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Funciones
EvelynDelPezoIzaguirre,Msig.
Funcin
EDCOM-ESPOL
2
Es un *po especial de relacin que expresa como una can*dad (la salida)dependedeotracan*dad(laentrada).Porejemplo:Si un marcador cuesta $ 2, el valor a pagar va a depender del nmero de
marcadoresqueyocompre.EsallcuandodecimosqueYestadadoenfuncindeX.
y=f(x)
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Funcin
EDCOM-ESPOL
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y=f(x)
y=x.q
f(x),eslacan*dadporpreciodelproducto
x,eselpreciodelproducto constante q,eslacan*daddeproducto variableindependiente
y,eselvalorapagar variabledepediente
f(x)=4.2x=4marcadores
variableindependiente
y=8valorapagar
variabledepediente
constante
DominioyRango
EDCOM-ESPOL
4
y=2+x
ElDOMINIOsontodoslosposiblesvaloresquepuedetomarmientrada,es
decirX ElRANGOeseldatodesalida,Y;envirtuddelosvaloresquetomeXalser
reemplazadoenlaexpresin
f(x)=2+xX=2
variableindependiente
Y=4
variabledepediente
constante
X=5 Y=7
EnestecasoelDOMINIOyelRANGOsontodoslosREALES
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Coordenadascartecianas
Unagrficamuestralarelacinentre 2 v ar ia bl es d e l aecuacin, las mismas quepueden ser representadas enun plano carteciano y se lasconocecomocoordenadas
Para localizar un punto en elplano,esnecesarioconocerlasc oo rd en ad as q ue s e l asiden*ficacomo(x,y),endondeX y Y son las variables de miecuacin
EDCOM-ESPOL
5
x Abscisas
I cuadrante
IV cuadranteIII cuadrante
II cuadrante
0
Origen
y Ordenadas
Coordenadascartesianas
Elprimervalordelascoordenadassiempreserx,yelsegundoy.
Los valores posi*vos siempreestarnenrelacinalorigen:
AlaDerecha, HaciaArriba
Los valores nega*vos siempreestarnenrelacinalorigen:
AlaIzquierda, HaciaAbajo
EDCOM-ESPOL
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x
I cuadrante
IV cuadranteIII cuadrante
II cuadrante
0
y
(+,+)(-,+)
(-,-) (+,-)
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Graficandocoordenadas
EDCOM-ESPOL
7
(4,6)
(-6,-4)
Lalnearecta,eslauninde2puntos
Distanciaentre2puntos
PuntossobreelejeXsobreelejeY
Ladistanciaentrelospuntoscorrespondealvalorabsolutodeladiferenciadesuscoordenadasenrelacinalejesobreelqueestngraficados,
EDCOM-ESPOL
8
Paracualquieradeestoscasos,sucontrapartedelascoordenadasserCERO
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Distanciaentre2puntos
EDCOM-ESPOL
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PuntossobreelejeX,trabajocon:
|(x2x1)|
(-4,0)y(5,0)d=|5(4)|
d=|5+4|d=9unidades.
x
y
(-4,0)(5,0)
PuntossobreelejeY,trabajocon:|(y2y1)|
(0,7)y(0,12)d=|12(7)|
d=|5|d=5unidades.
(0,12)
(0,7)
Distanciaentre2puntosqueestnencualquierlugardelplano
Sufrmuladeladistanciaes:
EDCOM-ESPOL
10
d= (x2x
1)2+ (y
2y
1)22
x
y
(3,2)
(10,11)
y2y1
x2x1
d= (103)2+ (112)
22
d= (7)2+ (9)
22
d= 1302
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PendientedelaRecta
Es el grado de inclinacin de una rectacon respecto a lahorizontal, y larepresentamosconlaletram.
Geomtricamente podemos decir que es la tangente delngulo que seformaentrelalnearectayelejeposi*vodelasx.
m=tan
Paracalcularlapendientesoloesnecesariocalcularlatangentedelnguloformadoentreelejexylarectapar*endodelahorizontalyensen*doan*horario
EDCOM-ESPOL
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PendientedelaRectadesdedospuntos
Nosiemprenosdanelngulodeinclinacindelarecta,sinoquenosdandospuntosconcoordenadas(x,y).
