MODELO DE GRAVEDAD CUANTICA DE HORAVA-LIFSHITZ SIN
INVARIANZA DE LORENTZY. Bonilla
Grupo de Gravitacion, Universidad del Valle, A.A. 25360, Cali, [email protected]
Resumen
Se estudia el modelo de gravedad cuantica propuesto por Petr Horava en [1, 2]. Esta teorıacuantica de campos gravitacional, presenta escalamiento anisotropico entre espacio y tiem-po, con exponente dinamico crıtico z = 3. La teorıa describe gravitones no relativistas in-teractuantes para distancias cortas y se caracteriza por ser renormalizable por conteo depotencias en 3 + 1 dimensiones (ADM), pero abandona la invarianza de Lorentz como unasimetrıa fundamental en altas energıas [1]. Para grandes distancias (infrarrojo), la teorıafluye naturalmente al valor relativisita z = 1, recuperando la invarianza de Lorentz. Por lotanto, puede servir como una candidata posible para la completez UV de la Teorıa de laRelatividad General (RG), en el sentido de renormalizacion, o su modificacion infrarroja (IR).Aquı se exponen algunos de los aspectos basicos del modelo y sus resultados.
1. Introduccion
EN QFT, el obstaculo principal en contra de la renormalizabilidad perturbativa de la teorıade la Relatividad General (RG) en 3 + 1 dimensiones [3, 4], radica en que la constante
de acoplamiento gravitacional GN es dimensional, con dimension negativa [GN ]= - 2 enunidades de masa (para ~ = c = 1, GN ≈ 6, 7 × 10−39GeV−2) [4]. Para obtener la teorıagravitacional renormalizable por conteo de potencias en el UV, se introduce el escalamientoanisotropico entre espacio y tiempo, medido por z [1].El modelo se inspira en los metodos implementados en la teorıa de sistemas dinamicoscrıticos [6, 7] y criticalidad cuantica cuyo prototipo, es la teorıa escalar de Lifshitz en D + 1dimensiones caracterizada por la accion [8]:
S′ =
∫dtdDx{ ˙(Φ)2 − (4Φ)2}, (1)
que describe un “campo libre de punto fijo” con escalamiento anisotropico, z = 2 y 4 es ellaplaciano espacial. Adicionando a la accion la deformacion:
−c2∫dtdDx∂iΦ∂iΦ (2)
la teorıa fluye en el infrarrojo a z = 1, surgiendo la invarianza de Lorentz como una simetrıaaccidental [1, 9]. El modelo gravitacional de Horava, aun siendo fundamentalmente no rela-tivista en el UV, describe polarizaciones propagantes de la metrica [1]. Restaurando losfactores explıcitos de la velocidad de la luz, el propagador para los gravitones toma la forma[1],
1
ω2 − c2k2 −G(k2)z, (3)
En el escenario de altas energıas el propagador del graviton es dominado por el terminoanisotropico 1/(ω2 − G(k2)z), c2k2 es importante solo para las energıas mas bajas y surgede una deformacion relevante del punto fijo UV, con c una constante de acoplamiento dimen-sional. El propagador (3) es reproducido por la resumacion del propagador de altas energıasen la teorıa deformada [1],
1
ω2 − c2k2 −G(k2)z=
1
ω2 −G(k2)z+
1
ω2 −G(k2)zc2k2 1
ω2 −G(k2)z+ ... (4)
2. Descripcion General
2.1 Gravedad con escalamiento anisotropicoSe define la teorıa en una variedad espacio temporalM fija, con coordenadas
(t,x) ≡ (t, xi), i = 1, ...D, (5)
Desde el formalismo de descomposicion ADM se utilizan los campos cuanticos: gij (de sig-natura (+,...,+)) en Σ, N (lapse) y el vector Ni (shift), dando el elemento de lınea,
ds2 = −N2c2dt2 + gij(dxi −N idt)(dxj −N jdt), (6)
Las teorıas del tipo Lifshitz exhiben puntos fijos con escalamiento anisotropico del tipo:
x→ bx, t→ bzt. (7)
El “exponente dinamico crıtico” z, esta asociado con un punto fijo del grupo de renorma-lizacion (GR) (“Renormalization Group”) [1]. El prototipo de una teorıa cuantica de camposcon exponente crıtico no trivial z >1, es la teorıa de un escalar de Lifshitz Φ(x, t) en D + 1dimensiones [1, 7, 8]. En su representacion mas sencilla, con z = 2, la teorıa esta descritapor la accion (1). Para que los dos terminos en la accion (1) escalen de la misma manerase asignan las dimensiones [xi]= −1, [t]= −2. Para S adimensional [Φ] = (D − 2)/2, y conse-cuentemente la dimension crıtica (mas baja) se desplaza, del valor relativista 1 + 1, a 2 + 1cuando z = 2 [2, 10].
