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MATEMATICAS BASICAS
Autores: Margarita Ospina PulidoLorenzo Acosta Gempeler
Edicion: Jeanneth Galeano PenalozaRafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Enero de 2015Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 1 / 1
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Parte I
Funciones Exponenciales y Logarıtmicas
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 2 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x)
1 2 12 4 1
4 8 18 16 1
16
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x)
1 2 12 4 1
4 8 18 16 1
16
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1
2 12 4 1
4 8 18 16 1
16
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2
12 4 1
4 8 18 16 1
16
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 12
4 14 8 1
8 16 116
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 12 4
14 8 1
8 16 116
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 12 4 1
4
8 18 16 1
16
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 12 4 1
4 8
18 16 1
16
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 12 4 1
4 8 18
16 116
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 12 4 1
4 8 18 16
116
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Definamos una nueva funcion en R ası:
f (x) = 2x .
Para hacer la grafica construimos la siguiente tabla:
x 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4
f (x) 1 2 12 4 1
4 8 18 16 1
16
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 3 / 1
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Funciones exponenciales
Ayudados por los datos obtenidos y notando que:
si n es natural f (n) = 2n (aumenta su valor si n aumenta)
y que f (−n) = 2−n =1
2n(cada vez mas pequeno
pero siempre mayor que cero)
tenemos la siguiente grafica
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 4 / 1
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Funciones exponenciales
Ayudados por los datos obtenidos y notando que:
si n es natural f (n) = 2n (aumenta su valor si n aumenta)
y que f (−n) = 2−n =1
2n(cada vez mas pequeno
pero siempre mayor que cero)
tenemos la siguiente grafica
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 4 / 1
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Funcion exponencial f (x) = 2x
x
y
-3 -2 -1 1 2
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 5 / 1
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Funcion exponencial f (x) = 2x
x
y
-3 -2 -1 1 2
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 5 / 1
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Funcion exponencial f (x) = 2x
x
y
-3 -2 -1 1 2
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 5 / 1
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Funciones exponenciales
¿Como es la grafica de y = 2−x?
Sabemos que se obtiene de la anterior haciendo unasimetrıa con respecto al eje y .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 6 / 1
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Funciones exponenciales
¿Como es la grafica de y = 2−x?
Sabemos que se obtiene de la anterior haciendo unasimetrıa con respecto al eje y .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 6 / 1
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Funcion exponencial f (x) = 2−x
x
y
-2 -1 1 2 3
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 7 / 1
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Funcion exponencial f (x) = 2−x
x
y
-2 -1 1 2 3
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 7 / 1
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Funcion exponencial f (x) = 2−x
x
y
-2 -1 1 2 3
1
2
4
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 7 / 1
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Funciones exponenciales
¿Que es 2−x?
2−x = (2−1)x =
(1
2
)x
Luego hemos construido la grafica de la funcion exponencial
f (x) =
(1
2
)x
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 8 / 1
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Funciones exponenciales
¿Que es 2−x?
2−x = (2−1)x =
(1
2
)x
Luego hemos construido la grafica de la funcion exponencial
f (x) =
(1
2
)x
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 8 / 1
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Funciones exponenciales
¿Que es 2−x?
2−x = (2−1)x =
(1
2
)x
Luego hemos construido la grafica de la funcion exponencial
f (x) =
(1
2
)x
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 8 / 1
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Funciones exponenciales
Generalicemos:
Llamamos funcion exponencial de base a, con a > 0, a la funciondefinida por:
f (x) = ax .
La grafica de la funcion dependera del valor de a.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 9 / 1
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Funciones exponenciales
Generalicemos:Llamamos funcion exponencial de base a, con a > 0, a la funciondefinida por:
f (x) = ax .
La grafica de la funcion dependera del valor de a.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 9 / 1
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Funciones exponenciales
Generalicemos:Llamamos funcion exponencial de base a, con a > 0, a la funciondefinida por:
f (x) = ax .
La grafica de la funcion dependera del valor de a.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 9 / 1
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Funcion exponencial f (x) = ax
x
y
1
1
a > 1
x
y
1
1
0 < a < 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 10 / 1
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Funcion exponencial f (x) = ax
x
y
1
1
a > 1
x
y
1
1
0 < a < 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 10 / 1
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Funciones exponenciales
Notese que para a < 0 no se define la funcion exponencial ya que porejemplo (a)1/2 no es un numero real.
Para a = 1, como 1x = 1 para todo x real, “la funcion exponencial de base1” serıa simplemente la funcion constante de valor 1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 11 / 1
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Funciones exponenciales
Notese que para a < 0 no se define la funcion exponencial ya que porejemplo (a)1/2 no es un numero real.
Para a = 1, como 1x = 1 para todo x real, “la funcion exponencial de base1” serıa simplemente la funcion constante de valor 1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 11 / 1
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = R
Im(f ) = (0,∞)
f es inyectiva
Si a > 1 los valores f (x) aumentan a medida que x aumenta.
Si 0 < a < 1 los valores de f (x) disminuyen a medida que x aumenta.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 12 / 1
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = RIm(f ) = (0,∞)
f es inyectiva
Si a > 1 los valores f (x) aumentan a medida que x aumenta.
