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Probabilidade e EstatProbabilidade e Estat íísticasticaProf. Dr. Narciso GonProf. Dr. Narciso Gon ççalves da Silvaalves da Silvahttp://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilvahttp://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva
Inferência EstatInferência Estat íística e Distribuistica e Distribui çções ões AmostraisAmostrais
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Inferência EstatInferência Estatíísticastica
O objetivo principal da inferência estatística é obter informações sobre determinada característica da população baseando-se apenas das informações obtidas de uma amostra.
Parâmetro: quantidades da população, em geral, desconhecidas e sobre as quais temos interesse. Representados por letras gregas: µ, σ, etc.
Estatística: quantidades calculadas com base nos elementos da amostra. Representadas por letras do alfabeto latino: , s, etc.
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Inferência EstatInferência Estatíísticastica
Estimador: é uma estatística destinada a estimar um parâmetro de interesse da população. Por exemplo: é um estimador de µ.
Estimativa: é o valor numérico do estimador.
µ
2σ
n N
p̂ p
Denomina ção Estimador Parâmetro
Média
Variância
Número de elementos
Propor ção
X2S
µ̂
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Inferência EstatInferência Estatíísticastica
Vício ou viesado: um estimador é não viciado ou não viesado para um parâmetro θ se , ou seja, se a esperança matemática do estimador é igual ao valor do parâmetro.
Consistência: um estimador é consistente, se àmedida que o tamanho da amostra aumenta, sua esperança matemática converge para o parâmetro de interesse e sua variância converge para zero.
Eficiência: dados dois estimadores e , não
viciados para uma parâmetro , dizemos que é
mais eficiente que se V( ) < V( ).
^
1θ^
2θθ
^
1θ^
2θ^
2θ
^
1θ
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DistribuiDistribuiçções Amostraisões Amostrais
As estatísticas e os parâmetros são funções de variáveis aleatórias e são, também, variáveis aleatória, portanto possuem distribuição de probabilidade, esperança matemática e variância.
Distribuições amostrais são distribuições de probabilidades para estimadores como média, variância e proporção.
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
Considere uma população em que a VA X assume os valores do conjunto {1, 3, 5, 5, 7}. A distribuição de probabilidade de X é dada por:
µ = E(X) = 1.1/5 + 3.1/5 + 5.2/5 + 7.1/5 = 4,2
σ²= V(X) = (1-4,2)2.1/5 + (3-4,2)2.1/5 + … + (7 – 4,2)2.1/5 = 4,16
X = x 1 3 5 7
P(X = x) 1/5 1/5 2/5 1/5
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
Vamos relacionar todas as amostras possíveis de tamanho n = 2, selecionadas ao acaso e com reposição dessa população, e encontrar a distribuição da média amostral de tal que:
sendo:: valor selecionado na primeira extração, : valor selecionado na segunda extração
221 xx=x +
x
x1
x2
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
A distribuição de probabilidade para a média amostral é:
x
xσ² = V( ) = (1 – 4,2)2.1/25 + ... + (7 – 4,2)2.1/25 = 2,08
µ = E( ) = 1.(1/25) + 2.(2/25) + … + 7.(1/25) = 4,2x
σ² = V( ) = 4,16/2
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
Repetindo o mesmo procedimento para amostras de tamanho n = 3, tem-se a seguinte distribuição de probabilidade para a média amostral:
x
x
E( ) = 1.(1/125) + ... + 7.(1/125)
E( ) = 4,2
V( ) = (1–4,2)2.1/125 + … + (7-4,2)2.1/125
V( ) = 1,39 = 4,16/3
x
x
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
Os histogramas correspondentes da variável aleatória X e da variável aleatória para n = 2 e n = 3 estão apresentados abaixo:
x
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Dos histogramas observamos que: • Conforme n aumenta os valores
da média amostral tendem a se concentrar cada vez mais em torno da E(X), pois a variância diminui
• Os valores extremos passam a ter pequenas probabilidades de ocorrência
• Conforme n aumenta, a forma da distribuição das médias se aproxima da distribuição normal
1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
Observação:
Logo, se X tem média µ e variância então
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
Exemplo 1:Uma variável aleatória X assume os valores 3, 6 e 8 com, respectivamente, probabilidades 0,4; 0,3 e 0,3. Uma amostra de 40 observações com reposição éobtida aleatoriamente. Qual a probabilidade da média amostral ser maior que 5?
Exemplo 2:O faturamento diário de um supermercado estánormalmente distribuído com média de R$ 20.000,00 e desvio-padrão de R$ 2000,00. Qual a probabilidade do faturamento ultrapassar R$ 1230000,00 em 60 dias?
