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O DE L CONSOLIDACIN ECONMICA YSOCI L DEL PER
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD CIENCIAS DE INGENIERA
ESCUELA ACADMICA PROFESIONAL DEINGENIERACIVIL HUANCAVELICA
TRABAJO:
PR CTIC DES RROLL D DE NLISIS M TEMTICO II
CTEDRA: ANLISIS MATEMTICO II CATEDRTICO: Lic. CASTAEDA CAMPOSINTEGRANTES: HUINCHO OCHOA Jess
HUAMAN SOTO Marco antonyJIMENEZ ORTEGA NiltonNUEZ MARTINEZ VladimirESCOBAR SOTO PercyCRISOSTOMO SAENZ Elmer
HUANCAVELICA PER2010
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PRLOGO
El conjunto de problemas resueltos que conforman el presente trabajo son de laPRIMERA PRCTICA y la teora de los apuntes de clase del curso de ANLISISMATEMTICO II, va dedicado para los estudiantes de ingeniera que cursan losciclos bsicos, en especial para aquellos que siguen la excelente carrera deINGENIERA CIVIL-HVCA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAcuya exigencia es superior en comparacin a los dems, pues el estudiante debecontar con una base solida en anlisis matemtico y clculo para enfrentar con xito
las materias relacionados con la carrera y as poder concretizar sus objetivos.El equipo de trabajo agradecer cualquier crtica y sugerencia que ayude mejorar eltrabajo para presentaciones posteriores.Tambin queremos agradecer a nuestro docente Mg. Mat. Csar CastaedaCampos por sus enseanzas impartidas en el curso.
Los alumnos
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD CIENCIAS DE INGENIERA
ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL - HVCA
PRIMERA PRCTICA DE ANLISIS MATEMTICO II
DERIVADAS PARCIALES
Para hacer precisas nuestras ideas necesitamos una definicin de lo que queremos
decir con la frase es derivable en : de hecho, esta
definicin no es tan simple como parece. Para ese fin comenzamos con la nocin dederivada parcial .
DEFINICIN: Sea un conjunto abierto y supngase que es una funcin convalores reales. Entonces las derivadas parciales de respecto de laprimera, segunda,, n -ensima variable, son las funciones con valores reales de nvariables que, en el punto .
* DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES
uando es onstante
0 1
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DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y SUS INVERSAS
DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBLICAS Y SUS INVERSAS
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I. Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1. Hallar la derivada de las siguientes funciones:
a)
Analizando la funcin tenemos:1 Hallamos la derivada con respecto a consideramos a como unaconstanteSi La derivada de
es:
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2 Hallando la derivada con respecto a y considerando a como unaconstante:
b)
*
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c)
-
-
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{ } { }
* d)
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e)
f)
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g)
*
*
h)
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*
i)
*
-
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j)
k)
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l) {}
{}
{}
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REGLAS DE CADENA
Sea , donde es una funcin derivable de y . Si y ,donde y son funciones derivables de , entonces es una funcin derivable de.
REGLA DE CADENA DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES
Sea , donde es una funcin derivable de y . Si y son tales que las derivadas parciales de primer orden.
enton es
e isten est n dadas por
En lo siguiente son funciones de constantes (con restricciones sias se indica); es la base de los logaritmos naturales o neperianos,todos los ngulos estn dados en radianes.
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2. Encontrar la derivada de las funciones siguientes, haciendo uso de la regla dela cadena:
i. . /+
. /
. /
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[ ,]. /+ ,
. /+ ,. /+[ . / ]
* * ii. . /+
./ . / . /
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. /+, . /+ . /+ /+ 0 . /1 * 0./. / 1
iii.
+ *
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* + *
iv.
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* * + 0 1
v.
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0 *1
* vi. *
0 . */1
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0 . */1
. */+. */+. */+0.
*/ . */1 * 0 1
vii.
0 . */1
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[ . */+ . */+
[ . */][ .
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OPERACIONES CON VECTORES
Dados los siguientes vectores: u w . / Hallar lo siguiente:
a) La suma de dos vectores:
. / . /
. / . /
. / . /
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. / . /
. / . / . / . / *
. /
*
*
.* / *
.
/
-
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. /
. /
-
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. /
. /
. / . /
. /
*
. /
. /
-
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. /
. /
. / . /
El producto interno de cada par de ellos:
. /
. /
-
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. /
*
*
*
. /
+
.
/
-
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*
. / . /
. / . /
. / . /
.
