GraficaciónIA7200-T
Bases Matemáticas
Graficación 2
Bases Matemáticas
• Vectores• Producto interno• Determinantes• Producto vectorial• Orientación de 3 puntos• Polígonos
• Punto en un triángulo/polígono/línea
• Distancia/proyección entre punto y línea
• Triangulación de polígonos
Graficación 3
Vectores
Concepto matemático de vector ≠ Java Vector.
Los vectores no se alteran por translaciones
a=b
Graficación 4
Vectores
c=a+b
|a|=longitud de a
0=vector cero
|0|=0
-a: |-a|=|a|, dir. op.
ca: |ca|=c|a|
Dirección de a si c>0
Opuesta si c<0
Graficación 5
Vectores i, j yk - vectores
ortogonales unitariosSistema derecho:
rotación de i en la dirección de j corresponde a girar un tornillo derecho, así k tiene la dirección en que el tornillo avanza
Graficación 6
Vectores
Cualquier vector puede expresarse como:
v=xi+yj+zk
Se escribe:
v=[x,y,z]=(x,y,z)
Graficación 7
Producto Interno
a b = |a| |b| Cos γ Si a,b ≠ 0
a b = 0 otro caso
i i = j j = k k = 1
i j = j i = j k = k j = k i = i k = 0
|a| = √(a a)
Graficación 8
Producto Interno
c(k uv) =ck(uv)
(cu+kv)w = cuw+kvwuv=vuuu=0 solo si u=0
u = [u1 u2 u3] y v = [v1 v2 v3]
uv = u1v1+u2v2+u3v3
Graficación 9
Determinantes
Graficación 10
Determinantes
Graficación 11
Determinantes
Donde Mij (menor), se obtiene de D borrando el renglón i y la columna j.
Graficación 12
Determinantes - Propiedades
Graficación 13
Determinantes - Propiedades
Graficación 14
Determinantes - Aplicación
Elegancia:
Ecuación de línea que pasa por P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
Ecuación del plano que pasa por P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) y P3(x3, y3, z3)
Graficación 15
Determinantes - Aplicación
Graficación 16
Determinantes - Aplicación
Graficación 17
Producto Cruzv = a × b|v| = |a| |b| Sen γSi a = cb, c escalar, v = 0
Graficación 18
Producto Cruz - Propiedades
Graficación 19
Producto Cruz
Graficación 20
Orientación de 3 Puntos
¿(A, B, C) giran con o contra el reloj?
1 -1
0 si son colineales
Graficación 21
Orientación de 3 Puntos
Definimos:•a = CA•b = CB
Si podemos girar a <180° y llegar a b, es positiva
Graficación 22
Orientación de 3 Puntos
Si a y b terminan en (a1, a2,0) y (b1, b2, 0), respectivamente
Graficación 23
Orientación de 3 Puntos
Solución 2D:
α ángulo entre a y x+β ángulo entre b y x+
Respuesta: (β – α) < 180°
Graficación 24
PolígonosSecuencia de puntos• n>=3• sin intersección• vértices sucesivos no colineales
Convexos: ángulos interiores < 180°Cóncavos: no convexos
Graficación 25
Polígonos - Area|a×b| = área del paralelogramo formado por a y b2 área del triángulo formado por a y b
Válido solo si A,B,C van contra el reloj.Si no, tomar el valor absoluto.
Graficación 26
Polígonos - Area
En general, para cualquier polígono, cóncavo o convexo:
Graficación 27
Punto dentro de un Triángulo
P está dentro de ABC si la orientación de ABP, BCP y CAP es la misma que la de ABC
Graficación 28
Punto dentro de un Polígono
Trazar una semilínea:•True si el número de intersecciones es impar•False si el número de intersecciones es par
Ignorar:•Horizontales•Máximos•Mínimos
Graficación 29
Punto dentro de un Polígono
Para ignorar horizontales, máximos y mínimos, incrementar intersecciones si el lado del vértice i al i+1 cumple con:
Considerar el segmento ABsolo si está a la derecha de P.ABP va contra el reloj.
Graficación 30
Punto en una Línea
Para saber si P está en la líneaverificamos que P satisfaga la ecuación
Si se trata de un segmento de línea AB:
= {
Graficación 31
Distancia de un Punto a una Línea
Graficación 32
Distancia de un Punto a una Línea
Si la ec. de la línea es
Donde
Entonces
Donde
Graficación 33
Distancia de un Punto a una Línea
Graficación 34
Proyección de un Punto en una Línea
Dados L y P (no en L), determinar la proyección, P’, de P en L.P’ tiene las siguientes propiedades:• P’ es el punto mas cercano a P en L• La long. de P P’, es la distancia de P a L• P P’ y L son perpendiculares
Graficación 35
Proyección de un Punto en una Línea
Vector unitario en dir. AB:
La long. de AP’:
€
u =1
ABAB
€
λ =AP • u
€
AP'= λu
€
AP'= (AP • u)u = (AP •1
ABAB)
1
ABAB =
1
AB2 (AP •AB)AB
Graficación 36
Proyección de un Punto en una Línea
Graficación 37
Triangulación de Polígonos
Dado un polígono almacenado en un vector de n puntos (ccw), se desea dividirlo en triángulos.El resultado se almacena en un vector de n-2 triángulos.
Repetir n-2 veces:• Recorrer los vértices del polígono ccw.• Para cada tres vértices P, Q y R, donde Q es convexo• Cortar el triángulo PQR si no contiene ningún otro vértice
Graficación 38
Triangulación de Polígonos
Graficación 39
Triangulación de Polígonos
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