Download - Geometria Plana Trigonometría
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DefinicionesEl punto El punto, en geometra, es uno de los entes
fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que slo es posible describirlos en relacin a otros elementos similares. Se suelen describir apoyndose en los postulados caractersticos, que determinan las relaciones entre los entes geomtricos fundamentales.
El punto es un elemento geomtrico adimensional, no es un objeto fsico; describe una posicin en el espacio, determinada en funcin de un sistema de coordenadas preestablecido.
La recta La recta, o lnea recta, en geometra, es el
ente ideal que slo posee una dimensin y contiene infinitos puntos; est compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de lnea ms corto que une dos puntos); tambin se describe como la sucesin continua e indefinida de puntos en una sola dimensin.
Es uno de los entes geomtricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorsticos ya que su definicin slo es posible a partir de la descripcin de las caractersticas de otros elementos similares. As, es posible elaborar definiciones basndose en los Postulados caractersticos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minscula.
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El plano El plano, en geometra, es el ente ideal que slo
posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geomtricos fundamentales junto con el punto y la recta.
Solamente puede ser definido o descrito en relacin a otros elementos geomtricos similares. Se suele describir apoyndose en los postulados caractersticos, que determinan las relaciones entre los entes geomtricos fundamentales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geomtricos:
Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una letra del
alfabeto griego.
Suele representarse grficamente, para su mejor visualizacin, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).
Segmento
Un segmento, en geometra, es un fragmento de recta que est comprendido entre dos puntos.
As, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la interseccin de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostn), sern interiores o exteriores al segmento segn pertenezcan o no a este.
ngulo
Un ngulo es la "abertura" entre dos lneas que se cruzan en un punto. Esta nocin de ngulo es muy familiar para nosotros, pues durante nuestra vida hemos observado y descrito los ngulos de todos los objetos que vemos. En geometra se estudian con todo detenimiento y precisin estos ngulos. Es en esta rama de las matemticas en donde miden y clasifican estos ngulos, se estudian sus propiedades y sus relaciones con otros ngulos. Los ngulos se miden principalmente en grados sexagesimales, aunque existen otros tipos de unidades para medirlos. Por ejemplo, las revoluciones, que son vueltas enteras; los gradianes o grados centesimales, que dividen la vuelta entera en 400 partes iguales en lugar de 360, como los grados sexagesimales.
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TRIANGULOS
Clasificacin segn sus lados
ngulo recto: est formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolucin, es decir, 90.
ngulo agudo: un ngulo agudo tiene una abertura menor a la del ngulo recto.
ngulo obtuso: un ngulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ngulo recto,
concretamente 180.
ngulo llano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, adems el ngulo es la mitad de una revolucin, o sea, 180.
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CLASIFICACION DEL TRIANGULO
SEGN SUS LADOS
Tringulo equiltero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ngulos
internos miden 60 grados radianes).
Tringulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un tringulo escaleno no hay ngulos con la misma medida.
Tringulo issceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ngulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
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CLASIFICACION DE LOS
TRIANGULOS SEGN SUS
ANGULOS Tringulo rectngulo: si tiene un ngulo
interior recto (90). A los dos lados que conforman el ngulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Tringulo acutngulo: cuando sus tres ngulos son menores a 90; el tringulo equiltero es un caso particular de tringulo acutngulo.
Tringulo obtusngulo: si uno de sus ngulos es obtuso (mayor de 90); los otros dos son agudos (menor de 90).
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RECTAS NOTABLES DE UN TRINGULO Mediatrices:La MEDIATRIZ de un lado de un tringulo
se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.
Todo tringulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue:
La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma
La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb
La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc
Propiedad 5:"Los puntos de la mediatriz de un lado
de un tringulo equidistan de los vrtices que definen dicho lado"
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Alturas: La ALTURA de un tringulo,
respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vrtice opuesto.