Enestoscasosu*lizamoslaformula:
Dadoslospuntos(-1,-2)y(4,3)
EDCOM-ESPOL
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m =y2 y
1
x2 x
1
m =
3 (2)
4 (1)
m =
3+ 2
4+1
m =
5
5=1
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EDCOM-ESPOL
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x
y
m=tang
m =y2 y
1
x2 x
1
m =3 (2)
4 (1)
m =3+2
4+1
m =5
5=1
Subolaunidadyavanzounoaladerecha
x
y
(-1,-2)
(4,3)
EDCOM-ESPOL
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x
y
Noexistem
x
y
m=0
Tiposdependientes
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Rectacrecienteydecreciente
EDCOM-ESPOL
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x
y
RectaDecreciente
m0
CuadranteI
CuadranteIII
Grficas
deecuacionesde
Primergrado
EDCOM-ESPOL
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Rectas
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Consideracionesenlasecuaciones
Siempre que nos den una ecuacin y tengamos que graficarla, debemosdejarlaexpresadaenbaseay.
Sinospidengraficarunarectadeforma: pendienteyordenadaalorigendeunaecuacinlineal,esdelaformay=mx+b
Recordarlafrmuladelapendiente
EDCOM-ESPOL
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m =y2 y
1
x2
x1
Recta
Todaecuacindeprimergrado,esunalnearecta. Lasecuacioneslinealesselasrepresentaconlafuncinlineal(recta) Larectaeselresultadoderepresentar2*posdefunciones:
Linealesodeproporcindirecta,pasanporelorigenysondelaformay=k.x kesunaconstante
Afines,nopasanporelorigenysondelaformay=mx+b mybsonconstantesybes0
EDCOM-ESPOL
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FuncinLinealdeProporcinDirecta
EDCOM-ESPOL
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LaproporcindirectamencionabaquelarelacinentreXyYeraunaconstante.Analizandoelgrficosevisualizaquesi X aumenta, Y tambinaumenta enla mismaproporcin.
Deestopodemosdeducirque:
Las ecuaciones con 2 variables pueden serllevadasafuncionesyrepresentanrectas
Las funciones cuyas grficas son rectas quepasan por el origen se l laman funciones
linealesodeproporcionalidaddirecta
y
x= k y = k x x y=2.x
0 0
2 43 6
Paralaconstantek=2
x
y
(2,4)
(3,6)
(0,0)
FuncionesAFINES
EDCOM-ESPOL
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SonRECTASQUENOPASANPORELORIGEN,ysonfuncionesdelaforma
y=mx+b (b 0)
x,bsonconstantes, meslapendienteoinclinacindelarecta. beslaordenadaenelorigen,eselvalorquegraficoenyparax=0.
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EDCOM-ESPOL
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x y=2.x+3
0 3
2 7
-2 -1
Dadalaecuacin:y=2x+3
pendiente
Valorenyconrespectoax=0
Elaboromitablaconvaloresaleatorios
parax,ylosreemplazoenlaecuacin
x
y
(0,3)
(2,7)
(-2,-1)
Coordenadas
EDCOM-ESPOL
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x y=3.x-2
0 -2
1 1
3 7
Dadalaecuacin:y=3x-2
pendiente
Valorenyconrespectoax=0
Elaboromitablaconvaloresaleatorios
x
y
(0,-2)
(1,1)
(3,7)
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FrmulaPUNTO-PENDIENTE
EDCOM-ESPOL
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Permite a par*r de un punto calcular la pendiente de la recta y desde ahobtenerlaecuacinoriginal
(-1,-2)y(4,3)
m =
y2 y
1
x2 x
1
m =3(2)
4 (1)
m =
3+ 2
4+1
m =
5
5=1
y2 y
1=m(x
2 x
1)
y2
3=1(x2
4)
y2=1(x
2 4)+3
y = x 4+3
y = x1
y2 y
1=m(x
2 x
1)
y2 (2) =1(x
2 (1))
y2=1(x
2+1)2
y = x +1 2
y = x 1
Clculodelapendiente
EDCOM-ESPOL
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Hallelapendienteapar*rde2coordenadasysuecuacinoriginal
(4,7);(-2,-3) (3,9);(3,5) (-5,8);(4,-6) (6,8);(12,8)
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Rectasparalelas
Dosrectassonparalelas,si: Tienenlamismapendiente. Algraficarlas,stasnuncasecruzanentres
Considereque:
Siledan2ecuaciones,escrbalasdelaformapendiente-ordenadaalorigenycomparelaspendientesdelasdosrectas.
