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7/23/2019 Modelamiento de Sistamas Dinamicos
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1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Un sistema representado por una ecuación diferencial resulta dificultoso para
representarlo como un diagrama de bloques. Por lo tanto se expone la
Transformada de Laplace, con la cual se puede representar la entrada, la salida y
el sistema como entidades separadas. Más allá su relación mutua será
completamente algebraica.
En primer lugar se presentar la definición de la Transformada de Laplace y un
bree análisis de la condición para la existencia de !sta.
L [ f ( t ) ]= F (s )=∫0
∞
f (t ) e−st
dt (1 )
"onde
s=σ + jω, es una ariable comple#a. En este curso no se demostrarán las
transformadas, simplemente se dará una tabla con sus pares.
Tabla de Pares Transformada de Laplace
af (t ) aF (s ) d
nf (t )dt
sn F (s )−s
n−1f (0 )−s
n−2f
' (
f 1 ( t )+ f 2 ( t ) F 1 (s )+ F 2 (s ) ∫0
t
f (t )dt F (s)
s
f (t ) F (s) ∫−∞
t
f ( t )dt F (s)
s +
1
s∫−∞
0
f (t )dt
f (at ) 1
a F ( s
a ) tf ( t ) −dF (s)
ds
e−at
f (t ) F (s+a) t 2
f (t ) d2 F (s)
d s2
f (t −T ) e−sT
F (s) t n
f (t ) (−1)n dn
f (s )
d sn
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Tabla de Pares Transformada de Laplace
df (t )dt
sF (s )−f (0) δ (t ) $
d2
f (t )dt
s2 F (s )−sf (0 )− f ' (0) u(t )
1
s
tu(t ) 1
s2
t sinωt 2ωs
( s2+ω
2 )2
t n
u(t ) n !s(n+1) t cos ωt s
2
−ω2
( s2+ω
2 )2
e−at
u (t ) 1
s+a e
−at sinωt
ω
(s+a)2+ω2
t e−at
1
( s+a )2 e
−at cosωt
s+a
(s+a)2+ω2
t n
e−at
n !
[ s+a ](n+1) t e−at
sinωt 2ω (s+a)
[(s+a)2+ω2 ]2
sinωt ω
s2+ω
2 t e−at
cosωt (s+a )2−ω
2
((s+a)2+ω2 )2
cosωt s
s2+ω
2 2 M e−at
cos(bt +θ M e
jθ
(s+a− jb)+
M e− jθ
(s+a+ jb)=
Teorema de alor %nicial& Teorema de alor final&
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Tabla de Pares Transformada de Laplace
t →0+¿
f (t )=lims→ ∞
sF (s)
lim¿ ¿
limt → ∞
f (t )=lims →0
sF (s)
'onolución&
f 1 (t )∗f 2 (t )=∫0
∞
f 1 (t −τ ) f 2 ( τ )
f 1 (t )∗f 1 (t )= F 1 ( s) F 2 (s )
k n
( s+a )nk n
( n−1 ) !t
n−1e−at
Ejemplo 1: "ada la siguiente ecuación diferencial encontrar Y ( s ) &
d2 y
dt 2 +9
dy
dt +2 y=6e
−4 t con y (0 )=2, y
' (0 )=−4
(plicando la transformada de Laplace a cada t!rmino de la ecuación diferencial&
s2
Y ( s)−s (2 )−(−4 )+9 [ sY (s )−2 ]+2Y (s )= 6
s+4
s2
Y ( s )−2 s+4+9 sY (s )−18+2Y ( s )= 6
s+4⟹
( s2+9 s+2 ) Y ( s )−2 s−14=
6
s+4⟹ (s2+9 s+2 ) Y (s )=
6
s+4+2 s+14⟹
Y ( s )= 6
(s+4 ) ( s2+9 s+2 )
+ 2 s+14
( s2+9 s+2)
Ejemplo 2: Escribir las ecuaciones integrodiferenciales de la siguiente rede
el!ctrica, en t!rminos de las corrientes de malla indicadas y posteriormente
exprese las ecuaciones en el dominio de la frecuencia asumiendo condiciones
iniciales cero.
