2. Mtodos de solucin de ecuaciones 25 de 51

2.5 Aplicaciones

Problema 4 (Raices de ecuaciones en ingeniera y ciencia)

Estudios mdicos han establecido que los saltos en bungee pueden causar daossignificativos en las vertebras si la velocidad de la caida libre supera los 36 m/sdespues de 4 s de caida. Al ser tu el dueo de un negocio de bungee necesitasdeterminar la masa en la que este criterio es excedido dado que se conoce que elcoeficiente de arrastre es de cd = 0.25 kg/m.

Tu sabes de investigaciones previas que la siguiente solucin analtica puedeser usada para predecir la velocidad de caida como funcin del tiempo:

v(t) =

gm

cdtanh

(gcdm

t

).

Una alternativa para solucionar este problema es plantearlo como:

f(m) =

gm

cdtanh

(gcdm

t

) v(t) = 0.

Usando cd = 0.25 kg/m, v(t) = 36 m/s, t = 4 s y g = 9.81 encuentre unasolucin para la ecuacin f(m) = 0 utilizando

a) el mtodo grfico.

b) el mtodo de biseccin.

c) el mtodo de falsa posicin.

todos en el intervalo de m = 50 a m = 200.

Tomado de: Steven C. Chapra, Applied Numerical Methods with Matlab for En-gineers and Scientists, 2ed. Pg. 116, 122 y 129.

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26 de 51 2. Mtodos de solucin de ecuaciones

Ingeniera civil y ambiental

Problema 5 (8.15)

El desplazamiento de una estructura est definido por la ecuacin siguiente parauna oscilacin amortiguada:

y = 9ekt cost

donde k = 0.7 y = 4.

a) Utilice el mtodo grfico para realizar una estimacin inicial del tiempo que serequiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5.

b) Emplee el mtodo de Newton-Raphson para determinar la raz con s = 0.01%.

c) Use el mtodo de la secante para determinar la raz con s = 0.01%.

Problema 6 (8.16)

En ingeniera estructural, la frmula de la secante para columnas define la fuerzapor unidad de rea, P/A, que ocasiona la tensin mxima m en una columna quetiene una razn de esbeltez L/k dada es:

P

A=

m

1 + eck2

sec(

Lk

P

4EA

)

donde ec/k2 = razn de excentricidad, y E = mdulo de elasticidad. Si para unaviga de acero, E = 200000 MPa, ec/k2 = 0.4 y m = 250 MPa, calcule P/A paraL/k = 50. Recuerde que sec (x) = 1/ cos (x).

Tomado de: Steven Chapra y R. P. Canale, Mtodos numricos para ingenieros,McGraw-Hill Interamericana, 2007, 5ed. Pg. 219.

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Problema 7 (8.19)

En la ingeniera ambiental (una especialidad de la ingeniera civil), la ecuacinsiguiente se emplea para calcular el nivel de oxgeno c (mg/L) en un ro aguasabajo de la descarga de un drenaje:

c = 10 20(e0.15x e0.5x)

donde x es la distancia aguas abajo en kilmetros.

a) Determine la distancia aguas abajo de la corriente, a la cual el nivel de oxgenocae hasta una lectura de 5 mg/L. (Recomendacin: est dentro de 2 km dela descarga.) Encuentre la respuesta con un error de 1%. Obsrvese que losniveles de oxgeno por debajo de 5 mg/L por lo general son dainos para ciertasespecies de pesca deportiva, como la trucha y el salmn.

b) Calcule la distancia aguas abajo a la cual el oxgeno se encuentra al mnimo.Cul es la concentracin en dicha ubicacin?

Problema 8 (8.20)

La concentracin de bacterias contaminantes c en un lago disminuye de acuerdocon la ecuacin

c = 75e1.5t + 20e0.075t

Determine el tiempo que se requiere para que la concentracin de bacterias sereduzca a 15 con el uso de

a) el mtodo grfico, y

b) el mtodo de Newton-Raphson, con un valor inicial de t = 6 y criterio dedetencin de 0.5%.

Compruebe los resultados que obtenga.

Tomado de: Steven Chapra y R. P. Canale, Mtodos numricos para ingenieros,McGraw-Hill Interamericana, 2007, 5ed. Pg. 220.

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