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Hipótesis simplificativas en 2D
5 mA 2,3 m
2
1
2 t9
3
67
2,3 m2,3 m B
5
13
4
11
12
10
8
2 t
1 t
1 t
1 t 2 t
1 t/m
1
0,75 t 0,75 t3,00 t 3,00 t2,00 t 2 3
54 8 92,60
6 7
2 t
5 2 t11
2 t
2 t
2 102 m 2 t
43
76
B
2 m1
8
A
92 t 12 C
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
5º/ En estructuras isostáticas, dos bielas que se cortan equivalen a un apoyo fijo en el punto de encuentro. (No en estructuras hiperestáticas).
6º/ En estructuras isostáticas, un apoyo móvil equivale a una biela en la dirección perpendicular al plano de apoyo. (No en estructuras hiperestáticas.
7º/ Las estructuras isostáticas pueden resolverse, es decir, calcular las reacciones en los apoyos y la solicitación axil de las barras, utilizando sólo las ecuaciones de equilibro. De este modo se desprecia la pequeña variación de longitud del as barras. (Nunca en estructuras hiperestáticas.
1º/ Los nudos son articulaciones perfectas.
2º/ Todos los nudos, barras, acciones y reacciones están en el mismo plano.
3º/ Las cargas actúan en los nudos, en caso contrario se llevan a ellos, para una primera aproximación.Si la cargas están en los nudos, las barras sólo tienen trabajo axil.
4º/ El peso propio es, en general, despreciable.
9º/ Convenio: tracción + y compresión -.
8º/ Las barras son de directriz recta y si no lo fueran a efectos del análisis se sustituyen por una barra recta. Posteriormente se procede a calcular la barra curva.
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Cerchas, resumen proceso trabajo
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
7º/ Si en un nudo descargado hay solamente dos barras y no están en prolongación las dos barras son iguales y con tensión nula.
8º/ En un nudo en el que concurren tres barras, si dos de ellas están en prolongación siempre se puede determinar la tercera. En particular si el nudo estádescargado la tercera barra resulta con tensión nula.
1º/ Se determinan las reacciones como si fuese una viga teniendo en cuenta solamente las cargas y los apoyos.
En el caso de ménsulas es contrariamente las reacciones lo último que se halla.
2º/ Se empieza por un nudo que tenga como máximo dos fuerzas desconocidas.
4º/ El último nudo que se calcula sirve siempre de comprobación porque en en él se determina una barra ya calculada anteriormente.
5º/ Si la cercha es simétrica de cargas y apoyos, las reacciones son siempre iguales entre si, e iguales a la mitad de la carga .
6º/ Si la cercha es simétrica de cargas apoyos y estructura, es suficiente calcular la mitad de la cercha porque la otra mitad es exactamente igual.
3º/ En el equilibrio del cada nudo al cerrar el polígono de fuerzas, los sentidos que se obtienen son los de las reacciones y por tanto toda barra que parece comprimida, está en realidad traccionada y viceversa.
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Método de los nudos: analítico y semigráfico I
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
M Fh = 0
M Fv = 0
M Fh = 0
M Fv = 0
M Fh = 0
M Fv = 0
M Fh = 0
M Fv = 0
α =arctg. 3/6 =26,565º
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Método de los nudos: analítico y semigráfico II
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
M Fh = 0
M Fv = 0
M Fh = 0
M Fv = 0
M Fh = 0
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Método de Cremona - Maxwell
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
2n – r = b
2(8) - 3 = 13 → OK
Reticulado simple y completo.
Sustentación isostática.
ISOSTÁTICA conjunto.
Secuencia equilibrio nudos: A, H, B, C, D, E
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Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
n= 15 b = 27 r = 3
2n – r = b
2(15) - 3 = 27 → O
Reticulado Compuesto y completo.
Sustentación isostática.
ISOSTÁTICA
Método de Ritter o de las secciones
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Método de las secciones en vigas de celosía
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Suma de momentos para obtener la fuerza Nl
Suma de momentos para obtener la fuerza DO
Suma de fuerzas verticales para obtener la fuerza ON
Fuerzas en N. distancias en pies.
R1 = 3000 N. R2 = 3000 N.6 de 12 ´ = 72´ ( 22 m.)
10 ´ ( 3, 05 m.)
Suma de fuerzas verticales para obtener la fuerza MN
NI
DO
MN ON
Diagrama de cuerpo libre para el análisis de la sección cortada
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Las vigas de celosía en arquitectura
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Maqueta del proyecto no realizado para el teatro de Manheim donde la malla plana se convierte en un elemento arquitectónico
Sistema Skyway Fairview- St. Mary, Minneapolis, Minesota.
