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Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en matemáticas
Análisis Numérico I
6° cuatrimestre
Facilitador:
Alejandro Salazar Guerrero
Alumno AL12514074:
Fernando Velázquez Ramírez
Grupo: MT-MANU1-1402C-001
Unidad 2. Sistemas numéricos
Clave:
050920624/ 060920624
Julio2014
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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Actividad 1. Sistemas de números y error.
En esta actividad vamos a practicar la estructura y representación de los sistemas de punto flotante así como analizar el error inducido al hacer operaciones
Recuerda que un conjunto de punto flotante está descrito por la tupla¿ β , p , eMIN ,e MAX>¿
Conjuntos de punto flotante
1) Considera los siguientes números definidos en él conjunto de punto flotante FLdescrito por F L¿10,5 ,−3,4>¿¿
Solución:Para solucionar estos ejercicios consideramos lo siguiente:
s corresponde al signo. m corresponde a la mantisa. e corresponde al exponente.
a≔ 4.5230 ×104
Primero convertimos el número entero:
4: 2 4 dividido 2
0 2: 2 2 dividido 2
0 1: 2 1 dividido 2
1 1 Es el primer digito del número binario
4 = 1002
El número decimal multiplicamos por dos y obtenemos lo siguiente:
0.5230 * 2 = 1.046 = 11.046 * 2 = 0.092 = 00.092 * 2 = 0.184 = 00.184 * 2 = 0.368 = 00.368 * 2 = 0.736 = 00.736 * 2 = 1.472 = 10.472 * 2 = 0.944 = 0
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0.944 * 2 = 1.888 = 10.888 * 2 = 1.776 = 10.776 * 2 = 1.552 = 1
0.5230 = 10000101112
Por lo anterior decimos que:4.5230 x 104 = 100.10000101112
Forma normalizada o desnormalizamos el número obtenido:
100.100001 0111 = 1.0010000101112 x212
Eliminando el 1 y complementamos a 23 bits, se tiene:
m = 00100001011100000000000Exponente e = 127 + 12 = 139 = 100010112
El signo s es 0 (número positivo)El resultado completo es:
0100 0101 1001 0000 1011 1000 0000 00002
b≔2.1153 ×10−3
Primero convertimos el número entero:
2: 2 2 dividido 2
0 1: 2 1 dividido 2
1 1 Es el primer digito del número binario
2 = 102
El número decimal multiplicamos por dos y obtenemos lo siguiente:
0.1153 * 2 = 0.2306 = 00.2306 * 2 = 0.4612 = 00.4612 * 2 = 0.9224 = 00.9224 * 2 = 1.8448 = 10.8448 * 2 = 1.6896 = 10.6896 * 2 = 1.3792 = 10.3792 * 2 = 0.7944 = 00.7944 * 2 = 1.5888 = 10.5888 * 2 = 1.1776 = 1
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0.1776 * 2 = 0.3552 = 0
0.1153 = 00011101102
Por lo anterior decimos que:2.1153 x 10-3 = 10.00011101102
Forma normalizada o desnormalizamos el número obtenido:
10.0001110110= 1.000011101102 x211
Eliminando el 1 y complementamos a 23 bits, se tiene:
m = 00001110110000000000000
Exponente e = 127 + 11 = 138 = 100010102
El signo s es 0 (número positivo)El resultado completo es:
010001010000011101100000000000002
c :=2.5834 ×101
Primero convertimos el número entero:
2: 2 2 dividido 2
0 1: 2 1 dividido 2
1 1 Es el primer digito del número binario
2 = 102
El número decimal multiplicamos por dos y obtenemos lo siguiente:
0.5834 * 2 = 1.1668 = 10.1668 * 2 = 0.3336 = 00.3336 * 2 = 0.6672 = 00.6672 * 2 = 1.3344 = 10.3344 * 2 = 0.6688 = 00.6688 * 2 = 1.3376 = 10.3376 * 2 = 0.6752 = 00.6752 * 2 = 1.3504 = 1
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0.3504 * 2 = 0.7008 = 00.7008 * 2 = 1.4016 = 1
0.5834 = 10010101012
Por lo anterior decimos que:2.5834 x 101 = 10.10010101012
Forma normalizada o desnormalizamos el número obtenido:
10.1001010101= 1.010010101012x211
Eliminando el 1 y complementamos a 23 bits, se tiene:
m = 01001010101000000000000
Exponente e = 127 + 11 = 138 = 100010102
El signo s es 0 (número positivo)El resultado completo es:
0100 0101 0010010101010000000000002
Realiza las siguientes operaciones
a+b+c b) a−b−c c) a /c d)a−ba¿a+b+c
Valor real:
x=a+b+c3
=13(a+b+c)
Valor medido:x̂
Cond=|f ( x̂)−f (x )(x ) |
Cond=| x̂−13
(a+b+c )
13
(a+b+c ) |
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Cond=3|13
(−a−b−c )+ x̂
a+b+c |b¿a−b−c
Valor real:
x=a−b−c3
=13(a−b−c )
Valor medido:x̂
Cond=| x̂−xx |
Cond=| x̂−13
(a−b−c )
−13
(a−b−c ) |Cond=3|1
3(−a+b+c )+ x̂
−a+b+c |c ¿ a
c
Valor real:ac
Valor medido:x̂
Cond=| x̂−xx |
Cond=| x̂−ac
ac
|Cond=
c ( x̂−ac )
a
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d ¿a−b
Valor real:x=a−b
Valor medido:x̂
Cond=| x̂−xx |
Cond=| x̂−(a−b)(a−b) |
Cond=|−a+b+ x̂a−b |
2) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto FL?
El sistema de punto flotante FL es un conjunto de todos los números f (x) tal que se representa de la forma:
fl ( x )=±(d0+d1
β1
+d2
β2
+…+d p−1
β p−1 )× βe
Donde e∈ se llama exponente o característica, la secuencia de dígitos (llamada cadena de caracteres o simplemente cadena) se denomina mantisa 0 ≤ d i≤ β, Los números que caracterizan a nuestro conjunto de punto flotante son:
β basep presici ó n
[eMIN , eMAX ]Rango de exponentes
FL=2 ( β−1 ) β p−1 (eMAX−eMIN +1 )+1
FL=2 (10−1 ) 105−1 (−3−4 )+1FL=1,440,001
3) ¿Cuáles son los valores de UFL y OFL?
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Los valores mínimos y máximos se denominan underflowlevel (UFL) y overflowlevel (OFL) respectivamente, el resultado sería:
UFL=βL
UFL=10−3
UFL=0 . 001
OFL=βeMAX+1 (1−β−P )
OFL=10−3+1 (1−10−5 )OFL=99 . 999
4) ¿Cuánto vale ϵ Mach?
Al puntualizar aeps=ϵMach=β2
β2para establecer el criterio de redondeo de un
valor real x al flotante fl ( x )superior y así poder determinar con epsel error relativo del redondeo.
eps=ϵMach=β2
β−2
ϵ Mach=β2
β−2
ϵ Mach=102
(10 )−2
ϵ Mach=0.05
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