MATEMÁTICAS
3° DE SECUNDARIA “RUMBO A ENLACE INTERMEDIA 2012” Secretario de Educación de Nuevo León José Antonio González Treviño Subsecretario de Desarrollo Magisterial Rafael Alberto González Porras Coordinadora de la Dirección General de Evaluación Educativa Olga Gamero Vallejo Directora de los Centros de Capacitación y Actualización del Magisterio Maricela Balderas Arredondo Coordinador Académico de los Centros de Capacitación y Actualización del Magisterio Fausto Humberto Alonso Lujano Responsables de la Elaboración Martha Beatriz González Estrada Rosalva Chapa García Julio César Hernández Castillo Comité Académico Edith Arévalo Vázquez Valdemar González Garza Edición y Corrección de Estilo Fausto Humberto Alonso Lujano Martha Beatriz González Estrada Primera Edición, 2012 © Derechos reservados: Secretaría de Educación del Estado de Nuevo León Dirección Nueva Jersey No. 4038 Monterrey, N. L. México Tel. (52) 20205000 www.nl.gob.mx/?P=educacion Distribución Gratuita – Prohibida su venta ISBN: EN TRÁMITE Impreso en México. Printed in México Esta obra se terminó de editar en Octubre de 2012 en la Dirección de los Centros de Capacitación y Actualización del Magisterio
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin autorización previa y por escrito de la Unidad de Integración Educativa de Nuevo León / Secretaría de
Educación del Estado de Nuevo León.
Presentación
Los resultados de la prueba de ENLACE Intermedia 2011, en los cuales se destacan los aprendizajes de los alumnos del nivel básico en algunas asignaturas del Plan de Estudios; constituyen un aspecto fundamental para definir estrategias de mejora en los diversos ámbitos que inciden en la calidad de la educación, específicamente: la capacitación de los profesores, la interpretación de los programas de estudio, la aplicación de los enfoques pedagógicos, los métodos de enseñanza y los recursos didácticos.
Hoy en día la evaluación es un indicador que refleja la situación del trayecto formativo de las niñas y los niños de educación básica; por ello, la Secretaría de Educación del Estado de Nuevo León, a través de la Subsecretaría de Desarrollo Magisterial y de los Centros de Capacitación y Actualización del Magisterio, comparte a docentes involucrados y correlacionados con la evaluación ENLACE Intermedia 2012 una propuesta estratégica con el afán de coadyuvar en la mejora de resultados; se pretende reflexionar sobre algunas posibles causas de dichos resultados; para propiciar procesos de acompañamiento a los estudiantes, al compartir estrategias didácticas colaborativas.
Como una forma de apoyar a los maestros de educación primaria y secundaria, se presenta una serie de Cuadernos titulados “Rumbo a Enlace Intermedia 2012” los cuales se han focalizado por nivel, grado y asignatura. En ellos podrá encontrar información importante que permitirá a las maestras y maestros de estos niveles, apoyar a los estudiantes que atienden en este ciclo escolar con la intención de obtener mejores resultados en la prueba Enlace que se ha proyectado para mediados de diciembre de 2012.
Estos materiales se han elaborado considerando las áreas de oportunidad que se han identificado para los temas y contenidos de los Bloques I y II; son congruentes con las orientaciones teóricas y metodológicas del Plan y Programas de Estudio para esos niveles; además, consideran los conocimientos que los maestros deben dominar para poder favorecer los aprendizajes esperados de sus estudiantes y responder a las demandas sociales de la época actual.
Cada una de las secciones se encuentra debidamente referenciada en la literatura básica que se ha revisado; la cual forma parte del acervo de los Centros de Capacitación y Actualización para el Magisterio del estado de Nuevo León.
Esta estrategia se enriquecerá en la medida en que sea consensuada, se confía en la decidida participación de directivos, docentes y asesores técnicos. Es claro que estos Cuadernos contienen sólo algunas pautas que, seguramente podrán ser enriquecidas con la coparticipación de los docentes en conjunto, al compartir sugerencias y propuestas de experiencias exitosas que habrán de incorporarse en su quehacer docente áulico, así como en futuras propuestas estratégicas.
Este Cuaderno presenta las secciones que se describen a continuación:
Estructura
Índice
Página
RESULTADOS DE ENLACE INTERMEDIA 2011 6
ANÁLISIS DE REACTIVOS 8
Tema. Patrones y Ecuaciones 8
Tema. Medida 16
Tema. Figuras y Cuerpos 18
Tema. Noción de probabilidad 22
Tema. Análisis y representación de datos 23
DOMINIO DE CONTENIDOS 24
Tema. Ecuaciones Cuadráticas 24
Tema. Figuras congruentes o semejantes 31
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS 37
Tema. Figuras congruentes o semejantes 38
Tema. Ecuaciones Cuadráticas 40
Tema. Teorema de Pitágoras 45
Recomendaciones al contestar el Examen de Enlace 50
PRÁCTICA CON REACTIVOS
CONSULTA DE RESULTADOS
51
65
Porcentaje de respuesta correcta por Tema obtenido por los estudiantes de
Nuevo León en 3° Grado de Secundaria en la Prueba Enlace Intermedia 2011
EJE TEMA REACTIVOS % DE RESPUESTA
CORRECTA
Sentido numérico y pensamiento
algebraico Patrones y ecuaciones
20
41.50%
Forma, espacio y medida
Medida
1
28.03%
Figuras y cuerpos 9 40.48%
Manejo de la información
Noción de probabilidad 2
38.38%
Análisis y representación de
datos
1
23.35%
Proporcionalidad y funciones
2 79.16%
RESULTADOS DE ENLACE INTERMEDIA 2011
Nuevo León
3° Grado de Secundaria
Porcentaje de respuesta correcta por Reactivo obtenido por los estudiantes de
Nuevo León en 3° Grado de Secundaria en la Prueba Enlace Intermedia 2011
EJE TEMA REACTIVOS
Sentido numérico y pensamiento
algebraico Patrones y ecuaciones
1 4 5 6 7
8 9 10 13 14
15 18 21 22 23
24 25 28 29 30
Forma, espacio y medida
Medida 32
Figuras y cuerpos
2 3 11 12 16
17 19 20 35
Manejo de la información
Noción de probabilidad 33 34
Análisis y representación de datos
31
Proporcionalidad y funciones
26 27
Porcentaje de respuesta correcta
Más o igual a 70%
Más de 30% y menos de 70%
Menos o igual a 30%
RESULTADOS DE ENLACE INTERMEDIA 2011
Reactivos que obtuvieron menos del 30% de respuestas correctas
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de
Solución Bloque I
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema
Patrones y ecuaciones
Contenido/Habilidad
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
26.0 38.8 18.9 13.5 2.7
Respuesta correcta A
El 38.8 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la B
Explicaciones del error
Los alumnos que dieron como respuesta la
B, no interpretaron correctamente el
problema. Ya que para expresar la medida
del lado del cuadrado sombreado, el
estudiante debió representarlo a través de
(x-4). Sin embargo, el proceso que siguió
fue de obtener el resultado de multiplicar (x
Analizar en grupo o
equipo las situaciones
problemáticas diversas
que se pueden presentar
en problemas de este tipo,
utilizando todos los
escenarios posibles.
Se deben de trabajar con
los alumnos situaciones
problemáticas donde
utilice ecuaciones
cuadráticas, donde el
alumno tenga que obtener
la medida del lado de la
figura realizando diversas
operaciones.
Favorecer que el alumno
No. Reactivo
13 En un terreno residencial cuadrado se pretende hacer una construcción tal como aparece en
el siguiente plano. Dicho proyecto requiere una superficie lateral y al fondo libre de
construcción. Determina cuál es la expresión algebraica que corresponde a la superficie de la
parte a construir.
A) x2 - 8x + 16
B) x2 + 8x + 16
C) x2 + 8x - 16
D) x2 + 8x
ANÁLISIS DE REACTIVOS
T e m a P a t r o n e s y e c u a c i o n e s
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de
Solución + 4)(x + 4).
Los que resolvieron y obtuvieron la
respuesta C, pudieron haber resuelto
usando la regla para multiplicar dos
binomios al cuadrado y en esta opción hay
dos posibilidades en el error:
1) No hay dominio del uso de los
signos.
2) No comprendieron el problema.
Los que resolvieron con la respuesta D, o
no comprendieron el problema o
consideraron que al quitarle el (-16), ya
estaban restando el área de 4 x4.
La respuesta implica que el estudiante
utilice las leyes de los signos para la
multiplicación. El error se centra en el
segundo término del inciso B en el que
eligieron 8x, como resultado de multiplicar
(2)(x)(-4), donde debieron obtener -8x.
O bien sumaron 4+4 sin aplicar la regla
para la resolución de binomio al cuadrado,
en el que debe ser “el doble del primer
término por el segundo término”, es decir
(2)(x)(-4).
Sólo multiplicaron (2)(4)=8.
Se ha mecanizado la regla para la solución
de binomio al cuadrado, sin utilizarse en
problemas de aplicación.
proyecte en un dibujo los
datos del problema
descrito textualmente y la
incógnita, ya que de esta
forma el alumno visualiza
y analiza mejor la
situación.
Proporcionar al alumno
una serie de
problemáticas para que
resuelva en equipo, y/o de
tarea.