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Puente carril bici y paso peatonal elevado Av. de los Andes (2006)
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
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Método de la doble sección de Ritter
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
3 6 3 63,75 3,750 4*5 * * 0 1,875 1,875 20
2 2BM N N N NΣ = → − − + = → − + =
3 6 3 6
3 6
0 2*6 1*9,75 4*5 9,75 6 0 9,75 6 41,756,714 . 3,952 .
AM N N N NN t N tΣ = → + + + + = → + = −
= − = +
← Rbx = 2,762 t.
↑ Rby = 6,00 t.
← Rax = 0,238 t.
↑ Ray = 6,00 t.
2n – r = b
2(7) - 4 = 10 → OK
Reticulado incompleto
Base fija
ISOSTÁTICA
Reticulado incompleto.
Base fija.
Isostática conjunto.
Compuesta.Secuencia equilibrio nudos: E, F, D, C, G
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Método de superposición: Henneberg
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Na (0) + [Na (I)]*X = 0 → X = -Na (0) / Na (I) = N9
Estado Real = Estado auxiliar (0) + Estado auxiliar (I)
9
8
*N9
*N9
N9 = X
N9 = -[ -8,72 / 0,915] = +9,53 t.
2n – r = b
2(6) - 3 = 9 → OK
Isostática conjunto.
Compleja.
Nótese que, en este caso, sólo es necesario conocer la solicitación de la barra “a”en los dos estados virtuales para poder conocer el valor de la barra sustituida “9”.
Conocida la solicitación axil de la barra “9” se puede operar de dos maneras:
a/ Resolver la estructura real, ya que se puede empezar por el nudo “D”.
b/ Para cualquier barra aplicar la fórmula: Nj real = Nj (0) + [Nj (I) * X ]
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Arco triarticulado (arco isostático)
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Ecuaciones equilibrio general
Σ Fh = 0 → Ah + Bh ± ∑ Pih = 0Σ Fv = 0 → Av + Bv ± ∑ Piv = 0Σ MB = 0 → Ah* d ± Av * L ± ∑ Pi * bi = 0
Ecuación añadido de equilibrio (sólo de una de las partes: izda o dcha)
Σ MC ( izda) = 0 → Ah * f ± Av* a ± ∑ Pi * ci = 0
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Eiffel 1889 galería máquinas (exposición muldial de París)
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
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Eiffel 1889 maqueta galería máquinas
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
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Arco 3 articulaciones ejercicio nº 1
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Arco tres articulacione Eiffel
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Peter Behrens 1909 nave de turbinas fábrica A.E.G. Berlín
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
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Arco 3 articulaciones ejercicio nº 2
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
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Arco de 3 articulaciones ejercicio nº 3
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Si el empuje del arco no es soportado por sus elementos extremos el arco se abre separándose sus apoyos laterales.
Si el arco recibe de otros un empuje mayor que “H” el arco falla y se cierra aproximándose sus apoyos laterales.
Arriostramiento con muro contrafuerte o arbotantes
FF
FF
Arco de medio punto
F
Ha
HaHa =1,763 t.
Hb
Hb
Hb = 3,725 t.
(a)
(b)
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Reacciones arco de tres articulaciones gráficamente
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Se trata de resolver el polígono funicular que pasa por tres puntos: A, C y B.
Ri
P
P
2
3
85
6
9
10
11
12
7
P2
B
PjPi
C 4
A
1
P1
Pn
P3
2
3
85
6
9
10
11
12
7
P2
B
PjPi
C 4
A
1
P1
Pn
P3
Rd
Descompondremos las acciones exteriores en dos sistemas:
1/ Zona izquierda, desde la articulación “A” hasta la articulación intermedia “C”.
2/ Zona derecha, desde la articulación intermedia “C” hasta la articulación “D”.
3/ Obtendremos la resultante de fuerzas a la izquierda Ri y la resultante de fuerzas a la derecha Rd.(Si hubiera alguna carga “ P ” aplicada directamente en la rotula “ C ” la podemos ponerla en la izquierda, en la derecha, o una fracción de la carga en la izquierda y el resto en la derecha.
Tendremos entonces:
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Reacciones arco de tres articulaciones gráficamente
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
A continuación aplicaremos el principio de superposición descomponiendo el problema en dos estados: Estado 1 y Estado 2.
P
Ri
P
Rd
Rb2
Ra2Equilibrio de 3 fuerzas
Ra1
Rb1
Ri
2
3
8 5
6
9
10
11
12
7
P2
B
PjPi
C 4
A
1
P1
Pn
P3
Rd
=
+
2
3
8 5
6
9
10
11
12
7
P2
B
PiC 4
A
1
P1
P3
Ri
2
3
8 5
6
9
10
11
12
7
B
PjC 4
A
1 Pn
Rd
Estado real = 1 + 2
Estado 1
Estado 2
Rb1Ra1
Equilibrio de 3 fuerzas
Ra2 Rb2
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Reacciones arco de tres articulaciones
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
A: Superposición estados 1+2 (Ra1+ Rb1) + (Ra2 + Rb2).
