TEMA 7.- FILTROS 1
ÍNDICE
1.- Introducción .............................................................................................................. 2 2.- Clasificación de los Filtros ........................................................................................ 2 3.- Filtros Pasivos y Filtros Activos ................................................................................ 2 3.1.- Ventajas e Inconvenientes de los Filtros Activos ........................................ 3 3.2.- Campo de Utilización .................................................................................. 3 4.- Filtros Ideales y Reales .............................................................................................. 4 5.- Filtros Pasivos ........................................................................................................... 6 5.1.- Función de Butterworth ............................................................................... 6 5.2.- Función de Chebyshev ................................................................................ 8 5.3.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Bajo (LP) .................................... 10 5.4.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Alto (HP) .................................... 11 5.5.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Banda (BP) ................................. 13 6.- Adaptación de Impedancias .................................................................................... 15 7.- Filtros Activos ........................................................................................................ 16 7.1.- Estructura VCVS ..................................................................................... 17 7.2.- Estructura Bicuadrática. ........................................................................... 18 7.3.- Escalado ................................................................................................... 18 7.4.- Diseño de Filtro Paso-Bajo Activo (LP) .................................................. 19 7.5.- Diseño de Filtro Paso-Alto Activo (HP) .................................................. 22 7.6.- Diseño de Filtro de Paso-Banda Activo (BP) .......................................... 23 8.- Sensibilidad ........................................................................................................... 28 9.- Filtros de capacidades Conmutadas ........................................................................ 29 10.- Ejercicios .............................................................................................................. 30
TEMA 7.- FILTROS 2
1. Introducción.-
Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadas frecuencias del espectro de la señal de entrada y permitir el paso de las demás. Se denomina espectro de una señal a su descomposición en una escala de amplitudes y fases respecto de la frecuencia. Obsérvese que mientras el osciloscopio es un instrumento que analiza la señal en relación con el tiempo, el analizador de espectro lo hace por medio de la Transformada de Fourier. Entonces llamaremos filtros a los circuitos que se encarguen de separar o rechazar diferentes tipos de señales, distinguiendo entre estos filtros analógicos y filtros digitales. Los filtros analógicos son los que se encargan de trabajar con señales de tipo analógicas (continuas), y los digitales los que se encargan de trabajar con señales de tipo discretas, cuya implementación generalmente se realiza vía software. Nosotros analizaremos los filtros analógicos.
2. Clasificación de los filtros .-
Los filtros se pueden clasificar de la siguiente forma: Según su Función
Filtros de radiocomunicación. Filtros de modulación y demodulación Filtros de análisis de espectro. Filtros que mejoran la relación señal-ruido. Multiplicadores de frecuencia. Filtros correctores.
Según la Gama de Frecuencias Audiofrecuencias. Hiperfrecuencias Etc...
Según su Tecnología. Filtros Pasivos. Filtros Activos.
3. Filtros Pasivos y Filtros Activos.-
a) Filtros Pasivos: Están construidos exclusivamente por elementos pasivos como resistencias, condensadores y bobinas. Estos filtros generalmente son inviables en bajas frecuencias al exigir inductancias muy grandes.
b) Filtros Activos: Constan de elementos pasivos asociados a otros activos (válvulas, transistores o amplificadores operacionales). La primera generación de estos filtros utilizaba las válvulas, por lo que tenían un consumo de potencia muy alto, ruidos, baja ganancia, etc..
TEMA 7.- FILTROS 3
La segunda empleaba transistores como elementos activos y, aunque tenía más ventajas que la anterior, no tenía unas características enteramente satisfactorias. La tercera generación, objeto de nuestro estudio, utilizaba los amplificadores operacionales. La alta resistencia de entrada y la baja resistencia de salida de los OPAMPS , además de otras características, permiten la realización de filtros con cualidades óptimas. Los filtros pasivos no requieren fuentes externas de energía, y funcionan sin
alimentación. En cambio los filtros activos se componen generalmente por circuitos RC y amplificadores, los cuales necesitan alimentación externa para su funcionamiento. 3.1. Ventajas e Inconvenientes de los filtros activos.- En comparación con los pasivos, los filtros activos poseen una serie de ventajas: Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencia, son voluminosas
pesadas y caras. Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples. Proporcionan una gran amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que es
importante al trabajar con señales de niveles muy bajos. Facilidad en los ajustes, actuando simplemente sobre el elemento activo.
Por otro lado tiene una serie de inconvenientes: Exige una fuente de alimentación Su respuesta de frecuencia esta limitada por la capacidad de los A.O utilizados. Es imposible su aplicación en sistemas de media y alta potencia.
Los circuitos resonantes activos pueden tener un coeficiente de sobretensión (factor de calidad Q que se verá más adelante) tan grande como se desee. Por consiguiente, teóricamente se pueden realizar filtros activos con las características que se quieran; pero esto no es posible en la práctica, ya que cuanto mayor sea el coeficiente de sobretensión mayor será también el riesgo de oscilación espontánea, es decir, su inestabilidad. El riesgo de inestabilidad es el principal inconveniente de los filtros activos, y también es el factor que limita sus características y su aplicación. 3.2. Campo de utilización.-
Los filtros activos son los que resultan más convenientes en el campo de las frecuencias muy bajas. Como son poco voluminosos y, a menudo, de reducido coste, pueden compararse con ventaja a los filtros pasivos en el campo de las audiofrecuencias.
Estas cualidades les hacen también estimables para ciertas aplicaciones en frecuencias de hasta algunos centenares de KHz, cuando el volumen y el precio de coste son factores determinantes y cuando los coeficientes de sobretensión que se precisan no son demasiado elevados.