Tratamiento y ejercitación
de la multiplicación de
números con signo, con
ejemplos sencillos o
directamente en
multiplicaciones, para
posteriormente aplicarlos
en la solución de
ecuaciones cuadráticas. .
Mayor tratamiento de la
resolución de binomios al
cuadrado.
Comprenda que necesita
comprobar sus conjeturas,
hacer las operaciones
necesarias y no contestar
solo porque el cree que
esa es la respuesta.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque II
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema
Patrones y ecuaciones
Contenido/Habilidad
Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
22.3 25.5 13.3 36.0 2.8
Respuesta correcta A
El 36.0 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la D
Explicaciones del error
Los alumnos que dieron como respuesta el
inciso D, multiplicaron la base por la altura
del triángulo, pero no dividieron entre dos;
es decir, no aplicaron la fórmula del
triángulo completa, pero si dominan la
igualación de la ecuación a cero.
Los alumnos que dieron como respuesta el
inciso B, no igualaron la ecuación a cero
correctamente.
Los alumnos que respondieron la opción C,
utilizaron la fórmula del triángulo para
obtener el área, pero dividieron también el
área (120 m²) entre 2, lo cual es incorrecto.
Los alumnos que respondieron la opción C,
El problema pudo haberse
resuelto de dos formas:
1) Usando las medidas
del triángulo A =
bxh/2
2) Formando un
rectángulo de base x
y altura (x + 4).
También se utiliza la
igualación de la ecuación a
cero.
Es importante que el docente
analice en grupo o equipos
este tipo de problemáticas
con varias opciones de
solución.
Es necesario que se den
ejercicios constantes donde
el alumno encuentre la
ecuación a un problema
dado, o viceversa, que
partiendo de la ecuación,
pueda plantear una situación
problemática. En el caso de
No. Reactivo
15 En el siguiente triángulo sus dimensiones están representadas algebraicamente. Si su área
equivale a 120 m2, selecciona la opción que modela algebraicamente su área.
A) x2 + 4x - 120 = 0
B) x2 + 4x + 120 = 0
C) x2 + 4x - 60 = 0
D) 2x2 + 8x -120 = 0
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
utilizaron la fórmula del triángulo para
obtener el área pero dividieron el área entre
2, igual que la ecuación.
áreas de figuras utilizar la
fórmula para obtener área
respectiva utilizando las
medidas necesarias.
Realizar ejercicios sobre la
igualación a cero en una
ecuación.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque I
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema
Patrones y ecuaciones
Contenido/Habilidad
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
29.1 26.0 15.9 26.1 2.7
Respuesta correcta A
El 29.1 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la A; aunque es
una respuesta correcta la diferencia entre
esta respuesta y las opciones B y D es
muy baja; además corresponde en el
semáforo a un 30% menos de aciertos; por
ello se le ubica en rojo y se analiza a
continuación.
Explicaciones del error
Para los alumnos que dieron la respuesta B
y D, la factorización de la ecuación es el
producto de los binomios conjugados. ¿Por
qué piensan esto? Porque relacionan
erróneamente el signo negativo del
segundo término de la ecuación, con la
situación de que uno de los binomios debe
Realizar más ejercicios de
este tipo.
Ejercitar la factorización,
estableciendo la relación
que hay entre una ecuación
cuadrática y sus posibles
factores.
1) Diferencia de
cuadrados
Binomios
conjugados
(x+ a) (x-a) ó (x-a) (x+ a)
2) Trinomio cuadrado
perfecto
Binomios al cuadrado
(x + a)(x+ a) ó (x-a) (x-a)
3) Trinomios
Binomios con un
término común
No. Reactivo
18 ¿Cuál será la factorización de la expresión C² - 26C + 169?
A) (C-13) (C-13) B) (C+13) (C–13) C) (C+13) (C+13) D) (C-13) (C+13)
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
llevar el signo negativo.
Los alumnos que contestaron C, no
tomaron en cuenta que la ecuación tiene el
segundo término negativo.
La elección de los incisos B y D permiten
identificar que los estudiantes cometen
errores en la aplicación de las leyes de los
signos para la multiplicación, ya que
eligieron para el inciso B (13)(-13) y para D
(-13)(13), la respuesta en ambos caso es
(-169).
Deficiencia en el proceso de factorización.
(x+a) (x + b),
(x-a ) ( x+b),
(x+a) (x-b) ó
(x – a) (x – b).
Es importante que el
alumno logre más dominio
sobre el uso de los signos
en las operaciones.
Practicar más la
factorización de trinomios
donde el término en c es
producto de dos números,
que sumados ten dan el
término en b, usando
correctamente las leyes de
los signos.
Es importante que el
alumno logre más dominio
del uso de los signos en la
multiplicación y
factorización.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque I
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
17.0 25.4 41.4 13.4 2.7
Tratamiento del lenguaje
algebraico en situaciones
concretas y cotidianas, para
el manejo de ecuaciones
cuadráticas.
No. Reactivo
21 Elige la ecuación que resuelva el siguiente problema:
¿Cuál es el número que multiplicado por si mismo excede a 36 en 9?
A) x2 - 9 = 36 B) x2 -36 = 9 C) x2 + 9 = 36 D) 2x +9 = 36
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Tema
Patrones y ecuaciones
Contenido/Habilidad
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Respuesta correcta A
El 41.4 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la C.
Explicaciones del error
Dificultad en la comprensión del enunciado.
Dificultad en el uso del lenguaje algebraico
para su transformación a ecuaciones
cuadráticas.
Los alumnos que respondieron C, no
comprendieron el enunciado del problema o
presentan conflictos en la transposición de
términos en la ecuación.
Los que respondieron B, aunque es una
ecuación equivalente a la correcta, el
enunciado del problema lleva a x² = 36 + 9,
por lo que el nueve se pasó a la izquierda.
El alumno también pudo escoger esta
respuesta como correcta x² -36 = 9, que al
final da el mismo resultado.
En la respuesta D, el alumno en vez de
buscar un número multiplicado por sí
mismo, lo multiplica por 2. Confunde estas
dos acciones.
Propiciar que el alumno
formule ecuaciones a partir
de situaciones
problemáticas, identificando
los datos que faltan y
resuelva el problema.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque II
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
17.0 17.5 37.1 25.5 2.9
En este tipo de problemas,
es importante abordar con
los alumnos las ecuaciones
No. Reactivo
23 ¿Cuáles son las soluciones de 13 x2 = 39x?
A) x = 0, x = -13 B) x = 0, x = -3 C) x = 0, x = 13 D) x = 0, x = 3
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Tema
Patrones y ecuaciones
Contenido/Habilidad
Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
Respuesta correcta D
El 37.1 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la C.
Explicaciones del error
Los alumnos que contestaron la respuesta
C, sólo hacen conjeturas erróneas al
establecer que como C es cero, entonces
una de las soluciones es cero y la otra
solución es 13 debido que es el coeficiente
de x² y es divisor de 39x. No obtienen las
soluciones por un método convencional.
Los alumnos que contestaron la respuesta
B, obtienen los factores de la ecuación,
pero al obtener los valores de x, en (x-3),
dejan el valor en -3. Y la respuesta correcta
es 3, por lo que el alumno no llega a la
respuesta final.
Los alumnos que respondieron la respuesta
A, resuelven de forma semejante a los
alumnos que contestaron la respuesta C,
solo que como el 39x tiene signo negativo,
le agregan a la respuesta el mismo signo.
Desconocimiento de la forma de solucionar
ecuaciones cuadráticas de este tipo.
Mal manejo de los
procedimientos/operaciones involucrados
en la solución de la ecuación, iniciando por
la igualación a 0.
13 x2 - 39x = 0
x(13x – 39) = 0
x= 0 13x - 39= 0
13 x= 39
X= 39/13 x=3
que sean equivalentes.
Observarlas, analizarlas y
ver si tienen un factor
común entre el cual pueden
ser divididas para obtener
una ecuación más pequeña
y llegar a una rápida
solución.
Otro método que puede
trabajarse es con la fórmula
general, que aunque está
establecida en el Bloque III,
es necesario que se vea a
final del bloque dos. Ya que
con este método puede
resolver todas las
ecuaciones cuadráticas.
Es importante ejercitar a los
alumnos la factorización y
cuando se tengan los
factores, ejercitar la forma
de llegar a la respuesta
correcta.
Mayor tratamiento de la
solución de ecuaciones
cuadráticas de este tipo.
En este tipo de ejercicios,
es importante tratar con los
alumnos las ecuaciones
que sean equivalentes.
Observarlas, analizarlas e
identificar si tienen un factor
común para obtener una
ecuación más simplificada
que conduzca a una rápida
solución.
Ejercitación de la
factorización, la igualación
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Realizar las operaciones necesarias para
obtener los resultados.
Comprobar los resultados.
a cero y el uso de signos.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema
Patrones y ecuaciones
Contenido/Habilidad
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
47.9 17.6 10.3 21.3 2.8
Respuesta correcta B
El 47.9 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la A.
Explicaciones del error
Los alumnos que respondieron con la
respuesta A no interpretaron correctamente
el reactivo. Solo se limitaron a obtener el
área del cuadrado completo, pero no le
restaron al resultado el área del cuadrado
Es importante analizar la
figura en primera instancia.
Identificar las posibles
formas o estrategias de
solución.
En este caso, establecer
una expresión para el
problema de tal manera que
sea el referente inicial para
la solución al mismo.
