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MATEMTICAS
CONTENIDO.
1.0 Aritmtica1.1 Nmeros reales1.2 Divisibilidad1.3 Operaciones con nmeros racionales1.4. Razones y proporciones1.5 Regla de tres1.6 Tanto por ciento
2.0 Algebra2.1 Propiedades y definiciones2.2 Leyes de los signos2.3 Signos de agrupacin2.4 Evaluacin de expresiones algebraicas2.5 Lenguaje algebraico
2.6 Leyes de los exponentes2.7 Operaciones Algebraicas2.8 Radicales2.9 Productos notables2.10 Factorizacin
3.0 Ecuaciones3.1 Ecuaciones de primer grado con una incgnita3.2 Desigualdades de primer grado con una incgnita3.3 Sistema de ecuaciones 2 ecuaciones con 2 incgnitas3.4 Sistema de ecuaciones 3 ecuaciones con 3 incgnitas3.5 Ecuaciones de segundo grado con una incgnita
4.0 Algebra de Funciones4.1 Dominio y rango
4.2 Funciones y relaciones4.3 Funciones logartmicas y exponenciales
5.0 Geometra Euclidiana5.1 ngulos complementarios y suplementarios5.2 Conversin de grados a radianes y viceversa
6.0 Trigonometra6.1 Teorema de Pitgoras6.2 Funciones trigonomtricas6.3 Identidades trigonomtricas
7.0 Recta7.1 Distancia entre dos puntos7.2 Punto medio del segmento de recta7.3 Pendiente de la recta7.4 Ecuacin de la recta7.5 Paralelismo y perpendicularidad
8.0 Circunferencia8.1 Forma cannica8.2 Forma general
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9.0 Parbola9.1 Horizontal y vertical con vrtice en el origen9.2 Horizontal y vertical con vrtice fuera del origen
10.0 Elipse10.1 Horizontal y vertical con vrtice en el origen10.2 Horizontal y vertical con vrtice fuera del origen
11.0 Hiprbola11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen
11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen
12.0Ecuacin general de segundo grado12.1 Identificacin de cnicas
13.0 Clculo Diferencial13.1 Funciones y lmites13.2 Derivadas algebraicas13.3 Derivadas trigonomtricas13.4 Derivadas logartmicas13.5 Derivadas exponenciales13.6 Derivadas implcitas13.7 Interpretacin fsica y geomtrica de la derivada13.8 Mximos y mnimos
14.0 Clculo Integral14.1 Integral inmediata14.2 Integral definida14.3 Aplicacin de integral definida (rea bajo la curva)14.4 Mtodo de integracin por cambio de variable14.5 Mtodo de integracin por partes
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UNIDAD 1. ARITMTICA
1.1 Nmeros Reales
esIrracional
Mixtos
propiosIm
opiosPr
Racionales
Negativos
Cero
Positivos
Enteros
Compuestos
imosPrNaturales
Reales
- Naturales: Son los que se utilizan para contar. 1,2, 3, 4, 5,, 19, 20, 21,- Primos: Son los nmeros que solo son divisibles entre si mismos y la unidad.
Ejem: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,- Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen ms divisores
Ejem: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22,- Enteros: Son los nmeros positivos, negativos y el cero.
Ejem: 1,-2, 0, 4, -5, etc,- Racionales Fraccionarios: Son los nmeros compuestos por un numerador y un divisor.
o Propios: Nmeros cuyo denominador es mayor que el numerador de una fraccin.
Ejem:
33
15,
9
8,
4
3,
6
1,
3
2
o
Impropios:Nmeros cuyo denominador es menor que el numerador de una fraccin.Ejem:
15
33,
8
9,
3
4,
1
6,
2
3
o Mixtos:Nmeros compuestos de nmeros enteros y propios.
Ejem:
33
159,
9
85,
4
38,
6
13,
3
22
- Irracionales:Son los nmeros que en su forma decimal son una serie infinita de dgitos.
Ejem:
2
,2
2,
2
3,
4,5,
3
7
Propiedades de los nmeros reales
Propiedad Suma Producto
Cerradura + ba baConmutativa abba +=+ abba =
Asociativa ( ) ( ) cbacba ++=++ ( ) ( ) cbacba =
Distributiva ( ) cabacba +=+
Neutro a0a =+ a1a =
Inverso ( ) 0aa =+ 1a
1a =
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Recta NumricaTodos los nmeros reales se pueden representar en la recta numrica.
Ejem: Representar en recta numrica:
4,
7
6,
2
11,
2
3,
4
1,75.0,,
3
7
1.2 DivisibilidadLos principales criterios de divisibilidad son:- Divisibles entre 2: Todos los nmeros pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,..- Divisibles entre 3: Suma de sus dgitos son: 3, 6 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3- Divisibles entre 5: Todos los nmeros terminados en 5 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc.
Mnimo comn mltiplo (m.c.m.).- Es el nmero menor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros. Para calcularlose descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.
Ejem: Calcular el m.c.m. de 15, 30 y 60 El m.c.m. de 14, 28, 30 y 120
15 30 60 2 14 28 30 120 215 15 30 2 7 14 15 60 215 15 15 3 7 7 15 30 25 5 5 5 7 7 15 15 3
1 1 1 7 7 5 5 57 7 1 1 71 1 1 1
m.c.m.= 2(2)(3)(5) = 60 m.c.m. = 2(2)(2)(3)(5)(7) = 840
Mximo comn divisor (M.C.D.).- Es el nmero mayor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros.Para calcularlose descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que no tengan un divisor primo comn y se multiplican losprimos obtenidos.