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10 V
8Cos 9t
R1
4 Ω
R2 6 Ω
L12 H
L2 5 H
C2 7 F
C1
3 F
i1(t) i2(t)
a)
(plicando L)* para obtener la ecuación de la malla $&
1+ "1+10+ L2+ L1=0⟹
1
1∫0
t
#1 (τ )dτ + "1 [ #1 (t )−#2(t )]+ L2
d [#1 (t )−#2 (t ) ]
dt
+ L1
d #1 (t )
dt
=−10⟹
1
1∫0
t
#1 (τ )dτ + "1#1 (t )− "1 #2 ( t )+ L2
d #1 (t )
dt − L2
d #2 (t )
dt + L1
d #1 ( t )
dt =−10⟹
1
3∫0
t
#1 (τ ) dτ +4 #1 (t )−4 #2 (t )+5d #1 ( t )
dt −5
d #2 (t )
dt +2
d #1 (t )
dt =−10⟹
1
3∫0
t
#1 (
τ )dτ +4 #
1 (t )−
4 #2(
t )+
7d #1 (t )
dt −5
d #2 ( t )
dt =−10
(2
)
1
3 s $ 1 (s )+4 $ 1 ( s )−4 $ 2 (s )+7 s $ 1 ( s )−5 s $ 2 ( s )=
−10
s ⟹
( 13 s+4+7 s) $
1 (s )−(4+5s ) $
2 (s )=−10
s
(plicando L)* para obtener la ecuación de la malla +&
8cos9 t + "2+ 2− L 2−10− "1=0⟹
"2 #2 (t )+ 1
2∫0
t
#2 (τ ) dτ −[ L2
d [ #1 (t )−#2 (t ) ]dt ]− "1 [#1 (t )−#2 (t ) ]=10−8cos9 t
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"2 #2 (t )+ 1
2∫0
t
#2 (τ ) dτ − L2
d #1 (t )
dt + L2
d #2 (t )
dt − "1#1 (t )+ "1#2 ( t )=10−8cos9 t
6 #2 ( t )+1
7
∫0
t
#2 (τ ) dτ −5d #1 (t )
dt
+5d #2 (t )
dt
−4 #1 (t )+4 #2 ( t )=10−8cos9 t ⟹
1
7∫0
t
#2 (τ )dτ −5d #1 (t )
dt +5
d #2 (t )
dt −4 #1 ( t )+10 #2 (t )=10−8cos9 t (3 )
1
7 s $ 2 (s )−5 s $ 1 (s )+5 s $ 2 ( s )−4 $ 1 (s )+10 $ 2 ( s )=
10
s −8( s
s2+9
2 )⟹
−(5 s+4 ) $ 1 (s )+
(
1
7s
+5 s+10
) $
2( s )=
10
s
− 8 s
s2
+81
'ualquiera de las expresiones obtenidas no pueden ser resueltas directamente
desde la tabla de transformadas de Laplace. Por lo tanto se debe utiliar una
-erramienta matemática que permita resoler y aplicar la transformada inersa de
Laplace para obtener la respuesta en el tiempo. "ic-a -erramienta son las
fracciones parciales.
2 Fraccones Parcales
(l buscar la transformada inersa de Laplace ( L−1 ) , se requiere con frecuencia
el uso de las fracciones parciales. Estas se pueden presentar en cuatro formas& a!cuando el numerador es de orden inferior al denominador y !ste no tiene races
repetidas/ b! cuando el numerador no es de orden inferior al denominador/ c!cuando el denominador tiene races repetidas y d! cuando el denominador tiene
races comple#as con#ugadas.
2"1 C#ando el n#merador es de orden nferor al denomnador $ %s&e no&ene ra'ces repe&das
En este caso, el denominador debe estar expresado en factores de la forma
( s % an ) y es posible encontrar las constantes & 1 & 2 … & n denominadas
residuos, tales que&
Y ( s )= (o) *umerador
sn+an−1
sn−1+…+a
1s+a
0
= (o) *umerador
(s+a ) ( s+b ) ( s+c ) …=
& 1
s+a+
& 2
s+b+… (4)
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Los t!rminos indiiduales en el desarrollo representan funciones exponenciales del
tiempo, despu!s de t =0 &
y (t )= & 1e−at + & 2 e
−bt + & 3 e−ct +… (5 )
Para calcular los residuos 0 & 1 & 2 … & n 1, se multiplican todos los miembros de
la ec. 2 por el t!rmino del denominador del residuo que se desea encontrar y el
resultado se eal3a en el alor de s que -aga que el t!rmino del denominador
se anule 0es decir en el alor de la ubicación de la ra1.
Ejemplo (: 4btener y (t ) para la siguiente función transformada de Laplace
Y ( s )= 3 s+1s2+6 s+8
Primero se debe factoriar el denominador y luego expandirse en 5.P.
Y ( s )= 3 s+1
s2+6 s+8
= 3 s+1
(s+2)(s+4 )=
& 1
s+2+
& 2
s+4(6 )
Para calcular el residuo de &
1 , se multiplica a ambos lados de la ecuación por
el factor (s+2 )
(3 s+1 ) (s+2 )(s+2)( s+4)
= &
1 (s+2 )
s+2+
& 2 (s+2 )
s+4 |s=−2
⟹
(3 s+1 )(s+4)
= & 1+ & 2 ( s+2 )
s+4 |s=−2
⟹
[3 (−2 )+1 ][ (−2 )+4 ]
= & 1+ & 2 (−2+2 )
−2+4 ⟹
& 1=−6+12
⟹ & 1=−2.5
6i se obsera, el residuo se puede obtener simplemente eliminando el t!rmino del
residuo respectio del lado derec-o de la ecuación. 4bteniendo &
2 &
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& 2=3 s+1s+2 |s=−4
⟹ & 2=3 (−4 )+1
−4+2 ⟹ & 2=5.5
7emplaando los alores de los residuos en la ecuación 8, se tiene&
Y ( s )= 3 s+1
s2+6 s+8
= 3 s+1(s+2)(s+4 )
=−2.5
s+2 + 5.5
s+4
(plicando L−1