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4. Filtros ideales y reales.-
Como se mencionó anteriormente, los filtros constituyen tipos de circuitos diseñados para obtener características especificas de selectividad respecto a la frecuencia. Dejan pasar unas frecuencias sin apenas afectarlas (en la banda de paso) y eliminan otras (en las bandas de atenuación). Idealmente, en la banda de paso, |H(ω)| = 1, y en la banda de atenuación H(ω) = 0.
En la figura podemos observar filtros pasa-bajos (a), pasa-altos (b), pasa-banda (c) y rechazo-banda (d).
Los filtros ideales no son físicamente realizables, atentan contra el principio de causalidad (h(t)=0 ∇ t<0), pero se pueden diseñar y construir filtros reales tan cercanos a los ideales como se desee. Cuanto más se aproxime a la característica ideal, más complejo será el circuito real. La respuesta en frecuencia se puede aproximar a la de los filtros ideales si se incrementa el orden del filtro.
TEMA 7.- FILTROS 5
Tiempo de propagación de grupo (o retraso de grupo) de un filtro Una red eléctrica transmite una señal sin deformación si ésta sufre un retardo constante τ ≥ 0. Para una componente de la señal cuya pulsación sea ω, este retardo se
traduce en un desfase: θ = ωτ, o sea, cte== τωθ . (θ = ∠H(ω))
En general, para que un filtro transmita una señal sin deformación es suficiente que en toda la banda de paso se cumpla la relación:
ctedd
=ωθ
La magnitud τ se llama tiempo de propagación de grupo (o retraso de grupo). La regularidad de este tiempo de propagación de grupo de un filtro a lo largo de la banda de paso refleja su aptitud para transmitir señales transitorias sin deformación. Así, un filtro ideal tiene un tiempo de propagación de grupo constante en toda la banda de paso (fig.3).
TEMA 7.- FILTROS 6
Desafortunadamente no se conoce la forma de concebir de modo sencillo un filtro que se acerque al ideal en lo que se concierne a la atenuación y que se presente, a la vez, un tiempo regular de propagación de grupo. El filtro real, o bien tiene una buena respuesta de amplitud pero una mala regularidad del tiempo de propagación de grupo (fig 4), o bien presenta un tiempo de propagación de grupo regular pero su curva de respuesta de amplitud se aleja mucho de la del filtro ideal (fig. 5).
5. Filtros Pasivos.-
5.1. Función de Butterworth.- Los filtros de Butterworth poseen la propiedad de tener una curva de respuesta lo
más plana posible en el origen, es decir, para la frecuencia cero. La función de Butterworth viene definida por la ecuaciones:
n
c
H
H22
2
1
1)0(
)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
ωω
ω
n
c
HH
2
1
1)0()(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
ωω
ω
también por:
n
cffH
fH22
2
1
1)0(
)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= n
cffH
fH2
1
1)0()(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
donde: wc=2πfc Frecuencia de corte (aquella a la que |H(ω)| cae –3dB respecto a DC en filtros LP) n = orden del filtro ( a mayor n mayor pendiente)
TEMA 7.- FILTROS 7
Ejercicio 1:Se desea atenuar en 60 dB una interferencia de 50Hz , empleando un filtro Butterworth con una frecuencia de corte fc=10 Hz. La atenuación de un filtro viene determinada por la ecuación :
)0()(
20H
fHLogAdB −=
Operando sobre la función de Butterworth
n
cffH
fH22
2
1
1)0(
)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ n
cffLog
HfH
Log2
1)0()(
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
n
cffLog
HfH
Log2
110)0()(
20 como ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
)0()(
20H
fHLogAdB
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n
c
dB
ffLog
A2
110
n
c
A
ffdB
2
10 110 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=− ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
c
A
ffnLogLog
dB
2110 10
29.45
352
6
10502
110
2
110 1060
10
===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
=LogLogLog
Log
ffLog
Logn
c
AdB
el orden sería n=5, no es 4 porque se debe construir el mejor filtro posible y cumplir todas las especificaciones.
TEMA 7.- FILTROS 8
5.2. Función de Chebyshev (Tchebyscheff).- Los filtros de Chebyshev tienen una transición más abrupta que las funciones de
Butterworth entre la banda de paso y la banda atenuada (pero a frecuencias altas, ya muy inmersos en la banda atenuada, todo filtro LP de orden n tiene una atenuación de 20·n dB/dec). Por el contrario la banda de paso no es plana, esto es, presenta rizado.
Es más eficiente repartir el error de aproximación de una forma continua a lo largo de la banda pasante, lo que podemos conseguir escogiendo:
)()( 222 ωεω nCjK ⋅= donde Cn(w) (polinomio de Chebychev de 1ª especie y de orden n) es un polinomio que oscila entre –1 y 1 para 10 ≤≤ ω .
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⋅+
=
0
222
2
1
1)0(
)(
ffCH
fH
nε
De manera general tenemos que:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
≤≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
1;arccoscosh
10;arccoscos
00
00
ff
ffhn
ff
ffn
Cn
coseno hiperbólico 2
)cosh(xx eex
−+=
ε es el denominado factor de rizado (ε2≤1). Se especifica mediante el valor pico a pico en decibelios R|dB=10·log(1+ε2). Si n es par el rizado será positivo y si es impar negativo (ver figura 7). f0 es la frecuencia natural (donde acaba el rizado), por tanto ω0=2πf0.