Ejem: Calcular el M.C.D. de 15, 30 y 60 El M.C.D. de 14, 28, 30 y 120
18 27 36 3 15 90 30 60 56 9 12 3 3 18 6 12 32 3 4 1 6 2 4
M.C.D.= 3(3) = 9 M.C.D. = 5(3) = 15
1.3. Operaciones con nmeros racionales:
Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divideentre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los nmeros obtenidos se suman o restan, dependiendodel caso.Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.
Ejem:12
11
12
496
3
1
4
3
2
1=
+=+
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0-1 1 4-2-3 2 3
2
11 0.75
7
6
2
3
43
7
4
1
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Ejem:3
14
3
13
6
26
6
213314
2
7
6
33
3
7
2
13
6
35
3
12 ===
+=+=+
Multiplicacin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador.
Ejem:21
10
3
2
7
5=
Ejem:5
48
5
44
15
132
3
11
5
12
3
23
5
22 ===
=
Divisin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando elresultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en eldenominador.
Ejem:16
51
16
21
3
2
8
7==
Ejem:49
132
49
111
3
7
7
37
3
12
7
25 ===
Potencia y RazPotencia: Es el nmero de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, segn su exponente.
Ejem: ( ) ( ) 6444443 ==81
16
3
2
3
2
3
2
3
2
3
24
=
=
Raz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el ndice, se obtiene el valor que esta dentrodel radical.
Ejem: ( ) ( ) 27333porque3273 ==
Ejem: ( ) ( ) ( ) ( ) 102444444porque410245 ==
1.4 Razones y ProporcionesRazn: Es el cociente de dos nmeros, es decir una fraccin, donde el numerador se llama antecedente y al denominadorconsecuente. La razn se representa como sigue:
Ejem: 4:34
3
Proporcin: Es la igualdad de dos razones. La razn se representa como sigue:
Ejem: 6:14::3:76
14
3
7=
donde los nmeros 7 y 6 son extremos y los nmeros 3 y 14 son medios.
1.5 Regla de TresRegla de tres directa Proporcin directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos unaequivalencia, obtenemos una proporcin, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra tambin aumenta o disminuye en lamisma proporcin.
Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 das trabajados. Cuanto ganar por 30 das?
30
20
x
4400=
( )6600$
das20
das304400$x ==
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Regla de tres inversa Proporcin inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parmetros aumenta y el otrodisminuye. Esto es muy claro en casos de produccin con respecto al tiempo.
Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 das. Cuantos obreros se requieren paraproducir la misma cantidad de fusibles en 4 das?
das5
das4
x
obreros20=
( )obreros25
das4
das5obreros20x ==
1.6 Tanto por CientoDefinicin: Es una fraccin cuyo denominador es 100, es decir la centsima parte de algo. Se expresa con el smbolo %.Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fraccin o por un decimal equivalente.
Ejem: 18% 0.1850
9
100
18=
33.5% 0.33520067
1000335 =
Clculo del porcentaje:Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal.
Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655
1450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65
Tambin se puede obtener un nmero en especfico con regla de tres directa.Ejem: Hallar el nmero del cual 400 es el 8%
%100
%8
x
400=
( )5000
%8
%100400x ==
Ejem: Hallar el nmero del cual 4590 es el 60%
%100
%60
x
4590=
( )7650
%60
%1004590x ==
Tambin se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:.Ejem: Un vendedor recibe de comisin el 12% por venta realizada. Si vende mercanca por un total de $44000.
Cuanto recibir de comisin?$44000(0.12) = $5280
Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. En cuantodebe venderse?
%5.108
%100
x
120$=
( )20.130$
%100
%5.108120$x ==
Reactivos Unidad 1:
1. Cul de las siguientes expresiones, es un nmero racional?
a) 3 b) 5 c) 9 d) 2 e) 2
2. Cul de las siguientes expresiones, es un nmero irracional?
a) 5.0 b) 5 c)2
1 d) 16 e)
5
25
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3. Simplificando la expresin ( )112715 se obtiene:a) 68 b) 48 c) 78 d) 48 e) 78
4. Al simplificar la expresin ( ) ( )28131420 + se obtiene:a) 22 b) 178 c) 178 d) 22 e) 12
5. Cul es el resultado desimplificar la expresin, ( ) ( )[ ]41323 + ?a) 17 b) 5 c) 11 d) 11 e) 17
6. Entre que letras est la ubicacin del nmero:13
15 ?
a) A y B b) B y C c) B y D d) C y D e) D y E
Si a es un nmero donde a < 0 entonces:
a) 0a
1> b) 0
a
1< c) 0
a
1= d) 0a > e) 1
a
1=
8. El inverso de 10 es:
a)10
1 b) 10 c)
10
1d) 10 e) 0
Qu nmero es mayor que 50?