Se puede establecer:
(X + 11)² - x²
No. Reactivo
25 Encuentra la expresión algebraica que representa el área sombreada de la figura mostrada.
A) 121222 xx
B) 12122 x
C) 2x
D) 121222 2 xx
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
que mide x².
Y los que contestaron la respuesta D, se
equivocaron al realizar la multiplicación de
los lados del cuadrado grande. Igualmente
no restaron el área del cuadrado chico.
Otros pudieron haber colocado el 2 como
coeficiente de x², debido a que relacionaron
con la medida x del lado del cuadrado
interior.
Los que dieron como respuesta la C, solo
obtuvieron el área no sombreada.
Inadecuada interpretación del problema.
Como la figura es un cuadrado, solamente
efectuaron la multiplicación de (x+11)
(x+11) obteniendo 121222 xx , que
representa el área total; sin embargo se le
debe restar el área del cuadrado interno
porque no está sombreado. Para ello
debieron multiplicar (x) (x), cuyo resultado
es2x . Debiendo obtener como resultado
121222 xx -2x = 22x + 121.
Área del cuadrado mayor
menos el área del cuadrado
menor.
Tratamiento de problemas
de aplicación con
expresiones algebraicas.
Ejercitación de problemas
de aplicación con
expresiones algebraicas.
Resolver problemas de
áreas donde se involucren
ecuaciones cuadráticas y
donde tengan que sumarse
o restarse otras áreas.
Ilustrar los problemas con
las figuras
correspondientes.
No. Reactivo
32 Un herrero necesita construir una escalera que permita acceder a la azotea de una casa que mide 4 metros de alto; ¿qué longitud deberá tener dicha escalera si la distancia entre la casa y la base de la escalera es de 3 metros?
A) 5 B) 7 C) 13 D) 25
T e m a M e d i d a
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque II
Eje
Forma, espacio y medida
Tema
Medida.
Contenido/Habilidad
Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
28.0 13.0 41.5 14.7 2.7
Respuesta correcta A
El 41.5 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la C.
Explicaciones del error
Los alumnos que respondieron a la
respuesta C, no comprendieron el
problema, ni analizaron que la estrategia
posible de solución, es el Teorema de
Pitágoras. Tal vez pensaron en un
rectángulo y obtuvieron el área del triángulo
que es 6.5 m² (el área es 6, ya que es base
X altura entre 2, es decir 3 x 4= 12 entre 2 =
6) y lo sumaron al otro triángulo que forma
el rectángulo. De ahí que respondieron que
el área es 13 m, ni siquiera se establece lo
que es área y longitud.
Los alumnos que respondieron con la
respuesta D, si establecieron correctamente
el procedimiento a seguir (teorema de
Pitágoras), sin embargo no obtuvieron la
raíz de 25, estableciendo por consiguiente,
esta cantidad como respuesta.
Los alumnos que contestaron con la
respuesta B solo sumaron las medidas de
los datos expresados en el problema (3 +7).
Se desconoce el uso del Teorema de
Pitágoras en problemas de aplicación, ya
que las cantidades involucradas son fáciles
de operar en 2a +
2b = 2c
24 + 23 = 16 + 9 = 25 a quien se le saca raíz
cuadrada, obteniendo como resultado 5.
Solo un 28 % de los
alumnos dominan la
aplicación del Teorema de
Pitágoras en su totalidad.
Un 14.7% establece el
método de solución
correcto, pero no llega a la
respuesta final.
Aquí se analiza que un
57.3% no domina la
aplicación del Teorema de
Pitágoras para calcular
medidas en situaciones de
uso común en el entorno.
Habrá que plantearse y
resolver diversas
situaciones problemáticas
para que apliquen el
Teorema de Pitágoras
donde se obtengan los
catetos o la hipotenusa Uso
del Teorema de Pitágoras
en problemáticas de la vida
cotidiana.
Es necesario fomentar en el
alumno que realice figuras
o gráficos que ilustren el
problema en donde ubique
y registre los datos que le
proporciona el problema y
la respuesta obtenida en la
resolución del mismo.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque : I
Eje
Forma, espacio y medida
Tema
Figuras y cuerpos.
Contenido/Habilidad
Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
22.5 27.3 24.1 23.4 2.7
Respuesta correcta D
El 27.3 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la B.
Explicaciones del error
Los alumnos que respondieron la pregunta
B, no tienen la noción de los criterios de
semejanza ya que AB/BH ≠AC/AH ≠
CH/BH, ya que son segmentos no
correspondientes.
Los alumnos que respondieron C conocen
los criterios de semejanza de triángulos, sin
embargo la semejanza es por el criterio de
las alturas correspondientes de dos
triángulos semejantes son proporcionales a
sus lado, por lo que la respuesta correcta
Un ejercicio es recortar los
triángulos y ponerlo uno
sobre otro para que el
alumno observe la
semejanza en ambos
triángulos.
Es necesario establecer los
criterios de semejanza y
congruencia de triángulos
para que el alumno
diferencie las dos
situaciones.
Es importante que la
semejanza de triángulos
sea abordada en problemas
de la vida diaria, para que
identifiquen su utilidad.
No. Reactivo
2 Los triángulos uno y dos son semejantes. ¿Cuáles son los lados proporcionales?
A) BA/CA=BH/CH=HA/HA C) AC/AB=AH/AH/=BH/HC
B) AB/BH=AC/AH=CH/BH D) AH/AH=BH/HC=AC/AB
T e m a F i g u r a s y C u e r p o s
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
es la D.
Los que respondieron con A, BA/CA debe
ser CA/BA para que haya correspondencia
y proporcionalidad con los demás lados.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque I
Eje
Forma, espacio y medida
Tema
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
17.5 25.1 28.3 26.5 2.6
Trabajar los criterios de
semejanza y de congruencia
de triángulos, ya que esto le
permite al alumno
No. Reactivo
12 A Mauricio le pidieron construir dos triángulos de tal manera que el segundo fuera dos tercios veces más pequeño que el primero. Observa el resultado.
¿Qué criterio de semejanza le permite a
Mauricio saber que los dos triángulos son
semejantes?
A) Los dos triángulos tienen los dos ángulos
iguales y uno diferente.
B) Los dos triángulos tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido
entre ellos es igual.
C) Los dos triángulos tienen los tres lados
proporcionales.
D) Los dos triángulos tienen los tres lados
iguales y ángulos iguales.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Figuras y cuerpos.
Contenido/Habilidad
Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
Respuesta correcta C
El 28.3 % de los estudiantes
seleccionaron como respuesta correcta la
C; aunque es una respuesta correcta la
diferencia entre esta respuesta y las
opciones B y D es muy bajo; además
corresponde en el semáforo a un 30%
menos de aciertos; por ello se le ubica en
rojo.
Explicaciones del error
Los alumnos que respondieron con la
respuesta D, confunden la semejanza de
triángulos con la congruencia de
triángulos. Por lo que no comprenden que
la noción de proporcionalidad, se da en
triángulos semejantes.
Los alumnos que respondieron la
respuesta B, no satisfacen los datos del
problema ya que están pidiendo que los
tres lados sean proporcionales por lo que
la respuesta correcta es la C.
En la respuesta A, simplemente no hay
triángulos semejantes debido a que no
puede haber un ángulo diferente ya que al
ser dos iguales, el tercero debe también
ser igual a su correspondiente.
Desconocimiento de los criterios de
semejanza de triángulos y comprender
que el problema implícitamente involucra
a la medida de los lados de ambos
triángulos; por ello la respuesta correcta
es “Los dos triángulos tienen los tres lados
proporcionales”.
comprenderlos y
diferenciarlos.
Abordar la semejanza de
triángulos en la solución de
problemas para encontrar
medidas o la
proporcionalidad entre los
lados.
A partir de la construcción
con información dada,
enunciar los criterios de
semejanza, tanto con su
propio lenguaje y traducir
éste a lenguaje matemático.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque I
Eje
Forma, espacio y medida
Tema
Figuras y cuerpos.
Contenido/Habilidad
Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
27.6 31.4 29.0 9.4 2.7
Respuesta correcta C
El 31.4 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la B.
Explicaciones del error
No resolvieron el problema buscando la
constante de proporcionalidad, ya que si la
hubiesen buscado, debieron percatarse que
no la hay para los tres pares de lados.
Trabajar sobre los criterios
de semejanza de triángulos
en casos específicos.
Tratamiento de la
proporcionalidad en
ejemplos cotidianos.
No. Reactivo
17 En la clase de Matemáticas, la profesora preguntó que si los siguientes triángulos mostrados eran semejantes. Lee las respuestas de los alumnos. ¿Quién contestó el problema correctamente?
A) Juan: Sí son semejantes porque
sus tres ángulos son congruentes.
B) Rosy: Sí son semejantes porque
sus lados son proporcionales.
C) Ricardo: No son semejantes,
porque sus lados no son
proporcionales.
D) Mayra: No son semejantes, porque
sus tres ángulos son congruentes.
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque
Eje
Manejo de la información.
Tema
Noción de probabilidad.
Contenido/Habilidad
Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos excluyentes y mutuamente independientes.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
28.1 14.0 39.6 15.4 2.8
Respuesta correcta A
El 39.6 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la C.
Explicaciones del error
No se tiene claro el concepto requerido.
Los alumnos que contestaron la pregunta C
y B, dividieron 20/120 y obtuvieron
0.166666, redondeando a un 16% o a 0.16,
respectivamente, sin embargo, la respuesta
más acertada es 2/12, debido a que 20/120
= 2/12. Es una probabilidad más exacta.