TEMA 7.- FILTROS 9
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
−
0
21
101
arccos
110arccos
ffh
h
n
dBA
ε
¿Qué relación existe entre fc (frecuencia de corte (-3dB)) y f0?
21
)0(
)(2
2
=H
fH c Luego ⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⋅+ 210
22
ff
C cnε
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⋅ 10
22
ff
C cnε
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⋅ 10f
fC c
nε ⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
ε1
0ff
C cn
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⋅=
n
hffc
ε1arccos
cosh0
Ejercicio 2: Se desea atenuar en 60 dB una interferencia de 50 Hz empleando un rizo de Chebyshev de 0.1 dB y una frecuencia natural (f0) de 5 Hz.
[ ]2110 ε+= LogRdB [ ]21101.0 ε+= LogdB ε=0.1526 [ ]22110)(20 nCLogfHLog ⋅+=− ε
[ ]22110 ndB CLogA ⋅+= ε
n
A
C
dB
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ε
21
10 110 Cn=6553.0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
550arccoscosh hnCn 16.3
)10(arccos)(arccos
==h
Chn n n=4
( )
06.6.....1arccos
cosh0 ==⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⋅=
n
hffc
ε
TEMA 7.- FILTROS 10
5.3. Realización de Filtros Pasivos de paso bajo (LP).- Redes (Filtros) terminados si Rs = Rc Redes (Filtros) no terminados si Rc = ∞ (impedancia de carga infinita)
Siendo Rs la impedancia de fuente y Rc la impedancia de carga.
Metodología.- Se calcula el orden.
Se construye el filtro LP normalizado consultando la tabla 8.
ωc= 1 rad/seg Filtro Normalizado Rs= 1Ω
Se desnormaliza.
a) Se dividen L y C entre la ωc real. b) Se multiplican las impedancias por la Rs real.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⋅→
→
⋅→
S
S
S
RRRRCC
RLL
TEMA 7.- FILTROS 11
Ejercicio.- Realizar un filtro LP Butterworth a disponer entre una fuente de 600Ω (RS) y una carga de 600Ω, cuya frecuencia de corte sea de 5KHz y que atenúe los 20 KHz al menos 40 dB por debajo del nivel de continua. Primero calculamos el orden del filtro:
[ ] 3.3
5202
110
2
1104
10
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
=
KKLog
Log
ffLog
LogN
c
AdB
n = 4
Construimos el filtro normalizado (ωc=1 rad/seg , Rs=1Ω)
Ahora desnormalizamos el circuito y queda de la siguiente forma:
5.4. Realización de Filtros Pasivos de paso alto (HP).-
A partir del diseño de un filtro paso-bajo, pueden obtenerse filtros paso-alto, paso-banda y rechazo-banda que cumpla similares especificaciones, mediante el uso de transformaciones. Denotemos ω y s la frecuencia y la variable del filtro paso-bajo prototipo normalizado en ωc= 1 rad/seg
ωω 1
→ s
s 1→
TEMA 7.- FILTROS 12
Transformaciones
Proceso
a) Construimos un LP normalizado consultando la tabla 8. b) Cambiamos L y C según las reglas de transformación. c) Desnormalizamos.
Ejemplo.- Diseñar un filtro Butterworth paso alto de tercer orden con una fc de 500Hz y que trabaje con Rs=100Ω y Rc=10 MΩ. Se puede considerar como una red no terminada al ser Rc muy alta (en realidad si queremos ser exactos debemos hacerlo de otra forma, pero se explicará más adelante en adaptación de impedancias). ωc= 2π*500=1000π Rs=100Ω Rc=10MΩ (→ ∞)
V0
V0
TEMA 7.- FILTROS 13
5.5. Realización de Filtros Pasivos de paso banda (BP).-
El factor de calidad de un filtro paso de banda viene determinado por la ecuación:
)()/(00
hzBWf
sradBWW
Q ==
A partir del diseño de un LP podemos construir un filtro BP mediante las siguientes transformaciones:
SSS 1
+→
Proceso
a) Se construye un LP con Rs=1Ω y ωc=1/Q. b) Transformamos L y C siguiendo las reglas de transformación. c) Se desnormaliza
S
S
S
RCC
RLLRRR
→
⋅→⋅→
d) Se desnormaliza a la frecuencia central ω0.
TEMA 7.- FILTROS 14
0
0
ω
ωCC
LL
→
→
Ejercicio.- Diseñar un filtro paso-banda pasivo de tercer orden con frecuencia central 1Khz y ancho de banda 100hz para disponer entre una fuente de señal de 100Ω y una amplificador de entrada muy alto. f0=1 Khz BW= 100 hz Rs=100Ω Rc=∞ Filtro no terminado
segradQ
KQ c /1.01101001
==→→== ω
Construimos un filtro LP con Rs=100Ω y ωc=0.1 rad/seg, realizamos las transformaciones y desnormalizamos a la frecuencia central con Rs=100Ω y ω0=2π*1K=2000π.
V0
TEMA 7.- FILTROS 15
6. Adaptación de Impedancias.-
Ejercicio: Diseñar un filtro para este circuito:
Vemos que no es un filtro terminado porque la resistencia Rc≠Rs, pero tampoco es un filtro no terminado porque Rc≠∞. 1ª Solución (no muy aceptable) es insertar un seguidor de tensión
2º Solución es usando un transformador . Un transformador es una bipuerta definida por 21 VnV ⋅= y 12 ini ⋅−= donde n es el llamado TURNS RATIO.