Si ambas ecuaciones *enen lamismapendiente y lamismaordenadaalorigenentoncesambasecuacionesrepresentanlamismarecta.
EDCOM-ESPOL
28
EjemplosdeRectasparalelas
EDCOM-ESPOL
30
x y=2.x+4
-2 0
0 4
1 6
x y=2.x1
0 -1
2 3
3 5
y = 2x + 4
4x+ 2y = 2
2y = 4x2
y = 2x 1
x
y
(-2,0)
(0,4)
(1,6)
(0,-1)
(2,3)
(3,5)
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RectasPerpendiculares
Dosrectassonperpendiculares,si: Se cruzan en un punto de ambas
rectas y forman 4 ngulos rectos(de90).
Tienen sus pendientes inversas ycambiadasdesigno
,sielproductodesuspendientesda-1.
EDCOM-ESPOL
31
m1m
2= 1
m1=
1
m2
m1= 2 m2 =
1
2
La grfica de las funciones cuadrticas se llama parbola.
Las funciones cuadrticas son de la forma y = ax2 + bx + c con a 0.
Si a > 0 la parbola est abierta hacia arriba.
Si a < 0 la parbola est abierta hacia abajo.
y = x2
y = x2 4x
a > 0y = x2 + 2
y = x2
y = x2 3
a < 0
Funcincuadrtica(segundogrado)
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Cmoresolverecuacionescuadrticas
6x2-7x- 3
Factorizacin6x2-7x- 3
36x2-7(6x)- 18
(2x - 3) . (3x+ 1)
Valores para X:
x1= 3/2 x2= -1/3
x1= 1,5 x2= -0,33
EDCOM-ESPOL
35
ResolucinporEcuacinCuadrtica
Laecuacincuadr*capermiteresolverCUALQUIERecuacinde2dogrado:
Laexpresindentrodelsignoderazcuadrada,sellamadiscriminante,elmismo*enelassiguientesconsideraciones:
EDCOM-ESPOL
36
x =b b
24ac
2a
b2-4ac NmerodeSoluciones
Posi*vo Dossolucionesrealesdis*ntas
0 Unanicasolucin
Nega*vo No*enesolucionesreales
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EDCOM-ESPOL
37
x=(7) (7)
24(6)(3)
2(6)
x=
7 49 (72)
12=
17 49+ 72
12
x= 7 12112
= 71112
x1=7+11
12=18
12=3
2=1,5
x2 =711
12=
4
12=
1
3= 0,33
6x2-7x- 3
a=6 b=-7 c=-3
x =b b
24ac
2a
EDCOM-ESPOL
38
6x2-7x- 3
a=6 b=-7 c=-3
Vr*ce de la parbola, la coordenada del vr*ce (x,y) est dada por lasfrmulas:
x =b
2a
y = cb2
4a
x=
(7)
2(6)=
7
12=
0, 5833
y =3(7)
2
4(6)=3
49
24=
121
24=5, 0416
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EDCOM-ESPOL
41
x=
(17) (17)24(4)(15)
2(4)
x=
17 289240
8
=
17 49
8x=
177
8
x1 =
24
8= 3
x2 =
10
8=
5
4
Resolver4x2-17x+15=0,dondea=4,b=-17yc=15
x =b b
24ac
2a
y=
c
b2
4a
y =15(17)
2
4(4)=15
289
16=
y =49
12=4, 083
x =b
2a
x =(17)
2(4)=
17
8= 2,125