a) 60 b) 80 c) 70 d) 40 e) 90
10. La expresin de desigualdad correcta es?
a)5
4
3
2 c)
2
1
4
7 e)
9
7
4
5 mayor que no incluye a ( )
menor igual que incluye a [ ]
mayor igual que incluye a [ ]
Ejem: x475x3 +
-
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Conjunto Solucin:{ }15x/x [ )+,15
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Dado el sistema de ecuaciones:
=+
=+
122
111
cybxa
cybxa
y sus determinantes son:
22
11
22
11
ba
ba
bcbc
xx =
=
22
11
22
11
ba
ba
caca
yy =
=
donde: = determinante del sistema yyx = determinantes en x y y
Ejem:
=+=
25y8x3
4y5x2 ( ) ( )( )( ) ( )
331
93
1516
12532
5382
25584
83
52
825
54
x =
=+
=
=
=
( ) ( )( )
( ) ( )2
31
62
1516
1250
5382
34252
83
52
253
42
y =
=+
=
=
=
Ejem:
==+
16y3x
31y7x4 ( ) ( )( )( ) ( )
119
19
712
11293
7134
716331
31
74
316
731
x =
=
+=
=
=
( ) ( )( )
( ) ( )5
19
95
712
3164
7134
131164
31
74
161
314
y =
=
=
=
=
Problemas de AplicacinDentro del proceso de resolucin de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:
1. Leer el problema2. Definir las incgnitas principales de forma precisa3. Traduccin matemtica del problema4. Resolucin del problema matemtico5. Interpretar las soluciones
6. Contrastar la adecuacin de esas soluciones
Ejem: En un zoolgico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoolgico contiene 60 cabezas y 200 patas,cuntas aves y cuntos tigres viven en l?
Traduccin matemtica :
=+=+
patas200t4a2
cabezas60taSolucin:
==
tigres40t
aves20a
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Lic. Jorge Galeazzi A.Ejem: Pedro compr 2 camisas y 3 pantalones por $850, y Francisco compr 3 camisas y 4 pantalones por $1200, cul es el
precio de una camisa y el de un pantaln?
Traduccin matemtica :
=+=+
Francisco1200p4c3
Pedro850p3c2Solucin:
==
pantaln150$p
camisa200$c
3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incgnitas)
Definicin.- Es el llamado Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incgnitas, en que el objetivo es encontrar losvalores de stas 3 variables. Los mtodos para su solucin, son: Reduccin (Suma y Resta) y Determinantes (Regla deKramer):
Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)
Dado el sistema de ecuaciones:
=++=++=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
Realizar los pasos siguientes:1. Se escribe el determinante de tres por tres.2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.
3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha.4. Se multiplican entre si los tres nmeros por los que pasa cada diagonal.
5. Los productos de los nmeros que estn en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propiosigno y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.
Determinantes:
2
13
2
1
2
13
2
1
2
13
2
1
2
1
3
2
1
22
1
3
2
1
1
3
2
1
c
cc
cc
b
bb
bb
a
aa
aa
cc
c
c
c
bdb
b
b
b
d
d
d
d
xx =
=
2
13
2
1
2
13
2
1
2
13
2
1
2
1
3
2
1
22
1
3
2
1
1
3
2
1
c
cc
cc
b
bb
bb
a
aa
aa
cc
c
c
c
dad
d
d
d
a
a
a
a
yy =
=
2
13
2
1
2
13
2
1
2
13
2
1
2
1
3
2
1
22
1
3
2
1
1
3
2
1
c
cc
cc
b
bb
bb
a
aa
aa
dd
d
d
d
bab
b
b
b
a
a
a
a
zz =
=
Donde: = determinante del sistema zyy,x = determinantes en x , y y z
Ejem:
=++=++=
13z3yx
11zy2x2
4z4yx
6x10
60
618186
334104134424
1
4
314
2
1
121
2
1
121
14
31
4
2111
12
1
4
1311
4
xx ==
+++++
=
=
=
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2y1020
618186241344410433
1
4
314
2
1
121
2
1
121
1
4
3
1
4
112
4
13
11
4
1
1
2
1
yy ==++
++=
==
3z
10
30
618186
2611811826
1
4
314
2
1
121
2
1
121
114
13
11
4
221
1
2
1
1
1
2
1
zz ==
++
++=
=
=
3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incgnita
Clasificacin
=+=+
=++
0cax:Puras0bxax:MixtassIncompleta
0cbxax:Completas
gradodo2
deEcuaciones
2
2
2
Mtodos de solucin
Completas: forma ax2 + bx + c = 0Es cuando, la ecuacin est compuesta por un trinomio, donde existen los valores de a, b y c , y para encontrar sus dosraces soluciones, se utilizan los mtodos siguientes:
Factorizacin: Forma x2+bx+c = 0 ax2+bx+c = 0, obteniendo: 21 xyxo
Ecuacin de 2do. grado:a2
ac4bbx
2 = , obteniendo: 21 xyx
Ejem: 012xx2 =( ) ( ) ( )( )
( )12121411
x2
=
( )( ) 03x4x =+ 2
4811x
+=
3xy4x 21 ==
==
=3x
4x
2
71x
2
1
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Ejem: 01x4x4 2 =++( ) ( ) ( )( )
( )4214444
x2 ++
=
x21x2 +=+8
16164x
=
x21x2 +=+
=
=
=
2
1x
2
1x
8
04x
2
1
x4+
( )( ) 01x21x2 =++
2
1xy
2
1x 21 ==
Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de a y b, pero no de c, y paraencontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de factorizacin por trmino comn y se despeja, como sigue:
Ejem: 0x7x2 =+ Ejem: 0x4x2 2 = ( ) 07xx =+ ( ) 02xx2 =
7xy0x 21 == 2xy0x 21 ==
Incompletas puras: forma ax2 + c = 0
Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de a y c, pero no de b, y paraencontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de despeje, como sigue:
Ejem: 03x2 = Ejem: 016x4 2 =
3x2 = 16x4 2 =
3x = 4x4
16x2 ==
3xy3x 21 == 2xy2x 21 ==
Reactivos Unidad 3:
Cul es el valor de x que satisface la ecuacin 12x863x3x =+ ?
