Download - Presentación de calculo unidad 4
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 1/16
Instituto Tecnológico Superior De Coatzacoalcos.
Ing. En Sistemas Computacionales.
Materia: Calculo Integral
Prof.: Nila Candelaria De La Cruz Tadeo
2do Semestre, Grupo B.
Alumno:
Luis Enrique Izquierdo Velasquez
Yolitzma López Blas Jonathan Díaz Cruz
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 2/16
4.1 DEFINICIÓN DE SERIE (FINITA E INFINITA).
4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LARAZÓN (CRITERIO D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ(CRITERIO DE CAUCHY).
4.3 SERIE DE POTENCIAS4.4 RADIO DE CONVERGENCIA
4.5 SERIE DE TAYLOR
4.6 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTES LASERIE DE TAYLOR4.7 CALCULO DE INTEGRALES DEFUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DETAYLOR.
Unidad 4 Series
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 3/16
UNIDAD 4 SERIES
4.1 DEFINICIÓN DE SERIE (FINITA E INFINITA)
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 4/16
Cuando el número de términos es limitado, se dice que lasucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es
limitado, la sucesión o serie se llama una sucesión infinita o una
serie infinita.
El término general o término enésimo es una expresión que
indica la ley de formación de los términos.
Si la sucesión es infinita, se indica
por puntos suspensivos, como 1,4, 9,« n2,«.
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 5/16
4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIODE D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ
(CRITERIO DE CAUCHY).
A partir de una sucesión dada
y sumando sus términos sucesivamente, es
posible construir una nueva sucesión de la
siguiente forma:
S1 = a1
S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3. . .Sn = a1 + a2 +«+ an =
Las series convergen o divergen.
En cálculo, una serie diverge si no existe o si
tiende a infinito; puede converger
si para algún
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 6/16
CRITERIOS DECONVERGENCIA
Clasificar una serie es determinar si converge aun número real o si diverge ( u oscilante).Para esto existen distintos criterios que,aplicados a la serie en cuestión, mostrarán dequé tipo es (convergente o divergente).
CONDICI
N NECESARIA DE CONVERGENCIA
Si la serie es convergente entonces
Por tanto, si la sucesión no converge a cero entonces la serie
diverge necesariamente. En cam¡ io, si la sucesión converge a
0, no podemos afirmar nada so¡ re la convergencia de la
serie.
2. Si es convergente, su carácter y su
suma no cam¢ ian al sustituir grupos de
términos consecutivos por sus sumas (es decir,
asociando). Lo mismo ocurre cuando la serie
es divergente (Con una serie oscilante
no se verifica esto).
3. El carácter de una serie no se altera si sesuprime o se añade un número finito de
sumandos. Por tanto, si una serie esconvergente con suma S la serie o
¢ tenida al
suprimir los k primeros términos, seráconvergente con suma S - K, siendo K la sumade los términos suprimidos.
4. Si diverge entonces
tam¡ ién diverge.
5. Si divergen
simultáneamente
entonces tam¡ ién
diverge
Ejemplo 4
Por la condición necesaria de convergencia, l
a serie es divergente pues
Proposición 2 (Propiedades)
Sean dos series convergentes con sumas S £
y S2 respectivamente, entonces se cumple:
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 7/16
Sea una serie , tal que ak >¤
(serie de términos positivos). Si
existe con el criterio de Alembert
Establece, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no es porsible desir algo sobre el comportamiento del tema.
ITE I E 'ALE E T( E A E LA A )
CRITERIO DE
RAABE
En este caso, es
necesario probar otrocriterio, como el criteriode Raabe. Que sugiere
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 8/16
CRITERIO DE CAUCHY ODE LA RAÍZ
Sea una serie , tal que ak > (serie de términos positivos). Y
supongamos que existe , siendo
Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al
criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a
alguna conclusión.
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 9/16
4.3 SERIE DE POTENCIA
Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión
del tipo , en donde
Es decir
Por ejemplo
en donde todos los valen 1, o
y todos sus .
o
n
na x
g
§
0
nn
0 1 22
33
nn
a x = a + a x + a x + a x +....+ a x +...
g
§
0
n x = 1+ x + 2
x + 3 x +...+ n
x +...g
§
0
n
2 3
n1
n!x = 1 + x +
x
2!+
x
3!+...+
1
n!x +...
g
§
na =1
n!
