Download - Polinomios 2012( 2da Clase)
Monomios
zyxzyxM 725),,( −=
Coeficiente
Variables
Notación:
Las variables se definen dentro del paréntesis por ej. x ,y , z
El coeficiente es una expresión que no depende de las variablesPor ej. 5
Obs:
Grado Relativo: G.R(variable)
Monomios
Es el valor del exponente de la variable a analizar.
Grado Absoluto:G.A(Nombre del monomio)
Es la suma de exponentes de todas las variables del monomio.
Ejm: zyxzyxM 725),,( −=
G.R(x)=2G.R(y)=7
G.R(z)=1
G.R(M) = 2 + 7 + 1 = 10
Polinomios
7642),( 3472 −+−= xyxyxyxM
Término independiente
Variables
Notación:
Obs:
Se puede notar que un polinomio esta compuesto de uno o varios monomios (términos).
Polinomios
Grado Relativo: G.R(variable)
Es el mayor valor del exponente de la variable a analizar.
Grado Absoluto:G.A(Nombre del Polinomio)
Es la mayor suma de exponentes de las variables obtenida de cada término .
Ejm:7642),( 3472 −+−= xyxyxyxM
9 7 1 0
G.R(x)= 4
G.R(y)= 7G.R(M) = {9; 7 ; 1 ; 0 }Max
= 9
Nota 1 :La expresión grado de un polinomio , se refiere al grado absoluto del polinomio
Nota 2 : Para la notación del grado ( grado absoluto) del polinomio P(x) se pueden usar las siguientes.
))((. xPAG )]º([ xP><
Polinomios Especiales
1. Polinomio Homogéneo:Cuando todos los términos son del mismo grado.
Ejm:
995472 642),( yxyxyxyxP −+−=
3223 33),( yxyyxxyxQ +++=
Grado de homogeneidad : 9
Grado de homogeneidad : 3
Polinomios Especiales
2. Polinomio Completo:Cuando presenta todos los exponentes del la variable desde el mayor hasta el término independiente.
Ejm:
8642),( 35472 +−+−= xyxyxyxyxQ
xxxxxxP +−+−+= 2453 73)(
Pol. Completo respecto a la variable x
Propiedad: En un polinomio completo el número de términos es igual a grado del polinomio aumentado en 1.
Num. de términos = Grado[P(x)] +1
xxxxxxP +−+−+= 2453 73)(
Ejm:
Num. de términos = Grado[P(x)] +1
= 5 +1 = 6
Obs: Vemos que el grado de este polinomio es 5
Polinomios Especiales 3. Polinomio ordenado:Cuando los exponentes de al menos
una variable están ordenados en forma creciente o decreciente.
Ejm:
73)( 258 +−+= xxxxP
843 1011)( yyyyQ −+=
6725452),( yxyxyxyxyxR ++−=(Pol. Ordenado creciente respecto a x)
(Pol. Ordenado decreciente.)
(Pol. Ordenado creciente.)
Polinomios Especiales 4. Polinomio mónico:Cuando el coeficiente principal es 1.
Ejm:
2)( 275 +−+= xxxxP
843 32)( yyyyQ ++−=
133)( 23 +++= zzzzR
1
1
1
Polinomios Especiales 5. Polinomios idénticos:Dos polinomios son idénticos
definidos en las mismas variables cuando sus coeficientes de términos semejantes son iguales.
)()( xQxP ≡Notación :
76 2 +− xxEjm:
≡ cbxax ++2
⇔ 6=a 1−=b 7=c; ;
Esto se cumple :
Si:
Polinomios Especiales 6. Polinomios idéntico
nulo:Se llama así al polinomio constante de cero , o lo expresamos de otra forma : ” Se llama así al polinomio en el que todos los coeficientes son cero” .