a) 41 b) 4 c) 4 d) 1 e) 41
Cul es el valor de x que satisface la ecuacin 7x65x8 += ?
a) 6 b)6
1c)
6
1 d) 3 e) 6
Al resolver la ecuacin 4x7103xx2 += , se obtiene:
a) 2 b)3
2c)
2
3 d)
3
2 e)
2
3
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Lic. Jorge Galeazzi A.
Al resolver la ecuacin ( ) ( ) 3x521x23 = , se obtiene:
a) 2 b)3
1c)
2
1d)
2
1 e) 2
Al resolver la ecuacin ( ) ( )3x2461x3x +=+ , se obtiene:
a) 4 b)4
1c) 2 d)
4
1 e) 4
El valor de x que cumple con la igualdad4
1x
6
1x
3
5+= es:
a)12
5 b)
8
5 c)
8
3 d)
8
5e)
12
5
El valor de x que cumple con la igualdad2
3
2
x
8
x3= es:
a) 12 b)8
3 c)
12
1 d)
8
3e) 12
Al resolver la ecuacin 23
1x2
4
5x3=
+se obtiene:
a) 5x = b)5
2x = c) 5x = d)
5
2x = e)
12
1
Al resolver la ecuacin3
8x3
9
2x =
+se obtiene:
a) 2x = b)2
3x = c)
2
1x = d) 2x = e)
2
1
Al resolver la ecuacin 4
2x
3
4
6
3x =
+
se obtiene:
a)4
1x = b)
6
1x = c) 4x = d) 4x = e)
4
1
De la ecuacin 12x3
9=
el valor de x que satisface es:
a)2
1b)
3
11 c)
11
3d)
3
11e)
11
3
De la ecuacinx
3
5
4
x
2= el valor de x que satisface es:
a) 5
3
b) 4
5
c) 4
3
d) 4
5
e) 4
3
Al resolver la siguiente ecuacin2
5
x5
4
5
7
x2
3= se obtiene:
a)5
1 b)
11
7 c)
11
7d) 7 e) 11
:La suma de dos nmeros naturales enteros consecutivos es 183, hallar los nmeros:a) 93y90 b) 92y91 c) 93y90 d) 92y91 e) 92y91
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15. El menor de dos nmeros impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los nmerosa) 17y11 b) 11y9 c) 13y11 d) 15y11 e) 15y13
16. El triple de la suma de un nmero con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo nmero aumentado en 46.
a) 46x32
2x23 =
b) 46x
32
2xx3 +=
+ c) 46x3
2xx
32 +=
+
d) 46x3
2
2
xx3 =
+ e) 46x
3
2
2
x23 +=
Cul es el nmero que sumado con su duplo da 261?a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89
La suma de dos nmeros es 450 y su cociente 8. Hallar los nmeros.a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30
19. Si a un nmero aado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. Cul es el nmero?a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58
La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si ste tiene 30 aos Cul es la edad de Roberto?a) 14 aos b) 18 aos c) 13 aos d) 10 aos e) 12 aos
La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Cules son los nmeros?a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54
Encontrar los tres nmeros consecutivos cuya suma sea 186.a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62
23. La suma de las edades de Sonia y Too es 84 aos y Too tiene 8 aos menos que Sonia. Hallar ambas edades.a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41
24. Un cateto de un tringulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las longitudes de los ladosdesconocidos
a) 25y15 b) 21y17 c) 22y16 d) 11y24 e) 16y25
Cules son las races de 012xx2 = ?