( ) 12
1221 iRnRinnRinVnVeqR
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅−=⋅= 321
el ejercicio anterior lo podríamos realizar de la siguiente forma:
n : 1 V0
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7. Filtros Activos.-
Los filtros activos se componen generalmente por circuitos RC y amplificadores (OPAMP’s), los cuales necesitan alimentación externa para su funcionamiento, es por esto que además de filtrar los filtros activos pueden amplificar la señal. La ecuación de transferencia de un filtro de LP de 2º orden viene definida por:
( ) 22
2
2 nn
n
wswswK
sH+⋅+
⋅=
ξ
Donde: H(0)=K Ganancia en DC
ientoAmortiguamdeFactorQ
→=21ξ
ωn Frecuencia Natural. Si igualamos el denominador a cero y resolvemos en s obtenemos los dos polos del sistema.
02 22 =+⋅+ nn wsws ξ
43421pw
nn wjwP 21 1 ξξ −⋅+−= 43421
pw
nn wjwP 22 1 ξξ −⋅−−=
( ) ( ) ( )21 PsPswK
sH n
−⋅−⋅
=
nwξ−
Pnw ωξ =− 21
Se produce pico de resonancia (ver figura siguiente) para valores de
217071.0 =<ξ .
Existe siempre una relación ente la frecuencia natural(ωn) y la de corte(ωc), que depende del valor de ξ. Para un LP de segundo orden, se puede demostrar que:
( ) 24421 242 +−+−⋅== ξξξωω nCBW
TEMA 7.- FILTROS 17
Para el diseño de filtros activos utilizaremos en nuestro caso, dos tipos de estructuras que, por su simplicidad y estabilidad están especialmente indicadas.
7.1. Estructura VCVS (fuente de tensión controlada por tensión).-
3
41RR
K += 2211
2 1CRCRn ⋅⋅⋅
=ω
121122
3
4112
CRCRCRR
R
n ⋅+
⋅+
⋅−=⋅ωξ
TEMA 7.- FILTROS 18
7.2. Estructura Bicuadrática.-
1
3
RR
K = 243
2 1CRR
wn ⋅⋅=
CRwn ⋅
=⋅2
12ξ
7.3.- Escalado. De las ecuaciones anteriores podemos intuir que el parámetro k controla la
ganancia del filtro (su altura). ωn está íntimamente relacionada con la frecuencia de corte ωc (fijan la anchura de dicho filtro), y ξ por otra parte fija la forma de H(s). Dos filtros del mismo orden, idénticos salvo escala tendrán la misma ξ. Supongamos que tenemos un filtro con estructura bicuadrática con una determinada
frecuencia natural y de corte. Veamos que nCR ω
ξ⋅⋅
=2
12 . Queremos que ωn cambie a
ω’n sin que esto afecte a la forma del filtro, por tanto debemos garantizar ξ constante. Fijándonos en la expresión anterior, podemos conseguir esto sin más que mantener el producto R·ω·C = constante (esta será nuestra ley de escalado). Un desarrollo análogo se puede hacer para estructura VCVS.
TEMA 7.- FILTROS 19
7.4.- Diseño de Filtro Paso-Bajo activo (LP).-
Filtro LP con K = 1 y orden n = 2.
Filtro LP con K = 1 y orden n = 3
a) Construimos un filtro normalizado con:
Wcn = 1 rad/seg Rn = 1 Ω Cn consultando la tabla 9
b) Escalamos los condensadores, teniendo en cuenta la Wc y R real.
nncn CRwCRw ⋅⋅=⋅⋅11
RwCCc
ni ⋅
=
TEMA 7.- FILTROS 20
TEMA 7.- FILTROS 21
Ejercicios.- 1.- Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc = 1KHz, utilizando resistencias de 1 KΩ. Según la tabla 9. C1=1.414 F C2= 0.7071 F Wc= 2π*1K=2000π R= 1K
( ) nFC 22510002000
414.11 =
⋅=
π ( ) nFC 54.112
100020007071.0
2 =⋅
=π
2.- Diseñar un filtro Butterworth paso-bajo de orden 5 con fc= 5Khz y resistencia 100KΩ. Utilizar estructura VCVS. Cuando el filtro es de orden 4 o superior debemos utilizar dos etapas, en este caso el filtro de orden 5 estará formado por una primera etapa de orden 3 y una segunda de orden 2 en serie. Wc= 2π·5000 = 10000π = π·104 R= 100K =1·105
Etapa de orden 3.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⋅
=⋅
=
=⋅
=⋅
=
=⋅
=⋅
=
pFRw
CC
pFRw
CC
pFRw
CC
n
n
n
13410421.0
43110354.1
55810753.1
93
3
92
2
91
1
π
π
π
Etapa de orden 2.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅
=⋅
=
=⋅
=⋅
=
pFRw
CC
nFRw
CC
n
n
9810309.0
03.5110235.3
92
2
91
1
π
π
TEMA 7.- FILTROS 22
7.5.- Diseño de Filtro Paso-Alto activo(HP).- La función de transferencia de un filtro de HP de 2º orden viene definida por:
( ) 22
2
2 nn wswssK
sH+⋅+
⋅=
ξ
La estructura VCVS de un filtro HP con K=1 y orden 2, normalizado ωc=1 rad/seg es:
La estructura VCVS de un filtro HP con K=1 y orden 3, normalizado ωc=1 rad/seg es:
Método de diseño
a) Fijamos Wc y C b) Construimos HP normalizado
Wcn= 1 rad/seg C = 1F Rn= 1/Cn consultando la tabla 9.
c) Desnormalizamos.