de acuerdo a la tabla, se tiene&
y (t )=−2.5e−2 t +5.5e
−4 t
Ejemplo ): 4btener y (t ) para la siguiente función transformada de Laplace
Y (+ )=3 s
2+21 s+10
s (s2+7 s+12 )=
3 s2+21 s+10
s(s+4)(s+3)=
k 1
s +
k 2
s+4+
k 3
s+3
k 1=3 s
2+21 s+10
s2+7 s+12 |
s=0
⟹k 1=10
12
k 2=3 s
2+21 s+10s(s+3) |
s=−4
⟹k 2=3 (−4 )2+21 (−4 )+10
(−4 ) (−4+3 ) ⟹ k 2=
−26
4 =
−13
2
k 3=
3 s2+21 s+10s (s+4) |
s=−3
⟹k 2=
3 (−3 )2+21 (−3 )+10(−3 ) (−3+4 )
⟹k 2=−26
−3=
26
3
Y ( + )=3 s
2+21 s+10
s (s2+7 s+12 )=
3 s2+21 s+10
s (s+4)(s+3)=10 /12
s +
−13/2s+4
+26 /3s+3
y (t )=10
12−
13
2 e
−4 t +26
3 e
−3t
2"2 C#ando el n#merador no es de orden nferor al denomnador
En este caso se realia la diisión sint!tica de la fracción para reducir el orden del
polinomio numerador. El resultado se expresa como la suma de un polinomio
cociente y una fracción entre el polinomio residuo y el polinomio denominador&
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Y ( s )= (o) *umerador
(s+a ) (s+b ) (s+c ) …= (o) , oc#ente+
(o) "es#duo
( s+a ) (s+b ) (s+c ) …= (o) oc#ente+
& 1
s+a+
& 2
s+b+
& 3
s+c …
Ejemplo *: 4btener y (t ) para la siguiente función transformada de Laplace
Y ( s )= 2 s
2+3s2+3 s+2
=2+ −6 s+3s2+3 s+2
=2− 6 s−3
(s+1 ) (s+2 )=2−[ k
1
s+1+
k 2
s+2 ]
k 1=
6 s−3
s+2 |s=−1
⟹k 1=−6−3
−1+2⟹k
1=−9
k 2=
6 s−3
s+1 |s=−2
⟹k 2=−12−3
−2+1⟹k
2=15
Y ( s )= 2 s
2+3
s2+3 s+2
=2−[ −9
s+1+ 15
s+2 ]⟹
y (t )=2δ (t )+9e−t −15e
−2 t
2"( C#ando el denomnador &ene ra'ces repe&das
Para este caso, el m!todo del caso $ aplica solamente para el t!rmino repetido de
mayor orden y los demás se obtienen mediante la deriación de la expresiónresultante al multiplicar toda la expresión por el factor respectio.
La transformada inersa de Laplace de una ra repetida se obtiene a partir de&
L−1[ k n
(s+a )n ]= k n
(n−1 )!t
n−1e−at
Ejemplo +: 4btener y (t ) para la siguiente función transformada de Laplace
Y ( s )= 4 s
2−1
s3+6 s
2+12 s+8
5actoriando el polinomio denominador&
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Y ( s )= 4 s
2−1
(s+2 ) ( s+2 ) (s+2 )=
4 s2−1
( s+2 )3 =
k 1
( s+2 )+
k 2
( s+2 )2+
k 3
( s+2 )3(8)
Multiplicando la ecuación 9 por (s+2 )3
(4 s2−1) ( s+2 )3
( s+2 )3 =
k 1 (s+2 )3
(s+2 ) +
k 2 (s+2 )3
(s+2 )2 +
k 3 ( s+2 )3
(s+2 )3 ⟹
(4 s2−1)=k
1( s+2 )2+k
2( s+2 )1+k
3|s=−2(9 )
k 3=4 s2−1|s=−2⟹k 3=4 (−2 )2−1⟹k 3=15
"eriando la ecuación :, se obtiene el alor de k 2 &
d (4 s2−1 )
ds =
d
ds [ k 1 ( s+2 )
2+k 2 (s+2 )
1+k 3 ]⟹
8 s=2 k 1 (s+2 ) (1 )+k
2|s=−2(10 )
k 2=8 (−2 )⟹k 2=−16
"eriando la ec. $;, se obtiene el alor dek 1 &
d (8 s )ds
= d
ds [2k
1(s+2)+k
2 ]⟹8=2k 1⟹k
1=4
Y ( s )=4 s
2−1
( s+2 )3 =
4
( s+2 )−
16
(s+2 )2+
15
(s+2 )3⟹
y (t )=4e−2 t −16 t e
−2 t +15
2 t
2e−2 t
En general, los coeficientes de los t!rminos de ra repetida del desarrollo de una
fracción parcial que se repite - eces se obtiene a partir de&
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k #= 1
( -−#) !
d -−#
d s -−#
[ ( s+a ) -Y (s)] s=−a #=1,2,3,… -(11)
2") C#ando el denomnador &ene ra'ces complejas conj#,adas
Los residuos de races comple#as con#ugadas, son comple#os con#ugados de cadauna de ellas
Ejemplo -: 4btener y (t ) para la siguiente función Transformada de Laplace
Y ( s )= 10
s ( s2+4 s+13 )
5actoriando el polinomio denominador&
Y ( s )= 10
s ( s+2+3 j ) ( s+2−3 j )=k 1
s + k 2
s+2+3 j+ k 3
s+2−3 j
k 1=
10
s2+4 s+13|s=0
⟹k 1=
10
13
k 2=
10
s (s+2−3 j )|s=−2−3 j
⟹k 2=
10
(−2−3 j )(−2−3 j+2−3 j)⟹
k 2= 10
(−2−3 j )(−6 j)⟹k 2=
10
12 j−18⟹k 2=
10 (−12 j−18 )(12 j−18 ) (−12 j−18 )
k 2=−120 j−180
144+324 ⟹k 2=
−120 j−180
468 ⟹
k 2=−0.38−0.26 j⟹k 2=0.46e− j145.6
k 3=k
2
¿
Y (s )= 10
s ( s+2+3 j ) ( s+2−3 j )=
10 /13s +
0.46e− j145.6
s+2+3 j +
0.46e j145.6
s+2−3 j
y (t )=10
13+2 (0.46 ) e
−2 t cos (3 t −145.6
0)
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Ejemplo .: "ada la siguiente ecuación diferencial encontrar la respuesta en el
tiempo para una entrada . (t )=esca)/nun#tar#o &
d3 y
dt
3 +3
d2
y
dt
2 +5
dy
dt + y=
d3 .