Los que respondieron la 1/12 es totalmente
incorrecto
Tratamiento de problemas
de aplicación en los que se
trabajen probabilidades.
Es importante que el
alumno represente la
probabilidad como fracción,
como decimal y como
porcentaje, sin embargo
debe tomar la respuesta
más exacta. Ya que en
determinados casos el
decimal o porcentaje es
infinito. En cambio la
fracción es exacta.
Resolver más situaciones
problemáticas donde el
alumno ponga en juego las
tres formas de expresión de
la probabilidad en una
escala de 0 al 1,
identificando la más
apropiada en cada caso.
No. Reactivo
34 En una bolsa hay 120 canicas, 70 son rojas, 20 son negras y 30 son blancas, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica negra?
A) 12
2 B) 0.16 C) 16% D)
12
1
T e m a N o c i ó n d e p r o b a b i l i d a d
Ubicación Curricular Análisis de Respuestas
(Posibles causas de error) Alternativa de Solución
Bloque
Eje
Manejo de la información.
Tema
Análisis y representación de datos.
Contenido/Habilidad
Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
PORCENTAJE DE RESPUESTAS
A B C D OMISIÓN
21.5 29.4 23.1 23.3 2.6
Respuesta correcta D
El 29.4 % de los estudiantes seleccionaron
como respuesta correcta la B.
Explicaciones del error
Desconocimiento de los conceptos
involucrados.
Dificultad en la interpretación de la gráfica
misma y ubicación de los datos, ya que la
respuesta no implica necesariamente la
resolución de operaciones.
Uso de notas de periódicos
en las que se involucren
gráficas, para favorecer la
interpretación de los datos
expresados en las mismas.
Trabajo en el aula de
diversas situaciones o
fenómenos en las que se
aborden temas de diversas
asignaturas y/o contenidos
curriculares.
No. Reactivo
31 Observa la siguiente gráfica que representa la energía cinética de un cuerpo con
masa (m) y velocidad (v):
Si variamos la velocidad dejando la masa constante y sabiendo que la ecuación es E cinética=m v2/2, ¿cuál de las siguientes observaciones es la correcta?
A) La velocidad es mayor entre menor sea la energía cinética.
B) La energía cinética no aumenta con la velocidad.
C) La energía cinética no depende de la velocidad.
D) La velocidad aumenta, entonces la
energía cinética aumenta
T e m a A n á l i s i s y r e p r e s e n t a c i ó n d e d a t o s
Para saber
Los conocimientos previos del estudiante de tercero de secundaria:
El conjunto de los números enteros y operaciones con ellos
Antecedente: SEP. (2011). Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado Bloque IV. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Números y sistemas de Numeración. Contenido. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. (Página 34)
Antecedente: SEP. (2011). Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado Bloque IV. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Problemas aditivos. Contenido Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. (Página 35)
En este grado y en el siguiente el estudiante de secundaria manejó y comprendió los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y los pudo distinguir de sus formas de representación.
En primero y en segundo, utilizó procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.
En el libro del alumno pudo resolver problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la situación.
Se percató sobre el número entero como una magnitud vectorial discreta con magnitud y dirección; es decir que se puede representar en una recta numérica. Además de que pudo distinguir situaciones donde el cero toma un valor absoluto,
Bloques I y II
Eje Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Tema Patrones y
ecuaciones
Contenidos
Resolución de
problemas que
impliquen el uso de
ecuaciones
cuadráticas
sencillas, utilizando
procedimientos
personales u
operaciones
inversas.
Uso de
ecuaciones
cuadráticas para
modelar situaciones
y resolverlas usando
la factorización.
DOMINIO DE CONTENIDOS
T e m a E c u a c i o n e s c u a d r á t i c a s
por ejemplo tamaño, de aquellas donde el cero toma un valor relativo, por ejemplo indicando una posición.
Algo más que saber
El conjunto de los números enteros comprende a los números positivos, negativos y el 0. Visualizados en una recta se verían:
…,-3,-2,-1,0, 1,2, 3…
Las operaciones básicas con este conjunto de números nos obligan a tener en cuenta muy detenidamente si se trata de números positivos o negativos.
Por ejemplo:
“En un día determinado el termómetro marcaba 16° C a las 7:00 de la mañana, después durante el día subió 12° C a las 3:00 de la tarde y, en la noche bajó 5° C. ¿Cuál es la temperatura que marcaba el termómetro en la noche?
Esto es una suma de números enteros y se resuelve de esta manera:
16 + 12 - 5 = 23°C
Otro ejemplo:
“La bolsa de valores mexicana anunciaba que para ese día las acciones de una empresa valían 8 puntos porcentuales. Bruscamente las acciones bajaron de valor, 2 puntos porcentuales y, siguieron bajando esa misma cantidad durante tres días más. ¿Cuántos puntos perdió en ese período?
Se resuelve así:
-2 (X) 4= -8
Entonces las acciones de la compañía se devaluaron completamente, quedaron en pérdidas.
El valor relativo de los números enteros al combinarse en diferentes operaciones varía en una forma completamente diferente; es decir, en la multiplicación de números naturales por ejemplo siempre se obtiene un producto de valor relativo mayor o igual al de los factores. En cambio en la multiplicación de enteros el producto puede ser menor o mayor a los factores.
Ejemplo:
Números naturales Números enteros
2 X 4 = 8; el 8 es mayor que el 2 y el 4 2 X - 4= -8; -8 es menor que el 2 y el -4
¿Por qué es esto así? Porque en una recta numérica el -8 está a la izquierda de -4
y del 2; todo número a la izquierda de otro en la recta numérica su valor relativo es menor.
Para leer más sobre el tema Consultar
Billstein, Libeskind y Lott (2008). Matemáticas para maestros de Educación Básica. México: MLMateos EDITOR. S.A de C.V. pp 214 a la 273.
Traducir al lenguaje algebraico proposiciones y relaciones numéricas
Antecedente: SEP. (2005). Programa de Estudios de Educación Primaria. En la educación primaria, el estudio de la matemática considera el conocimiento y uso del lenguaje aritmético, algebraico y geométrico, así como la interpretación de información y de los procesos de medición. El nivel de secundaria atiende el tránsito del razonamiento intuitivo al deductivo, y de la búsqueda de información al análisis de los recursos que se utilizan para presentarla. (Página 49)
Algo más que saber
El álgebra involucra el tratamiento de relaciones numéricas en los que una o más cantidades son desconocidas, incógnitas, a las que se las representa por letras, por lo cual el lenguaje simbólico da lugar al lenguaje algebraico. Las operaciones para números: suma, resta, producto, división, son conocidas como operaciones algebraicas y cualquier combinación de números y letras se conoce como expresión algebraica. Por lo tanto, al traducir un cierto problema al lenguaje algebraico, se obtienen expresiones algebraicas, que son una secuencia de operaciones entre números y letras. Las letras se les denominan, en general, variables o incógnitas y las simbolizamos con las últimas letras del alfabeto, en cambio las primeras letras se emplean para simbolizar números arbitrarios pero fijos, que llamamos constantes.
Frecuentemente aparecen igualdades que son de distinto tipo: identidades, ecuaciones y fórmulas.
Las operaciones básicas con expresiones algebraicas, se utilizan en el importante proceso de resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y otras importantes aplicaciones de ellas.
Ejemplos:
Escribir en lenguaje algebraico las siguientes oraciones:
a) La base es el doble que la altura. Si llamamos b = base y h = altura, la expresión algebraica es: b = 2h, pero también se podría haber llamado x = base e y = altura entonces se obtendría: x = 2 y .
b) Dos números pares consecutivos. 2n representa un número par, el siguiente número par es 2n + 2, donde n es cualquier número entero.
Para leer más sobre el tema Consultar
Baldor, A. (1971). Álgebra elemental. Madrid: Mediterráneo. pp 5 a la 14.
Dominar ecuaciones lineales y diferentes formas de resolverlas
Antecedente: SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado Bloque III. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Patrones y ecuaciones. Contenido. Resolución de problemas que impliquen
el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. (Página 33)
Antecedente: SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado. Bloque V. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas multiplicativos. Contenido. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. (Página 35)
Antecedente SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Segundo grado. Bloque IV. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones. Contenido. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. (Página 41)
Una ecuación es una expresión matemática que puede leerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (José = Pepe). En ese sentido, la ecuación es una igualdad y en álgebra generalmente se nos pide que encontremos o que resolvamos dicha igualdad para leerla en forma completa.
Hay diferentes ecuaciones, pero las más simples llevan letras y tienen como exponente la unidad; por ejemplo: 3x + 2y = 5z.
Las ecuaciones en donde uno de sus términos literales tiene exponente 2 se llaman ecuaciones cuadráticas o de segundo grado; tal es el caso de: x² + y² = 0
Al resolver una ecuación en realidad lo que estamos haciendo es encontrar su raíz o raíces; ello significa el valor o los valores de las incógnitas (letras) que satisfacen la ecuación.
Para resolver ecuaciones se realizan operaciones entre sus términos; por ejemplo, para resolver:
3x -5 =2x -3; el valor de x que satisface la ecuación y poder leerla de derecha a izquierda o viceversa es 2.