11
1 CC
wCRwn
cn ⋅⋅=⋅⋅ n
i CCwR
⋅⋅=
1
TEMA 7.- FILTROS 23
Ejercicios.- Construir un filtro HP Butterworth activo con fc = 100Hz utilizando condensadores de 1µF y de orden 2. Wc= 2π·100 = 200π rad/seg C = 1µF
( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅
=⋅⋅
= − 56.1125414.1101200
116
11 πCCw
R
( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅
=⋅⋅
= − 81.22507071.0101200
116
22 πCCw
R
7.6.- Diseño de Filtro Paso-Banda activo(BP).- Existen varias formas de obtener un filtro paso banda. Podemos conseguir un BP
mediante conexión serie un filtro HP y otro LP. Podemos también usar estructuras básicas VCVS o bicuadrática. La elección de una u otra vendrá determinada por el factor de calidad del filtro como veremos más adelante.
TEMA 7.- FILTROS 24
La curva de respuesta a la frecuencia de un filtro Rechazo-Banda de banda es la siguiente:
Para diseñar un filtro de este tipo podemos tomar un HP y un LP en paralelo y sumarlos.
La función de transferencia de un filtro Paso-Banda de orden 2 es la siguiente
( )0
20
wBssswK
sH++
⋅=
donde B=BW (en rad/seg) y w0 frecuencia central.
( ) QKBw
KBwK
wBjwwjwwK
jwH ⋅=⋅=⋅
=+⋅+−
⋅⋅= 00
200
20
000
donde Q es el llamado factor de calidad.
HP
+ LP
TEMA 7.- FILTROS 25
Estructura VCVS
Vx 43421a
RRRV
32
20 +
⋅
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅=
⋅−
⋅−=
−+
→→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⋅=
⋅−
⋅−+=
−+
−
1
00
0
1
0
1
00
0
1
0
1
22
RVa
ZVaV
ZVaV
RVVV
RVa
ZVaV
ZVaV
ZV
RVV
RVV
C
x
C
xxin
C
x
C
x
C
xxxin
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 2
122
1
1222
11
1
1
1
1
1
1
0
142142
1421
142
1)(
sCRa
saCR
CsRas
sCaRCsRaaCsR
ZCsRaa
CsRa
ZRa
aRaZsV
sVsH
CC
C
+⋅
−+
⋅=
+⋅−+⋅
=
=⋅⋅
+−+⋅⋅
=⋅
+−+⋅
==
Comparando con la función de transferencia de un filtro BP de 2º orden tenemos que:
CRawK
10
1⋅
=⋅ 221
20
2CR
w = CRa
aB1
14⋅
−=
21122
1110 a
KCRaCR
KCR
w =→→⋅
=⋅→→=
32
2
RRRa+
=
TEMA 7.- FILTROS 26
2
1
21
211 2
3
2
32 RR
RRR
aK
+=⋅
+=⋅=
[ ] 00
2
32
12
32
12
322
132
2
32
2
1
222
33414
14 wKw
RRR
CRRRR
CRRRRR
CRRR
RRR
R
CRaaB ⋅−=⋅
−=
−=
−−=
⋅+
−+
⋅=
⋅−
=
Resumiendo:
2
12
3R
R
K+
= ; [ ] 022 wKB ⋅−= ; CR
w1
02
=
Suponemos un filtro con un factor de calidad muy alto.
3032
332
0 ≈⇔≈−⋅>>>>→→→→=RRRRQ
BwQ
Esto nos lleva a que este tipo de filtros se usan para factores de calidad Q <4. Ejercicio.- Diseñar un filtro activo paso de banda con f0 = 10Khz y ancho de banda (BW) de 5 Khz.
KKBKfw
10·5·210·2·2 00
ππππ
==== VCVSEstructura
KK
Bw
Q →<=== 325·2
10·20
ππ
[ ] 022 wKB ⋅−= [ ] 33 10·10·22210·5·2 ππ ⋅−= K
[ ] 328.22
1242221
=−
=⇒−= KK
29.2328.22
1
2
32
3
=⇒=+
=RRR
R
K
Luego si tomo R2=1K R3=2.29K
CRW
10
2= si C = 1nF Ω=
⋅⋅⋅== − K
CwR 5.22
10110·1022
·2
930
1 π
Ganancia en frecuencia central
TEMA 7.- FILTROS 27
( ) 656.42·323.2·0 === QKwH
Estructura Bicuadrática. (2º orden)
Ecuaciones:
1
43
RRR
K = ; CR
B2
1= ; 2
43
20
1CRR
w =
Esta estructura se utiliza para factores de calidad altos, hasta 100.
TEMA 7.- FILTROS 28
Ejercicio: Diseñar un filtro activo paso de banda de orden 2, centrado en 1Khz y de ancho de banda 100Hz. BW = 100Hz ; f0 = 1KHz
caBicuadrátiBWf
Q ⇒>=== 410100
10000
1
43
RRR
K = ; CR
B2
1= ; 2
43
20
1CRR
w =
Por comodidad puedo hacer.
CRw
CRwRRRK
1022
1
20143
111 =⇒=→→==⇒=
121
2
2
1
2
10
·10101100·2
11000·2
1·2
1·2RR
RR
CR
CR
CRBW
CRf
=⇒=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=
π
π
π
π
Tomo Ω=→→Ω=== KRKRRR 101 2143
nFCC
15.159100·2·10·1
1·10·1
1100·2 44 ==⇒=π
π
( ) 1010·1·0 === QKwH
8. Sensibilidad.-
Se define la sensibilidad como la variación de una propiedad del sistema cuando varia un parámetro. Para un parámetro P, su sensibilidad normalizada a un factor F, se define como:
( )( )LnFdLnPd
FdF
PdP
S PF ==
Por ejemplo, si cambia R1 en un filtro ¿en qué medida se verá afectada la frecuencia de corte?