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
Exemplo 3:Considere que a distribuição dos níveis de colesterol para todos os homens de 20 a 74 anos está normalmente distribuído com média 211 mg e desvio-padrão de 46 mg. Selecionando 25 homens desta população, determine: a) A proporção destes 25 homens que terá um valor médio inferior a 230 mg;b) O valor médio de nível de colesterol que limita os 10% dos valores mais baixos da distribuição amostral;c) Os limites superior e inferior que incluem 95% das médias das amostras de tamanho 25;d) Qual deve ser o tamanho das amostras para que 95% de suas médias se encontrem a ±5 mg da média da população?
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1. Distribui1. Distribuiçção Amostral da Mão Amostral da Méédiadia
Se amostra de tamanho n é retirada de uma população finita (sem reposição) de tamanho N (N > n), utiliza-se o fator de correção para a variância.
Exemplo:As lâmpadas fabricadas por uma indústria tem duração média de 800 horas e desvio-padrão de 100 horas. Éescolhida aleatoriamente 200 lâmpadas de um lote de 2000 lâmpadas. Determine a probabilidade da média destas lâmpadas escolhidas ser superior a 810 horas.
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2. Distribui2. Distribuiçção Amostral da Proporão Amostral da Proporççãoão
Considere que a proporção de elementos de uma população com determinada característica é p.
Para cada elemento da população pode ser definida uma VA X tal que:
Ou seja, X é uma VA com distribuição de Bernoulli com E(X) = p e V(X) = p.(1 – p).
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2. Distribui2. Distribuiçção Amostral da Proporão Amostral da ProporççãoãoSeja x1, x2, ... , xn uma amostra simples retirada aleatoriamente com reposição dessa população e, seja, Sn = x1 + x2 + .... + xn o total de elementos portadores da característica na amostra.
Sn tem distribuição binomial com parâmetros n e p.
A proporção amostral pode ser reescrita como:
Logo,
Então, é um estimador não viciado e consistente para p.
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2. Distribui2. Distribuiçção Amostral da Proporão Amostral da Proporççãoão
Utilizando o Teorema do Limite Central tem-se que a distribuição amostral de para n suficientemente grande tem distribuição normal com µ = p e σ2 = p.(1 – p)/n.
Ou seja,
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2. Distribui2. Distribuiçção Amostral da Proporão Amostral da Proporççãoão
Exemplos:
1)A proporção de peças defeituosas de um lote é de 40%. Foi coletada aleatoriamente uma amostra de 30 peças com reposição. Determine a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor que 50%.
2)Qual a probabilidade de ocorrer entre 40% e 50% de caras em 120 lançamentos de uma moeda não viciada?
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3. Distribui3. Distribuiçção Amostral da Diferenão Amostral da Diferençça de Ma de Méédiasdias
Sejam duas populações 1 e 2, com médias µ1 e µ2 e desvios-padrão σ1 e σ2, respectivamente. São retiradas, independentemente e com reposição, amostras de tamanho n1 da população 1 e de tamanho n2 da população 2. De todas as possíveis amostras retiradas pode-se obter a distribuição amostral da diferença entre as duas médias. Se n1 e n2 forem suficientemente grandes:
), -(~)-(2
22
1
21
2121 n+nNxxσσ
µµ
Logo:
2
22
1
21
2121 ) -(- )-(
n+n
xx=z
σσ
µµ
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Exemplo:
As lâmpadas elétricas do fabricante A têm duração média de 1400 horas, com desvio-padrão de 200 horas, enquanto as do fabricante B têm duração média de 1200 horas, com desvio-padrão de 100 horas. Se forem ensaiadas amostras aleatórias de 125 lâmpadas de cada marca, qual será a probabilidade de que as lâmpadas da marca A tenham vida média maior do que as da marca B de pelo menos 160 horas ?
3. Distribui3. Distribuiçção Amostral da Diferenão Amostral da Diferençça de Ma de Méédiasdias
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4. Distribui4. Distribuiçção Amostral da Diferenão Amostral da Diferençça de Propora de Proporççõesões
Considere que seja extraídas amostras de tamanho n1 da população 1 cuja proporção de elementos com uma determinada característica seja p1 e que se seja extraídas amostras de tamanho n2 da população 2 cuja proporção de elementos com a referida característica seja p2. A distribuição amostral da diferença das duas proporções édada por:
Logo:
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Exemplo:
Duas pessoas A e B jogam uma partida do tipo “cara e coroa” onde cada uma lança 50 vezes uma moeda não viciada. O jogador A vencerá o jogo se conseguir 5 ou mais caras do que o jogador B e, se isso não ocorrer, o jogador B vencerá. Determine a probabilidade de cada jogador ganhar.
4. Distribui4. Distribuiçção Amostral da Diferenão Amostral da Diferençça de Propora de Proporççõesões
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Tabela ZTabela Z