a) 4y3 b) 4y3 c)4
1y3 d) 4y3 e) 4y3
Al resolver la ecuacin 12xx6 2 =+ se obtiene:
a)3
4y
2
3 b) 4y3 c)
3
4y
2
3 d)
3
2y
4
3 e)
3
2y
4
3
Al resolver la ecuacin 2x3x2 2 =+ se obtiene:
a) 2y
2
1 b) 2y2 c)
2
1y
2
1 d)
2
1y2 e) 2y
2
1
El conjunto solucin de 01x4x4 2 =++ es:
a)
2
3,
2
1b)
2
1,
2
1c)
2
1,
2
1d)
2
1,
2
3e)
2
1,
2
3
El conjunto solucin de 05x2 = es:
a) }5,5 b) { }5,5 c)
5
1,
5
1d) { }10,10 e) { }5.2,5.2
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El conjunto solucin de 02x3 2 = es:
a)
2
3,
2
3b) { }3,3 c)
3
1,
3
1d) { }2,2 e)
3
2,
3
2
El conjunto solucin de 4x5 2 = es:
a)
i5
2,i
5
2b)
i5
2,i
5
2c)
i5
2,i
5
2d)
5
2,
5
2e)
5
2,
5
2
Al resolver la ecuacin 0xx2 = se obtiene:
a) 2y2
1 b) 1y1 c) 0y1 d) 0y2 e) 0y1
Al resolver la ecuacin 0x3x2 2 = se obtiene:
a) 0y2
3b) 0y
3
2 c)
2
3y
2
3 d) 0y
2
3e) 0y
2
3
Al resolver la ecuacin 0xx4 2 =+ se obtiene:
a) 0y4
1b) 0y4 c)
4
1y
4
1 d) 0y2 e) 0y
4
1
Al resolver la ecuacin 0x15x10 2 = se obtiene:
a) 0y2
3 b) 0y
3
2 c)
2
3y
2
3 d) 0y
3
2e) 0y
2
3
Cul de los siguientes valores cumple con: 7x e) 9x e) 2x>
El conjunto solucin de la desigualdad14
11
7
x
2
x
2
3+> es:
a)9
10x < b)
9
10x > c)
10
9x < d)
10
9x > e)
9
10x es:
a)
3
4, b)
,3
4c)
3
4, d)
,3
4e)
3
4,
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La expresin que representa a lo ms tengo 250 es:
a) 250x < b) 250x > c) 250x = d) 250x e) 250x
La expresin que representa por lo menos tengo 500 es:a) 500x < b) 500x > c) 500x d) 500x e) 500x
El conjunto solucin de 025x2 > es:a) ( )5,5 b) ( ] [ ) ,55, c) ( )5, d) ( ) ( ) ,55, e) [ ]5,5
Los valores de las incgnitas del sistema
=+=
5y4x3
7yx2son:
a) 1y,3x == b) 1y,3x == c) 1y,3x ==d) 1y,3x == e) 3y,1x ==
Los valores de las incgnitas del sistema
==+
1y3x5
12y2x3son:
a) 3y,2x == b) 3y,2x == c) 2y,3x ==d) 3y,2x == e) 3y,2x ==
El valor de x del sistema de ecuaciones
=+=
2yx3
6yxes:
a) 4 b) 2 c) 2 d) 4 e) 3
El valor de y del sistema de ecuaciones
=+=
1y6x212y9x4
es:
a)3
2b)
3
2 c)
2
3 d) 2 e)
2
3
51. Si x = 2 y y = 3 . La solucin del sistema de ecuaciones simultneas es:
a)
==+
2yx
5yxb)
==+2yx
5yx2c)
==+3yx
7yx2
d) = =+ 2yx 1yx e)
= =+ 1yx2 5yx
52. Un perro y su collar han costado $54, y el perro cost 8 veces lo que el collar. Cunto cost el perro y cunto el collar?
a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50 y collar $4d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7
53. La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 aos. Hallar ambas edades.
a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21
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El valor de x , por medio de determinantes
==+
1yx2
2yxes:
a)
12
11
11
12
b)
12
11
12
11
c)
12
11
11
11
d)
11
12
12
21
e)
21
11
11
12
El valor de y , por medio de determinantes ==2x6y2
1yx3es:
a)
26
13
22
31
b)
62
13
26
13
c)
62
13
22
13
d)
66
13
62
31
e)
26
13
26
13
56. La edad de Jorge es el triple de la edad de Sandra y la de Sandra cinco veces la de Pedro. Sandra tiene 12 aos ms quePedro Qu edad tiene cada uno?a) Jorge 45,Sandra 15, Pedro 3 b) Jorge 25,Sandra 5, Pedro 3 c) Jorge 35,Sandra 25, Pedro 3d) Jorge 55, Sandra 15, Pedro 3 e) Jorge 5, Sandra 10, Pedro 3
57. En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de nio cuestan $5.12 y tambin 17 de nio y 15 de adulto $8.31. Cul es el precio deuna entrada de un nio y de un adulto?a) Adulto $35 cts, nio $18cts. b) Adulto $45 cts, nio $18cts. c) Adulto $25 cts, nio $28cts.d) Adulto $15 cts, nio $18cts. e) Adulto $35 cts, nio $28cts.
58. Un hacendado compro 4 vacas y 7 caballos por $514 y ms tarde, a los mismos precios, compro 8 vacas y 9 caballos por $818Cul es el costo de una vaca y un caballo.a) Vaca $42 y caballo $ 55 b) Vaca $55 y caballo $ 24 c) Vaca $24 y caballo $ 55
d) Vaca $55 y caballo $ 34 e) Vaca $55 y caballo $ 42
59. La suma de dos nmeros es 9 y la suma de sus cuadrados es 53 Cules son los nmeros?a) 7 y 2 b) 9 y 0 c) 5 y 4 d) 7 y 1 e) 6 y 3
60. La solucin del sistema
==+=+
3z4yx3
9z3y2x
8z2yx2
es:
a) 2z,1y,2x === b) 2z,2y,1x === c) 1z,2y,2x ===d) 2z,1y,2x === e) 1z,2y,2x ===
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Lic. Jorge Galeazzi A.