( )( ) ===
1
111
RdR
wdw
LnRdLnwd
S c
c
cwR
c –1/2. Esto significa que si la resistencia nominal R1=100Ω
crece hasta 110Ω (un 10%) , la wc decrecerá un 5%.
TEMA 7.- FILTROS 29
9. Filtros de capacidades Conmutadas.-
Los filtros de capacidades conmutadas (SC, switched capacitor) son una clase particular de filtros activos que no emplean resistencias, sino solamente A.O., condensadores e interruptores (transistores), por lo que son especialmente indicados para la integración monolítica (las resistencias ocupan mucho espacio en los C.I., y su calidad es mediocre). Veamos como ejemplo la célula integradora básica y su equivalente analógico.
φ1 y φ2 son la señales de control de los interruptores gobernadas por una señal de reloj. Esta señal de reloj conmuta alternativamente los dos interruptores de modo que si el periodo es T=1/fr (fr ≡ frecuencia de la señal de reloj) la corriente de
/Tentrada queda: Im=Q/T=Vi·C =Vi·C·frpor tanto:Vi=Im·(C·fr)-1=Im·Req ; con Req=(C·fr)-1.
bviamente fO r debe tener un valor alto. VENTA A
φ1 φ2
J S: • Reducido tamaño.
n (bajas derivas) • Alta precisió• Estabilidad
iante f• Fácil ajuste (med• Reducido coste.
r)
INCON EV NIENTES:
• Útiles sólo a bajas frecuencias (200Khz) debido a la aparición de . interferencias y ruidos
Bajo rango dinámico. •
TEMA 7.- FILTROS 30
10.- Ejercicios: 1. Determinar la sensibilidad de la frecuencia natural del filtro de la figura a las variaciones en la resistencia R1.
2211
2 1CRCR
wn =
121221
112 dRRCRC
dww nn−
⋅= 1
1
2211
12R
dRCRCR
dww nn ⋅−
=
1
122R
dRwdww nnn ⋅−= 1
1
21
RdR
wdw
n
n ⋅−
=
21
1
11
−==
RdR
wdw
S n
n
wR
n
2. En la estructura Bicuadrática BP calcular:
1
43
RRR
K = ; CR
B2
1= ; 2
43
2 1CRR
wn =
a) BRS
2
222
11 dRRC
dB −⋅=
2
2
2
1R
dRCR
dB ⋅−= 2
21R
dRB
dB⋅−=
TEMA 7.- FILTROS 31
1
2
22
−==
RdR
BdB
S BR
b) BCS
Partiendo de la misma ecuación que en caso a) CR
B2
1= , obtenemos
1−==C
dCB
dBS B
C
c) KRS
4
1
43
RRR
K = 21
432
RRR
K = 4
442
1
32R
dRRRR
dKK ⋅⋅=⋅
4
4
21
RdR
KdK
⋅= 21
4=K
RS
d) KRS
1
1
43
RRR
K = 21
4321
432 1R
RRR
RRK ⋅==
( )4
1
1143
22R
dRRRRdKK ⋅−⋅=⋅
1
12
1
43 2·2R
dRR
RRdKK ⋅−= 1
1
11
−==
RdR
KdK
S KR
e) KRS
3
Partiendo de la misma ecuación que en caso c) 1
43
RRR
K = , obtenemos
21
3
33
==
RdR
KdK
S KR
3. Para el filtro activo HP calcular:
a) CwRS
1
b) CwRS
2
TEMA 7.- FILTROS 32
.cteCRwc =⋅⋅ Para los dos casos tomo la misma ecuación. [ ] 0=+ CdRwRdw icic 0=+ icic dRwRdw icic dRwRdw −=
i
i
c
c
RdR
wdw
−= 1−=c
i
wRS
Luego para los dos casos a y b vale –1. 4. Determinar el orden y la fc de un filtro Butterworth paso-bajo tal que a 2Khz la atenuación sea de 1dB y a 16Khz como mínimo de 40dB.
n
cff
fH 22
1
1)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
n
cffLogfHLog
2
1)(2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−
n
cffLogfHLog
2
110)(20 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n
c
dB
ffLog
A2
110
Entonces:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
→
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
→
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n
c
n
c
n
c
n
c
n
c
n
c
fK
fK
fK
fK
fKLog
fKLog
24
21.0
24
21.0
2
2
16110
2110
16110
2110
1614
211.0
Dividiendo:
( ) 53.282
110110
8110110
81
162
110110 1.0
4
21.0
422
4
1.0
=⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⇒=−−
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−
Log
Lognn
nn
n = 3
¿Y la fc?
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=−⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
Kf
Logn
LogfKLognLog
fK c
c
n
c 16211016211016110
44
24
( )
nLog
c Kf 21104
1016−
−⋅=
Si n = 2.53 fc = 2.59Khz Si n = 3 fc = 3.447Khz
TEMA 7.- FILTROS 33
5. Diseñar ( con elementos activos) un circuito con la siguiente función de transferencia.
Este Problema se reduce haciendo un filtro de paso-bajo con fc=10Khz de orden 4 ya que según la ecuación dec
dBn =⋅− 20 8020 −=⋅− n n = 4, es un butterworth
pues no tiene rizado. Y un filtro paso-alto con fc = 100hz de orden 3 (-20·n=-60) y se conectan en cascada.