d.
3 +4
d2 .
d.
2 +6
d.
dt +8 .
(plicando la transformada de Laplace a cada t!rmino de la ecuación diferencial&
s3
Y ( s )+3 s2
Y ( s )+5 sY (s )+Y ( s )=s3 0 (s )+4 s
2 0 (s )+6 s0 ( s )+8 0 ( s )⟹
( s3+3 s
2+5 s+1)Y ( s )=( s3+4 s
2+6 s+8) 0 ( s )⟹
T ( s)= Y ( s )
0 ( s )=
s3+4 s
2+6 s+8
s3+3 s
2+5 s+1
6i la entrada es un escalón unitario, podemos -allar y (t ) aplicando fracciones
parciales&
Y ( s )= s3+4 s
2+6 s+8
s(s3+3 s
2+5s+1)=
s3+4 s
2+6 s+8s ( s+0.2291 )(s+1.3855−1.5639 j )(s+1.3855+1.5639 j )
Y ( s )=k 1
s +
k 2
s+0.2291+
k 3
s+1.3855−1.5639 j+
k 4
s+1.3855+1.5639 j
k 1=
s3+4 s
2+6 s+8
s3+3 s
2+5 s+1|s=0
⟹k 1=8
k 2= s
3+4 s2+6 s+8
s (s+1.3855−1.5639 j ) (s+1.3855+1.5639 j )|s=−0.2291
⟹
k 2= (−0.2291 )3+4 (−0.2291 )2+6 (−0.2291 )+8
(−0.2291 ) (−0.2291+1.3855−1.5639 j ) (−0.2291+1.3855+1.5639 j )⟹
k 2= 6.823322512
(−0.2291 ) (3.7830 )⟹k 2=
6.823322512
−0.8666853⟹k 2=−7.87289517
k 3= s
3+4 s2+6 s+8
s (s+0.2291 ) ( s+1.3855+1.5639 j )|s=−1.3855+1.5639 j
⟹
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k 3= (−1.3855+1.5639 j )3+4 (−1.3855+1.5639 j )2+6 (−1.3855+1.5639 j )+8
(−1.3855+1.5639 j ) (−1.3855+1.5639 j+0.2291 ) (−1.3855+1.5639 j+1.3855+1.5639 j )
k 3=0.4368− j0.13⟹k 3=0.46e− j16.57
Y ( s )=8
s−
7.87
s+0.2291+
0.46e− j16.57
s+1.3855−1.5639 j+
0.46e j16.57
s+1.3855+1.5639 j
(plicando transformada inersa de Laplace se tiene que&
y (t )=8−7.87e−0.229 t +2 (0.46 ) e
−1.385 t cos (1.56 t −16.57
0 )⟹
y (t )=8−7.87e−0.229 t +0.92e
−1.385 t cos (1.56 t −16.57
0 )
La gráfica de la función y (t ) obtenida es&
( LA F/NC0N DE TRANSFERENC0ALos sistemas como los de la figura <.$ representan la relación que existe entre la
salida y la entrada del mismo. Esta función permite separar la entrada, el sistema
y la salida en tres partes distintas, a diferencia de una ecuación diferencial.
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5igura <.$ a1 7epresentación de un sistema, b1 7epresentación de subsistemas
La función tambi!n permite combinar algebraicamente representaciones
matemáticas de los subsistemas para producir una representación total del
sistema. Escribiendo de forma general una tiempo ecuación diferencial de orden n,
lineal, inariante en el tiempo.
) S0STEMAS MECN0COS
Los sistemas el!ctricos tienen una seme#ana en su representación matemática
con otros sistemas como son los sistemas mecánicos, -idráulicos y t!rmicos. Es
por ello que se analiara el comportamiento de cada uno de estos sistemas, su
seme#ana matemática y la forma de obtener su función de transferencia.
)"1 Ss&ema Mec3nco Traslaconal
En un sistema mecánico, se aplica la segunda ley de ne=ton
)"2 Crc#&os el%c&rcos an3lo,os
En esta sección se muestra la similitud que existe entre los sistemas de distintas
disciplinas, y como se pueden representar los sistemas mecánicos por los circuitos
el!ctricos. 6e -a demostrado la similitud existente entre las ecuaciones resultantes
de las leyes de *irc--off para los sistemas el!ctricos y las ecuaciones de
moimiento de los sistemas mecánicos. 6e mostrara una similitud más acorde con
nuestra disciplina de ingenieros electrónicos, mediante la obtención de circuitos
el!ctricos equialentes de los sistemas mecánicos. Las ariables de los circuitosel!ctricos se comportan de igual manera que las ariables de los sistemas
mecánicos.