/
+ . /
-
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*
*
* *
* *
. /
+
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
1)
= =
-
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-
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= =
= = 8.318
5)
= =
= = 5.692
6)
= =
= = 07)
-
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= =
= = 5.1758)
= =
= = 7.019
9)
= =
= = 1.85210)
-
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= =
= = 4.526
11)
= =
= = 3.23512)
= =
-
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= = 5.59213)
= =
= = 6.93314)
= =
= = 1.59915)
-
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= =
= = 4.526
16)
= =
= = 3.34917)
1.
= =
= = 12.84218)
-
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= =
= = 2.575
20)
= =
= = 7.22821)
= =
= = 0.82222)
-
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= =
= = 5.92623)
= =
= = 7.45524)
= =
= = 1.532
-
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25)
= =
= = 4.621
EL ANGULO FORMADO POR DOS VECTORES
Sabemos que el Angulo formado esta dado por:
1)
*
* = *
* = * *
* = * *
= =
2)
-
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= *
= * *
= * *
= =
3)
= *
= * *
= * *
= =
4)
= *
= * *
= * *
= =
5)
-
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= * = * *
= * *
= =
6)
= *
= * *
= * *
= =52.077
7)
= *
= * *
= * *
-
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44/107
-
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= *
= * *
= * *
= =72.53
11)
= *
= * *
= * *
= =76.089
12)
= *
= * *
= * *
-
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= =52.96
13)
= *
=
* *
= * *
= =87.797
14)
= *
=
* *
= * *
= =87.797
15)
-
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= *
= * *
= * *
= =72.5316)
= *
= * *
= * *
= =76.089
17)
= *
= * *
= * *
-
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= =52.96
18)
= *
= * *
= * *
= =87.356
19)
= *
= * *
= * *
= =78.830
20)
-
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= *
= *
*
= * *
==29.826
21)
= *
= * *
= * *
= =170.343
22)
= *
= * *
= * *
-
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= *
= * *
= * *
= =110.19926)
= *
= * *
= * *
= =78.049
b) El producto de un vector por la suma de dos de ellos (
( . / (
(
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( * ( (
. *
.
c) El producto externo de un vector por la suma de ellos (
(
. / *
(
-
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d) El vector unitarioe) | |
| |
| | f) | | | | . / | |
g)
. /
-
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DEFINICION:Un anillo conmutativo con elemento identidad se llama un cuerpo (otambin en un campo) si todo diferente de cero tiene un inverso multiplicativo,esto es, existe un elemento tal que
Un cuerpo es necesariamente un dominio de integridad, pues si yy , entonces
Hacemos notar que un cuerpo puede considerar como un anillo conmutativo en elcual los elementos diferentes de cero forman un grupo para la multiplicacin.
II. Anlisis vectorial
1. Dado los siguientes vectores:
,
Hallar lo siguiente:
a) La suma de dos vectores
b) El producto interno de cada par de ellosc) El producto interno de cada terna de ellosd) El producto externo de cada par de ellose) El producto externo de cada terna de ellosf) El producto de un vector por la suma de dos de ellosg) El producto externo de un vector por la suma de dos de ellosh) EL vector unitario
i) El ngulo formado por dos vectores
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j) El rea del paralelogramo formado por dos vectoresk) El volumen de la figura formada por tres vectoresl) Probar que es un grupo abeliano
Comprobacin:
es una ley de composicin interna en pues si es asociativa: Si
tenemos
tiene un elemento neutro o identidad
tiene elemento inverso aditivo , es decir:si es conmutativo pues: Sean
el par es un grupo abeliano
m) Probar que || || es un dominio de integridadn) Probar que es un grupo campoo) Probar que es un subgrupo
Tomamos el grupo del problema anterior tal que es un
subconjunto de
Evaluando:
i. Sea y
aparentemente es subgrupo de
ii. La asociatividad de se verifica en por
Sin embargo:
No todo elemento de admite su inverso en
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Ejm:
Si no es un subgrupo de
p) Probar que es un cuerpo
El conjunto de los nmeros complejos se representa por . Formalmente,un nmero complejo es un par ordenado de nmeros reales.