0)( ≡xPNotación :
0Ejm:
≡dcxbxax +++ 23
⇔ 0=a 0=b 0=c; ;
Esto se cumple :
0=d;
Si:
Grados en operaciones con Polinomios. Operación Procedimientos Grado
Resultante
Adición:
P(x) + Q(x) El mayor grado (m;n)mayor
Sustracción:
P(x) Q(x) El mayor grado (m;n)mayor
Multiplicación:
P(x) . Q(x) Suma de grados m+n
División:
P(x) ‚ Q(x) Resta de grados mn
Potenciación:
[P(x)] k k veces el grado del polinomio P(x)
m. k
Radicación:
kÖ P(x)
El grado del polinomio P(x) entre k
m/k
Valor numérico (V.N) Es el valor que se obtiene al reemplazar las variables por
constantes numéricas.
);( byaxP ==
V.N );( yxP Cuando x=a Ù y =b
);( baPó
V.N V.N
Problemas Resueltos
Ejm. Dados los polinomios P(x) , Q(x) tal que los grados de [P3(x).Q2(x)] ; [P(x).Q3(x)]; son 22 y 12 respectivamente.Halle el grado de : H(x) = P2(x).Q3(x)+P3(x).Q2(x)A)20 B)21 C)22 D)23 E)24
Solución:Sean los grados de P(x) y Q(x) : m y n respectivamente.Luego de las propiedades.
[P3(x).Q2(x)]º = [P3(x) . Q2(x)]º
= [P3(x)] º + [Q2(x)]º
= 3[P(x)] º + 2[Q(x)]º
22 = 3m + 2n ……..(I)
Resolviendo las ecuaciones (I) y (II) 22 = 3m + 2n 12 = m + 3n
n=2 Ù m=6
[P(x).Q3(x)]º = [P(x) + [Q3(x)]º
= [P(x)] º + [Q3(x)]º
= [P(x)] º + 3[Q(x)]º
12 = m + 3n .…………(II)
Piden calcular el grado de : H(x) = P2(x).Q3(x)+P3(x)+Q2(x)
[H(x)]º = [P2(x).Q3(x)+P3(x)+Q2(x)] º[H(x)]º = ( [P2(x).Q3(x)] º , [P3(x)+Q2(x)] º)max[H(x)]º = ( [P2(x)] º +[Q3(x)] º , [P3(x)] º +[Q2(x)] º)max[H(x)]º = ( 2[P(x)] º +3[Q(x)] º , 3[P(x)] º +2[Q(x)] º)max[H(x)]º = ( 2m+3n , 3m+2n)max[H(x)]º = ( 2.6+3.2 , 3.6+2.2)max[H(x)]º = ( 18 , 22)max = 22
Ejm. Hallar el grado de: P(x) = (x11+1)(x19+2)(x29+3)(x41+4)…… 12 paréntesisA)1500 B)1100 C) 1450 D)1550 E) 1600
[P(x)]º = [(x11+1)(x19+2)(x29+3)(x41+4)……]º = [(x11+1)]º+[(x19+2)]º+[(x29+3)]º+[(x41+4)]º+…
= 11 + 19 + 29 + 41 + …….. = (3.41) + (4.51) + (5.61) + (6.71) + …. +(14.151) = (3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 +……+ 14.15) – 12
= (1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+…+14.15) (1.2+2.3) 12
=(14.15.16)/3 20 = 1100
Solución:
Solución:Piden calcular el término independiente de:
)1()1()( +++= xQxPxM
Esto se encuentra igualando la variable a 0 y reemplazándolo
)10()10()0( +++= QPM0=x
T.Ind:
)1()1( QP +=
knn
k
nk xxP C −
=∑=0
)( jnn
k
nj xxQ C −
=∑=0
)(;
knn
k
nkCP −
=∑= 1)1(0
∑=
n
k
nkC
0=
= Cn0 + C
n1 + C
n2 + + C
nn = n2
)1(P = n2
Calculando P(1):
jnn
k
njCQ −
=∑= 1)1(0
∑=
n
k
njC
0=
= Cn0 + C
n1 + C
n2 + + C
nn = n2
)1(Q = n2
Calculando Q(1):
Reemplazando en: )1()1()0( QPM +=
= n2n2 +
= n22×
= 12 +n)0(M
∴El término independiente de M(x) es 2n+1
Solución: Como f(x) es mónico y lineal es de la forma x+b.