Un circuito el!ctrico que es análogo a un sistema de otra disciplina es llamado un
circuito análogo. Estos sistemas análogos pueden ser obtenidos comparando las
ecuaciones que lo describen, tales como las ecuaciones de moimiento en los
sistemas mecánicos, bien sea mediante ecuaciones de malla o de nodo.
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'uando la analoga se -ace mediante análisis por mallas, el circuito el!ctrico
obtenido se llama analogía serial .
'uando la analoga se -ace mediante análisis nodal, el circuito el!ctrico obtenido
se llama analogía en paralelo.
)"2"1 Analo,'a Seral
'onsiderar el sistema mecánico traslacional de la figura 0a1 y el sistema el!ctrico
de la figura 0b1, cuyas ecuaciones de moimiento 0$1 y L)* 0+1 son&
( M s2+1s+ & ) 0 ( s )= F (s )(1)
( Ls+ "+ 1
s ) $ ( s )=2 ( s )(2)
'omo se obsera, la ecuación 0$1 no es exactamente equialente a la ecuación
0+1, debido a que el desplaamiento y la corriente no son análogos. 6e creara una
analoga directa mediante la manipulación de la ecuación 0$1, para poder conertir el desplaamiento en elocidad. "iidiendo y multiplicando por s en el lado
iquierdo de 0$1 se tiene&
( M s2+1s+ &
s )s0 ( s)= F (s )⟹( Ms+1+ &
s )2 ( s )= F ( s ) (3 )
'omparando las ecuaciones 0+1 y 0<1 se puede obserar que a-ora existe una
similitud entre las mismas, donde L= M "=1 =
1
& 2 ( s )= F (s )
. Esto se
obsera en la figura 0c1
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'uando existe más de un grado de libertad, las impedancias asociadas a un
moimiento aparecen como elementos de serie el!ctrica en una malla, pero la
impedancia entre los moimientos adyacentes se dibu#an como impedancias en
serie el!ctrica entre las dos mallas correspondientes.
Ejemplo 1: "ibu#ar el circuito equialente en serie, para el siguiente sistema
mecánico&
Escribiendo las ecuaciones de moimiento son&
[ M 1 s2+(11+13)s+( & 1+ & 2)] 0 1 (s )−[ 13 s+ & 2 ] 0 2 ( s)= F (s )
−[ 13 s+ & 2 ] 0 1 ( s)+[ M 2 s2+(12+13)s+( & 2+ & 3)] 0 2 (s )=0
Multiplicando y diidiendo ambas ecuaciones por s en el lado iquierdo&
[ M 1
s+(11+1
3)+( & 1
s +
& 2
s )]s 0 1( s )−[1
3+
& 2
2 ]s 0 2( s)= F (s )
−[13+
& 2
s
]s 0 1 (s )+[
M 2 s+(12+13)+( & 2
s +
& 3
s
)]s 0 2 ( s )=0
En las ecuaciones resultantes, los t!rminoss 0
1( s )=2
1( s) y s 0
2( s)=2
2(s)
, por lo
tanto quedaran as&
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[ M 1 s+(11+13)+( & 1
s +
& 2
s )]2 1 ( s)−[13+ & 2
2 ]2 2(s)= F (s )
−
[13+
& 2
s
]2 1 (s )+
[ M 2 s+(12+13)+
( & 2
s +
& 3
s
)]2 2(s)=0
"e estas ecuaciones, resulta el siguiente circuito análogo serial&
Ejemplo 2: "ibu#ar el circuito equialente en serie, para el siguiente sistema
mecánico cuando
M 1=5 &3 M 2=3 &3 M 3=2 &3 & 1=3 *
m & 2=1
*
m 11=4 * −
s
m 12=1 * −
s
m 13=8 * −
s
m 14=2
Para facilitar el dibu#o del circuito, se escriben las ecuaciones pero de forma literal
y posteriormente se reemplaan los alores. Esto permite isualiar de manera
clara, cuales elementos son comunes a otras masas y cuáles no.
