de Enero de 2013, de Revista digital de Matemática, educación e internet: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/relaciones-relacionadas/relacionesrelacionadas.pdf
Mercedes. (s.f.). Rincon del Vago. Recuperado el 26 de Enero de 2013, de Razón de Cambio: http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html
Micheloud, P. (29 de Noviembre de 2010). Laboratorio Pedagógico. Recuperado el 26 de Enero de 2013, de Aplicaciones de la derivada: https://sites.google.com/site/455laderivada/razon-de-cambio-1
Profesorenlinea. (s.f.). Profesor en línea. Recuperado el 26 de Enero de 2013, de Gráficas de movimiento resctilíneo: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Movimiento_Graficas.html
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PURCELL, E. J., VARBERG, D., & RIGDON, S. E. (2007). Cálculo. México: PEARSON EDUCACIÓN.