HPLP
a) Diseño del LP
fc= 10Khz wc=2π·10K
RwC
C ni ⋅
= Tomamos R=1K
Al ser de orden 4 debemos hacerlo en dos etapas: 1ª etapa:
( ) nFKK
C 22.171102
082.11 =
⋅⋅=
π ( ) nF
KKC 71.14
11029241.0
2 =⋅⋅
=π
2ª etapa:
( ) nFKK
C 59.411102
613.21 =
⋅⋅=
π ( ) nF
KKC 09.6
11023825.0
2 =⋅⋅
=π
b) Diseño del HP orden 3
fc= 100hz wc=2π·100=200π
ni CCw
R⋅⋅
=1
Tomamos C = 1µF
( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅
=⋅⋅
= − 449546.3101200
116
11 πCCw
R
TEMA 7.- FILTROS 34
( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅
=⋅⋅
= − KCCw
R 143.1392.1101200
116
22 π
( ) ( ) ( ) Ω=⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
= −− KCCw
R 863.710024.2101200
1116
33 π
6. Calcule la respuesta impulsiva h(t) para un filtro paso bajo de orden 2.
( ) 22
2
2 nn
n
wswswk
sH++
⋅=
ξ
b) Respuesta del filtro anterior a la entrada escalón.
Busquemos los polos del sistema:
22222
22
112
442
02
ξξξξξξ
ξ
−±−=−±−=−±−
=
=++
nnnnnnn
nn
jwwwwwww
s
wsws
Entonces :
22
21
1
1
ξξ
ξξ
−−−=
−+−=
nn
nn
jwwP
jwwP
Por comodidad llamaremos pn ww =− 21 ξ
pn
pn
jwwP
jwwP
−−=
+−=
ξ
ξ
2
1
TEMA 7.- FILTROS 35
Vemos que ( ) nnn wwwPP =−+== 2222
21 1 ξξ Por tanto podemos escribir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )21
12
21
12
21
2
21
2
PsPsBPAPsBA
PsPsBPBsAPAs
PsB
PsA
jwwsjwwswk
PsPswk
sHpnpn
nn
−⋅−−−+
=−⋅−
−+−
=−
+−
=++⋅−+
⋅=
−⋅−⋅
=ξξ
Entonces:
BABA −=⇒=+ 0 ( ) 2
212
122
12 nnn wkPPAwkAPAPwkBPAP ⋅=−⇒⋅=+−⇒⋅=−−
2
2
22
222
21
2
12
12
12122
ξ
ξ
ξξξξ
−
⋅⋅=−=
−
⋅⋅−=
−⋅
⋅=
−⋅
⋅=
⋅=
+++−⋅
=−⋅
=
n
n
n
n
n
p
n
pnpn
nn
wkjAB
wkjA
j
wk
wj
wkjwwk
jwwjwwwk
PPwk
A
Por tanto tenemos:
( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
⋅−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=−
−−
=−
+−
=21
2212121
1112
11PsPs
wkj
PsPsA
PsA
PsA
PsB
PsAsH n
ξ
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( ) [ ] ( )
( )twsenewk
tueej
ewktueeewkj
tueeeewkj
tueewkj
ptwn
tjwtjwtwntjwtjwtwn
tjwtwtjwtwn
tPtPn
n
ppnppn
pnpn
⋅⋅−
⋅=
=⋅−⋅⋅−
⋅=⋅−⋅
−
⋅⋅−=
=⋅⋅−⋅⋅−
⋅⋅−=
=⋅−⋅−
⋅⋅−=⎯→⎯
−
−−−−
−−−
−
ξ
ξξ
ξξ
ξ
ξξ
ξ
ξ
2
22
2
2
1
21
112
12
1221
1l
( ) [ ] ( )tutwsenewk
th ntwn n ⋅⋅−⋅⋅
−
⋅= − 2
21
1ξ
ξξ
TEMA 7.- FILTROS 36
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) =⋅−⋅−
−⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
=+−
+−
=⋅−⋅
⋅=⋅=
sPsPsPsPsCsPsBsPsA
sC
PsB
PsA
sPssUsHsY
21
2112
2121
2n 1
P-swk
Para s = P2
( ))( 122
22
212 PPPwk
BwkPPPB nn −
⋅=⇒⋅=⋅−⋅
Para s = P1
( ) ( )211
22
121 PPPwk
AwkPPPA nn −
⋅=⇒⋅=⋅−⋅
Para s = 0
21
22
21 PPwk
CwkPPC nn
⋅=⇒⋅=⋅⋅
Luego
( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )tuPPwk
ePPP
wke
PPPwk
tuCeBeAty ntPntPntPtP ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅+⋅
−⋅
+⋅−
⋅=⋅+⋅+⋅=
21
2
122
2
211
22121
Vemos que: 22
1*
1121 nwPPPPP ==⋅=⋅
( ) 221 122 ξξξ −⋅==+++−=− nppnpn wjjwjwwjwwPP
( ) ( ) ( ) npppnpppn wwjwwwwjwjjwwPPP ξξξ 22222 22211 −−=−⋅−=⋅⋅+−=−
( ) ( ) ( ) nppppnppn wwjwjwwwjjwjwwPPP ξξξ 22222 22122 +−=−=−⋅−−=−
Entonces:
( ) ( )
( ) ( )( )tu
wwjwe
wjwewk
tuwwwjw
ewwjw
ewkty
nnn
tP
nn
tP
n
nnpp
tP
npp
tP
n
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−+−−+
−−−−⋅=
=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
+−+
−−⋅=
222222222
2
2222
112121212
12222
21
21
ξξξξξξ
ξξ
Tenemos por tanto que:
( )( ) ( )
( )tuj
ej
ektytPtP
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−−−−
−+−
−⋅= 1
12121212 2222
21
ξξξξξξ
TEMA 7.- FILTROS 37
Veamos que:
( ) ( ) ( ) 24224222222 12201214141212 ξξξξξξξξξξ −=−+−+=−+−=−+− j