[ M 1 s2+(11+13)s+( & 1+ & 2)] 0 1 (s )− & 2 0 2 (s )−13 s 0 3 ( s)=0
− & 2 0 1 (s )+[ M 2 s2+( 12+14 ) s+ & 2 ] 0 2 ( s )−14 s 0 3 ( s )=0
−13 s 0 1 ( s )−14 s 0 2 ( s)+[ M 3 s2+( 13+14 ) s ] 0 3 (s )=0
Multiplicando y diidiendo la parte iquierda de las ecuaciones se tiene&
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[ M 1 s+(11+13)+( & 1
s +
& 2
s )]2 1 ( s)− & 2
s 2 2 (s )−13 2 3 ( s)=0
− & 2
s
2 1 (s )+
[ M 2 s+( 12+14 )+
& 2
s
]2 2 ( s)−142 3 ( s)= F (s)
−13 2 1 ( s)−14 2 2 ( s)+[ M 3 s+( 13+14 ) ] 2 3 (s )=0
Las ecuaciones con alores serian&
[5 s+12+(3s+ 1
s )]2 1 ( s)−1
s 2 2 ( s)−82 3 ( s)=0
−1
s 2 1 (s )+[3 s+3+
1
s
]2 2 (s )−22 3 ( s)= F (s )
−82 1 (s )−22 2 (s )+ [2 s+10 ] 2 3 ( s)=0
"ibu#ando el circuito se tiene&
B4
F(s)
K2/s
M2s B2
V2 (s)
M1s B1
B3
K1/sV1 (s)
M3s
V3 (s)
7eemplaando alores&
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F(s)
1/s
3s
V2 (s)
5s
3/sV1 (s)
2s
V3 (s)
1 4
8
2
)"2"2 Analo,'a Paralelo
'onsiderar el sistema mecánico traslacional de la figura 0a1 y el sistema el!ctrico
de la figura 0b1, cuyas ecuaciones de moimiento 0<1 y L'* 021 son&
( M s2+1s+ & ) 0 ( s )= F (s )(3)
(s+1
"+ 1
Ls )2 ( s )= $ (s )(4)
"iidiendo y multiplicando por s en el lado iquierdo de 0$1 se tiene&
( M s2+1s+ &
s )s0 ( s)= F (s )⟹( Ms+1+ &
s )2 (s )= F ( s) (5 )
'omparando las ecuaciones 021 y 0>1 se puede obserar que a-ora existe una
similitud entre las mismas, donde M = 1=1
" L= 1
& F ( s )= $ (s) . Esto se
obsera en la figura 0c1.
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Ejemplo 1: "ibu#ar el circuito equialente en serie, para el siguiente sistema
mecánico&
Escribiendo las ecuaciones de moimiento son&
[ M 1 s2+(11+13)s+( & 1+ & 2)] 0 1 (s )−[ 13 s+ & 2 ] 0 2 ( s)= F (s )
−[ 13 s+ & 2 ] 0 1 ( s)+[ M 2 s2+(12+13)s+( & 2+ & 3)] 0 2 (s )=0
Multiplicando y diidiendo ambas ecuaciones por s en el lado iquierdo&
[ M 1
s+(11+1
3)+( & 1
s +
& 2
s )]s 0 1 ( s )−[1
3+
& 2
2 ]s 0 2 ( s)= F (s )
−[13+
& 2
s ]s 0 1(s )+[ M
2s+(1
2+1
3)+( & 2
s +
& 3
s )]s 0 2( s )=0
En las ecuaciones resultantes, los t!rminoss 0
1( s )=2
1( s) y s 0
2( s)=2
2(s)
, por lo
tanto quedaran as&
[ M 1 s+(11+13)+( & 1
s +
& 2
s )]2 1 ( s)−[13+ & 2
2 ]2 2(s)= F (s )
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−[13+ & 2
s ]2 1 (s )+[ M 2 s+(12+13)+( & 2
s +
& 3
s )]2 2(s)=0
"e estas ecuaciones, resulta el siguiente circuito análogo en paralelo&
)"( Ss&emas con En,ranajesLos engrana#es son de gran importancia en los sistemas mecánicos rotacionales.
'uando se monta una bicicleta de $; elocidades, se nota la aplicación de ellos.
6i se a subiendo una cuesta, se requiere de más torque y se produce una menor
elocidad. En una recta, se obtiene más elocidad y se requiere de menos torque.
Por lo tanto, los engrana#es permiten que coincida el sistema de tracción y la carga
con la elocidad y el torque.
En muc-as aplicaciones, los engrana#es presentan una reacción, debido al
moimiento que se puede presentar entre dos engrana#es dentados. Los
engrana#es dan un peque?o giro alrededor de un ángulo antes de -acer contactocon los demás. Esto implica que la rotación de los engrana#es de salida no ocurre
-asta que -alla una peque?a rotación angular de los engrana#es de entrada.
La interacción lineal entre dos engrana#es se presenta en la figura $. Un engrana#e
de entrada con radior1 y
* 1 dientes rota a tra!s de un ánguloθ1(t )
debido a un torqueT 1(t )
. Un engrana#e de salida con radior2 y
* 2
dientes responde a la rotación a tra!s de un ánguloθ2(t )
y le suministra un
torque T 2(t ) . )eremos cómo encontrar la relación entre la rotación del
engrana#e $,θ1(t )
y el engrana#e +,θ2(t )
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5igura $. 6istema de engrana#es
"e la figura $, como los engrana#es giran, la distancia recorrida a lo largo de la
circunferencia de cada engrana#e es la misma. Por lo tanto&
r1
θ1( t )=r
2θ2(t )⟹
r1
r2
=θ
2 (t )
θ1(t )
= *
1
* 2(1)
@a que la relación del n3mero de dientes a lo largo de la circunferencia está en la
misma proporción que la relación de radios. 6e puede concluir que la relai!" #el
#es$la%a&ie"to a"'lar #e e"'ra"aes* es i"+ersa&e"te $ro$orio"al a la
relai!" #el ",&ero #e #ie"tes.
A'uál es la relación entre el par de entrada y el par entregadoB
6i se asume que los engrana#es no absorben ni almacenan energa, la energa de
entrada al engrana#e $ es igual a la energa de salida del engrana#e + 0equiale a
decir que los engrana#es tienen inercia y amortiguamiento despreciable1. @a que la
energa de traslación de la fuera por el desplaamiento se conierte en energa
rotacional por el desplaamiento angular,
T 1 θ1=T 2θ2 (t )⟹θ1
θ2
=T 2
T 1=
* 2
* 1(2)
Por lo tanto, los torques son directamente proporcionales a la relación del n3mero
de dientes. Esto se resume en la figura +.