3 (2) - 5 = 2 (2) - 3; 6 – 5 = 4 - 3; 1 = 1
Para leer más sobre esto Consultar
Peters y Schaaf. (1972). Álgebra un enfoque moderno. México: Reverté Mexicana. pp 131 a 179.
Dominar los procedimientos y reglas operacionales: primero
multiplicaciones, después divisiones, enseguida sumas y luego
restas
Antecedente: SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Segundo grado. Bloque III. Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema Problemas multiplicativos. Contenido. Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario. en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios. Contenido. Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. (Página 40) Algo más que saber
Un ejemplo: En un examen escrito se pidió a los estudiantes que seleccionaran la respuesta correcta a la siguiente operación: (14-5) + 7 (x) 3; las posibles respuestas eran:
a) 48
b) 6
c) 30
d) 25
La respuesta correcta es la C porque al hacer operaciones se sigue el orden de: operaciones entre paréntesis, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas; pues de no ser así habría respuestas variadas.
Para leer más sobre esto Consultar
SMSG. (1979). Estudios de Matemáticas. Volumen IX. EUA: Universidad de Stanford. pp 359 a 374.
El mínimo común múltiplo, máximo común divisor, factorización
Antecedente: SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Segundo grado. Primer grado. Bloque II. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Números y sistemas de numeración Contenido. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Algo más que saber
Factorizar es uno de los procesos fundamentales del álgebra. De hecho, factorizar y encontrar las raíces de un polinomio son dos problemas equivalentes; es decir, si sabemos cómo factorizar un polinomio, podemos encontrar sus raíces. Recíprocamente, si conocemos las raíces de un polinomio podemos factorizarlos fácilmente.
La estrategia para enseñar a factorizar es que los alumnos se familiaricen con los productos notables:
y los apliquen para factorizar polinomios. Se enfatizará sobre todo la factorización de polinomios de segundo grado. Conviene introducir los productos notables apoyándose en modelos que les den un soporte visual intuitivo. Por ejemplo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Los alumnos necesitan ejercicios en la utilización de los productos notables, ya sea para desarrollar expresiones sencillas como las siguientes:
o bien para agilizar los cálculos en expresiones más complicadas:
Las aplicaciones de los productos notables al cálculo numérico servirán al profesor para enriquecer y hacer más interesante su clase y a los alumnos para practicarlos y acostumbrarse a ellos.
Ejemplos:
ab
ac
a2 ab
ab b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b
(x + 3)2 (2x + 3)2 (x + 2) (x - 2)
(x - 3)2 (2x - 3)2 (3x - 5) (3x + 5)
(x - 3)2
2x2 + (3x + 1)2 (2x + 1)2 - (x – 3)2
5x2 - (2x - 2) (2x + 2) (5x - 3)2 - (2x + 1) (2x - 1)
(x - 3)2
b
a
a
b c
a (b + c) = ab + ac
Para leer más sobre el tema Consultar
SMSG. (1979). Estudios de Matemáticas. Volumen IX. EUA: Universidad de Stanford. pp 225 a 263.
Billstein, Libeskind y Lott (2008). Matemáticas para maestros de Educación Básica. México: MLMateos EDITOR. S.A de C.V. pp 321 a 417.
3052 = (300 + 5)2 =3002 + 2 x 5 x 300 + 52
=90 000 + 3000 + 25 =93 025
19962 = (2000 - 4)2 =20002 - 2 x 4 x 2000 + 42
=4 000 000 – 16 000 + 16 =3 984 016
2.0032 =(2 + 0.003)2 =(2 + 3 x 10-3)2 =22 + 2 x 2 x 3 x 10-3 + (3 x 10-3)2 =4.012009
Para saber
Este contenido está orientado a determinar los conocimientos relacionados con la rama de la Geometría, de los cuales debe apropiarse un estudiante de tercer grado de secundaria.
Los estudiantes poseen dos conocimientos previos:
Figuras geométricas planas
Cuerpos geométricos
En cada uno de ellos fueron incorporando los contenidos de la matemática que sirven de fundamento a este tema en particular.
Los estudiantes de este grado requieren poner en juego una serie de habilidades para resolver problemas del ámbito geométricos y los profesores del nivel requieren diseñar y planificar situaciones para facilitar el aprendizaje de geometría, con base a actividades de aprendizaje, apoyándose en diferentes recursos.
Algo más que saber
En la geometría plana, el estudiante de tercero de secundaria aprendió en su trayecto por primero y segundo de secundaria, la estructura de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo; estudió el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. (Revisarlo detenidamente en SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado. Bloque I. Eje Forma, espacio y medida. Tema. Figuras y Cuerpos. Contenido. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo).
En el aprendizaje de los cuerpos geométricos, comprendió los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. (Revisarlo detenidamente en SEP. (2011) Programa de Estudios de Educación Secundaria. Primer grado. Bloque II. Eje Forma, espacio y medida. Tema. Medida. Contenido. Justificación
Bloque I
Eje Forma, espacio
y medida
Tema Figuras y
cuerpos
Contenido
Explicitación de
los criterios de
congruencia y
semejanza de
triángulos a partir de
construcciones con
información
determinada.
DOMINIO DE CONTENIDOS
T e m a F i g u r a s c o n g r u e n t e s o s e m e j a n t e s
de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras).
Sus indicadores de logro estuvieron encaminados a:
- Reconocer y comprender las diferentes características que definen a los ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos y circunferencia como también los distintos criterios de clasificación de ellas.
- Construir con regla y compás diferentes figuras planas, conocidos algunos de sus elementos y considerando sus características propias; describiendo, además, sus procesos de construcción.
Los anteriores niveles de logro se encuentran descritos en los trayectos formativos de primero y segundo grado de secundaria.
Son dos los contenidos particulares que debe dominar el alumno de este grado en referencia al contenido:
Definir los términos semejanza y congruencia de líneas y figuras geométricas y, la
Constante de proporcionalidad y la manera de establecer la proporcionalidad de una figura.
El nivel de logro se centra en el hecho de que el estudiante de tercer grado comprenda el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplique los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.
En matemáticas los objetos semejantes son los que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño; los objetos congruentes tienen el mismo tamaño así como la misma forma.
Si dos figuras son congruentes también son semejantes; sin embargo, si dos figuras son semejantes no siempre son congruentes. En forma intuitiva se podría definir que dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, de otro modo, si una de ellas se puede superponer en la otra.
Dos segmentos son congruentes, si y solamente si, tienen la misma medida. Para medir los segmentos usamos una regla graduada. Se considera importante conducir al alumno a la noción de medida. La relación de congruencia entre segmentos es una relación de equivalencia. Se dice que dos ángulos son congruentes, si y solamente si, tienen la misma medida. Para medir los ángulos usamos el transportador. La relación de congruencia entre segmentos es una relación de equivalencia.
Lo que debemos saber hacer
Pasemos a destacar algunos criterios para la congruencia de triángulos, intuitivamente, para determinar que dos triángulos son congruentes, habría que verificar que los lados de un triángulo son congruentes con los del otro y lo mismo
con los ángulos, sin embargo como se verá a continuación basta con analizar menos elementos.
Criterio LLL. (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes
Criterio LAL (Lado, Angulo, Lado). Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos también congruente.
Criterio ALA (Angulo, Lado, Angulo). Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos también congruente.
La semejanza significa que hay algún parecido entre las figuras que se están comparando. Las figuras congruentes son idénticas o casi lo son entre los elementos o líneas, o ángulos que las constituyen; de forma intuitiva se podría decir que dos figuras geométricas son semejantes si una es una reducción o ampliación de la otra.
Por ejemplo:
Los humanos somos semejantes pero no necesariamente somos congruentes, pues todos somos físicamente distintos.
Dos figuras son congruentes, si es posible colocar una sobre la otra de manera tal que coincidan todas sus partes por ejemplo en los triángulos que son congruentes todos sus lados y ángulos miden lo mismo.
El símbolo de congruencia es ≌ y se puede escribir entre dos triángulos por
ejemplo: el triángulo ABC ≌ con el triángulo DEF. El símbolo de la semejanza es ~
Como definimos anteriormente, la idea de ampliar o reducir nos lleva al concepto de semejanza. Luego de haber estudiado el concepto de congruencia, los alumnos de tercero de secundaria pueden estudiar la semejanza como una relación más general que el de la congruencia.
Recordemos que se afirmó en párrafos anteriores, que intuitivamente, dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño; sin embargo, intuitivamente, si dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes, como se muestran a continuación:
De la misma manera en que establecimos algunos criterios para determinar la congruencia, también podemos tener criterios para determinar la semejanza que pasamos a destacar.
Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si los tres lados de un triangulo son proporcionales a los tres lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son semejantes.
Criterio AA (Angulo, Angulo). Si dos ángulos de un triangulo son congruentes a dos ángulos de otro, entonces los triángulos son semejantes
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Para leer más sobre el tema Consultar
Billstein, Libeskind y Lott (2008). Matemáticas para maestros de Educación Básica. México: MLMateos EDITOR. S.A de C.V. pp 644 a 697.
http://www.geocitiescom/fudbiro/Antecedentes.html
Las proporciones son comparaciones entre figuras o cuerpos geométricos. Implican que haya un antecedente numérico y un consecuente transformándose en dos razones relacionadas numéricamente por ejemplo:
La proporcionalidad de un segmento o línea que mide 6 centímetros de longitud la tendría otra que mide 2 centímetros y diríamos, que esta última es la tercera parte de la primera; entonces la proporción implica medición y en matemáticas se puede medir todo lo que sea mensurable en el mundo físico: figuras geométricas, reparto de utilidades en una empresa, el ingreso per cápita de un país, los impuestos de acuerdo al salario y el tiempo trabajado, etc.