Pero para que (x+b)(x+2) , tenga raiz exacta entonces x+b y x+2 deben ser iguales, entonces: f(x)=x+2
\ f(2004)= 2004+2 = 2006
Solución:
132 +− xx 01
3 =+−x
x 31 =+x
x
31
)(2 =+=x
xxf
22 1
)(4x
xxf +=
44 1
)(8x
xxf +=
Ahora a partir de este resultado obtendremos :
∧
Dividimos entre x ambos miembros:
A partir de :
2312
=
+
xx
911
..22
2 =++xx
xx
712
2 =+x
x 71
)(2
24 =+=
xxxf
Elevando al cuadrado ambos miembros a (x + 1/x) = 3 queda:
Desarrollando el binomio al cuadrado:
Simplificando y despejando obtenemos:
22
2 71
2
=
+
xx
4911
..242
24 =++xx
xx
4714
4 =+x
x 71
)(4
48 =+=
xxxf
Elevando al cuadrado ambos miembros a (x2 + 1/x2) = 7 queda:
Desarrollando el binomio al cuadrado:
Simplificando y despejando obtenemos:
)()()( 842 xfxfxf ++
3 + 7 47+
Reemplazamos los valores obtenidos en lo que piden calcular:
=
= 57
Solución: 22 922)()( bbaxbaxbaxP ++−+−=−
22 9)(2)()( bbaxbaxbaxP ++−+−=−
212 b+)1(P = =22 9)1(2)1( b+++
29 b+)0(P = =22 9)0(2)0( b+++
Lo expresamos en forma explicita de su variable axb
Sabemos que la suma de términos se halla evaluando P(1) :
Sabemos que el término independiente se halla evaluando P(0) :
A partir del polinomio:
)1(P )0(P−
212 b+ )9( 2b+−
Piden calcular diferencia de coeficientes con el término independiente:
O sea :
Reemplazando sus valores obtenidos
212 b+ 29 b−−
3
=
==
Solución:
))9(()8( fff =
)))10((()8( ffff =
))))11(((()8( fffff =
)))23((()8( ffff =
))47(()8( fff =
)95()8( ff =191)8( =f
≤>+
=10;))((
10;12)(
xxff
xxxf
Solución:
2n 2+n 1÷ ; ;Obs : Sabemos que en un P.A la semisuma de extremos es igual a término central :
2
12 +n = 2+n 4212 +=+ nn
0322 =−− nnn
n
3−
1
0)1)(3( =+− nn
0)3( =−n 0)1( =+n∨13 −= ón
Reemplazando en la P.A queda:
1;5;9
1;1;1
3=n
1−=n
Si:
Si:
Obtenemos un polinomio ordenado
Obtenemos un monomio
Entonces n sólo puede ser 3.
Reemplazándolo el polinomio es:
xxxxf 842)( 59 −+=
∴ )1(−f = 2− 4− 8+ = 2
Solución:Método inductivo:
P(1)=21. 1! = 2
P(1).P(2) = 22. 2!
= 8 P(2) = 4
P(1).P(2).P(3) = 23. 3!
P(3) = 6
P(1).P(2).P(3).P(4)=24. 4!
P(4) = 8
P(1) = 2
i)
ii)
iii)
iv)
P(n) = 2n
Vemos que la ley de formación se obtiene con:
P(2004) = 2×2004 = 4008
\
fi
fi
fi
fi
= 48
= 384
Solución:
cbxaxxf ++= 2)(
02 =++ cba αα02 =++ bca αα
02 =++ cab αα02 =++ acb αα02 =++ bac αα
02 =++ abc αα
+
0)222()222()222( 2 =++++++++ cbacbacba αα
Al permutar los coeficientes de las 6 formas posibles resulta que a es una raíz (o sea lo anula)
0)1)(222( 2 =++++ ααcba
0)1( 2 =++αα)1()( 2 ++= xxkxf
)122()2( 2 ++= kf
)133()3( 2 ++= kf
)144()4( 2 ++= kf
=
=
=
k7
k13
k21
Factorizamos 2a+2b+2c :
Simplificando queda:Por lo tanto el polinomio f(x) debe ser de la forma :
V.N:
)4()3(
)3()2(
ff
ff
++ =
kk
kk
2113
137
++
k
k
34
20= =17
10
Reemplazando valores en :
Solución:
712
3 =+x
x25 71 xx =+
17 25 −=− xx
57)1
( 252
3 +−=+ xxx
xf
Solución:
:)7(fPara calcular A la variable (x3+1/x2) se le iguala a 7.