61. La solucin del sistema
=++=
=
3x2y2z
1z3xy2
z2yx
es:
a) 0z,1y,2x === b) 0z,2y,1x === c) 1z,0y,2x ===d) 2z,1y,2x === e) 1z,2y,0x ===
UNIDAD 4. ALGEBRA DE FUNCIONES
Valor de una funcinSe obtiene, al sustituir el valor de x en la funcin f(x):
Ejem: Si f(x) = 9x2 + , obtener el valor de f(-4) y f(3)
( ) 2591694)4(f 2 =+=+= ( ) 189993)3(f 2 =+=+=
Ejem: Si f(x) =4x
2x9x2
+
, obtener el valor de f(-2) y f(4)
( ) ( )3
8
6
16
6
2184
42
2292)2(f
2
=
=
=
+
=
( ) ( )==
+=
+
=0
50
0
23616
44
2494)4(f
2
4.1 Dominio y RangoDominio, es el conjunto de todos los valores de x admisibles para una funcin.Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de y al sustituir cada una de los elementos del dominio en la funcin.
Ejem: El dominio de la funcin racional24x11x
1)x(f
2 ++=
( ) 0)8(324112 =++=++ xxxx , entonces, sus races son: 8xy3x 21 ==
{ }8,3x/xiominDo =
Ejem: El dominio de la funcin racional81x
1)x(f
2 =
( ) 0)9(9812 =+= xxx , entonces, sus races son: 9xy9x 21 ==
{ }9,9x/xiominDo =
Ejem: Para que valor de x la funcin 7x
1)x(f = se indetermina:
07 =x , entonces, para: 7x = la funcin se indetermina
Funcin cuadrtica
Es de la forma cbxax2 ++ y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba cuando a es positiva y es haciaabajo cuando a es negativa.
El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto:
a4
bac4,
a2
bV
2
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Lic. Jorge Galeazzi A.
Los puntos donde la grfica interseca al eje x, son la solucin de la ecuacin. Dependiendo de su concavidad y lacoordenada de su vrtice, se puede obtener el dominio y el rango de la funcin.
Ejem: Sea la funcin 3x4x)x(f 2 ++= , obtener su dominio y rango.
El vrtice es:( )
( )( ) ( )( )
14
4314,
12
4V
2
entonces, ( )1,2V y la curva es cncava hacia arriba
ahora, las races de: ( )( ) 01x3x3x4x)x(f 2 =++=++= sus races son: 1xy3x 21 ==
entonces: ( ) [ )+=+= ,1Rangoy,iominDo
Ejem: Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.
f(x) = xDom (f)=
Todoslosreales.
( )+= ,iominDoRan(f) = Todos los reales.
( )+= ,Rango
f(x) = 1/xDom(f) = Todos los racionalespositivos, menos
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y = x
x y
-4 -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
Y=X
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
Y = 1/ X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
Y
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Lic. Jorge Galeazzi A.el nmero cero.
( )+= ,0iominDoRan(f) = Todos los racionales
positivos.( )+= ,0Rango
4.2 Funciones y relaciones
DefinicinSe le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos.
Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada x, corresponda un solo elemento dey.
Relacin:2
1
y
yx Funcin: yx
Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, yverificar los puntos de interseccin. Es decir, si slo toca un punto, se refiere a una funcin; si toca ms deun punto se refiere a una relacin.
Ejem:
Relacin Funcin Funcin Relacin Relacin
Clasificacin de Funciones
( )( )
( )
( )( )
==
+=
==
xlnxf:Ejem.lnlogexistaDonde:asLogartmic5xf:Ejem.onenteexpcomoestiablevarlaDonde:lesExponencia
6x2xxf:Ejem.gradodo2deSon:sCuadrtica
2x5xf:Ejem.gradoer1deSon:Lineales
4xf:Ejem.cambiannoqueLas:testanCons
Funciones
x
2
4.3 Funcin Logartmica y exponencial:
Es de la forma xlogy)x(f a== , donde: onenteexpy)x(fumentoargxbasea ====
Forma logartmica: xlogy a= corresponde a: Forma exponencial: yax =
Ejem: Al convertir xlog3 4= , en forma exponencial, obtenemos: 644x 3 ==
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x y
9 0.1111
8 0.125
7 0.1429
6 0.1667
5 0.2
4 0.25
3 0.3333
2 0.5
1 1
0.5 2
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Lic. Jorge Galeazzi A.
Ejem: Al convertir 36log2 x= , en forma exponencial, obtenemos: 6xx36 2 ==
Ejem: Al convertir 225log2
3x= , en forma exponencial, obtenemos: 2
3
x27=
entonces: 9x729x729x27x27x 33233 =====
Ejem: Al convertir 36log2 x= , en forma exponencial, obtenemos: 6xx36 2 ==
Reactivos Unidad 4:
Sean la funciones 6x)x(gy12x4x)x(f 2 == la operacin )x(g)x(f
resulta:
a) 2x b) 3x2 c) 2x + d) 1x e) 1x +
Sean la funciones 10x3x)x(gy6x5x)x(f 22 =++= la operacin )x(g)x(f resulta:
a) 4x2x2 2 + b) 4x2 c) 16x8 d) 4x8 e) 16x8 +
Si 6x)x(f 2 += , el valor de f(-2) es:a) 10 b) 2 c) 10 d) 4 e) 2
Si 4x)x(f 3 = , el valor de f(-1) es:a) 3 b) 2 c) 2 d) 5 e) 5
Para que valor de x la funcin 3x
2
)x(f = se indetermina:
a) 2 b) 2 c) 3 d)3
2e) 3
Para que valores de x la funcin64x
1)x(f
2 = se indetermina:
a) 4y4 b) 8y8 c) 2y2 d)8
1y
8
1 e)
4
1y
4
1
Una funcin lineal esta representada por:
a) 8x2 2 + b) 5x2 c)4x
3
d)
x
1x5 e) xln
Cul de las siguientes funciones es cuadrtica?