De acuerdo a lo anterior y tratándose de líneas o de figuras geométricas hablamos de segmentos proporcionales de una media proporcional o inclusive de una proporción total entre dos entidades geométricas.
Por ejemplo:
Podemos dividir un segmento en otros dos a los que se les haya atribuido una proporcionalidad. Para el ejemplo que nos ocupa si queremos dividir un segmento en dos en la proporción 2 y 5 tendremos un segmento que en total mide 7 cm (si es la unidad de longitud que se considera)
Para leer más sobre el tema Consultar
Baldor, A. (1967). Geometría plana y del espacio. Bilbao España: Vasco Americana S.A.. pp 89 a la 103.
Franco, F. (2006). Didáctica de la Geometría Euclidiana. Bogotá: Editorial Magisterio. pp 118 a 221.
SMSG. (1979). Estudios de Matemáticas. Volumen IX. EUA: Universidad de Stanford. pp 345 a 357.
Algunas ideas preliminares
La importancia de proponer determinadas sugerencias, tienen como referente los
bajos resultados obtenidos en la asignatura de matemáticas, los cuales son
medidos por parámetros internacionales; éstos muestran resultados
decepcionantes, según la Organización para la Cooperación y el Desarrollo
Económico (OCDE)
En las escuelas secundarias se continúa con la enseñanza de los conceptos
matemáticos que se han adquirido en el nivel anterior; sin embargo una gran
dificultad es que no se ejemplifican correctamente, ni se contextualizan. Cada
contenido se explica llanamente por lo expuesto en él; es decir, no existe una
explicación secuencial lo cual es un error, ya que cada uno de los conceptos debe
estar articulado como un todo.
Dentro de los programas del nivel, la labor del maestro es propiciar situaciones de
aprendizaje en las cuales los estudiantes se apropien del conocimiento, que se
sientan atraídos por los contenidos que se desean trabajar con ellos; la manera en
que se logra ese objetivo es tratar de vincular el conocimiento con experiencias
cotidianas de su vida diaria.
El Programa Oficial de Matemáticas de 2011 sugiere trabajar esta asignatura
mediante la resolución de situaciones problemáticas, que contribuyen a despertar
la curiosidad del alumno y les permite, a partir de las preguntas planteadas por el
docente, explorar entre las nociones conocidas y utilizarlas para adquirir nuevos
conocimientos. Esto es precisamente lo que se ha hecho en la sección anterior
recuperar los conocimientos previos del estudiante para poder anclar los nuevos
que se quiere propiciar. Implica también que el estudiante de secundaria pueda
visualizar las funciones matemáticas a través de las estrategias que se proponen
en el aula. (Revisar este planteamiento en Cantoral, R. (2001). Funciones
Visualización y Pensamiento Matemático. México: Pearson Educación).
Se pasa a continuación a destacar algunas sugerencias para trabajar los temas
identificados en las secciones anteriores.
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Bloque: I
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos.
Contenido/Habilidad
Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
Especificación:
Enunciar los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones.
Tips de semejanza de figuras
Dos figuras son semejantes si poseen la misma forma pero diferente tamaño.
La semejanza se reconoce por la relación proporcional entre los lados homólogos
y por al congruencia de los ángulos homólogos.
La proporcionalidad es una constante que determina si la relación entre las figuras
es de reducción o de ampliación.
La constante se calcula mediante la razón entre los lados homólogos de la figura.
La semejanza en triángulos se da por dos teoremas
1. Teorema de la semejanza LLL. Si los tres lados de un triángulo son
proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos
triángulos son semejantes.
2. Teorema de la semejanza LAL. Si un ángulo de un triángulo es
congruente con un ángulo de otro triángulo, y si los lados
correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces
los triángulos son semejantes.
A continuación se presenta una tabla que puede ayudar a los alumnos a
comprender mejor los criterios de semejanza de triángulos.
Ejercicios para analizar si dos triángulos son semejantes.
En la siguiente tabla se presentan diversas figuras. Analiza y contesta las
preguntas.
T e m a F i g u r a s c o n g r u e n t e s o s e m e j a n t e s
FIGURAS
¿Poseen la misma
forma?
¿Poseen el mismo
tamaño?
¿Hay relación
proporcional entre
sus lados?
¿Es la misma
constante de
proporcionalidad
entre sus lados?
¿Cuál es su
contante de
proporcionalidad?
¿Hay congruencia
(son iguales) entre
sus ángulos
homólogos?
¿Los triángulos son
semejantes?
¿Cuál fue el criterio
de semejanza que
se utilizó de los dos
teoremas descritos
en el cuadro verde?
4.5 cm
8 cm
12 cm
7.5 cm
10 cm
8 cm
16 cm
20 cm
9 cm
18 cm
10 cm
12 cm
6 cm
32°
5 cm
32°
60°
60°
60°
60 cm
Uso de los criterios de semejanza de triángulos para encontrar distancias en
situaciones problemáticas
1. ¿A qué distancia se encuentra la isla de la orilla?
2. ¿Cuál es la anchura del río?
3. Calcular la longitud del cono de sombre de la luna (distancia LI).
75 m
45 m 400 m
?
95 000 km
S
Sol
150,000,000 km L
1738 km
13 cm
5cm
37 cm
I
4. ¿Cuál es la capacidad del recipiente? (Aplicación de triángulos semejantes
para obtener volumen y luego la capacidad del recipiente)
5. ¿Cuál es la altura del árbol?
USO DE TIC
http://mx.tiching.com/content/search/?q=semejanza.
Para encontrar medidas de lados de triángulos rectángulos….ejercitación electrónicamente.
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Semejanza_triangulos/in
dex.htm
40 cm
30 cm
50 cm
1.75 m 2.50 m 35 m
Bloque: I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones
Subtemas:
- Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas,
utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
- Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la
factorización.
Representar situaciones con expresiones algebraicas
1. Escribe en tu cuaderno expresiones algebraicas que representan las siguientes
situaciones:
a) El producto de dos números enteros
consecutivos.
b) El producto del antecesor y el sucesor de
un número entero.
c) El área de un rectángulo cuya altura es el
triple de la base.
d) El área de un triángulo de base 4 y altura
2x.
2. Completar de manera que se cumpla la identidad:
a) ( + 1)2 = x2 + + 1
b) x2 – 4 = (x + ) (x - )
c) (2c - )2 = - 12c +
d) ( + )2=x2 + 2xy +
e) (3a + )2= + + b2
f) (3a + )2 = 9a2 + + 4
g) x2 – + 16 = (x - )2
h) ( +3)( - 3)= x2 - 9
i) a2 - 4 = ( + 2) (a - )
j) 9x2 – 25y2 = (3x + ) (3x - )
El uso de ecuaciones cuadráticas
El cálculo de productos notables y la
factorización de polinomios no
deben tratarse en momentos
separados, pues es importante que
los alumnos comprendan que se
trata de procesos inversos y utilicen
desde el inicio los productos
notables para factorizar polinomios
Es importante traducir expresiones
algebraicas a situaciones diarias y
viceversa, para que el tema tome
sentido para el alumno.
La ejercitación con los productos
notables y la factorización es
necesaria.
Existen ecuaciones cuya solución o
soluciones se pueden obtener
fácilmente, utilizando algunas
operaciones aritméticas, incluso,
mentalmente, por ejemplo:
(x² -- 5)/2 = 10, donde, x² -- 5= 10
(2), lo cual es igual x²= 20 + 5, así
que x² debe ser 25, y las dos
soluciones son 5 y -5.
T e m a E c u a c i o n e s c u a d r á t i c a s
3. Contesta las siguientes preguntas y explica cómo llegaron al
resultado. Pueden usar calculadora.
a) Si al cuadrado de un número le sumas 25 y se obtiene 250. ¿Cuál es el
número? ¿Cuántos números hay que cumplan lo anterior?
b) El producto de dos números consecutivos es 132. ¿Cuáles son esos
números? ¿Cuántas parejas de números cumplen lo anterior?
c) ¿Cuántos números hay cuyo cuadrado sea -169?
d) Existe algún número x que satisfaga la condición (x + 2)² = -25
e) ¿Puede ser negativo el cuadrado de un número?
Expliquen sus respuestas y discutan con sus compañeros.
4. Juego: Rompecabezas de expresiones cuadráticas
Propósito: Ejercitar el producto de binomios al cuadrado y la factorización de binomios al cuadrado.
Es importante que cada alumno, antes de empezar a recortar las fichas, RESUELVA LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO QUE APARECEN, escriba las ecuaciones en forma factorizada en cada una de las fichas y confronte sus resultados con otro compañero o compañera para evitar que, al tener algún error, no pueda conseguir la solución del rompecabezas. Se puede proceder al revés, es decir que los alumnos multipliquen las expresiones que vienen factorizadas y busquen la expresión de segundo grado correspondiente.
El docente entregará a los alumnos las bases donde se pondrán las piezas del rompecabezas como se ilustra más adelante en el cuadro.
En una segunda fase, una vez recortadas todas las fichas, el alumno debe formar un rectángulo similar al rectángulo inicial pero de forma que cada ficha esté rodeada por expresiones algebraicas correspondientes.