Cumple la propiedad asociativa:
tenemos:
un elemento
Para cada un elemento
tenemos:
(Conmutativo)
, se cumple:
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1. INTERSECCIN CON LOS EJES COORDENADOS:
a) CON EL EJE
: En la ecuacin
se hace
b) CON EL EJE : En la ecuacin se hace c) CON EL EJE : En la ecuacin se hace 2. TRAZAS SOBRE LOS EJES COORDENADOS
Se llama traza a la curva de interseccin de la superficie y el planocoordenado. La traza se obtiene de la siguiente forma: a) TRAZA CON EL PLANO : En la ecuacin de la superficie sehace y se dibuja lo que queda.b) TRAZA CON EL PLANO : En la ecuacin de la superficie sehace y se dibuja lo que queda.c) TRAZA CON EL PLANO : En la ecuacin de la superficie sehace y se dibuja lo que queda.
3. SIMETRA
Dos puntos son simtricos con respecto a un tercero, si el tercero es el puntomedio que une a los dos primeros. Dos puntos son simtricos con respecto a una recta, si la recta es ortogonal alsegmento que los une en su punto medio.
Dos puntos son simtricos respecto a un plano si y solo si, el plano es ortogonal alsegmento que los une en su punto medio.Una superficie es simtrica con respecto a un plano, si es simtrico a cada puntode este plano.La simetra de una superficie se determina de la siguiente forma:a) SIMETRA RESPECTO AL ORIGEN: Si en la ecuacin de la superficie se
cumple que:
-
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b) SIMETRA RESPECTO AL EJE : Si en la ecuacin de la superficie se cumpleque:
c) SIMETRA RESPECTO AL EJE : Si en la ecuacin de la superficie se cumpleque:
d) SIMETRA RESPECTO AL EJE : Si en la ecuacin de la superficie se cumple
que:
e) SIMETRA RESPECTO AL PLANO : Si en la ecuacin de la superficie secumple que:
f) SIMETRA RESPECTO AL PLANO : Si en la ecuacin de la superficie secumple que: g) SIMETRA RESPECTO AL PLANO : Si en la ecuacin de la superficie se
cumple que:
4. SECCINES PARALELAS O TRANSVERSALES
Las secciones transversales o secciones paralelas a los planos coordenados sepueden obtener cortando la superficie por una serie de planos paralelos a losplanos coordenados.
a) SECCIONES PARALELAS AL PLANO : Se obtiene reemplazando enla ecuacin es decir ; que es la ecuacin de la curvade interseccin del plano con la superficie.
-
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b) SECCIONES PARALELAS AL PLANO : Se obtiene reemplazando enla ecuacin es decir ; que es la ecuacin de la curvade interseccin del plano con la superficie.c) SECCIONES PARALELAS AL PLANO : Se obtiene reemplazando en
la ecuacin es decir ; que es la ecuacin de la curvade interseccin del plano con la superficie.5. EXTENSIN
Consiste en determinar la variacin de las variables de la ecuacin 6. CONSTRUCCIN DE LA SUPERFICIE
Consiste en llevar a cabo todos los pasos anteriores.
III. Dibujo de figuras en R 3
a)
1. INTERSECCIONES:
-
-
-
-
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2. TRAZAS:
3. SIMETRAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN:
-
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-
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2. TRAZAS:
3. SIMETRAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
-
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c)
1. INTERSECCIONES:
-
No existe interseccin
-
No existe interseccin
-
2. TRAZAS:
-
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3. SIMETRAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
d)
-
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1. INTERSECCIONES:
-
-
-
2. TRAZAS:
3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
-
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e)
1. INTERSECCIONES:
-
-
-
2. TRAZAS:
-
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3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
f)
1. INTERSECCIONES:
-
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-
-
-
2. TRAZAS:
3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y 4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
-
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g)
1. INTERSECCIONES:
-
-
-
2. TRAZAS:
-
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3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
h)
1. INTERSECCIONES:
-
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-
-
-
2. TRAZAS:
3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
-
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i)
1. INTERSECCIONES:
-
-
-
2. TRAZAS:
-
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3. SIMETRAS: Existe simetra con el eje y los planos y 4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
j)
1. INTERSECCIONES:
-
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-
No existe interseccin
-
No existe interseccin
-
2. TRAZAS:
3. SIMETRAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN
-
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k)
1. INTERSECCIONES:
-
-
-
-
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2. TRAZAS:
3. SIMETRAS: Existe simetra con el plano
4. SECCIONES PARALELAS
5. EXTENSIN:
-
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l)
1. INTERSECCIONES:
-
-
-
2. TRAZAS:
-
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-
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1. INTERSECCIONES:
2. TRAZAS:
3. SIMETRIAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.
4. SECCIONES PARALELAS:
5. EXTENSIN:
Solo es un punto
-
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n)
1. INTERSECCIONES:
2. TRAZAS:
3. SIMETRIAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.
4. SECCIONES PARALELAS:
-
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5. EXTENSIN:
o)
1. INTERSECCIONES:
-
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o e iste interse i n 2. TRAZAS:
3. SIMETRIAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.
4. SECCIONES PARALELAS:
5. EXTENSIN:
-
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p)
1. INTERSECCIONES:
2. TRAZAS:
-
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3. SIMETRIAS: Existe simetra con el eje los planos y 4. SECCIONES PARALELAS:
5. EXTENSIN:
-
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q)
1. INTERSECCIONES:
2. TRAZAS:
3. SIMETRIAS: Existe simetra con el eje y los planos y 4. SECCIONES PARALELAS:
5. EXTENSIN:
-
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-
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4. SECCIONES PARALELAS:
5. EXTENSIN:
s)
1. INTERSECCIONES:
-
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2. TRAZAS:
3. SIMETRIAS: Existe simetra con el eje y los planos
y .
4. SECCIONES PARALELAS:
5. EXTENSIN:
-
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t)
1. INTERSECCIONES:
2. TRAZAS:
3. SIMETRIAS: Existe simetra con el plano 4. SECCIONES PARALELAS:
-
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5. EXTENSIN:
u)
1. INTERSECCIONES:
2. TRAZAS:
-
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3. SIMETRIAS: Existe simetra con el plano
.
4. SECCIONES PARALELAS:
5. EXTENSIN:
v)
1. INTERSECCIONES:
-
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-
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w)
1. INTERSECCIONES:
2. TRAZAS: o e iste
3. SIMETRIAS: Existe simetra con el origen, los ejes y los planos.
4. SECCIONES PARALELAS:
-
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5. EXTENSIN:
x)
1. INTERSECCIONES:
2. TRAZAS:
-
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o e iste
3. SIMETRIAS: Existe simetra con el eje y los planos y .4. SECCIONES PARALELAS:
5. EXTENSIN:
-
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TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean y dos espacios vectoriales, sobre el mismo cuerpo . es un transformacinlineal si satisface las siguientes condiciones:
1) Para todo
2) Para todo y todo Es decir, Es lineal si preserva las dos operaciones bsicas de un espaciovectorial, la adicin de vectores y la multiplicacin por un escalar.
Para todo escalar y todo vector obtenemos, aplicando ambas
condiciones de linealidad.
-
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De forma general: escalar a,
k y todo vector ; obtenemos la propiedad
bsica de las aplicaciones.
NCLEO DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL
DEFINICIN: Sea una transformacin lineal, el ncleo o kernel de una
transformacin lineal se denota por o y se define como el conjunto delas pre-imgenes del vector nulo, es decir:
IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL
DEFINICIN: Sea una transformacin lineal, se define la imagen de estatransformacin lineal como el conjunto que tiene al menos una pre-imagen, es decir:
IV. Transformaciones lineales
1. Probar que las siguientes transformaciones son lineales o no:a)
Sea: y , entonces
y
Tenemos: y
Luego:
-
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y
como y son arbitrarios
es una transformacin lineal.
b)
Sean: y
Entonces: y
Tenemos:
Luego:
no es una transformacin lineal
c)
Sean: y ; entonces:
-
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y Tenemos:
Luego:
T no es una transformacin lineal.
d)
Sean: y , entonces
y Tenemos:
Luego:
T no es una transformacin lineal.
-
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e)
Sean: y , entonces:
y Tenemos:
Luego:
Como son arbitrarios
T es una transformacin lineal.
f)
Sean: y ; entonces y Tenemos:
Luego:
Y
-
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es una transformacin lineal.
g)
Redefiniendo
Sean: y ; entonces: y
Tenemos:
Luego:
no es una transformacin lineal
h)
Sean: y ; entonces:
y
Tenemos:
Luego:
-
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y
Como y son arbitrarios
es una transformacin lineal.
i) Sea una transformacin definida por. Pruebe que es lineal y encuentre la matriz de T respecto a la base
Sean:
Sea
es una transformacin lineal.
j) Sea una transformacin lineal definida por
+ Donde es una base para y
es una base para . Hallar e
-
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Luego: Infinitas soluciones.
Hallando la imagen de
s un sistema ompati e indeterminado infinitas so u iones