Luego: ( )( )
ConjugadasComplejasej
ejj
j
−⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅−=−−−
⋅−=−+−− φ
φ
ξξξξ
ξξξξ222
222
121212
121212
con ( ) 22
2
1arctan
1212
arctanξ
ξξ
ξξφ
−=
−−
=
Luego
( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )tutwek
tutwektutwek
tueeek
tueeeeeek
tueeeekty
n
tw
p
tw
p
tw
twjtwjtw
jtjwtwjtjwtw
jtP
jtP
n
nn
ppn
pnpn
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⋅−⋅
−−⋅=
=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⋅
−−⋅=⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−⋅
−−⋅=
=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅
−−⋅=
=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅⋅+⋅⋅
−
−⋅=
=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅
−−⋅
−
−⋅=
−
−−
−−−−
−−−−
−
φξξ
φξ
φξ
ξ
ξ
ξξ
ξ
ξξ
φφξ
φξφξ
φφ
2
2
22
2
2
22
1cos1
1
cos1
11cos1
121
112
1
11212
21
Si queremos podemos continuar teniendo en cuenta que: ( ) ( )
απα
φπφπφ
φφ
sen
tagtagtag
tagtag
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=−
2cos
122
;
Si transformamos el cos(wpt-φ)
( )
2
222cos
'
'
πφφ
φπφππφ
+−=
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+− twsentwsentw ppp
TEMA 7.- FILTROS 38
Veamos que ( ) ξξ
φφφ
2' 111 −
==−
−=tagtag
tag
Por tanto:
( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅−⋅
−−⋅=
−
ξξ
φ
φξξ
ξ
2'
'2
2
1arctan
11
1 tutwsenekty n
twn
que es como aparece en las tablas. 7.- Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc=1KHz utilizando resistencias de 1KΩ. Usaremos una estructura VCVS.
1) Construimos filtro normalizado con Wn=1 rad/seg Rn=1Ω Cn consultando las tablas.
Escalamos nnn CRWWRC =WRC
C nii =
Por tanto:
nFWRC
C n 225)1000(*)1000*2(
414.111 ===
π
nFWRC
C n 54.112)1000(*)1000*2(
7071.022 ===
π
TEMA 7.- FILTROS 39
8.- Diseña un filtro LP Butterworth de 5º orden con fc=5KHz y una impedancia de entrada de 100KΩ. Utiliza una estructura VCVS. Cuando un filtro es de orden 4 o superior se construye en dos etapas. Este lo construiremos con una etapa de orden 3 seguida de otra de orden 2.
Construimos filtro normalizado con Wn=1 rad/seg Rn=1Ω Cn consultando las tablas.
Escalamos nnn CRWWRC =WRC
C nii =
Etapa n=3
Etapa n=2
V0 Vi
• Etapa de orden 3:
pFKWR
CC n 558
)100(*)5000*2(753.11
1 ===π
pFKWR
CC n 431
)100(*)5000*2(354.12
2 ===π
pFKWR
CC n 134
)100(*)5000*2(421.02
2 ===π
• Etapa de orden 2:
nFKWR
CC n 03.1
)100(*)5000*2(235.31
1 ===π
pFKWR
CC n 98
)100(*)5000*2(309.02
2 ===π
TEMA 7.- FILTROS 40
TEMA 7.- FILTROS 41
9.- Diseña un filtro paso alta (HP) Butterworth de 2º orden con fc=100Hz utilizando condensadores de 1µF. Utilizaremos una estructura VCVS
1) Fijamos Wc = (2π*100) rad/seg C = 1µF
2) Construimos HP normalizado
Wc = 1 rad/seg C = 1F
nn CR 1=
3) Desnormalizamos
nnn CRWWRC = n
i CCWR
**1
=
Entonces:
Ω=== − 56.1125414.1*)10*1(*)100*2(
1**
16
11 πCCW
R
Ω=== − 81.22507071.0*)10*1(*)100*2(
1**
16
12 πCCW
R
TEMA 7.- FILTROS 42
TEMA 7.- FILTROS 43
10.- Diseña un filtro activo paso de banda (BP) de orden 2 centrado en 1KHz y de BW=100Hz.
1010010 ===
HzKHz
BWf
Q Mayor a 4 utilizaremos una estructura Bicuadrática
Recordemos que:
1
43
RRR
K = CR
B2
1= 2
43
20
1CRR
W =
si hacemos K=1 R3=R4=R1 221
243
20
11CRCRR
W == CR
W 10 =
CRf
10
1*2 =π CR1
1100*2 =π
CRBW
2
1*2 =π CR2
11000*2 =π R 12 *10 R=
Tomamos R3=R4=R1= 1KΩ R2=10KΩ
C*10*11100*2 4=π nFC 15.159
100*2*10*11
4 ==π
1010*1*)( 0 === QKWH
TEMA 7.- FILTROS 44