5. Juego: Dominó de ecuaciones cuadráticas
Propósito: Que el alumno desarrolle productos de binomios al cuadrado y
factorice ecuaciones cuadráticas, tomando en cuenta que estos dos
procesos son inversos.
En el siguiente gráfico se muestra una tarjeta recortable que puede
utilizarse para ese fin.
USO DE TIC
Para realizar ejercicios sobre ecuaciones cuadráticas visita esta liga:
http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php?a=4
Para ejercicios de tarea, de aplicación etc., puedes visitar la página:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_ecuaciones_
segundo_grado/index_3quincena3.htm
FICHERO DE MATEMÁTICAS
FICHA: Cuadrados Algebraicos. Página 104-105.
PROPÓSITO: Aplicar los productos notables en la factorización de polinomios de segundo grado.
FICHA: Patrones y ecuaciones Páginas: 112-113
Propósito: Obtener y resolver ecuaciones cuadráticas.
-2 -1
-1
-2
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
1
6
A
B
Bloque: II
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Medida.
Contenido/Habilidad
Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.
Especificación
Resolver problemas que impliquen aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular medidas
de su entorno.
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
1. ¿Cuál es la longitud del segmento AB?
2. Cuánto mide la altura del rectángulo?
a=?
3. Instrucciones para encontrar el tesoro. A partir del árbol caminar: -35 pasos
hacia el este, 30 pasos hacia el norte, 15 pasos hacia el oeste, 10 pasos hacia
el norte, 60 pasos hacia el este, finalmente, 20 pasos hacia el norte.
¿A cuántos pasos del árbol, en línea recta, está el tesoro?
0
10 cm
6 cm
Pitágoras, semejanza y el
cálculo geométrico
Existen muchísimas
aplicaciones de los
teoremas de Pitágoras y
de semejanza al cálculo
geométrico, entre las que
destacan las aplicaciones
del teorema de Pitágoras
para obtener longitudes y
distancias, y las de la
semejanza al cálculo de
distancias inaccesibles.
T e m a T e o r e m a d e P i t á g o r a s
4. Suponiendo que la superficie de la Tierra es perfectamente lisa y nada estorba
la mirada, ¿hasta qué distancia alcanza a ver una persona que mide 1.75 m
de estatura? ¿Y si está sobre una torre de 100 m de altura? ¿Y desde una
montaña de 1000 m de altura? (Toma el radio de la Tierra igual a 6 379 km.)
6. Un joven, amante de las caminatas, sale de su domicilio y camina primero 2,400
metros hacia el norte y luego 700 m hacia el este. ¿A qué distancia se encontrará
el punto de partida? (Dibuja una gráfica).
R= ___________________________
7. ¿Cuál será la longitud de un tirante de alambre que sujeta a un poste vertical, si
está atado al poste a una altura de 3.2m y está clavado en el suelo horizontal a
una distancia de 2.4 m de la base del poste? (Dibuja una gráfica).
R= ___________________________
8. Calcula la altura “h” a la que vuela el cometa del dibujo siguiente:
9. Determina, aproximando a metros enteros, la distancia en el suelo
horizontal, recorrida por un avión desde que despega en vuelo inclinado si
al volar 800 m se encuentra a una altura de 600m.
R= ___________________________
10. Encuentra la altura de la rampa dibujada enseguida.
1.75 m
R=6380 km
FICHERO DE MATEMÁTICAS
PÁGINA 110-111
FICHA: Pitágoras en el Geoplano.
PROPÓSITO: Utilizar las fórmulas para el cálculo de perímetros, área y volúmenes, así como los
Teoremas de semejanza, de Pitágoras y la trigonometría para resolver numerosos problemas de
cálculo geométrico.
Referencias Bibliográficas de esta sección
(s.f.). Obtenido de http://www.matematicas.net/triangrectangulo.php?a=3
(s.f.). Recuperado el 28 de Octubre de 2012, de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_ecuaciones_segundo_grado/index_3quincena3.htm
(s.f.). Recuperado el 28 de octubre de 2012, de http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado.php?a=4
(s.f.). Recuperado el 29 de Octubre de 2012, de USO DE TIC
(s.f.). Recuperado el 28 de Octubre de 2012, de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Semejanza_triangulos/index.htm
(s.f.). Recuperado el 28 de octubre de 2012, de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_2eso_semejanza_teorema_pitagoras/index_2quincena7.htm
Almaguer, G. B. (1994). Matemáticas 3. México: Limusa, S. A. de C. V.
Phillips, E. B. (1995). Álgebra con Aplicaciones. DF: Metropolitana de Ediciones S A de C.V.
SEP. (2001). Ficehero de Actividades Didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria. MÉXICO: SEP.
SEP. (1994). Libro para el Maestro. Educación Secundaria.Matemáticas. México: SEP.
SEP. (2011). Programa de Estudios 2011. Guía para el Maestros. Educación Básica Secundaria. Matemáticas. México: SEP.
USO DE TIC
Encontrar área de triángulos usando el teorema de Pitágoras. Para encontrar medidas de
lados..ejercitación mental, razonamiento, inteligencia fluida, memoria, concentración, atención…….
http://www.matematicas.net/triangrectangulo.php?a=3
Para ejercicios de tarea, información, etc., visita la página:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_2eso_semejanza_teore
ma_pitagoras/index_2quincena7.htm.
R e c o m e n d a c i o n e s p a r a E x a m e n d e E n l a c e I n t e r m e d i a 2 0 1 2
Revisar bien el contenido de cada pregunta En la prueba se van a contestar varias preguntas con base a un mismo texto (lectura, imagen, gráfica, fotografía, etc.); por lo que es necesario leer y entender el texto muy bien y releer si es necesario. Concentrarse en la idea de cada pregunta; si se requiere hacer ejercicios se pueden usar los espacios en blanco de la prueba (cuadernillo). Para contestar correctamente la prueba se puede hacer lo siguiente:
A) Preguntarse: ¿Qué es lo que se me está preguntando? B) Identificar las ideas importantes de cada pregunta. C) Para localizar información requiere ir al texto, con la pregunta y el concepto clave como guías.
Utilizar el total del tiempo destinado a contestar la prueba. Evitar desesperarse si se observa que varios de tus compañeros ya terminaron. Recuerda que el reto es que tú logres un buen resultado. Revisar bien las respuestas y cuidar que la letra de la opción que elegida corresponda al número de la pregunta. Entregar la prueba hasta estar completamente seguro de lo que contestó.
Reservar 10% de su tiempo de examen para la revisión. Repasar su examen Resistir el impulso a salir tan pronto ha completado todos los ítems Asegurarse de haber contestado todas las preguntas. Verificar sus respuestas en matemáticas para errores por descuido (por ejemplo, errores en los decimales). Comparar sus actuales respuestas a los problemas con una rápida estimación.
DURANTE EL EXAMEN
DESPUÉS DEL EXAMEN
Analizar los resultados del examen Utilice sus exámenes para repasar
Decidir acerca de qué estrategia de estudio funcionó mejor y adoptarla Identifique aquéllas que no funcionaron bien y reemplácelas.
¡Recordar que ENLACE es una oportunidad para que todos los alumnos demuestren sus competencias!
1. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área sombreada?
A) b(b + a)
B) (b-a)-a2
C) a2-b2
D) b2-a2
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
2. Un triángulo tiene una base de X + 4 y una altura de X + 2, ¿cuál será el valor de X (positivo), si su área es de 24 m2?
A) X= -10m C) X= -4 m
B) X= 4 m D) X= 10 m
Bloque II
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
PRÁCTICA CON REACTIVOS
3. Dadas las áreas de cada uno de los cuadriláteros que integran el rectángulo (Fig.1). Encuentra la expresión algebraica que representa el área total.
X 3 3
X 3 3
X 3 3
X2 3X 3X
Fig.1
A) 4X2 + 6X +18
B) X2 + 6X +18
C) X2+ 9X + 18
D) X3 + X2 + 6X +18
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
4. Un niño trae "x" cantidad de dinero, ¿por qué cantidad (expresión algebraica) la tendría que multiplicar para llegar a tener ax2 + bx?
A) a+b C) ax+b
B) 2ax+b D) 2ax+bx
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
5. ¿Cuál es la factorización correcta para el siguiente trinomio?
m2 _ 9m + 18
A) (m-3) (m-6)
B) (3m-6) (3m-3)
C) (m+6) (m-3)
D) (m-6) (m+3)
Bloque II
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
6. En el siguiente diagrama el ángulo ABC mide 46° ¿Cuál es el valor del ángulo AOC?
A) 46° C) 92°
B) 23° D) 82°
Bloque I
Eje: Forma, espacio y medida.
Tema: Figuras y cuerpos.
Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
7. La siguiente figura representa 1/8 de un círculo.
¿Cuál sería el área de la región sombreada?
A) 56.12 cm2
B) 10.99 cm2
C) 31.44 cm2
D) 50.24 cm2
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
8. José recibió de herencia un terreno cuadrado y con el paso del tiempo compró otro de forma rectangular con 9 m de frente por 24 m de fondo. Si al sumar sus áreas encuentra que tiene 745 m2.
¿Cuál es la medida de uno de los lados del terreno que recibió de herencia?