Todo tringulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue:
La altura respecto del lado 'a'=BC, se denota por ha
La altura respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb
La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hc
Una altura puede ser interior al tringulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (segn el tipo de tringulo):
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Medianas: La MEDIANA de un tringulo,
correspondiente a uno de sus vrtices, se define como la recta que une dicho vrtice del tringulo con el punto medio del lado opuesto.
Todo tringulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vrtice) que denotaremos como sigue:
Mediana correspondiente al vrtice A, se denota por mA
Mediana correspondiente al vrtice B, se denota por mB
Mediana correspondiente al vrtice C, se denota por mC
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Bisectrices: La BISECTRIZ de un tringulo,
correspondiente a uno de sus vrtices, se define como la recta que, pasando por dicho vrtice, divide al ngulo correspondiente en dos partes iguales.
Todo tringulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ngulo) que denotaremos como sigue:
Bisectriz correspondiente al ngulo A, se denota por bA
Bisectriz correspondiente al ngulo B, se denota por bB
Bisectriz correspondiente al ngulo C, se denota por bC
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CUADRILATEROS Un cuadriltero es un polgono que tiene cuatro lados. Los cuadrilteros tienen distintas formas
pero todos ellos tienen cuatro vrtices y dos diagonales. En todos los cuadrilteros la suma de los ngulos interiores es igual a 360. Otros nombres usados para referirse a este polgono son tetrgono y cuadrngulo.
Clasificacin de los cuadrilteros
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CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA Un crculo, en geometra, es el
conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.
Una circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Slo posee longitud. Se distingue del crculo en que este es el lugar geomtrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el permetro
del crculo cuya superficie contiene.
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ELEMENTOS DE LA
CIRCUNFERENCIA Centro del crculo, que se corresponde
con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
Radio, es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
Dimetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lgicamente, pasa por el centro;
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud mxima son los dimetros;
Arco, segmento curvilneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
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Identidades TrigonomtricasIdentidades Recprocas
sen
1csc
csc
1sen
cos
1sec
sec
1cos
tan
1cot
cot
1tan
cos
sentan
sen
coscot
Estas identidades se cumplen para cualquier ngulo para el cual eldenominador no sea cero.
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Identidades Trigonomtricas
Relaciones Pitagricas
22
22
22
csccot1
sec1tan
1cossen
-
ab
c
222 cba
2
2
2
2
2
2
c
c
c
b
c
a
1c
b
c
a22
De acuerdo al Teorema de Pitgoras
dividiendo entre 2c
de donde
Identidades Trigonomtricas
1cossen 22
por tanto
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Ejemplo 1
Verifica la siguiente identidad: 1seccos
1cos
1cosseccos
2sec
1)1)(1( sensen
2sen1)sen1)(sen1(
2
2
sec
1
cos
Ejemplo 2Verifica la siguiente identidad
Solucin
Solucin
Usando las identidades reciprocas
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Identidades trigonomtricas
Identidades que relacionan con -
-
(x,y)
(x,-y)
seny)(sen
ysen
cosx)cos(
xcos
tan
cos
sen
)cos(
)(sen)tan(
-
Identidades trigonomtricas
Identidades de ngulos complementarios y suplementarios
90-
90+
(x,y)
xcos
ysen
cos)90(sen
cos)90(sen
sen)90cos(
sen)90cos(
(x,y)(-x,y)
(-x,-y)
180-
180+
sen)180(sen
sen)180(sen
cos)180cos(
cos)180cos(
(-y, x)
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Identidades trigonomtricasIdentidades para la suma de ngulos
Identidades para la mitad de un ngulo
sencoscossen)(sen
sensencoscos)cos(
tantan1
tantan)tan(
2
cos1
2sen
2
cos1
2cos
sen
cos1
cos1
sen
cos1
cos1
2tan
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Ejemplo 3
Verifica la siguiente identidad cossen22sen
)(sen2sen
cossen2
sencoscossen
Ejemplo 4Verifica la siguiente identidad
2sen212cosSolucin
)cos(2cos
2
22
22
sen21
sen)sen1(
sencos
sensencoscos
Solucin