B: Se agrupan las reacciones parciales de sus apoyos (Ra1 + Ra2) y (Rb1 + Rb2), y se obtiene el punto solución única del problema.
C: Se obtienen la fuerza Rc que pasa por la clave.
D: Se obtienen la reacciones totales en los apoyos: Ra y Rb.
E: Coordenadas cartesianas reacciones: (Ra = Rax + Ray) y (Rb = Rbx + Rby).
A B C D E
Comprobación gráfica.
Comprobación gráfica. Funicular que pasa por tres puntos: A C B
2
3
8 5
6
9
10
11
12
7
P2
B
PjPi
C 4
A
1
P1
Pn
P3
Rd
=
Estado real = 1 + 2
Ra1
Rb1
Ri
Rd
Rb2
Ra2
Ri
Rd
Rb1
Rb2
Ra1
Ra2
Rc
Ri
P
Ri
Rd
Rb1
Rb2
Ra1
Ra2
Rc
Ra
Rb
Ri
Rd
Rc
Ra
Rb
Ri
Rd
Rc
Ra
Rb
Rax
Rbx
Ray
Rby
+
2
3
8 5
6
9
10
11
12
7
P2
B
PiC 4
A
1
P1
P3
Ri
2
3
8 5
6
9
10
11
12
7
B
PjC 4
A
1 Pn
Rd
Estado 1
Estado 2
Rb1Ra1
Ra1
Rb1
Ri
Equilibrio de 3 fuerzas
Ra2Rb2
Rd
Rb2
Ra2
Equilibrio de 3 fuerzas
P
Rb
Rc
Ra
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Partes del arco
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Esquema construcción arco
Arco de piedra de espesor mínimo en la clave
Arco de medio punto
Equilibrio de fuerzas: F↓ = F↑
Hay desequilibrio de momentos: F*Dh ≠0
Aparece entonces H para equilibrar
Equilibrio de momentos: F*Dh= H*Dv
El empuje H caracteriza al arco
F
F
Dh
Dv
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El pandeo en el arco
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
.
En el arco hay que tener en cuenta también su tercera dimensión, es decir, espesor.
Se trata de evitar los dos tipos de pandeo:
1/ Pandeo en su plano.
2/ Pandeo lateral fuera de su plano, es decir, en un plano perpendicular al suyo
Arco portante puente
Arco Constantino (Roma) Arco Septimio Severo (Livia)
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Ejemplos arco de tres articulaciones
5432
Este ejercicio puntúa sobre 10 puntos
ESCUELA UNIVERSITARIA DE ARQUITECTURA TÉCNICA Dpto. "TECNOLOGÍA DE LA EDIFICACIÓN"(223) ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN IIEXAMEN EXTRAORDINARIO (11/09/2007)
1/ Analizarla y clasificarla.
De la estructura de acero croquizada, de peso propio despreciable, se pide:
761B
N +
Apellidos: Nombre: D.N.I.: G
B
2/ Obtener analítica y gráficamente las reacciones ( componentes horzontal y vertical).
C
4/ Calcular los desplazamientos horizontal y vertical del nudo F ( indicando módulo, dirección y sentido).
Nota: todas las barras A=14,8 cm
N -
3/ Obtener las solicitaciones en todas las barras.
2
D
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m
4
2 3
1
5 6
7 8
9 10
A
E
G
F
3 t
2 t
0,75 t
3 t
3 t0,75 t
1 t
4 t3 t
3,75 m
1,44 m
2,89 m
8 109
0,75 t
5/ Es tolerable el desplazamiento vertical del nudo F si la flecha admisible es: L/1000.
L = 12,5 m
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
5432
Este ejercicio puntúa sobre 10 puntos
ESCUELA UNIVERSITARIA DE ARQUITECTURA TÉCNICA Dpto. "TECNOLOGÍA DE LA EDIFICACIÓN"(223) ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN IIEXAMEN EXTRAORDINARIO (14/12/2007)
1/ Analizarla y clasificarla.
De la estructura de acero croquizada, de peso propio despreciable, se pide:
761B
N +
Apellidos: Nombre: D.N.I.: G
B
2/ Obtener analítica y gráficamente las reacciones ( componentes horzontal y vertical).
C
4/ Calcular los desplazamientos horizontal y vertical del nudo D ( indicando módulo, dirección y sentido).
Nota: todas las barras A=14,8 cm
N -
3/ Obtener las solicitaciones en todas las barras y dibujar a escala los de las barras: 9,10,11.
2
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m
2
4
1
7 6
5
8
3
AE
F
3 t
2 t
3 t1,60 t
1 t
4,5 t3 t
8
11
10
10 t
0,5 m.
4 m.
1 m.
9
D
HG
2 m.
4,33 m.
6 m.
5,33 m.
NN V M V M