A) 372.5 m B) 24 m
C) 24.5 m D) 23 m
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
12
cm
9. Si lanzamos dos dados marcados cada uno del 1 al 6 en sus caras y sumamos los números resultantes, ¿cuál es la probabilidad de que no caiga un número mayor que tres?
A) 1/36 C) 6/36
B) 1/12 D) 11/12
Bloque I
Eje: Manejo de la información.
Tema: Nociones de probabilidad.
Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
10. ¿Qué hace falta para que estos dos triángulos sean semejantes?
A) Que sus tres lados tengan la misma medida.
B) Que se agregue la medida del ángulo que falta en cada uno.
C) Que sus lados homólogos sean proporcionales y sus ángulos sean congruentes.
D) Que dos lados y un ángulo homólogos sean congruentes.
Bloque I
Eje: Forma, espacio y medida.
Tema: Figuras y cuerpos.
Contenido: Explicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
11. Mary le preguntó el número de lista a Pedro y este le respondió: Mi número multiplicado por sí mismo, restándole seis y sumándole setenta y dos, resulta 262. ¿Cuál es mi número de lista?
A) 16
B) 13
C) 15
D) 14
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
12. Observa la gráfica y determina cuál es la razón de cambio de la distancia (km) respecto al tiempo (minutos).
A) 1/2
B) 2
C) 40/60
D) 3
Bloque I
Eje: Manejo de la información.
Tema: Proporcionalidad y funciones.
Contenido: Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación.
Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
13. Si el área del siguiente rectángulo es de 36x4 -121y2, ¿cuáles son las expresiones algebraicas que representan sus dimensiones?
A) base = 6x, altura = 11y
B) base = 6x + 11y, altura = 6x-11y
C) base = 6x2, altura = 11y
D) base = 6x2 + 11y, altura = 6x2 – 11y
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
14. El paralelogramo ABCD forma dos triángulos congruentes AMD y CMB por el criterio LAL (lado-ángulo-lado), ¿qué relación hay entre el segmento AD y el segmento BC?
A) El segmento AD es dos veces mayor al segmento BC.
B) El segmento AD es mayor al segmento BC.
C) El segmento AD es menor al segmento BC.
D) Los dos segmentos son congruentes.
Bloque I
Eje: Forma, espacio y medida.
Tema: Figuras y cuerpos.
Contenido: Explicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
15. Observa la figura siguiente.
¿Cuánto mide el ángulo POQ?
A) 90°
B) 94°
C) 60°
D) 47°
Bloque I
Eje: Forma, espacio y medida.
Tema: Figuras y cuerpos.
Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
16. El siguiente dibujo representa el interior de una manguera, ¿cuál es el área de la región sombreada?
A) 25.12 cm2 C) 50.24 cm2
B) 12.56 cm2 D) 125.6 cm2
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
17. Observa el dibujo siguiente que representa las secciones de un pastel de 30 cm de diámetro que se repartieron entre un grupo de estudiantes.
¿Cuánto vale el área del pastel que comieron los hombres?
A) 706.50 cm2 C) 235.50 cm2
B) 431.00 cm2 D) 471.00 cm2
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
18. Lee lo siguiente:
"La base de un rectángulo es igual al cuadrado de la altura del rectángulo aumentada en 6 y además
equivale a ocho veces la altura."
¿Cuál ecuación representa el enunciado anterior?
A) 6 - a2 = 8a C) a2+6 = 8a
B) 6a2 = 8 + a D) 6 – a = 8a
Bloque II
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
19. El área de la foto y el portarretratos se representa con la siguiente expresión x2 +16X-105 = 0, donde x es la medida de la base del portarretratos. Resuelve la ecuación para encontrar la medida de la base del portarretratos.
x
A) x = 5
B) x = 4
C) x = 21
D) x= -5
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
20. ¿Cuál es el criterio de semejanza entre los dos
triángulos mostrados?
A) Los dos triángulos tienen los tres lados y
ángulos iguales.
B) Los dos triángulos tienen los tres lados y
ángulos proporcionales.
C) Los dos triángulos tienen los tres ángulos
iguales.
D) Los dos triángulos tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido
entre ellos es igual.
Bloque I
Eje: Forma, espacio y medida.
Tema: Figuras y cuerpos.
Contenido: Explicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
21. La siguiente tabla muestra los índices de analfabetismo funcional de algunos países europeos. País Indice %
Suecia 7.5
Noruega 7.9
Países Bajos
10.5
Finlandia 10.4
Dinamarca 9.6
Alemania 14.4
Si en Alemania existen aproximadamente
82 500 000 personas, ¿cuántas personas son analfabetas funcionales?
A) 70 620 000
B) 11 880 000
C) 5 729 166
D) 73 837 500
Bloque I
Eje: Manejo de la información.
Tema: Proporcionalidad y funciones.
Contenido: Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación.
Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
22. Un estudiante tiene una bolsa con canicas de tres colores: azules, blancas y rojas. Al hacer una simulación, un estudiante sacó 30 canicas y registró sus resultados. Obtuvo una probabilidad experimental de sacar canicas blancas de 20 %, ¿cuántas veces sacó canicas blancas?
A) 6 B) 2 C) 4 D) 5
Bloque I
Eje: Manejo de la información.
Tema: Nociones de probabilidad.
Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
23. Encuentra el resultado de (5x2 - 3)2
A) 25x4 + 30x2 + 9 C) 25x4 -15x2 - 9
B) 25x4 - 30x2 + 9 D) 5x4 + 9
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
24. Si el binomio (x - 4) es factor de
x2 - 14x + 40, ¿cuál binomio es el otro factor?
A) (x + 10) C) (x -7)
B) (x - 10) D) (x -36)
Bloque I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
25. Si en el paralelogramo ABCD mostrado, el ángulo ABC mide 51°, el ángulo CAD mide 83°, ¿cuánto mide el ángulo ACB?
D
A) 51° B) 83° C) 60° D) 46
Bloque I
Eje: Forma, espacio y medida.
Tema: Figuras y cuerpos.
Contenido: Explicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
26. Los números consecutivos se expresan de la siguiente manera:
x, x + 1 , x + 2, x + 3, ...
¿Cómo se traduce al lenguaje común la siguiente ecuación?
(x)2 + (x + 1)2 +(x + 2)2 = 540
A) La suma de los cuadrados de tres números
consecutivos equivale a 540.
B) El cuadrado de la suma de tres números
consecutivos equivale a 540.
C) La suma de tres números consecutivos
equivale a 540.
D) La suma del doble de tres números
consecutivos equivale a 540.
Bloque II
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
27. Un grupo de alumnos tiró dos dados 100 veces y 14 veces sumaron seis puntos entre los dos dados,
¿cuál es la probabilidad de obtener una suma de seis puntos?
A) 14% B) 7% C) 12% D) 6%
Bloque I
Eje: Manejo de la información.
Tema: Nociones de probabilidad.
Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
28. El área de un campo de fútbol se expresa de la siguiente manera x2 +12x + 35, ¿cuáles son las expresiones algebraicas que representan las dimensiones del campo?
A) (x- 7) (x- 5)
B) (x+7) (x- 5)
C) (x+12) (x+35)
D) (x+7) (x+5)
Bloque II
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
29. El siguiente dibujo muestra dos estructuras que se usan para levantar vehículos pesados e inspeccionar el fondo de ellos. La figura marca que PQRS es un paralelogramo.
Si el perímetro del paralelogramo PQRS es de 8.5 m y el segmento QR = 3 metros, ¿cuánto mide la barra RS?
A) 1.25 m B) 1.5 m C) 2.5 m D) 1.75 m
Bloque I
Eje: Forma, espacio y medida.
Tema: Figuras y cuerpos.
Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
30. Juan resolvió la siguiente ecuación utilizando la factorización, ¿en qué paso Juan tuvo el error inicial?
1) 4m2 + 65m = 5m
2) 4m2 + 65m – 5m = 0
3) 4m2 + 60m = 0
4) 4m(m + 60m) = 0
5) 4m= 0 m + 60 = 0
6) m=0 m = -60
A) En el 4
B) En el 3
C) En el 2
D) En el 6
Bloque II
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema: Patrones y ecuaciones.
Contenido: Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
CONSULTA DE RESULTADOS
ENLACE
INTERMEDIA 2011
Ingresa a http://www.nl.gob.mx/?P=consulta_enlace_int Revise los resultados obtenidos por los estudiantes de tercer grado de secundaria de su escuela, ¿Cuáles reactivos contestaron incorrectamente más del 60% de los alumnos? ¿En qué temas se ubican esos reactivos? Consulte los resultados que obtuvieron sus alumnos para detectar debilidades y fortalezas.
ENLACE 2012
Ingrese a http://www.enlace.sep.gob.mx/ba/ Revise los resultados obtenidos por los estudiantes de tercer grado de secundaria de tu escuela. ¿Cuáles reactivos contestaron incorrectamente más del 60% de los alumnos? ¿En qué temas se ubican esos reactivos? Consulte los resultados que obtuvieron sus alumnos para detectar debilidades y fortalezas.
ENLACE
INTERMEDIA 2012
Le recomendamos estar atento(a) a la publicación de los resultados ENLACE INTERMEDIA 2012 y revisar los resultados obtenidos por los estudiantes de su grupo. ¿Cuáles reactivos contestaron incorrectamente más del 60% de sus alumnos? ¿En qué temas se ubican esos reactivos? Establezca mecanismos de intervención docente para fortalecer las áreas de oportunidad identificadas en esta evaluación.