5igura +. 5. T para& a1 "esplaamiento angular sin p!rdidas, b1 torque sin p!rdidas en engrana#es
( continuación se muestra lo que ocurre con impedancias mecánicas que son
impulsadas por engrana#es.
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5igura <. a1 6istema rotacional impulsado por engrana#es, b1 sistema equialente a la salida despu!s de la reflexión del
torque de entrada, c1 sistema equialente en la entrada despu!s de refle#ar las impedancias.
6e representara la figura 0a1 como un sistema equialente aθ1 sin los
engrana#es. En otras palabras, Apueden las impedancias mecánicas ser refle#adas
desde la salida -acia la entrada, eliminando los engrana#esB
"e la figura + 0b1,T 1 puede ser refle#ado a la salida, multiplicándolo por
* 2 / * 1
. Este resultado se muestra en la figura < 0b1, de la cual se escribe laecuación de moimiento como&
( 4 s2+ 5s+ & ) θ2 ( s)=T 1 (s )
* 2
* 1(3)
(-ora se debe conertirθ2(s)
en un equialenteθ1(s)
, por lo que se erá
como si estuiera escrita a la entrada. Usando la figura + 0a1, para obtener θ2(s)
en t!rminos deθ1(s)
, se obtiene&
( 4 s2+ 5s+ & ) θ
1( s)
* 1
* 2
=T 1( s )
* 2
* 1
⟹T 1 (s )=( 4 s
2+ 5s+ & ) θ1( s )( * 1
* 2)2
⟹
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[4 ( * 1 * 2 )
2
s2+ 5( * 1
* 2 )2
s+ & ( * 1 * 2 )
2
]θ1 (s )=T 1 ( s)(4)
Ceneraliando& las impedancias de un sistema mecánico rotacional pueden ser
reflejadas mediante un tren de engranajes, multiplicando las impedanciasmecánicas por la relación&
( n6mero de d#entesde) en3ranaje ene) eje dest#no
n6mero ded#entes de en3ranaje ene) ejefuente )2
Ejemplo 1: encontrar la 5.T.
θ2 (s )
T 1(s ) para el siguiente sistema&
Primero amos a refle#ar las
impedancias 0 4 1 y 51 1 y par 0
T 1 1 en el e#e de entrada al de salida
como se muestra en la figura 0b1&
4 1( * 1
* 2 )2
s2+4 2=4 e 7 51( * 1
* 2 )2
s+ 52= 5 e
& 2= & e 7 T 2 (s )= * 2
* 1T 1 (s )
La ecuación de moimiento pude escribirse como&
(4 e s2+ 5e s+ & e )θ2 (s )=T 1(s)
* 2
* 1
7esoliendo paraθ2 (s )
se tiene&
θ2 (s )
T 1(s )=
* 2/ * 1
(4 e s2+ 5e s+ & e) 'on el propósito de
eliminar los engrana#es con radios grandes, un tren de engrana#es se utilia para
implementar grandes relaciones de engrana#es por relación de engrana#es más
peque?as en cascada. (l lado de cada rotación, el desplaamiento angular con
respecto aθ1 se -a calculado.
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Ejemplo 2: encontrar la 5.T.θ2 (s )/T (s)
para el siguiente sistema&
'omo las impedancias de un sistema mecánico rotacional pueden ser refle#adas
mediante un tren de engrana#es, multiplicando las impedancias mecánicas por la
relación ( * 1/ * 2 )2
&
θ2
=
(25
50
)
2
=1
4
Transformando el sistema a una red sin engrana#es, mediante el refle#o de la masa
y el amortiguador a la iquierda del resorte de 4 * −m/rad y multiplicando por
0+>D>;1+, se obtiene,
)"("1 Analo,'a El%c&rca4Mec3nca
"ado el circuito de la figura 2 con un transformador ideal, las ecuaciones serán&
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R1
R2
L1
L2
+(t)
-1.-2
+1
+2
i1 i2
5igura 2. Transformador con circuitos acoplados el!ctricamente
L1
d #1
dt + "
1#1+
1= ( t )
L2
d #2
dt + "
2#2−
2=0
(5 )
"onde las corrientes y olta#es del transformador están relacionadas mediante lasraones del n3mero de ueltas&
* 1 * 2
=1
2
⟹2= * 2 * 1
1
* 1 * 2
=#2#1⟹ #2=
* 1 * 2
#1
(6)
'omo se quiere refle#ar la carga del secundario al lado primario del transformador,
se debe encontrar el alor de1
, entonces se reemplaan los alores de la
ecuación 081 en la segunda expresión de la ecuación 0>1&
L2
d #2
dt + "2 #2−2=0⟹ L2
d
dt ( * 1
* 2
#1)+ "2( * 1
* 2
#1)− * 2
* 1
1=0⟹
* 1
* 2 L
2
d #1
dt +
* 1
* 2 "
2#1−
* 2
* 11=0⟹
* 1
* 2 L
2
d #1
dt +
* 1
* 2 "
2#1=
* 2
* 11⟹
1=( *
1
* 2 L2
d #1
dt + *
1
* 2 "2#1
) *
1
* 2⟹ 1=(
* 1
* 2 )2
L2
d #1
dt +( *
1
* 2 )2
"2 #1(7)
7eemplaando la ecuación 01 en la primera expresión de la ecuación 0>1&
L1
d #1
dt + "1 #1+1= (t )⟹ L1
d #1
dt + "1 #1+( * 1
* 2 )2
L2
d #1
dt +( * 1
* 2 )2
"2 #1= (t ) (8 )
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R1 L1
V (t) i1
Esto significa que la carga del secundario se refle#a en el primario mediante el
cuadrado de la relación del n3mero de espiras del primario y el secundario. Esto
se puede mostrar en la figura >.