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 10/16
Que se llama intervalo de convergencia o campo deconvergencia, y será divergente para valores de x fuera deeste intervalo.
Los extremos del intervalo deben examinarseseparadamente. Para toda serie dada debe formarse larazón de D´Alembert y determinarse el intervalo deconvergencia aplicándolo lo dicho en el criterio dealembert.
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 11/16
Si una serie de potencias S an xn converge para valores de x / ô xô <R y diverge para ô xô > R, al valor de R se llama radio deconvergencia de la serie y al conjunto -R < x < R se llama intervalode convergencia; el intervalo de convergencia puede o no incluir losextremos.
Veamos como se calcula el radio de convergenciaConsideremos la serie S an xn / S ô an xnô < ¥ .Si existe, para cada x es:Aplicando el criterio de D¢ Alembert para cada x
resulta;1.ô xô < 1 Þ S an xn converge y1.ô xô > 1 Þ S an xn diverge
Es decir, para ¹ 0 , la serie S an xn converge si ô xô < 1 / l = R y diverge si ô xô >1/l = R.Si l = 0 la serie converge para cualquier valor de x.En efecto " x : l . ô xô = 0 < 1; en este caso el radio de convergencia R = ¥Si l = ¥ , el radio de convergencia R = 0, es decir la serie solo converge para x = 0.
4.4 RADIO DE CONVERGENCIA
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 12/16
4.5 SERIE DE TAYLOR
DefiniciónLa serie de Taylor de una función f de números realeso complejos que es infinitamente diferenciable en unentorno de números reales o complejos a, es la seriede potencias:
Que puede ser escrito de una maner a más
compacta como
Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota lan-énesima derivada de f en el punto a; laderivada cero de f es definida como la propia f
y ( x î a) ¥ y ! son ambos definidos como uno.
. ¿Qué es?
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cualse puede encontrar una solución aproximada a una función
¿Par a que sirve?La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de unafunción en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas enotro punto.Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unascuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un errorconocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie ennumero de términos que ha de incluir la aproximación.
Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales,logarítmicas etc...
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 13/16
Una serie de potencias de xconvergentes se adapta bien alpropósito de calcular el valor dela función que representa paravalores pequeños de x (próximosa ceros).
Ahora deduciremos un desarrollode potencias de x ²a siendo a unnúmero fijo. La serie que así seobtiene se adapta al objeto decalcular la función querepresenta para valores de x
cercanos a .
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 14/16
4. T I II T L
I T L .
n esta segunda forma el nuevo valor de f(x) cuando x cambia de x¦
a x¦
+ h sedesarrolla en una serie de potencias de h, que es el incremento de x.
jemplo. esarrollar sen x en una serie de potencias de h cuando x pasa a x¦ a
x¦
+h.
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 15/16
CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONESEXPRESADAS COMO SERIES DE TAYLOR
DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR
Se incluye la serie de Taylor como unaherramienta para la representación defunciones como una serie de potencias.También para calcular integrales definidas de
funciones con primitivas difícil de determinar.
La función
p(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2+..........+a n x n, en
la que los coeficientes a k sonconstantes, se llama polinomio de
grado n. En particular y=ax+b es un
polinomio de primer grado e
y=ax 2+bx+c es un polinomio de
segundo grado.
Los polinomios pueden considerarse las
funciones más sencillas de todas. Para
calcular su valor para una x dada, necesitamos
emplear únicamente las operaciones de
adición, sustracción y multiplicación; ni
siquiera la división es necesaria.
5/6/2018 Presentación de calculo unidad 4 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/presentacion-de-calculo-unidad-4 16/16
Los polinomios son funciones continuas para todo x y
tienen derivadas de cualquier orden. Además la
derivada de un polinomio es también un polinomio degrado inferior en una unidad, y las derivadas de orden
n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.
.
.
.
.
.
.