Si 0 < a < 1 los valores de f (x) disminuyen a medida que x aumenta.
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = RIm(f ) = (0,∞)
f es inyectiva
Si a > 1 los valores f (x) aumentan a medida que x aumenta.
Si 0 < a < 1 los valores de f (x) disminuyen a medida que x aumenta.
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = RIm(f ) = (0,∞)
f es inyectiva
Si a > 1 los valores f (x) aumentan a medida que x aumenta.
Si 0 < a < 1 los valores de f (x) disminuyen a medida que x aumenta.
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
Dom(f ) = RIm(f ) = (0,∞)
f es inyectiva
Si a > 1 los valores f (x) aumentan a medida que x aumenta.
Si 0 < a < 1 los valores de f (x) disminuyen a medida que x aumenta.
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = axay = f (x)f (y)(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =ax
ay=
f (x)
f (y)(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax)k = (f (x))k
(f transforma coeficientes en exponentes)
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = axay = f (x)f (y)
(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =ax
ay=
f (x)
f (y)(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax)k = (f (x))k
(f transforma coeficientes en exponentes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 13 / 1
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = axay = f (x)f (y)(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =ax
ay=
f (x)
f (y)(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax)k = (f (x))k
(f transforma coeficientes en exponentes)
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = axay = f (x)f (y)(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =ax
ay=
f (x)
f (y)
(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax)k = (f (x))k
(f transforma coeficientes en exponentes)
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = axay = f (x)f (y)(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =ax
ay=
f (x)
f (y)(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax)k = (f (x))k
(f transforma coeficientes en exponentes)
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = axay = f (x)f (y)(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =ax
ay=
f (x)
f (y)(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax)k = (f (x))k
(f transforma coeficientes en exponentes)
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Propiedades de las funciones exponenciales
Sea f (x) = ax . Entonces:
f (x + y) = ax+y = axay = f (x)f (y)(f transforma sumas en productos)
f (x − y) = ax−y =ax
ay=
f (x)
f (y)(f transforma restas en cocientes)
f (kx) = akx = (ax)k = (f (x))k
(f transforma coeficientes en exponentes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 13 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Observacion
Sea f una funcion inyectiva. La grafica de f esta determinada por laecuacion y = f (x).
Si intercambiamos las variables x e y obtenemos la ecuacion x = f (y)cuya grafica se obtiene de la anterior mediante una simetrıa conrespecto a la recta y = x .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 14 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Observacion
Sea f una funcion inyectiva. La grafica de f esta determinada por laecuacion y = f (x).
Si intercambiamos las variables x e y obtenemos la ecuacion x = f (y)cuya grafica se obtiene de la anterior mediante una simetrıa conrespecto a la recta y = x .
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 14 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
x
y
y = f (x)
x = f (y)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 15 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
x
y
y = f (x)
x = f (y)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 15 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .
¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y)
= f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y))
= f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x)
= y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x)
= g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x))
= g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y)
= x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 16 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Como f es inyectiva, la grafica obtenida corresponde a la de una nuevafuncion g .¿Que relacion hay entre f y g?
y = f (x) ⇐⇒ x = g(y)
Al componerlas tenemos:
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x
La funcion g se llama la inversa de f y se acostumbra a notar f −1.
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Funciones inyectivas e inversas
Resumamos ahora la relacion entre f y f −1:
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1(y)
Ademas,Dom(f −1) = Im(f ) e Im(f −1) = Dom(f )
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 17 / 1
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Funciones inyectivas e inversas
Resumamos ahora la relacion entre f y f −1:
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1(y)
Ademas,Dom(f −1) = Im(f ) e Im(f −1) = Dom(f )
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Ejemplo
La funcion exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funcionlogarıtmica de base 2:
y = 2x ⇐⇒ x = log2 y
o bien:y = log2 x ⇐⇒ x = 2y
Esta funcion tendra la siguiente grafica:
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 18 / 1
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Ejemplo
La funcion exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funcionlogarıtmica de base 2:
y = 2x ⇐⇒ x = log2 y
o bien:y = log2 x ⇐⇒ x = 2y
Esta funcion tendra la siguiente grafica:
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 18 / 1
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Ejemplo
La funcion exponencial de base 2 tiene su inversa que es la funcionlogarıtmica de base 2:
y = 2x ⇐⇒ x = log2 y
o bien:y = log2 x ⇐⇒ x = 2y
Esta funcion tendra la siguiente grafica:
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 18 / 1
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Funcion logaritmo f (x) = log2 x
x
y
1 2 4
-3
-2
-1
1
2
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 19 / 1
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Funciones logarıtmicas
En general, la inversa de la funcion exponencial de base a es la funcionlogarıtmica de base a.
y = loga x ⇐⇒ x = ay
Su grafica es de la forma:
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 20 / 1
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Funcion logaritmo f (x) = loga x
x
y
1
1
a > 1
x
y
1
1
0 < a < 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 21 / 1
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Funcion logaritmo f (x) = loga x
x
y
1
1
a > 1
x
y
1
1
0 < a < 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 21 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞)
Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)
= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)
= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).