5igura >. 'ircuito equialente con la carga del secundario refle#ada en el primario
(-ora se a a comparar estas expresiones con las de un sistema mecánico con
engrana#es. 'onsid!rese el sistema mecánico como el de la figura 8&
5igura 8. 6istema mecánico acoplado mediante engrana#es.
Las la figura 8 comprende un tren de engrana#es y tienen las ecuaciones de
rotación siguientes&
4 1d
2θ1
d t 2 +11
d θ1
dt +τ 1=τ ⟹4 1 s
2θ1 ( s)+11θ1 ( s)+τ 1 (s )=τ (s)
4 2d2
θ2
d t 2 +12
d θ2
dt +τ 2=0⟹4 2 s
2θ2 ( s)+12θ2 ( s)+τ 2 ( s)=0
(9 )
El diagrama de cuerpo libre se presenta en la figura .
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5igura . "iagrama de cuerpo libre del 6istema mecánico acoplado mediante engrana#es
Las relaciones de engrana#es se obtienen a partir de la ecuación 0+1&
τ 2=n2
n1
τ 1
θ2=−n1
n2
θ1
(10 )
6ustituyendo las relaciones de la ecuación 0$;1 en la segunda expresión de 0:1&
4 2
d2
d t 2 (−n
1
n2
θ1)+1
2
d
dt (−n
1
n2
θ1)+ n
2
n1
τ 1=0⟹
(−n1
n2 )4
2
d2
θ1
d t 2 +(−n
1
n2 )1
2
d θ1
dt +
n2
n1
τ 1=0⟹
n2
n1
τ 1=(n
1
n2)[ 4
2
d2
θ1
d t 2 +1
2
d θ1
dt ]⟹
τ 1=(n1
n2 )2
[4 2d2θ1
d t 2 +12
d θ1
dt ] (l eliminar
τ 1 en la primera expresión de la Ec. : se tiene&
4 1d
2θ1
d t 2 +11
d θ1
dt +(n1
n2)2
[4 2d
2θ1
d t 2 +12
d θ1
dt ]=τ ⟹
4 1d
2θ1
d t 2 +11
d θ1
dt +(n1
n2 )
2
4 2d
2θ1
d t 2 +(
n1
n2 )
2
12
d θ1
dt =τ (11)
La ec. $$ se muestra como la carga del engrana#e se -a refle#ado al lado iquierdo
del tren de engrana#es. En la figura 9 se muestra el sistema mecánico equialente.
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5igura 9. 6istema equialente mecánico con la carga refle#ada mediante engrana#esD
Estos sistemas mecánicos son análogos entre s, con las siguientes cantidades
equialentes&
#1=
d θ1
dt 7 #
2=
d θ2
dt 7 =τ 7 L
1=4
17 L
2=4
27 "
1=1
17 "
2=1
27
* 1
* 2=
n1
n2
)") Modelos de ss&emas 5dr3#lcos
Para los sistemas -idráulicos a considerar, se tomaran sólo los modelos de
sistemas de niel, ya que para estos casos, se pueden realiar simpliFcaciones y
además se pude utiliar la presión -idrostática sin mayor dificultad.
6upongamos que se tiene un tanque al cual se le introduce un fluido mediante la
acción de flu#o de entrada8# , as mismo, el tanque posee un olumen que
podemos denotar mediante sus componentes de altura 9 y sección transersal
:
, por 3ltimo el tanque tiene una salida de fluido caracteriada por el fluido de
salida80 y el cual es cerrado mediante una llae o álula que presentan un a
resistencia -idráulica " .
"ebido a la conseración de masa se tiene&
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d
dt ( ;:9)= ; 8#− ; 80
Pero se asume que existe una relación lineal entre el flu#o y la resistencia
; 80=
< -
" =
-1− -2
" = ( -a+ ;39 )− -a
" =
;39
"
6i se supone que ; : es constante
;: d9
dt = ; 8#− ;
;39
" ⟹ :
d9
dt =8#−
39
"⟹ :
d9
dt +
39
" =8 #
4bteni!ndose un sistema de primer orden cuya constante de tiempo es
τ = ":
3
)"* Ss&emas T%rmcos
La transferencia de calor es una rama de la ciencia termodinámica, se puede decir
que sólo -ay dos formas de transferir calor& mediante la o"#i!" y la
ra#iai!".
La conducción es la transferencia de calor por moimiento molecular, en fluidos y
sólidos el calor es conducido mediante colisiones elásticas de mol!culas yprocesos de difusión de energa.
La conección implica el moimiento de un fluido, de otra manera la radiación
t!rmica pertenece a un tipo de radiación electromagn!tica.
Los fenómenos de conducción o radiación ocurren en un sistema
simultáneamente, sin embargo, en cada caso siempre existe uno de ellos como
preferencial en el proceso. Estudiaremos los tipos de transferencia de calor y su
modelación básica.