a) 2x5 b) 2x4
5x2 c)
4x
32
d) ( )21x + e) 9x2x2 +
Cul de las siguientes funciones es exponencial?
a) 16x)x(f 2 += b) y= 9x2 c) f(x)= x3ln
d) g(x)= 25 e) x27)x(h =
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Lic. Jorge Galeazzi A.
El dominio de la funcin6x5x
3x)x(f
2 ++
=
a) { }3,2x/xDf = b) { }3,1x/xDf = c) { }3,2x/xDf =
d) { }2,2x/xDf = e) { }3,2x/xDf =
El dominio de la funcin8x6x
1x)x(f
2 +
+=
a) { }4,2x/xDf = b) { }4,2x/xDf = c) { }4,2x/xDf =
d) { }2,2x/xDf = e) { }4,2x/xDf =
El dominio de la funcin144x
24x)x(f
2
=
a) { }6,12x/xDf = b) { }6,12x/xDf = c) { }6,6x/xDf =
d) { }12,12x/xDf = e) { }4,6x/xDf =
El dominio de la funcin 25x
4
)x(f 2 =a) { }25x,25x/xDf = b) { }5x,5x/xDf = c) { }50x,50x/xDf =
d) { }4x,5x/xDf = e) { }5x,4x/xDf =
La forma exponencial de 225log x = es:
a) 25x2 = b) x225 = c) 2x25 = d) x252 = e) 225x =
La forma logartmica de 823 = es:
a) 8log3 2= b) 3log2 8= c) 3log8 2= d) 8log2 3= e) 2log3 8=
El valor de x del x64log 4 = es:a) 8x = b) 16x = c) 4x = d) 3x = e) 32x =
17. El valor de x del x81log 3 = es:a) 9x = b) 4x = c) 3x = d) 27x = e) 81x =
Si 664log x = Cul es el valor de x?a) 12x = b) 4x = c) 2x = d) 36x = e) 8x =
Si 2xlog 3 = Cul es el valor de x?a) 8x = b) 4x = c) 3x = d) 2x = e) 9x =
Si 2
3xlog 4 = Cul es el valor de x?
a)8
1x = b) 9x = c)
8
3x = d) 4x = e) 6x =
UNIDAD 5. GEOMETRA EUCLIDIANA
5.1 ngulosClasificacin Bsica
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=
=
=
ooo
o
ooo
120:Ejem.180demenorpero,90deMayor:Obtuso
.90:ctoRe
50:Ejem.90demenorpero,0deMayor:Agudo
ngulos
Agudo Recto Obtuso
Se le llama ngulo complementario, son los ngulo cuya suma es igual a 90o .Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque ooo 902070 =+Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque ooo 905535 =+
Se le llama ngulo suplementario, los ngulo cuya suma es igual a 180o .
Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque ooo 18014040 =+Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque ooo 18045135 =+
5.2 Conversin de grados a radianes y viceversa
De grados a radianes, se multiplican los grados por180
y se simplifica.
Ejem: 70o a radianes: ==
18
7
180
70
18070
Ejem: 120o a radianes: ====
32
96
1812
180120
180120
De radianes a grados, se multiplican los radianes por
180y se simplifica.
Ejem: 2
1a grados:
o902
180180
2==
Ejem: 4
3a grados:
o1354
540180
4
3==
Reactivos Unidad 5:
Cul es el complemento de 80?a) 20 b) 10 c) 120 d) 100 e) 60
Cul es el complemento de 25?a) 155 b) 75 c) 125 d) 175 e) 65
Cul es el suplemento de 30?a) 70 b) 170 c) 150 d) 120 e) 60
Cul es el suplemento de 115?a) 25 b) 75 c) 65 d) 155 e) 85
Pag. 186
0
-
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Cul es la equivalencia de 150 a radianes?
a) 5
6b)
5
3c)
4
3d)
6
5e)
3
5
Cul es la equivalencia de 72 a radianes?
a) 5
3b)
2
3c)
2
5d)
5
2e)
3
5
Cul es la equivalencia de 330 a radianes?
a) 9
11b)
30
11c)
6
11d)
11
9e)
11
6
Al convertir 4
7radianes a grados, se obtiene:
a) 300 b) 315 c) 115 d) 330 e) 275
Al convertir 3
2radianes a grados, se obtiene:
a) 200 b) 60 c) 120 d) 130 e) 75
Al convertir 8
7radianes a grados, se obtiene:
a) 150 b) 5.147 c) 2.125 d) 5.157 e) 175
Pag. 187
-
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UNIDAD 6. TRIGONOMETRA
6.1 Teorema de PitgorasDefinicin.-Aplicado para todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de
sus catetos (a y b ).