(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)
= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)
= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
![Page 83: MATEMATICAS B ASICASciencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/Facultad_de... · 2019. 4. 3. · Funciones exponenciales De namos una nueva funci on en R as : f(x) = 2x: Para hacer la](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060822/609bd3428a2a4c76c26d8b7b/html5/thumbnails/83.jpg)
Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
![Page 84: MATEMATICAS B ASICASciencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/Facultad_de... · 2019. 4. 3. · Funciones exponenciales De namos una nueva funci on en R as : f(x) = 2x: Para hacer la](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060822/609bd3428a2a4c76c26d8b7b/html5/thumbnails/84.jpg)
Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)
= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
![Page 85: MATEMATICAS B ASICASciencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/Facultad_de... · 2019. 4. 3. · Funciones exponenciales De namos una nueva funci on en R as : f(x) = 2x: Para hacer la](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060822/609bd3428a2a4c76c26d8b7b/html5/thumbnails/85.jpg)
Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)
= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).
(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
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Funciones logarıtmicas
De las propiedades de la funcion exponencial y su relacion con la funcionlogarıtmica se obtienen las siguientes propiedades.
Si g(x) = loga x entonces:
Dom(g) = (0,∞) Im(g) = R.
g(xy) = loga(xy)= loga(x) + loga(y)= g(x) + g(y).(g transforma productos en sumas)
g
(x
y
)= loga
(x
y
)= loga(x)− loga(y)= g(x)− g(y).
(g transforma cocientes en diferencias)
g(xk) = loga(xk)= kloga(x)= kg(x).(g transforma exponentes en coeficientes)
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 22 / 1
![Page 88: MATEMATICAS B ASICASciencias.bogota.unal.edu.co/fileadmin/Facultad_de... · 2019. 4. 3. · Funciones exponenciales De namos una nueva funci on en R as : f(x) = 2x: Para hacer la](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022060822/609bd3428a2a4c76c26d8b7b/html5/thumbnails/88.jpg)
Las funciones exponencial natural y logaritmo natural
La funcion exponencial natural es aquella que tiene como base el numeroirracional e llamado la constante de Euler y que podemos aproximar concuatro cifras decimales a 2, 7183.
La notamos:y = ex
La funcion logaritmo natural es la inversa de la funcion exponencialnatural y tiene una notacion muy particular:
loge x = ln x
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 23 / 1
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Las funciones exponencial natural y logaritmo natural
La funcion exponencial natural es aquella que tiene como base el numeroirracional e llamado la constante de Euler y que podemos aproximar concuatro cifras decimales a 2, 7183.
La notamos:y = ex
La funcion logaritmo natural es la inversa de la funcion exponencialnatural y tiene una notacion muy particular:
loge x = ln x
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas F. exponenciales 23 / 1
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Las funciones exponencial natural y logaritmo natural
La funcion exponencial natural es aquella que tiene como base el numeroirracional e llamado la constante de Euler y que podemos aproximar concuatro cifras decimales a 2, 7183.
La notamos:y = ex
La funcion logaritmo natural es la inversa de la funcion exponencialnatural y tiene una notacion muy particular:
loge x = ln x
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Funciones logarıtmicas
Ejercicio 1
Calcular:
(a) log2 128 (b) log3 81
(c) log10 10000 (d) log4 256
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Funciones logarıtmicas
Ejercicio 2
Halle el dominio de las siguientes funciones:
(a) g(x) = log3(x2 − 1) (b) h(x) = log2
(x + 1
x2 − 9
)(c) u(x) = log2(|x |) (d) v(x) = ln(x + 3)
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Funciones logarıtmicas
Ejercicio 3
Haga la grafica de las siguientes funciones:
(a) u(x) = log2(|x |) (b) v(x) = 2 + ln(x + 3)
(c) w(x) = 1− 2x (d) g(x) = 5−(
1
2
)x
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Las funciones exponenciales y logarıtmicas tienen multiples y muy variadasaplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
Calculo de intereses compuestos
Vida media de sustancias radioactivas
Fechado de fosiles con carbono
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Las funciones exponenciales y logarıtmicas tienen multiples y muy variadasaplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
Calculo de intereses compuestos
Vida media de sustancias radioactivas
Fechado de fosiles con carbono
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Las funciones exponenciales y logarıtmicas tienen multiples y muy variadasaplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
Calculo de intereses compuestos
Vida media de sustancias radioactivas
Fechado de fosiles con carbono
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Las funciones exponenciales y logarıtmicas tienen multiples y muy variadasaplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
Calculo de intereses compuestos
Vida media de sustancias radioactivas
Fechado de fosiles con carbono
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Las funciones exponenciales y logarıtmicas tienen multiples y muy variadasaplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
Calculo de intereses compuestos
Vida media de sustancias radioactivas
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Funciones exponenciales y logarıtmicas
Las funciones exponenciales y logarıtmicas tienen multiples y muy variadasaplicaciones, algunas de ellas son:
Crecimiento bacteriano
Crecimiento y decrecimiento de poblaciones
Calculo de intereses compuestos
Vida media de sustancias radioactivas
Fechado de fosiles con carbono
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