2.2 Simetrıas y version Proyectable de la teorıaEn (7) la dimension temporal tiene un papel privilegiado, ası la variedad espacio temporalM, posee la estructura adicional de una foliacion F de codimension uno [1], con hojas Σ(hipersuperficies) de tiempo constante. Las transformaciones de coordenadas adaptadas ala foliacion son:
xi = xi(xj, t), t = t(t). (8)
ası las funciones de transicion son diff., preservando la foliacion, con DiffF(M) el grupo dediff., espacio temporales que respetan la foliacion preferencial Fc1 y sus generadores [1]:
δt = f (t), δxi = ξi(t,x). (9)
Asumiendo que N(t) es una funcion del tiempo, constante en Σ 1 se obtiene la teorıa degravedad proyectable [10].
2.3 Dinamica de la teorıa proyectable
Se define la teorıa cuantica de campos para la gravedad, por medio de la integral de camino:∫Dgij DNiDN exp{iS}. (10)
Donde S es la accion mas general compatible con los requerimientos de simetrıas gaugey restringida por la unitariedad de la teorıa [1]. En los ordenes mas bajos en las derivadastemporales, la dinamica de la teorıa proyectable, se describe por la accion [1],
S =2
κ2
∫dt dDx
√g N
(KijK
ij − λK2 − V), (11)
dondeKij ≡
1
2N
(gij −∇iNj −∇jNi
)(12)
es la curvatura extrınseca de Σ, K = gijKij, κ y λ son constantes de acoplamiento adimen-sionales, y el termino potencial V es un funcional escalar invariante bajo DiffF(M) construidoa partir de la metrica gij, su tensor de Riemann Rijk` y las derivadas covariantes espaciales.
[κ] =z −D
2. (13)
λ representa una constante de acoplamiento dinamica sujeta a correcciones cuanticas, conλ = 1 para RG. Terminos potenciales, son independientes de las derivadas temporales [1].
2.4 Teorıa UV con Balance DetalladoSe impone la condicion de simetrıa de balance detallado que limita el numero de constantesde acoplamiento independientes, al elegir los terminos potenciales que implica:
SV =κ2
8
∫dt dDx
√gN EijGijk`Ek`, (14)
y que Eij provenga de un principio variacional vıa la relacion:
√gEij =
δW [gk`]
δgij(15)
para alguna accion D-dimensional W . En (14) Gijk`, denota la inversa de la metrica deDe Witt
Gijk` =1
2
(gikgj` + gi`gjk
)− λgijgk` (16)
Si z = 3 para 3 + 1 dimensiones, Eij debe ser de tercer orden en las derivadas espaciales.Un candidato para este objeto es el tensor de Cotton [1];
Cij = εik`∇k(Rj` −
1
4Rδ
j`
). (17)
La accion mas general de la teorıa de gravedad en 3 + 1 dimensiones y z = 3, modulo laposible adicion de terminos relevantes, esta descrita por:
S =
∫dt d3x
√g N
{2
κ2
(KijK
ij − λK2)− κ2
2w4CijC
ij
}(18)
3. Teorıa deformada y RG
S =
∫dt d3x
√g N
{2
κ2
(KijK
ij − λK2)− κ2
2w4CijC
ij +κ2µ
2w2εijkRi`∇jR`k
− κ2µ2
8RijR
ij +κ2µ2
8(1− 3λ)
(1− 4λ
4R2 + ΛWR− 3Λ2
W
)}. (19)
c =κ2µ
4
√ΛW
1− 3λ, Λ =
3
2ΛW , GN =
κ2
32πc(20)
Referencias
[1] P. Horava, “Quantum Gravity at a Lifshitz Point”, Phys. Rev. D 79, 084008 (2009)[arXiv:0901.3775 [hep-th]].
[2] P. Horava, “Membranes at Quantum Criticality”, JHEP 0903, 020 (2009)[arXiv:0812.4287 [hep-th]].
[3] C. Rovelli, “Notes for a brief history of quantum gravity”, arXiv:gr-qc/0006061v3.[4] S. Weinberg, “Ultraviolet Divergences in Quantum Theories of Gravitation” en: General
Relativity. An Einstein Centenary Survey, editado por S.W Hawking and W. Israel (Cam-bridge University Press, 1980).
[5] T. P. Sotiriou, M. Visser and S . Weinfurtner, “Quantum gravity without Lorentz invari-ance”, arXiv:0905.2798v3 [hep-th].
[6] P. C. Hohenberg and B. I. Halperin, “Theory of Dynamic Critical Phenomena”, Rev. Mod.Phys. 49, 435 (1977).
[7] S. K. Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, Frontiers in Physics (Benjamin. Inc,1976).
[8] E. M. Lifshitz, “On the Theory of Second-Order Phase Transitions I-II”, Zh. Eksp. Teor.Fiz. 11, 255 (1941).
[9] S. Chadha and H. B. Nielsen, “Lorentz Invariance as a Low-Energy Phenomenon”, Nucl.Phys. B 217, 125 (1983).
[10] P. Horava, “General Covariance in Gravity at a Lifshitz Point”, arXiv:1101.1081v1[hep-th].
1Aquellas funciones que toman valores constantes en cada hoja de la foliacion F , se denominaran “funciones proyectables” [1].
Escuela de Fısica de Partıculas, Mayo 23-27 de 2011, Bogota, Colombia