Ejem: Encontrar la hipotenusa
Ejem: Encontrar el cateto faltante
6.2 Funciones Trigonomtricas
Definicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulo rectngulo y son:
entonces:
Con respecto al ngulo A
c
a
hipotenusa
opuesto.catAsen ==
a
c
opuesto.cat
hipotenusaAcsc ==
c
b
hipotenusa
adyacente.catAcos ==
b
c
adyacente.cat
hipotenusaAsec ==
b
a
adyacente.cat
opuesto.catAtan ==
a
b
opuesto.cat
adyacente.catAcot ==
Pag. 188
A
C Ba
bc
222 bac +=
A
C B8
4
c
222 bac +=222 48c +=
1664c2
+=80c =
54c =
A
C Ba
6
10
Con respecto al ngulo A Con respecto al ngulo Bc = hipotenusa c = hipotenusaa = cateto opuesto a = cateto adyacenteb = cateto adyacente b = cateto opuesto
A
C Ba
bc
222 bca =222 610a +=
36100a2 +=
136c =
342c =
-
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Con respecto al ngulo B
c
b
hipotenusa
opuesto.catBsen ==
b
c
opuesto.cat
hipotenusaBcsc ==
ca
hipotenusaadyacente.catBcos ==
ac
adyacente.cathipotenusaBsec ==
a
b
adyacente.cat
opuesto.catBtan ==
b
a
opuesto.cat
adyacente.catBcot ==
Ejem: Encontrar las razones, seno, coseno y tangente con respecto al ngulo B, del siguiente tringulo:
65
4
hipotenusa
opuesto.catBsen ==
65
7
hipotenusa
adyacente.catBcos ==
7
4
adyacente.cat
opuesto.catBtan ==
Ejem: Encontrar las razones, cosecante, secante y cotangente con respecto al ngulo A, del siguiente tringulo:
9
90
opuesto.cat
hipotenusaAcsc ==
3
90
adyacente.cat
hipotenusaAsec ==
3
1
9
3
opuesto.cat
adyacente.catAcot ===
6.3 Identidades Trigonomtricas
Definicin.- Son las equivalencias existentes entre las razones trigonomtricas y son:Recprocas: 1cottan1seccos1cscsen ===
Cociente:
=
=sen
coscot
cos
sentan
Pitagricas: =+=+=+ 22222 csc1cotsec1tan1cossen
Reactivos Unidad 6:El valor de x del siguiente tringulo es:
Pag. 189
A
C B9
390
A
C B7
65
12
9x
2015211614
-
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El valor de x del siguiente tringulo es:
3. El valor de x del siguiente tringulo es:
34
4. Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m, Cunto mide el otro lado?a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2
5. Segn la figura, la razn10
7, corresponde a la funcin:
6. Segn la figura, la razn :8
17, corresponde a la funcin:
7. Segn la figura, la razn :10
64, corresponde a la funcin:
64
8. El valor de la expresin 1 (cos 60) es igual a:a) 2 b) 0.5 c) 1 d) 1.5 e) 0
Pag. 190
24
x25 5
9
723
32
x
832
834
23
51
710
cotsecsentancos
8
1517
10
14
sencotseccostan
secsentancsccos
-
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9. Segn la figura, el valor de x corresponde a:
30
10. Segn la figura, el valor de x corresponde a:
45 x
11. Segn la figura, el valor de x corresponde a:
60
12. Cul de las siguientes opciones recibe el nombre de tangente?
a)opuesto.cat
adyacente.catb)
opuesto.cat
hipotenusac)
hipotenusa
opuesto.catd)
hipotenusa
adyacente.cate)
adyacente.cat
opuesto.cat
13. El valor equivalente a6
sen
es:
a)2
1b)
2
2c) 1 d)
2
3e) 0
14. El valor equivalente a 60sec es:
a)2
2 b)2
1c) 2 d) 1 e) 2
15. La expresin cos1
corresponde a la funcin:
a) sen b) csc c) tan d) sec e) cot
16. Cul es el rea de la siguiente figura:
45 6
26
Pag. 191
x
1032
23
358
53
10
121281312
3
x
33
23
32
3
54
2und62und202und182und362und48
-
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17. Cul es el permetro del paralelogramo siguiente:
30
4
7
Respuestas a Reactivos de Matemticas
Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Unidad 6
1. c2. b3. c4. d5. e6. a7. b8. a9. d
10. c11. c12. d13. c14. e15. b
16. d17. e18. b19. a20. e21. c22. a23. b24. e25. a26. d27. d28. a29. b30. b
31. d32. a33. a34. a35. d36 c
1. a2. a3. c4. e5. c6. c7. a8. b9. a
10. c11. d12. a13. c14. c15. c
16. c17. c18. c19. e20. a21. b22. e23. c24. c25. d26. b27. a28. b29. a30. d
31. d32. c33. e34. e35. d36 d
dabaeaceaaeaeda
cdbdaacecbdaeae
aabecb
aecaddeaeddbbec
bcbdeaaaadcecae
aeaeeecbdaedddd
debbeabaeaaeabe
1. c2. e3. a4. d5. c6. b7. b8. d9. e
10. a11. c12. d13. b14. a15. a
16. d17. b18. c19. e20. a
1. b2. e3. c4. c5. d6. d7. c8. b9. c
10. d
1. b2. c3. d4. b5. a6. a7. a8. b9. c
10. c11. a12. e13. a14. e15. d
16. d17. e
und21
und14und49
und28
und30