Reemplazamos estos valores en f .
= 4)7(f = 1− 5+∴
Solución:
Para calcular el término independiente igualamos la variable (x1) a cero.
ii)
01=−x 1=x
233)1( 23 −−+=− xxxxP21.3)1(31)0( 23 −−+=P
Reemplazando estos valores en el polinomio P:
:.iT = 1−
Para calcular la suma de coeficientes igualamos la variable (x1) a uno.
i)11=−x 2=x
233)1( 23 −−+=− xxxxP
22.3)2(32)1( 23 −−+=P
Reemplazando estos valores en el polinomio P:
:∑coef = 0
Piden: åcoef T.i = 0 (1) = 1
Solución:
]1)()[()1( −=+ nfnfnf
2)1( =fDato:
Método inductivo:
i) Si: n=1
]1)1()[1()2( −= fff]12)[1( −f
)1(f
2
===)2(f
ii) Si: n=2 ]1)2()[2()3( −= fff]12)[2( −f
)2(f
2
===)3(f
iii) Si: n=3 ]1)3()[3()4( −= fff]12)[3( −f
)3(f
2
===)4(f
2)1( =f
2)2( =f
2)3( =f
2)4( =f
2)2004( =f
Notemos que los resultados son siempre 2:
Solución:
52)1( +≡+ xxP
3)1(2)1( ++≡+ xxP
Coeficientes
Término independiente
Coeficiente principal
Variable
i) verdaderoii) verdadero
iii) verdadero
Solución:
acx
baxxP
−+≡)( xxPP ≡))((
))1((PP ))3((PP ))5((PP ))21((PP+ + +
1 3 5 21+ + +
+
+
= 211 = 121
Aplicamos esta propiedad en:
Una propiedad que tienen la expresiones de la siguiente forma es que la composición en si misma es x:
Solución:
14822 352);( ++ += mnm yxyxyxP
Si el siguiente polinomio es homogéneo:
Debe cumplirse que el grado es el mismo en cada término:
822 ++ nm = 143 ++ m
22 44 nmm ++− = 022)2( nm +− = 0
0 0
0=n0)2( =−m ∧
2=m 0=n∧
984 352);( yxyxyxP +=Reemplazando estos valores obtenidos en el polinomio queda:
G.AP(x;y)= 4+8 = 3+9 = 12
∴
cxxxcxbxax +++≡+++ 22))()(( 23Solución:
NV . cx −=
ccccccbcac +−+−+−=+−+−+− )(2)(2)())()(( 23
cccc +−+−= 220 23
02 23 =+− ccc
0)12( 2 =+− ccc
0)1( 2 =−cc 1=c
122)1)()(( 23 +++≡+++ xxxxbxax
12223 ++++≡ xxxx
)1)(1()1(2 ++++≡ xxxx
)1](1[ 2 ++≡ xx
1))(( 2 +≡++ xbxax
10)( 22 ++≡+++ xxabxbax
∴ 0=+ ba
Solución:
02)( xxxP −=
000 )10(2)10( xxxP −=
00 19)10( xxP =
0)( xaxxP −=
000 )()( xxaxP −=0x=
2=a
El polinomio P es: P(x) = 2xx0.
∴
Solución:
1510 −=+ xx
51015 xxx −=+
551015 12 xxxx −−=++122 51015 −=++ xxx
1)(2 51015 −=++ xxx 115 =x
Hallemos el V.N cuando la variable x10+x5 es igual a 1 De aquí multiplicamos
ambos miembros por x5
Luego sumamos la dos ecuaciones, queda:
Despejando:
1−
Reemplazamos los valores obtenidos en:
15510 )( xxxP =+
1)1( =−P∴